《地基中的应力》PPT课件

第 四 章土体中的应力计算 习题:P864.14.24.44.34.64.5 第 四 章 土 体 中 的 应 力 计 算 强 度 问 题变 形 问 题地 基 中 的 应 力 状 态 应 力 应 变 关 系自 重 应 力附 加 应 力基 底 压 力 计 算有 效 应 力 原 理 建 筑 物 修 建 以 后 ， 建 筑 物重 量 等 外 荷 载 在 地 基 中 引起 的 应 力 ， 所 谓 的 “ 附 加 ”是 指 在 原 来 自 重 应 力 基 础上 增 加 的 应 力 。建 筑 物 修 建 以 前 ， 地 基中 由 土 体 本 身 的 有 效 重量 所 产 生 的 应 力 。 4.1 概述 第 四 章 土 体 中 的 应 力 计 算4.1 概述 xz xzzx xz xzzx 土 力 学 中 符 号 的 规 定材 料 力 学 +-+- 土 力 学 正 应 力 剪 应 力拉 为 正压 为 负 顺 时 针 为 正逆 时 针 为 负压 为 正拉 为 负 逆 时 针 为 正顺 时 针 为 负材 料 力 学 与 土 力 学 的 正负 号 规 定 正 好 相 反 ！ 第 四 章 土 体 中 的 应 力 计 算4.1 概述地 基 中 常 见 的 应 力 状 态 y z xo(1)一 般 应 力 状 态 三 维 问 题 x yxy yzzx xzzyyx zij =x yxy yzzx xzzyyx zij = xy xyyzzx z 第 四 章 土 体 中 的 应 力 计 算4.1 概述试样水 压 力 c 轴 向 力 F 应 变 条 件 应 力 条 件 独 立 变 量 zyx zcyx ; ; 0zxyzyx yx 0zxyzyx cyx y xz cyx (2)三 轴 应 力 状 态 三 维 问 题x yxy yzzx xzzyyx zij = x yxy yzzx xzzyyx zij =00 0 000 0 000 0 0 y z xo(3)平 面 应 变 状 态 二 维 问 题l垂 直 于 y轴 切 出 的 任 意断 面 的 几 何 形 状 均 相 同 ，其 地 基 内 的 应 力 状 态 也相 同 ；l沿 长 度 方 向 有 足 够 长度 ， L/B 10；l平 面 应 变 条 件 下 ， 土体 在 x, z平 面 内 可 以 变形 ， 但 在 y方 向 没 有 变形 。 (3)平 面 应 变 条 件 二 维 问 题应 变 条 件 应 力 条 件 独 立 变 量;0y 0 EE zxyy zxy )z,x(F ;, ;, xzzx xzzx x yxy yzzx xzzyyx zij = x yxy yzzx xzzyyx zij =00 0 000 0 000 ;0zx yzxy (4)侧 限 应 力 状 态 一 维 问 题 水 平 地 基 半 无 限 空 间 体 ； 半 无 限 弹 性 地 基 内 的 自 重 应力 只 与 Z有 关 ； 土 质 点 或 土 单 元 不 可 能 有 侧向 位 移 侧 限 应 变 条 件 ； 任 何 竖 直 面 都 是 对 称 面应 变 条 件 ;0 xy 0zxyzxy A BsBsA y z x o 应 变 条 件 应 力 条 件 独 立 变 量;0 xy 0zxyzxy ;0zxyzxy ;0EE zyxx ;K1 z0zyx ;yx )z(F, zz (4)侧 限 应 力 状 态 一 维 问 题 x yxy yzzx xzzyyx zij = x yxy yzzx xzzyyx zij =00 0 000 0 0000 0 0 0K0： 侧 压 力 系 数 均 匀 一 致 各 向 同 性 体（ 土 层 性 质 变 化 不 大 时 ） 线 弹 性 体（ 应 力 较 小 时 ） 连 续 介 质（ 宏 观 平 均 ）、E 与 (x, y, z)无 关与 方 向 无 关 理 论 方 法 弹 性 力 学 解 求 解 “ 弹 性 ” 土 体 中 的 应力解 析 方 法 优 点 ： 简 单 ， 易 于 绘 成 图 表 等碎 散 体非 线 性弹 塑 性成 层 土各 向 异 性 p e线 弹 性 体加 载卸 载应 力 计 算 时 的 基 本 假 定 第四章 土 体 中 的 应 力 计 算4.1 概述 F土 力 学 中 应 力符 号 的 规 定F地 基 中 常 见 的应 力 状 态F应 力 计 算 时 的基 本 假 定 三 维 应 力 状 态 三 轴 应 力 状 态 平 面 应 变 状 态 侧 限 应 力 状 态 连 续 弹 性 均 质 各 向 同 性小 结第四章 土 体 中 的 应 力 计 算4.1 概述 4. 2 土 中 自 重 应 力由 土 体 本 身 自 重 引 起 的 应 力 称 为 土 的 自 重 应 力 。一 般 情 况 下 ， 土 体 形 成 的时 间 很 久 ， 自 重 作 用 下 的变 形 早 已 完 结 ， 因 此 ， 自重 应 力 又 称 为 常 驻 应 力 。1.单 一 土 层 条 件 下 自 重 应 力 的 计 算按 力 学 概 念 ， 平 均 应 力 等于 力 除 以 作 用 面 积 ；天 然 状 态 下 ， 地 表 面 可 看 成是 一 个 无 限 大 的 水 平 面 ， 设地 面 下 ， 土 的 容 重 为 ， 从地 面 起 至 其 下 Z深 度 处 取 出一 个 与 地 表 面 垂 直 的 土 柱 体 ，分 析 其 受 力 ： 天 然 地 面从这个意义上讲:自重应力不会使土体产生变形。 该土柱体这样切取：先用一个与地表面垂直的平面aa，由于其对称性， aa面上只有对称的法向应力（正应力)，因其为水平向，记为cx 。天 然 地 面 cx同理：在用bb平面切取。 cx前后依次用cc、dd切取，其上作用cy 。在Z深度处，再用一个水平面ee将土柱截断 e e其中的角标c表示自重引起，x表示应力作用方向；非对称的切向应力（剪应力）必为零。 bb对于土体，有 cz 4. 2 土 中 自 重 应 力 aaZ cx = cy 根据剪应力互等定理，知在ee面上，只有法向应力 cz 。切向应力为零。设所切取的土柱体总重为P 天 然 地 面 zcx cx cze e PZFP 则有： Z FPcz cz土中某点的竖向自重应力，kPaZ 考查点至天然地面的距离，m根据竖向力之和为零有：土的重力密度，kN/m3, 4. 2 土 中 自 重 应 力 cz =z ZFFcz 该点处的水平向自重应力cx 根据广义虎克定律： EEE czcycxx =0则有 czoczcx K 1其中：Ko为土的侧向压力系数；cycx且 = 为 泊 松 比 。弹性材料：0 0.5 0 1.0oK 即对于正常情况下的土体有： cx cz 4. 2 土 中 自 重 应 力 即 czc 也就是说，竖向应力乘以水平向应力系数K o即为水平向应力，土体一定，水平向应力系数为常数，竖向应力已知时，水平应力即确定。在今后的应用中，水平向应力应用的数量较少，一般情况下，有了竖向应力之后，不作特殊说明；经常用到的是竖向自重应力，为简单起见，一律简写成c 。 4. 2 土 中 自 重 应 力 2.成层土条件下自重应力设各层土的土层厚度分别为h1 、h2 、h3 、 h4重度分别为1 、2 、3 、4如图。分层不影响对称性，仍用前述的方法截取土柱体，分段求合力，得： 天 然 地 面 cP=P1+P2+P3+P4即 ：由此得：简写成： ni iic h1 1 1 2 2 3 3 4 4P h F h F h F h F 1 1 2 2 3 3 4 4c h h h h 2. 2 土 中 自 重 应 力 h11 h33 h22 h4 4 3.当土层中有地下水时自重应力 天 然 地 面h1h2h3 cxe b cz P1P2P3a地下水自重应力是指有效应力,即土体通过土粒间接触点传递的接触压力。浸水后，土颗颗粒受到水浮力，土颗粒间的接触压力减少，1m3土体扣除土颗粒所受浮力后剩余重量即为有效重度，所以，浸水后单位体积土体的有效自重计算时应采用有效重度。据此有： ni iic hhhh 1332211 当有不透水层时，由于水对不透水层层面有静水压力，且通过不透水层层面向下传递该水压力，因而，此时的自重应力还应加上水压力，即： ni iiwwc hhhhh 1332211 2. 2 土 中 自 重 应 力 综上所述，各种情况下土中某点的竖向自重应力均可用下式表达： ni iic h1 其中： i 第i层土的重力密度，kN/m3,地下水位以下土颗粒受到浮力时，应采用有效重度;对不透水层层面及其以下土体，还要考虑其上的水、土总重，即加上水压力。hi 第i层土土层厚度，m，n计算点至天然地面范围内土层层数。 w水的重力密度，一般情况下，可取w=10kN/m3hw不透水层层面至自由水位面的距离(水位），m。到此为止，各种条件下的自重应力计算问题我们已经全部讲解完了，自重应力的计算是土力学所有计算中最简单、最基本的，大家必须熟练掌握。 4. 2 土 中 自 重 应 力 自 重 应 力 的 分 布 规 律自 重 应 力 在 等 容 重 地 基 中 随 深 度 呈 直 线 分 布 ；自 重 应 力 分 布 线 的 斜 率 是 容 重 ；自 重 应 力 在 成 层 地 基 中 呈 折 线 分 布 ；在 土 层 分 界 面 处 和 地 下 水 位 处 发 生 转 折 。 均 质 地 基 1 2 2)( 21 成 层 地 基 4. 2 土 中 自 重 应 力 例 4.1 地 质 土 层 条 件 如 图 所 示 ,试 画 出 该 土 层 竖 向 自 重 应 力 沿 深度 的 分 布 图 ,并 标 出 各 点 的 应 力 值 。2.0m1.5m1.8m2.2m1.9m天 然 地 面2.5m 细 砂 土粗 砂 土泥 岩=19.0kN/m=18.5kN/m=21.0kN/m=22.5kN/m =8.5kN/m=9.7kN/m=11.0kN/m=11.6kN/m砂 岩粉 土 =8.8kN/m=19.8kN/m=9.2kN/m=18.0kN/m粉 质粘 土不 透 水 层地 下 水解 ： 应 力 计 算 公 式 为 ni iic h1 为 了 方 便 表 达 ， 先 建 立坐 标 系 ， 并 标 定 计 算 点sc(kPa) Z oabcdef38.065.082.46101.82141.82181.72237.97 o点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n为 零 ， 其 上 无 压 重 ， 故 该 点 sc=0,a点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n等 于 1， 故 该 点 :sc=g1*h1=19.0*2.0=38.0(kPa),土 体 一 定 时 ， 重 度 g是 常 数 ， o a间 只 有 深 度 Z（ h ） 是 变量 ， 故 o a间 sc按 直 线 分 布 ， 按 比 例 分 别 画 出 o、 a两 点 的 sc值 ， 两 点 的 应 力 值 sc间 连 直 线 ， 即 得 o a段 间 sc沿 深 度 的 分布 图 。b点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n等 于 2， 该 点 以 上 土 层 均 未 浸 水 ，故 该 点 :s c=g1*h1+ g2*h2 =19.0*2.0+18.0*1.5=65.0(kPa),同 样 ， 在 坐 标 系 中 按 比 例 画 出 b点 sc值 ， 与 a点 sc值 连 接 ，即 得 即 得 a b段 间 sc沿 深 度 的 分 布 图 。c点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n等 于 3， 该 点 以 上 土 层 两 层 未 浸 水 ，一 层 浸 水 ， 浸 水 土 层 应 采 用 有 效 重 度 ， 故 该 点 :sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8=82.46(kPa),同 样 ， 画 图 、 连 线 即 得 b c段 间 sc沿 深 度 的 分 布 图 。 sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2=101.82(kPa),同 样 ， 画 图 、 连 线 得 所 求 。d点 （ 下 ） ： 该 点 表 示 已 进 入 到 第 5层 （ 泥 岩 层 ） 层 面 ， 其 上天 然 土 层 数 n仍 为 4， 该 点 以 上 土 层 两 层 未 浸 水 ， 两 层 浸水 ， 浸 水 土 层 应 采 用 有 效 重 度 ， 由 于 已 进 入 到 不 透 水 层 层面 ， 所 以 ， 计 算 中 应 考 虑 水 压 力 ， 故 该 点 :sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)=141.82(kPa),同 样 ， 画 图 、 连 线 。d点 （ 上 ） ： 该 点 表 示 第 4层 （ 粉 土 层 ） 的 层 底 ， 未 进入 到 第 5层 （ 泥 岩 层 ） ， 其 上 天 然 土 层 数 n等 于 4， 该点 以 上 土 层 两 层 未 浸 水 ， 两 层 浸 水 ， 浸 水 土 层 应 采用 有 效 重 度 ， 故 该 点 : e点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n为 5， 该 点 不 透 水 层 以 上 土 层 两 层未 浸 水 ， 两 层 浸 水 ， 浸 水 土 层 应 采 用 有 效 重 度 ， 由 于 已 进入 到 不 透 水 层 层 面 以 下 ， 所 以 ， 计 算 中 应 考 虑 水 压 力 ， 在不 透 水 层 层 面 以 下 ， 没 有 地 下 水 ， 该 部 分 土 体 未 受 水 浮 力 ，应 采 用 天 然 重 度 计 算 ， 故 该 点 :sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw + g5 *h5 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)+21.0*1.9=181.72(kPa),同 样 ， 画 图 、 连 线 。f点 ： 其 上 天 然 土 层 数 n为 6， 该 点 不 透 水 层 以 上 土 层 两层 未 浸 水 ， 两 层 浸 水 ， 浸 水 土 层 应 采 用 有 效 重 度 ， 对 于不 透 水 层 层 面 以 下 土 体 ， 仍 采 用 天 然 重 度 计 算 ， 故 该 点 :s c=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw + g5 *h5 + g6 *h6 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)+21.0*1.9+22.5*2.5=237.97(kPa),同 样 ， 画 图 、 连 线 。 其 所 求 的 应 力 分 布 图 如 图 所 示 。 天 然 地 面2.0m1.5m1.8m =19.0kN/m2.2m1.9m2.5m 粉 质粘 土细 砂 土粗 砂 土粉 土泥 岩砂 岩 =18.0kN/m=18.5kN/m =19.8kN/m=21.0kN/m=22.5kN/m =11.6kN/m=11.0kN/m=8.8kN/m=9.7kN/m=9.2kN/m=8.5kN/m不 透 水 层地 下 水 sc(kPa) Z oabcdef38.065.082.46101.82141.82181.72 237.97sc沿 深 度 的 分 布 图 基 底 压 力 ： 地 基 与 基 础接 触 面 上 的 接 触 压 力 称为 基 底 压 力 ， 记 为 p。也 称 基 底 接 触 压 力 。基 底 压 力附 加 应 力地 基 沉 降 变 形基 底 反 力基 础 结 构 的 外 荷 载 上 部 结 构 的 自 重 及 各种 荷 载 都 是 通 过 基 础传 到 地 基 中 的 。 影 响 因素 计 算 方法 分 布 规律上 部 结 构基 础地 基建 筑 物 设 计 4.3 基 底 压 力 计 算 一 . 影 响 因 素基 底 压 力 基 础 条 件 刚 度形 状大 小埋 深大 小方 向分 布土 类密 度 土 层 结 构 等荷 载 条 件地 基 条 件 4.3 基 底 压 力 计 算 抗 弯 刚 度 EI= M0；反 证 法 : 假 设 基 底 压 力 与 荷 载 分 布 相 同 ，则 地 基 变 形 与 柔 性 基 础 情 况 必 然 一 致 ；分 布 : 中 间 小 , 两 端 无 穷 大 。二 .基 底 压 力 分 布弹 性 地 基 ， 绝 对 刚 性 基 础基 础 抗 弯 刚 度 EI=0 M=0；基 础 变 形 能 完 全 适 应 地 基 表 面 的 变 形 ;基 础 上 下 压 力 分 布 必 须 完 全 相 同 ， 若 不同 将 会 产 生 弯 矩 。条 形 基 础 ， 竖 直 均 布 荷 载 4.3 基 底 压 力 计 算 弹 塑 性 地 基 ， 有 限 刚 度 基 础二 .基 底 压 力 分 布 荷 载 较 小 荷 载 较 大砂 性 土 地 基 粘 性 土 地 基 接 近 弹 性 解 马 鞍 型 抛 物 线 型 倒 钟 型 4.3 基 底 压 力 计 算 基础的埋深 砂 土d上部结构的刚度地基、基础、上部结构三者是一个共同受力的整体，三者共同承受荷载，其内力的分布必然受各部分的刚度所制约；同样的荷载作用下，上部结构刚度越大，分得的内力就越多。因此，上部结构刚度越大，基础分得的内力就越小。砂 土 4.3 基 底 压 力 计 算 根 据 圣 维 南 原 理 ， 基 底 压 力 的 具 体 分 布 形 式 对 地 基 应力 计 算 的 影 响 仅 局 限 于 一 定 深 度 范 围 ； 超 出 此 范 围 以后 ， 地 基 中 附 加 应 力 的 分 布 将 与 基 底 压 力 的 分 布 关 系不 大 ， 而 只 取 决 于 荷 载 合 力 的 大 小 、 方 向 和 位 置 。三 . 实 用 简 化 计 算基 底 压 力 的分 布 形 式 十分 复 杂简化计算方法：基 础 尺 寸 较 小荷 载 不 是 很 大 4.3 基 底 压 力 计 算 其 它 比 较 复 杂 的 基 础 假 定 基 底 压 力 按 直 线 分 布 的 材 料 力 学 方 法按 弹 性 地 基 梁 板 的 方 法 （ 考 虑 基 础 的 实 际 刚度 和 土 的 性 质 ） 三 . 实 用 简 化 计 算矩 形 面 积 中 心 荷 载 FNp 矩 形 面 积 偏 心 荷 载 WMFNp max 2.3 基 底 压 力 计 算lb 矩形基础blF 6 2lbW 单向偏心时eM N )61(max leblNp F基础底面面积，m2N 上部结构传至基础底面的竖向力，kN )61(min leblNp 0minp 适用条件Pmin0WMFNp min 0minpp 底压力，kPa 6/le 地 面 ed N 地 面 lb N M 三 . 实 用 简 化 计 算 矩形面积偏心荷载 4.3 基 底 压 力 计 算 l maxp23 maxpbk kk223 maxpbkN bkNp 32max elk 2 Pmin2L。即当计算点到荷载作用面中心的距离R大于2倍荷载作用面长边尺寸时，可以不考虑荷载作用面尺寸效应对应力值的影响，直接用合力按布氏公式求解即可满足要求。 结构工程中，一般的允许误差为5%，做为土力学的理论计算， 6%的误差还可以接受， 4.4 集 中 荷 载 下 的 附 加 应 力三、适用条件 则可将每一小块上的荷载当做一个集中力，仍可按前述多个集中力共同作用时求解。四、等代荷载法当不满足前述按集中荷载计算的条件时，可以按叠加原理，将荷载作用面划分成n个小块，如果各小块荷载面的尺寸到计算点的距离满足前述条件，4.4 集中荷载下的附加应力 二 . 水 平 集 中 力 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算 西 罗 提 (Cerruti)课 题 xy xyyzzx zPh 52hz Rxz2P3y z xo Mx yzrR M 4.4 集 中 荷 载 下 的 附 加 应 力 洗露蒂 1. 矩 形 面 积 上 竖 直 均 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 b ldQ 1 . 角 点 下 的 竖 直 附 加 应 力 B氏 解 的 应 用dQ pdxdy z p ( , ) ( , )l zF F m nb b 矩 形 面 积 上 竖 向 均 布 荷 载 作 用 时 角 点 下 的 竖 向 应 力 系 数 查 表 4-9 p3 35 53 32 2z dQ z p zd dxdyR R 350 0 0 0 32b l b lz z p zd dxdyR M（ 0,0,z)4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力一、空间应力问题 R2 2 2 2R x y z (x,y,0) 3 10 0 2 2 2 232 ( )b lz p z dxdyx y z 3 10 0 2 2 2 232 ( )b l zp dxdyx y z zx y0 . 任意点的竖直附加应力角点法a.矩形面积内( ) A B C Dz p ( )begh afgh cegi dfgiz p b.矩形面积外两种情况： 荷载与应力间满足线性关系叠加原理 角点下竖直附加应力的计算公式地基中任意点的附加应力 角点法1. 矩 形 面 积 竖 直 均 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 A BC Dh gea dc b i f 2. 矩 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算dP 1z t p ( , ) ( , )t l zF F m nb b 矩 形 面 积 竖 直 三 角 分 布 荷载 角 点 下 的 应 力 分 布 系 数查 表 4-11 p0 0b lz zd M 角点1下(荷载为零边角点下） z xy0 bx35 0 0 0 0 32b l b lz z x p zbd dxdyR 3 35 5332 2z x pdQ z zbd dxdyR R 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 b l px pbR 2. 矩 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算 角点2下(荷载最大边角点下） dP 2z t p ( , ) ( , )t l zF F m nb b 矩 形 面 积 竖 直 三 角 分 布 荷载 角 点 下 的 应 力 分 布 系 数查 表 p0 0b lz zd M b 350 0 0 0 3 2b l b lz z b x p zbd dxdyR 3 35 5332 2z b x pdQ z zbd dxdyR R b l pb x pbxx z y0R4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 blt dxdyzyx Zb xb0 25222 302 )(2 3 L b dxdyzyx Z0 0 25222 3 )(2 3 1 2t t 即：对M点来讲，左图中的蓝色荷载和红色荷载两个三角形荷载叠加后即为一个完整的矩形荷载。 在t2表达式中，将积分内的表达式分为两部分 L b dxdyzyx Zbx0 0 25222 3 )(2 3 pM 2. 矩 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 .任意点下如图中的M点下，其中的M 是M点在荷载作用面上的投影。此时应将荷载作用面和荷载一起分割；如图然后分别求解当计算点位于荷载作用面以内时，如果计算点位于荷载作用面以外，则原理不变，仍是叠加法，通过适当的加、减使其等效。 pMMM Mxbp M Mbxp p2. 矩 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 .均布荷载圆心点下 pr取圆心为坐标原点，建立极坐标系如图 z0pdA(r,w,0)M(0,0,z)Rr取微面积，代入布氏公式积公后得： 3 532z A p Z dAR 令: )(23 53200 oro rzfdARZ 3. 圆 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 时 圆 心 下 的 附 加 应 力4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 0z p 2. 均布荷载任意点下同样取圆心为坐标原点，建立如图所示的极坐标系,计算后得:o均布圆形荷载作用时中心点下的竖向附加应力系数， 其中的ro为荷载作用面半径,查 表0 ( / )F r z z 计算点至荷载作用面的距离。),( oo rzrrf z p 其 中 : 均布圆形荷载作用时任意点下的竖向附加应力系数，r为计算点半径。 3. 圆 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 时 圆 心 下 的 附 加 应 力4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 圆形面积沿偏心方向在中心处剖开，有荷载为零点1和荷载最大点2，如图，其下的点分别为M1和M2，其附加应力分别为：1 1z p )( 1 orzf 2 2z p )(2 orzf 4. 圆形面积上 三角形荷载边点点下的附加应力4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 1 2po2 rM1z1 M2 z2分别为圆形面积上 三角形荷载边点1和边点2下的竖向附加应力系数。 p 5. 矩 形 面 积 水 平 均 布 荷 载 作 用 下 的 附 加 应 力 计 算 b l角 点 下 的 竖 直 附 加 应 力 C氏 解 的 应 用z h hp ( , ) ( , ) h l zF F m nb b 矩 形 面 积 作 用 水 平 均 布 荷 载 时 角 点 下 的 应 力 分 布 系 数 zph zz 查 表西罗提解 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 1. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算弗拉曼(Flamant)解 B氏 解 的 应 用M二、平面应变问题4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力设半空间表面有如图所示的均布线荷载作用，取荷载分布方向为y轴。在空间体内，现有一点M，求荷载在M点引起的竖向附加应力z， p由于沿y轴无限长，所有与轴垂直的平面对y轴（荷载）来讲都有是对称面，其应力状态都相同。 y (x,o,z)所以这样建立坐标系对这些对称面上的应力分布是没有影响的。过M点作平面与y轴垂直，取该平面与y轴的交点为坐标原点，建立坐标系如图： py 0z xR1pdydy R M则M点必位于xoz平面内，其点坐标为（x，o，z）设点M到坐标原点的距离为R1，则：在荷载作用线上取微段dy ，令：P=pdy，代入布氏公式得：2 21R = x + z3 35 2 2 513 32 2 ( )z p Z p Zdy dyR R y 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力1. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算 令z=R1tan,换元积分后得：312 cosz pR ，其中cos=z/R1,同样可求得 212 cos sinx pR 212 cos sinxz zx pR 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力1. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算 22 2 22( )x px zx z 22 2 22( )zx pxzx z zxy 32 2 22( )z pzx z 用直角坐标表示时 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力2. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算 z xy b任 意 点 下 的 附 加 应 力 F氏 解 的 应 用z o p , , ( , ) ( , )o x xz x zF F m nb b 条 形 面 积 竖 直 均 布 荷 载 作 用 时 的 应 力 分 布 系 数 zMxxz xz p x x p 查 表 4-14 (x,0,z)ppbb/2 b/2 xz0 设半空间表面有宽度为b的均布条形荷载p，取宽度方向中点为坐标原点，建立坐标系如图： p xz0现有一点M，求p在M点处引起的附加应力z ，用极坐标可直接求得其解析解，过M点向荷载作用面的两个边缘作射线，射线与竖直线夹角分别为 1、 2 ，M点到坐标原点距离为R1， MR1 1 2 bb/2 b/2dx R (x,0,z)d在x轴上取段dx，由图知: dx= R 1 d/cos 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力2. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力R 1 d 沿y轴方向积分的结果同前面的均布线荷载，在线荷载的基础上再沿宽度方向积分，结果即为条形荷载引起的应力。即： 22 312 cosbbz p dxR 2 21 13 2112 2cos /cos cosz p pR d dR 2 2 1 1 2 1sin cos sin cos ( )p 同理得： 2 1 2 1 1 2 1 sin( ) cos( ) ( )x p 2 22 1sin sin xz p 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力2. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力 根据材料力学公式： 2231 )2(2 xzyxyx 将z 、x 、xz、代入后整理得土中某点大、小主应力表达式： 13 sin o op 其中：o=(2-1)如令： 1 22 13 2 s in 2 p 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力2. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力 3.条形面积上三角形分布的竖向荷载作用如图，有一三角形分布的条形荷载作用在半空间表面，建立坐标系如图。在M点处，其附加应力 z p 其中： ),( bzbxf条形面积上三角形荷载时的竖向附加应力系数。p b M（ x,o,z)z x0 x zR14.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 附 加 应 力 计 算 a 竖 直 集 中 荷 载 作 用 下 (表 4-2)ac 圆 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 下 (表 4-6)a 0 矩 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 中 点 下 (表 4-8)as 矩 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 角 点 下 (表 4-9)at 矩 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 压 力 为 零 下 (表 4-11)au 条 形 面 积 均 布 荷 载 作 用 时 (表 4-14)as 条 形 面 积 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 时 (表 4-15)小 结pcz 底 面 形 状荷 载 分 布计 算 点 位 置2zPz a 三、均质地基中的应力分布4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力由于土中存在剪应力，使地基中产生了应力扩散现象；即沿着深度方向随深度的增加，其竖向附加应力值越来越小，在某一深度处的水平面上，附加应力不但作用在基础底面轮廓线范围内，而且延伸到轮廓线外，但不管怎么延伸，同一水平面上，基础中心点下的应力值最大，向两边逐步减小，趋近于零。但不管怎么变化，同一水平面上的附加应力之和始终等于pA P=1121 2141 42 41 81838381161 416 616 416 1 1613253210321032532132164 664 1564 2064 1564 664 164P=1P 中心线下z的分布某水平面上 z的分布基底面线外的z沿深度的分布 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力三、均质地基中 应力的分布 四、非均质地基中附加应力分布的特征以上涉及的均是柔性荷载、均质各向同性地基条件下附加应力的分布情况。实际工程中并非如此，地基土都具有成层性，变形模量沿深度是变化的。此时应力的分布与均质地基相比，无外乎两种情况：应力集中或应力扩散。1.变形模量随深度增大的地基随着深度的增加,天然状态下,土体所受的压力越来越大,压密效应越来越强,因此同一土体条件下，土体的模量越来越大,即变形模量随深度增大。这种现象在砂土中尤为明显。此时，地基中的应力分布同均质地基相比，有向基础中心线下积聚、增大的趋势；由于合力保持不变，故边缘部位的应力必减少，习惯上称其为应力集中现象。其分部特征如图所示。4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 zz 非 均 质地 基 z均 质 地 基 z应 力 集 中2.成层土地基此时，其竖向附加应力值 cos2 2 RPz其中： RZcos大于3的集中因素，其值随变形模量与深度的关系以及泊松比有关。该式答为费洛列希（Frhlich)解，当=3时，上式即是Boussinesq)解。对成土地基，其上、下层模量无外乎上大下小或上小下大两种情况。设上层土模量为E1，下层土模量为E2，4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 (1)上 层 软 弱 ， 下 层 坚 硬 的 成 层 地 基 中 轴 线 附 近 z比 均 质 时 明 显 增 大的 现 象 应 力 集 中 ；应 力 集 中 程 度 与 土 层 刚 度 和 厚 度 有关 ； 随 H/B增 大 ， 应 力 集 中 现 象 逐 渐 减弱 。(2)上 层 坚 硬 ， 下 层 软 弱 的 成 层 地 基 中 轴 线 附 近 z比 均 质 时 明 显 减 小的 现 象 应 力 扩 散 ； 应 力 扩 散 程 度 ， 与 土 层 刚 度 和 厚 度有 关 ； 随 H/B的 增 大 ， 应 力 扩 散 现 象 逐 渐减 弱 。 bH 均 匀成 层 E1E2E1bH 均 匀成 层 E 1E2E1 4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 3. 各 向 异 性 地 基当 Ex/Ez1 时 ， 应 力 扩 散 Ex相 对 较 大 ， 有 利 于 应 力 扩 散五 . 非 均 质 土 中 应 力 的 分 布 及 影 响 因 素4.5 竖向分布荷载作用下的附加应力 4.6 应力计算中的其它一些问题一、建筑物基础下的地基应力计算1、基底附加压力 po作用在地基与基础的接触面上，新增加给地基的那部分压力，称为基底附加压力，记为po，kPa。也可以理解为地基基础接触面上的压力增量。作为基础，它的施工过程如图所示；开槽挖土做垫层绑筋、浇混凝土、做基础回填土上部结构，形成最终的基底压力。天 然 地 面天 然 地 面dd天 然 地 面d天 然 地 面 室 内 地 面p基础底面标高处，天然状态下，本身就有自重压（应）力 c，将其挖除（卸荷）后，在加上现有基底压力p，在这个变化过程中，基底净增的压力增量po应为：o cp p i iim h h这样，基底附加压力：po = p- m*d注意：这里的d必须是从天然地面起算的埋深。基底附加压力是作用在半空间表面的外荷载，在它的作用下，地基中（半空间体内）要产生应力增量和变形。c基础底面标高处土体自重应力，当埋深范围内有多层土时，c常写成m*d的形式，其中 m为天然地面至基底范围内土体重度按土层厚度的加权平均值。即：二、地基中的附加应力其附加应力的计算公式同前。所不同的是所有计算公式中的z均取基底（荷载作用面）到计算点的距离。一、建筑物基础下的地基应力计算4.6 应力计算中的其它一些问题 三、应力扩散角的概念 z 均 质 地基 的 z均 质 地基 z非 均 质地 基 z应力扩散后，同一水平面上，其最大与最小值之差将缩小，当模量值E1 3E2时，扩散后的应力值基本上可以看成是均匀分布。 非 均 质地 基 zE1 E2应力扩散 1 2E E zz btanz tanz )tan2)(tan2( zbzL bLpoz对基底尺寸为L、b的矩形基础，从工程实用的角度上看： 对基底尺寸为b的条形基础( 2 tan )oz p bb z 4.6 应力计算中的其它一些问题 例 题 1：若所示图形的阴影部分面积上作用着均布基底压力p=236kPa，基础天然地面下的埋深d=2.0m，基础底面以上土的重度m=18kN/m3，试求图中A点处基底下3.0m深度处的竖向附加应力值。解： 230.13/3/ 11 bl 0.13/3/ 1 bz 175.01 0.23/6/ 22 bl 0.13/3/ 2 bz 2.02 )(0.115200*)175.02.0*2()2( 12 kPapozA )(20018*2236 kPadpp mo 4.6 应力计算中的其它一些问题 天 然 地 面原 地 下 水 位 面现 地 下 水 位 面粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,BCD求地下水位下降在D点引起的竖向附加应力。解：水位下降前 ni iicD h11 2211 hh )(25.620.4*95.1*5.17 kPa水位下降后 )(25.96)0.45.1(*5.172 kPacD )(0.3425.6225.96 kPa cDzD 水位下降引起的竖向附加应力 例题2：4.6 应力计算中的其它一些问题 天 然 地 面原 地 下 水 位 面现 地 下 水 位 面粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,BCDC 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面C 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 , 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面填 土 地 面天 然 地 面 2.5m然后垂直开挖平面尺寸为3.0*3.0m，深2.5m的基坑，求基坑中心线下6.0m处由填土和地下水位下降共同作用引起的竖向附加应力。如图所示：大面积抽取地下水后导致地下水位下降，并在天然地面上填筑3.0m厚的新填土，例 题 3：4.6 应力计算中的其它一些问题 填土不挖基坑时引起的竖向附加应力 )(540.3*181 kPahz C 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面 新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 新 填土 未固 结A 原 地 下 水 位 面Z填 土 地 面天 然 地 面现 地 下 水 位 面 z(kPa)C 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面 Z z(kPa)54.00C 粉细砂密 实 粗 砂 层 很 厚D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B 天 然 地 面填 土 地 面 z(kPa)原 地 下 水 位 面54.054.004.6 应力计算中的其它一些问题 挖基坑时引起的竖向附加应力C 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面 2.5mC 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面 2.5mC 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 原 地 下 水 位 面天 然 地 面填 土 地 面 2.5m18*2.5=45(kPa)4.6 应力计算中的其它一些问题 0.15.15.1 bl 0.45.10.6 bz 027.0*4C 粉细砂密 实 粗 砂 层 ,很 厚 ,D 现 地 下 水 位 面新 填土 未固 结B A 天 然 地 面填 土 地 面 2.5m18*2.5=45(kPa)原 地 下 水 位 面45.04.864.6 应力计算中的其它一些问题 )(86.445*027.0*42 kPaz )(0.3425.6225.96 kPacDzD 水位下降引起的竖向附加应力共同作用引起的竖向附加应力 )(14.830.3486.40.54 kPaz 4.6 应力计算中的其它一些问题 条形荷载和矩形荷载引起的附加应力计算对比i bb11bb1bb1 p o1.宽度为b的半个条形均布荷载在中心线下的端部i点可以看成是一个完整条形荷载的一半 oz p 11 ),0(*5.01 bzbf bop 4.6 应力计算中的其它一些问题 )*5.0,10(*0.21 bzf 矩形面积上均布荷载时角 点下的竖向附加应力系数也可以看成是两个宽度为b/2、长度L/0.5b10的矩形 荷载的叠加i bb p o均布条形荷载下的竖向附加应力系数。1 oz p 11 4.6 应力计算中的其它一些问题 2. 2个三角形条形荷载引起的附加应力b1 b 1boz p 22 0.2 ),2/(*5.0 1112 bzbbbf 条形面积上三角形荷载 时的竖向附加应力系数 op op看成是一个完整条形面积上三角形荷载的一半总的附加应力 21 zzz 4.6 应力计算中的其它一些问题 b1 b 1bop op21 bbpp oo )(2121 ooz pp )*5.0,10( 121 bb zf 矩形面积上三角形荷载时角点2下的竖向附加应力系数oz p 2222 )*5.0,10(22 bzf 矩形面积上三角形荷载时角点 2下的竖向附加应力系数23看成是两个宽度为b1、长度L/b110的矩形面积上三角形荷载的叠加4.6 应力计算中的其它一些问题 oz p 2323 b1 b 1bop op 32)*5.0,10(23 bzf 矩形面积上均布荷载 时角点下的竖向附加 应力系数 )(*0.2 2322212 zzzz 2个三角形条形荷载共同引起的附加应力总的附加应力 21 zzz 4.6 应力计算中的其它一些问题 习题:P864.14.24.44.34.64.5 本 课 程 中 所 有 计 算 均 可 取g=10m/s2