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题型练10大题综合练(二)1.在等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.2.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45,(45,50,(50,55,(55,60进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50上的女生数与体重在区间(50,60上的女生数之比为43.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60上的女生至少有一人被抽中的概率.3.如图,四边形ABCD为矩形,DA平面ABE,AE=EB=BC=2,BF平面ACE于点F,且点F在CE上. (1)求证:AEBE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面DAE.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点为F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为267,求直线l的方程.5.(2019江西南昌二模,21)已知函数f(x)=ln x+ax,aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)当a=34时,证明:x3f(x).题型练10大题综合练(二)1.解(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+35b0).又点3,12在椭圆C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则x02+y02=3,所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因为x0,y00,所以x0=2,y0=1.因此,点P的坐标为(2,1).因为OAB的面积为267,所以12ABOP=267,从而AB=427.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y0248y02(x02-2)(4x02+y02)2.因为x02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,则2x04-45x02+100=0,解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22.综上,直线l的方程为y=-5x+32.5.(1)解f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x+a=ax+1x.则当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)在区间(0,+)内单调递增;当a0,得x-1a,所以f(x)在区间0,-1a内单调递增,在区间-1a,+内单调递减.综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间;当a0时,x-1lnx.所以欲证x3lnx+34x,只要证x3(x-1)+34x=74x-1.设g(x)=x3-74x+1(x0),则g(x)=3x2-74.令g(x)=0,可得x0=723.且当x(0,x0)时,g(x)0.所以g(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+)内单调递增.所以g(x)g(x0)=772437783+1=1-77123.因为(77)2=343(123)2=432,所以770,即x3(x-1)+34x恒成立.所以x3lnx+34x恒成立,即x3f(x).
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