资源描述
一 、 二 维 随 机 变 量 及 其 分 布 函 数 二 、 二 维 离 散 型 随 机 变 量 三 、 二 维 连 续 型 随 机 变 量 四 、 两 个 常 用 的 分 布 五 、 小 结第 一 节 二 维 随 机 变 量 图示e )(eYS )(eX. ,),( ,)()( ,或 二 维 随 机 变 量 叫 作 二 维 随 机 向 量由 它 们 构 成 的 一 个 向 量 上 的 随 机 变 量是 定 义 在和设 它 的 样 本 空 间 是是 一 个 随 机 试 验 设 YX SeYYeXX eSE 一 、 二 维 随 机 变 量 及 其 分 布 函 数 1.定 义 2.二 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数 (1)分 布 函 数 的 定 义 . ,),( ,)()(),( : ,),( 的 联 合 分 布 函 数和机 变 量 或 称 为 随的 分 布 函 数称 为 二 维 随 机 变 量二 元 函 数 对 于 任 意 实 数是 二 维 随 机 变 量设 YX YX yYxXPyYxXPyxF yxYX xo y ),( yxyYxX ,. ),(域内的概率在如图所示区的函数值就是随机点落yxF (2) 分 布 函 数 的 性 质 ),(),(, ,),(1 1212o yxFyxFxxy yxyxF 时当意固定的即对于任的不减函数和是变量).,(),(, 1212 yxFyxFyyx 时当对于任意固定的,1),(02o yxF , y对于任意固定的,0),(lim),( yxFyF x且有,x对于任意固定的,0),(lim),( yxFxF y .1),(lim),( yxFF yx .,),( ),0,(),(),0(),(3o也右连续关于右连续关于即yxyxF yxFyxFyxFyxF ,0),(lim),( yxFF yx ,),(),(4 21212211o yyxxyxyx 对于任意.0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有 若 二 维 随 机 变 量 ( X, Y ) 所 取 的 可 能 值 是 有限 对 或 无 限 可 列 多 对 ,则 称 ( X, Y ) 为 二 维 离 散 型随 机 变 量 .二 、 二 维 离 散 型 随 机 变 量 1. 定 义 2. 二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 .1,0 1 1 i j ijij pp其 中 . , ),( ,2,1, ,2,1,),( ),(的 联 合 分 布 律和或 随 机 变 量 的 分 布 律变 量称 此 为 二 维 离 散 型 随 机 记值 为 所 有 可 能 取 的设 二 维 离 散 型 随 机 变 量YX YXjipyYxXP jiyx YXijjiji 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为XY 21 ixxxjyyy21 12111 ippp 22212 ippp 21 ijjj ppp .),(. 1 , 4,3,2,1 的分布律试求整数值中等可能地取一在另一个随机变量取值四个整数中等可能地在设随机变量YX XYX解例 1 XY 1 2 3 41234 41 81 121 1610 81 121 1610 0 121 1610 0 0 161 . ,),( ),(,),( ,dd),(),( ,),( ),(),( 的 联 合 概 率 密 度和机 变 量 或 称 为 随的 概 率 密 度称 为 二 维 随 机 变 量 函 数量是 连 续 型 的 二 维 随 机 变则 称 有使 对 于 任 意如 果 存 在 非 负 的 函 数 的 分 布 函 数对 于 二 维 随 机 变 量YX YX yxfYX vuvufyxF yxyxf yxFYXy x 1.定 义 三 、 二 维 连 续 型 随 机 变 量 .1),(dd),()2( Fyxyxf .dd),(),( G yxyxfGYXP .0),()1( yxf2.性 质内 的 概 率 为 落 在点平 面 上 的 一 个 区 域是设G YXxoyG ),(,)3( .),(),(,),(),()4( 2 yxfyx yxFyxyxf 则有连续在若 .)2();,()1( .,0 ,0,0,e2),( ),( )2( XYPyxF yxyxf YXyx 求概率求分布函数其它具有概率密度设二维随机变量例 4 解 y x yxyxfyxF dd),(),()1( .,0 ,0,0,dde20 0 )2(其他y x yx yxyx .,0 .0,0),e1)(e1(),( 2其他得yxyxF yx ,),( GYXXY ),( GYXPXYP (2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有XY G xyOyxyxfG dd),( yxy yx dde20 )2( .31 1.均 匀 分 布定 义 设 D 是 平 面 上 的 有 界 区 域 ,其 面 积 为 S,若 二维 随 机 变 量 ( X , Y ) 具 有 概 率 密 度则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均 匀 分 布 . .,0 ,),(,1),(其他DyxSyxf四 、 两 个 常 用 的 分 布 2.二 维 正 态 分 布若 二 维 随 机 变 量 ( X,Y ) 具 有 概 率 密 度 22 2221 2121 212 )()(2)()1(2 1221 e12 1),( y yxxyxf .11,0,0, 212121 且均 为 常 数其 中 ),( yx记 为正 态 分 布 的 二 维服 从 参 数 为则 称 . ,),( 2121 YX ),(),( 222121 NYX 二 维 正 态 分 布 的 图 形 1. 二维随机变量的分布函数.,),( yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数, ijji pyYxXP ;,2,1, ji.),( yy xx ijji pyxF3. 二维连续型随机变量的概率密度.dd),(),( vuvufyxF y x 五 、 小 结 二 、 离 散 型 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 三 、 连 续 型 随 机 变 量 的 边 缘 分 布一 、 边 缘 分 布 函 数 四 、 小 结第 二 节 边 缘 分 布 一 、 边 缘 分 布 函 数 ,),( yYxXPyxF ,)( xXPxF xXP , YxXP ),( xF )(xFX .),(的边缘分布函数关于XYX ?,),(:的分布如何确定的分布已知YXYX问 题 ,),()( yYPyYXPyFyFY 为 随 机 变 量 ( X,Y )关 于 Y 的 边 缘 分 布 函 数 . .),( ),(, .,),( ,),(),( 的 边 缘 分 布 函 数关 于为 随 机 变 量 称令则 的 分 布 函 数为 随 机 变 量设 XYX xFYxXPxXPy yYxXPyxF YXyxF ).,()( xFxFX记 为定 义 ,x同理令 . ),(),2,1(),2,1( ,2,1, ,2,1, .,2,1, ),(11的 边 缘 分 布 律和 关 于关 于 为和分 别 称记律 为 的 联 合 分 布设 二 维 离 散 型 随 机 变 量YX YXjpip jyYPpp ixXPpp jipyYxXP YXji ji ijj ij iji ijji 定 义二 、 离 散 型 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 ;,2,1, 1 ipxXP j iji .,2,1, 1 jpyYP i ijjXY ixxx 21jyyy21 12111 ippp 22212 ippp ijjj ppp 21 jpip 1p 2p ip 1p2pjp 1 ,),()( 1 xx j ijX i pxFxF .),()( 1 yy i ijY j pyFyF因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为 例 1 已知下列分布律求其边缘分布律.XY 101242 12421242 64210 XY 104212 42124212 42610 ii xXPp jj yYPp 注 意 联 合 分 布 边 缘 分 布解 7473174 73 .),( ,d),()( ,dd),(),()( ),( ),( 的 边 缘 概 率 密 度关 于称 其 为 随 机 变 量记 由 于密 度 为 设 它 的 概 率对 于 连 续 型 随 机 变 量 XYX yyxfxf xyyxfxFxF yxf YXX xX 定 义三 、 连 续 型 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 同理可得 Y 的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度.,dd),(),()( yY yxyxfyFyF .)(),( .,0 ,6),( 2 yfxf xyxyxf YX YX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量 解 yyxfxfX d),()( ,10时当 x xy 2xy O xy )1,1(yyxfxfX d),()( xx y2 d6例 3 ,10时或当 xx .0d),()( yyxfxfX ).(6 2xx .,0 ,10),(6)( 2其他因而得xxxxfX xy 2xy O xy )1,1( ,10时当 y xyxfyfY d),()( ,10时或当 yy .0d),()( xyxfyfY .,0 ,10),(6)(其他得yyyyfY yy xd6 ).(6 yy xy 2xy O xy )1,1( .d),()( yyxfxfX 联 合 分 布 边 缘 分 布 .d),()( xyxfyfY四 、 小 结 .dd),(),()( yY yxyxfyFxF .dd),(),()( xX xyyxfxFxF
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