概率论与数理统计课件(完整版)

概 率 论 与 数 理 统 计概 率 论 与 数 理 统 计 2 1. 确 定 性 现 象 和 不 确 定 性 现 象 .2. 随 机 现 象 : 在 个 别 试 验 中 其 结 果 呈 现 出 不 确 定 性 , 在 大 量 重 复 试 验 中 其结 果 又 具 有 统 计 规 律 性 . 前 言3. 概 率 与 数 理 统 计 的 广 泛 应 用 . 3 1.随 机 试 验 E1: 抛 一 枚 硬 币 ， 观 察 正 (H)反 (T) 面 的 情 况 .E2: 将 一 枚 硬 币 抛 三 次 ,观 察 正 反 面 出 现 的 情 况 . E3: 将 一 枚 硬 币 抛 三 次 ， 观 察 出 现 正 面 的 情 况 .举 例 :E 4: 电 话 交 换 台 一 分 钟 内 接 到 的 呼 唤 次 数 .E5: 在 一 批 灯 泡 中 任 取 一 只 , 测 试 它 的 寿 命 . 4 随 机 试 验 :(1) 可 在 相 同 的 条 件 下 重 复 试 验 ;(2) 每 次 试 验 的 结 果 不 止 一 个 ,且 能 事 先 明 确 所 有 可 能 的 结 果 ;(3) 一 次 试 验 前 不 能 确 定 会 出 现 哪 个 结 果 . 5 2. 样 本 空 间 与 随 机 事 件(一 ) 样 本 空 间 :定 义 随 机 试 验 E的 所 有 可 能 结 果 组 成 的 集 合 称 为 E的 样 本 空 间 , 记 为 S. 样 本空 间 的 元 素 称 为 样 本 点 ， 用 表 示 .样 本 空 间 的 分 类 :1.离 散 样 本 空 间 :样 本 点 为 有 限 个 或 可 列 个 . 例 E1,E2等 .2.无 穷 样 本 空 间 :样 本 点 在 区 间 或 区 域 内 取 值 . 例 灯 泡 的 寿 命 t|t0. 6 (二 ) 随 机 事 件 定 义 样 本 空 间 S的 子 集 称 为 随 机 事 件 , 简 称 事 件 . 在 一 次 试 验 中 , 当 且 仅 当这 一 子 集 中 的 一 个 样 本 点 出 现 时 , 称 这 一 事 件 发 生 . 基 本 事 件 :复 合 事 件 :必 然 事 件 :不 可 能 事 件 ： 由 一 个 样 本 点 组 成 的 单 点 集 . 如 :H,T. 由 两 个 或 两 个 以 上 的 基 本 事 件 复 合 而 成 的 事 件 为 复 合 事 件 . 如 :E3中出 现 正 面 次 数 为 奇 数 . 样 本 空 间 S是 自 身 的 子 集 ， 在 每 次 试 验 中 总 是 发 生 的 ， 称 为 必 然事 件 。 空 集 不 包 含 任 何 样 本 点 , 它 在 每 次 试 验 中 都 不 发 生 ， 称 为 不 可能 事 件 。 7 例 1. 试 确 定 试 验 E2中 样 本 空 间 , 样 本 点 的 个 数 , 并 给 出 如 下 事 件 的 元 素 : 事 件A1=“ 第 一 次 出 现 正 面 ” 、 事 件 A2=“ 恰 好 出 现 一 次 正 面 ” 、 事 件 A3=“ 至 少出 现 一 次 正 面 ” . 8 （ 三 ） 事 件 间 的 关 系 与 事 件 的 运 算1.包 含 关 系 和 相 等 关 系 : BA)1( ABS若 事 件 A发 生 必 然 导 致 事 件 B发 生 ,则 称 件 B包 含 事 件 A,记 作 AB.若 A B且 A B, 即 A=B, 则 称 A与 B相 等 . 9 . , A,A B.A ,BA ,BA, .| 121 k kABABxAxxBA 的 和 事 件 记 为可 列 个 事 件 记的 和与称 为中 至 少 有 一 个 发 生即 的 和 事 件与称 为或 BAS BA (2) 2.和 事 件 :3.积 事 件 ： 事 件 A B=x|x A 且 x B称 A与 B的 积 ， 即 事 件 A与 B同 时 发 生 . A B 可 简 记 为 AB.类 似 地 , 事 件 为 可 列 个 事 件 A1, A2, .的 积 事 件 .1k KA BA S BA)3( 1 0 4.差 事 件 : 事 件 A-B=x|xA且 xB 称 为 A与 B的 差 . 当 且 仅 当A发 生 , B不 发 生 时 事 件 A-B发 生 . 即 : ABAB-A显 然 : A-A=, A- =A, A-S= A B BA)4( s 1 1 . ,不 能 同 时 发 生与 即或 互 斥 的是 互 不 相 容 的与则 称若 BA BABA BAAB5.事 件 的 互 不 相 容 (互 斥 ): 1 2 . , ,: . 且 仅 有 一 个 发 生个 发 生 中 必 然 有 一与事 件在 一 次 实 验 中即为 对 立 事 件 互 为 逆 事 件 ， 也 称与， 则 称且若 BABABASBA . ,.AB BABAAA 或 互 为 对 立 事 件 ， 则 记 为与若的 对 立 事 件 记 为6. 对 立 事 件 (逆 事 件 )： SA B AB 1 3 .ABBAABBA ；7.事 件 的 运 算 律 : ).CA()BA()CB(A );CA()BA()CB(A .BABA ;BABA 交 换 律 :结 合 律 :对 偶 律 : C.B)A(C)(BA ; CB)A(C)(BA 分 配 律 : 对 偶 律 . 1 4 则 有两 两 互 不 相 容 ，、事 件例 . CBA 不 成 立反 之ABC例 . 甲 、 乙 、 丙 三 人 各 射 击 一 次 ， 事 件 A1,A2,A3分 别 表 示甲 、 乙 、 丙 射 中 ， 试 说 明 下 列 事 件 所 表 示 的 结 果 ：. , , , , , 313221 3212121322 AAAAAA AAAAAAAAAA 1 5 3. 概 率 的 概 念一 . 古 典 定 义 ：等 可 能 概 型 的 两 个 特 点 :例 如 :掷 一 颗 骰 子 ,观 察 出 现 的 点 数 .(1) 样 本 空 间 中 的 元 素 只 有 有 限 个 ;(2) 试 验 中 每 个 基 本 事 件 发 生 的 可 能 性 相 同 .概 率 的 古 典 定 义 :对 于 古 典 概 型 , 样 本 空 间 S 1, 2, , n, 设 事 件 A包 含 S的 k 个 样 本 点 ，则 事 件 A的 概 率 定 义 为 )( nkSAAP 中 的 基 本 事 件 总 数中 的 基 本 事 件 数 1 6 古 典 概 型 概 率 的 计 算 步 骤 :(1) 选 取 适 当 的 样 本 空 间 S, 使 它 满 足 有 限 等 可 能 的 要 求 , 且 把 事 件 A表 示 成 S的 某 个 子 集 .(2) 计 算 样 本 点 总 数 n及 事 件 A包 含 的 样 本 点 数 k.(3) 用 下 列 公 式 计 算 : )( nkSAAP 中 的 基 本 事 件 总 数中 的 基 本 事 件 数 1 7 例 1. 袋 中 装 有 4只 白 球 和 2只 红 球 . 从 袋 中 摸 球 两 次 ,每 次 任 取 一 球 .有 两 种 式 : (a)放 回 抽 样 ; (b)不 放 回 抽 样 .求 : (1)两 球 颜 色 相 同 的 概 率 ; (2)两 球 中 至 少 有 一 只 白 球 的 概 率 .例 2. 设 一 袋 中 有 编 号 为 1,2,9的 球 共 9只 , 现 从 中 任 取 3只 , 试 求 :(1)取 到 1号 球 的 概 率 ,（ 事 件 A）(2)最 小 号 码 为 5的 概 率 .（ 事 件 B） 1 8 例 3. 某 接 待 站 在 某 一 周 曾 接 待 过 12次 来 访 , 且 都 是 在 周 二 和 周 四 来 访 . 问 是 否可 以 推 断 接 待 时 间 是 有 规 定 的 ?实 际 推 断 原 理 :“ 小 概 率 事 件 在 一 次 试 验 中 实 际 上 是不 可 能 发 生 的 ” . 1 9 二 、 几 何 定 义 :定 义 , , , 0 ( ) ,. m 若 对 于 一 随 机 试 验 每 个 样 本 点 出 现 是 等 可 能 的样 本 空 间 所 含 的 样 本 点 个 数 为 无 穷 多 个 且 具 有 非零 的 有 限 的 几 何 度 量 即 则 称 这 一 随 机试 验 是 一 几 何 概 型 的 2 0 定 义 当 随 机 试 验 的 样 本 空 间 是 某 个 区 域 ,并 且 任 意 一 点 落 在 度 量 (长 度 , 面 积 , 体 积 ) 相 同 的 子 区 域 是 等 可 能 的 ,则 事 件 A 的 概 率 可 定义 为 )( )()( m AmAP 说 明 当 古 典 概 型 的 试 验 结 果 为 连 续 无 穷 多 个 时 ,就 归 结 为 几 何 概 率 . .) )(,)( 几 何 概 率规 定 的 概 率 称 为 量 来 合 理这 样 借 助 于 几 何 上 的 度的 子 区 域 的 度 量 是 构 成 事 件是 样 本 空 间 的 度 量其 中 AAmm 2 1 例 1 甲 、 乙 两 人 相 约 在 0 到 T 这 段 时 间 内 , 在 预定 地 点 会 面 . 先 到 的 人 等 候 另 一 个 人 , 经 过 时 间 t( t0)的 一 些 平 行 直线 ,现 向 此 平 面 任 意 投 掷 一 根 长 为 l ( 0, 称 P(A)P(AB)A)|P(B 为 在 事 件 A发 生 的 条 件 下 事 件 B发 生 的 条 件 概 率 . 3 0 2. 性 质 : 条 件 概 率 符 合 概 率 定 义 中 的 三 个 条 件 , 即 0.A)|P(B1 B, 10 有对 于 每 一 个 事 件1.A)|P(S 20 .A)|P(B)A|BP( , ,B ,B 3 1i i1i i210 则两 两 互 不 相 容设此 外 , 条 件 概 率 具 有 无 条 件 概 率 类 似 性 质 .例 如 ：0.A)|P( (1) 则两 两 互 不 相 容 ,B , ,B,B (2) n21 设 .A)|P(BA)|BP( n 1i in1i i 3 1 ).A|B(P1)A|BP( (3) A).|P(BC- A)|P(C A)|P(BA)|CP(B (4) 当 A S时 , P(B S)=P(B), 条 件 概 率 化 为 无 条 件 概 率 , 因 此无 条 件 概 率 可 看 成 条 件 概 率 .计 算 条 件 概 率 有 两 种 方 法 : 然 后 按 公 式 计 算先 计 算 P(AB), P(A), .P(A)P(AB)A)|P(B 1. 公 式 法 ： 3 2 2. 缩 减 样 本 空 间 法 ： 在 A发 生 的 前 提 下 , 确 定 B的 缩 减 样 本 空 间 , 并 在 其 中 计 算 B发 生的 概 率 , 从 而 得 到 P(B|A).例 2. 在 1, 2, 3, 4, 5这 5个 数 码 中 , 每 次 取 一 个 数 码 , 取 后 不 放 回 , 连 取两 次 , 求 在 第 1次 取 到 偶 数 的 条 件 下 , 第 2次 取 到 奇 数 的 概 率 . 3 3 (二 ) 乘 法 公 式 : A).|P(A)P(BP(AB) 0,P(A) , 则 有立 即 可 得由 条 件 概 率 定 义P(AB)0, 则 有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一 般 , 设 A1, A2, ,An是 n个 事 件 ,(n2),P(A1A2 .An-1)0, 则 有 乘 法 公 式 :P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2) P(A n|A1A2An-1). 3 4 r只 红 球 t只 白 球 例 3. 每 次 任 取 一 只 球 观 察 颜 色后 , 放 回 , 再 放 回 a只 同 色球在 袋 中 连 续 取 球 4次 , 试 求 第 一 、 二 次 取 到 红 球 且 第 三 、 四 次 取 到白 球 的 概 率 . 3 5 (三 ) 全 概 率 公 式 和 贝 叶 斯 公 式 :1. 样 本 空 间 的 划 分 : B , ,B ,B : n21 一 组 事 件 满 足若定 义 n,., 2, 1,j i, j,i ,BB (i) ji ,SB (ii) n 1i i .S B ,B ,B n21 的 一 个 划 分本 空 间 为 样则 称 SB1 B2B3.Bn(1) 若 B1,B2,Bn是 样 本 空 间 S的 一 个 划 分 ,则 每 次 试 验 中 , 事 件 B1, B2, , Bn 中 必 有 一个 且 仅 有 一 个 发 生 . .BB , B ,B ,SB ,B ,2n )2( 21 2121 即对 立 事 件 为则的 一 个 划 分为时当 3 6 2. 全 概 率 公 式 : 则的 事 件为 的 一 个 划 分为设 ,EA n), 2, 1,(i0,)P(B ,SB ,B ,B in21 n1i ii )B|)P(AP(BP(A) 称 为 全 概 率 公 式 .3. 贝 叶 斯 公 式 : n. ., 2, 1,i,)B|)P(AP(B )B|)P(AP(BA)|P(B ,0)( 0,)P(B,., n1j jj iii i21 则 有是 一 个 随 机 事 件 且 且的 下 个 划 分是 样 本 空 间设 APA SBBB n 3 7 例 4. 某 电 子 设 备 厂 所 用 的 晶 体 管 是 由 三 家 元 件 制造 厂 提 供 的 ,数 据 如 下 :元 件 制 造 厂 次 品 率 提 供 的 份 额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05(1) 任 取 一 只 晶 体 管 ,求 它 是 次 品 的 概 率 .(2) 任 取 一 只 ,若 它 是 次 品 ,则 由 三 家 工 厂 生 产 的 概率 分 别 是 多 少 ? 3 8 例 5. 对 以 往 数 据 分 析 结 果 表 明 , 当 机 器 调 整 得 良 好时 , 产 品 的 合 格 率 为 90%,而 当 机 器 发 生 某 一 故 障 时 ,其 合 格 率 为 30%, 每 天 早 晨 机 器 开 动 时 机 器 调 整 良好 的 概 率 为 75%, 试 求 已 知 某 日 早 上 第 一 件 产 品 是合 格 品 时 , 机 器 调 整 得 良 好 的 概 率 是 多 少 ? 3 9 1.6 独 立 性设 A,B是 试 验 E的 两 事 件 ,当 P(A)0, 可 以 定 义 P(B|A).P(A)P(AB)A)|P(B 一 般 地 , P(B|A)P(B), 但 当 A的 发 生 对 B的 发 生 的 概率 没 有 影 响 时 ,有 P(B|A)=P(B),由 乘 法 公 式 有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例 如 设 试 验 E为 掷 甲 、 乙 两 枚 硬 币 ， 观 察 正 反 面 出 现 情 况 . 设 A“甲 币 出 现H”, B“乙 币 出 现 H”, 试 求 :B发 生 的 条 件 下 ， A发 生 的 概 率 ； A发 生 的 概 率 .1. 定 义 : 设 A,B是 两 事 件 ,如 果 满 足 等 式 P(AB)=P(A)P(B),则 称 事 件 A与 事 件 B是 相 互 独 立 的 事 件 . 4 0 由 定 义 可 知 :1) 零 概 率 事 件 与 任 何 事 件 都 是 相 互 独 立 的 .2) 由 对 称 性 , A,B相 互 独 立 , 必 有 B, A 相 互 独 立 .2.定 义 推 广 : 设 A1, A2, , An是 任 意 的 1ij n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则 称 这 n个 事 件 两 两 相 互 独 立 .如 果 对 于 任 意 的 k(kn), 任 意 的 1i1i20,则 A,B相 互 独 立 的 充 要 条 件 是 : P(B|A)=P(B). BA B,A ,BBA, (1)相 互 独 立 也与与与则相 互 独 立若 A,有 关 结 论 : . B A,B A, 0,P(B) 0,P(A) )2(不 相 容 不 能 同 时 成 立 互相 互 独 立 与则 4 2 三 . 利 用 独 立 性 计 算 古 典 概 率 :1. 计 算 相 互 独 立 的 积 事 件 的 概 率 ： 若 已 知 n个 事 件 A1, A2, , An相 互 独 立 ， 则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2 计 算 相 互 独 立 事 件 的 和 的 概 率 ：若 已 知 n个 事 件 A1, A2, , An相 互 独 立 ， 则 )()()(1) 2121 nn APAPAPAA 例 1. 两 架 飞 机 依 次 轮 番 对 同 一 目 标 投 弹 , 每 次 投 下 一 颗 炸 弹 , 每架 飞 机 各 带 3颗 炸 弹 , 第 1架 扔 一 颗 炸 弹 击 中 目 标 的 概 率 为 0.3, 第 2架 的 概 率 为 0.4, 求 炸 弹 未 完 全 耗 尽 而 击 中 目 标 的 概 率 。 4 3 例 2. 设 有 8个 元 件 ,每 个 元 件 的 可 靠 性 均 为 p(元 件 能正 常 工 作 的 概 率 ), 按 如 下 两 种 方 式 组 成 系 统 , 试 比较 两 个 系 统 的 可 靠 性 . A1 B1 A2 B2 B3 B4 A3 A4系 统 二 :先 并 联 后 串 联系 统 一 :先 串 联 后 并 联A1B 1 A2B2 A3B3 A4B4 4 4 例 3. 100件 乐 器 ,验 收 方 案 是 从 中 任 取 3件 测 试 (相 互 独 立 的 ), 3件 测 试后 都 认 为 音 色 纯 则 接 收 这 批乐 器 ,测 试 情 况 如 下 : 经 测 试 认 为 音 色 纯 认 为 音 色 不 纯乐 器 音 色 纯 0.99 0.01乐 器 音 色 不 纯 0.05 0.95若 100件 乐 器 中 恰 有 4件 音 色 不 纯 ,试 问 :这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多 少 ? 4 5 第 一 章 习 题 课一 、 主 要 内 容 :样 本 空 间 随 机 事 件 概 率 定 义 及 性 质古 典 概 型 条 件 概 率 全 概 率 公 式Bayes公 式 事 件 的 独 立 性 4 6 二 、 课 堂 练 习 :1.选 择 题 :(1)当 事 件 A与 B同 时 发 生 ,事 件 C必 发 生 ,则 有 ( )(A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(A B)(C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1 P(A)P(B)P(AB) (D) P(A)P(B)P(AB) (C) B)|AP(B)|P(A (B) )B|AP(B)|P(A (A) ) ( ),A|P(BA)|P(B0,P(B)1,P(A)0 (2) 则 必 有设 4 7 2. 填 空 题 ： . B)|P(A, )BAP( 0.5,P(B) 0.1,P(A)B,A (1) 则 设(2) 设 两 个 事 件 A, B相 互 独 立 , A, B都 不 发 生 的 概 率为 1/9, A发 生 而 B不 发 生 的 概 率 与 B发 生 而 A不 发 生的 概 率 相 等 , 则 P(A)=_. . )BP(A ,B A, , )B|P(A,B A, 1),ba, (0b,P(B) a,P(A),BA, )3( 则相 互 独 立若 则互 不 相 容若 为 两 事 件设3.计 算 题 ： 4 8 1. 设 甲 箱 中 有 a只 白 球 ， b只 黑 球 ， 乙 箱 中 有 c只 白 球 ， d只 黑 球 ， 从 甲 箱 中 任取 一 球 放 入 乙 箱 中 ， 然 后 从 乙 箱 中 任 取 一 球 ， 试 求 从 乙 箱 中 取 得 白 球 的 概 率 。2. 有 n个 不 同 (可 辨 别 )的 球 ， 每 个 球 都 以 同 样 的 概 率 1/N被 投 到 N (nN)个 箱 子 中 的 每 一 箱中 ， 试 求 下 列 事 件 的 概 率 ： (1) 某 指 定 的 n个 箱 子 中 各 一 球 (A) (2) 恰 有 n个 箱 ， 其 中 各 有 一 球 (B) (3) 某 指 定 箱 中 恰 有 m(m n)个 球 (C) (4) 恰 有 k个 箱 子 ， 其 中 有 m个 球 (D). 3. 在 一 个 盒 子 中 混 有 新 旧 两 种 乒 乓 球 ， 新 的 有 白 球 40个 ， 红 球 30个 ， 旧 球 中 有 白 球 20个 ，红 球 10个 ， 在 这 个 盒 子 中 任 取 一 球 ， 发 现 是 新 的 ， 求 这 个 球 是 白 球 的 概 率 . 4 9 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 2.1 随 机 变 量 X, THH,TS因 而 引 入 以 下 变 量及 理 论 的 研 究 不 便 于 计 算不 是 数 量与抛 硬 币 试 验 中例 , , , 1. 即 X(e)是 定 义 在 样 本 空 间 S上 的 一 个 实 函 数 ,对 于 不 同 的 试 验 结 果 e, X取 不 同的 值 , 由 于 试 验 前 不 能 预 料 e的 取 值 , 因 而 X取 1还 是 取 0也 是 随 机 的 , 故 称 X(e)为 随 机 变 量 。 H.e1, Te0,)( ，eXX例 2. 测 试 灯 泡 寿 命 试 验 , 其 结 果 是 用 数 量 表 示的 . 记 灯 泡 的 寿 命 为 X, 则 X是 定 义 在 样 本 空 间S=e=t|t0上 的 函 数 , 即X=X(e)=t, e=t S. 5 0 X(e)ReS1. 定 义 : 设 随 机 试 验 E的 样 本 空 间 是 S=e, 若 对 于 每 一 个e S, 有 一 个 实 数 X(e)与 之 对 应 , 即 X(e)是 定 义 在 S上 的 单值 实 函 数 ， 称 为 随 机 变 量 。 简 记 为 r.v.(1) 可 用 随 机 变 量 X描 述 事 件 . 例 掷 一 颗 骰 子 , 设 出 现 的 点 数 记 为 X, 事 件 A为 “ 掷出 的 点 数 大 于 3” , 则 A可 表 示 为 “ X3”. 反 过 来 , X的 一 个 变 化 范 围 表 示 一 个 随 机 事 件 :“ 2X5”表 示 事 件 “ 掷 出 的 点 数 大 于 2且 小 于 5” . 5 1 2. 分 类 ：(2) 随 机 变 量 随 着 试 验 的 结 果 而 取 不 同 的 值 ,在 试 验 之 前 不 能 确 切 知 道 它 取什 么 值 , 但 是 随 机 变 量 的 取 值 有 一 定 的 统 计 规 律 性 概 率 分 布 .(1) 离 散 型 随 机 变 量 ;(2) 非 离 散 型 随 机 变 量 10 连 续 型 随 机 变 量20 奇 异 型 随 机 变 量若 随 机 变 量 全 部 可 能 取 到的 值 是 有 限 多 个 或 可 列 无限 多 个 。 5 2 2.2 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布:r.v. 1. 的 分 布 律离 散 型 ,.)3,2,1(xr.v. k kX所 有 可 能 取 值 为设 离 散 型 ) (,. , kp)x P(X kk 121 ,p,.,且, k满足:pp k kkk 1210 1 .r.v.X(1) 的 概 率 分 布 或 分 布 律式 为 离 散 型则 称 :(1)式 也 可 用 表 格 形 式 表 示X x1 x2 xn pk p1 p2 pn . 5 3 2. 求 分 布 律 的 步 骤 :(1) 明 确 X的 一 切 可 能 取 值 ;(2) 利 用 概 率 的 计 算 方 法 计 算 X取 各 个 确 定 值 的 概 率 , 即 可 写 出 X的 分 布 律 .例 1. 设 一 汽 车 在 开 往 目 的 地 的 道 路 上 需 经 过 四 盏 信 号 灯 ,每 盏 信 号 灯 以 概 率 p禁 止 汽 车 通 过 , 以 X表 示 汽 车 首 次 停 下 时 已 通 过 信 号 灯 的 盏 数 , 求 X的 分 布律 .(设 各 信 号 灯 的 工 作 是 相 互 独 立 的 ).例 2. 袋 中 装 有 4只 红 球 和 2只 白 球 ,从 袋 中 不 放 回 地 逐 一 地 摸 球 , 直 到 第 一 次 摸出 红 球 为 止 ,设 X表 示 到 第 一 次 摸 出 红 球 时 所 摸 的 次 数 , 求 X的 分 布 律 . 5 4 3.几 种 重 要 的 离 散 型 r.v.的 分 布 律 ： X 0 1 pk 1-p p 其 中 0p1,PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1.(一 ) 0-1分 布(二 ) 贝 努 利 试 验 (二 项 分 布 ) . ,nE ,p p :为 贝 努 利 试 验 这 样 的 试 验 称次独 立 重 复 地 进 行将 试 验 且与只 有 两 个 可 能 结 果设 试 验定 义 )10()A(P ,AAE 5 5 例 1. 设 X是 n重 贝 努 利 试 验 中 事 件 A发 生 的 次 数 , 成 功 的 概 率 为 p,则 X是 一 个 随机 变 量 , 我 们 来 求 它 的 分 布 律 . 若 n=4, 求 :PX=k， k=0, 1, 2, 3, 4.当 n=1时 , PX=k=p k(1-p)1-k, k=0, 1, 即 为 0-1分 布 .结 论 : n., . 2, 1, 0,k ,p)(1p)(kXP knknk 称 X服 从 参 数 为 n, p的 二 项 分 布 , 记 为 Xb(n,p).设 X是 n重 贝 努 利 试 验 中 事 件 A发 生 的 次 数 , 成 功 的 概 率 为 p,则 它 的 分 布 律 为 ： 5 6 例 2.某 种 电 子 元 件 的 使 用 寿 命 超 过 1500小 时 为 一 级 品 , 已 知 一 大 批 该 产 品 的 一级 品 率 为 0.2, 从 中 随 机 抽 查 20只 , 求 这 20只 元 件 中 一 级 品 只 数 X的 分 布 律 .例 3. 某 人 进 行 射 击 , 每 次 命 中 率 为 0.02, 独 立 射 击 400次 , 试 求 至 少 击 中 两 次的 概 率 . 5 7 (三 ) 泊 松 分 布 (Poisson) ).()( . ,0 , . ,2 ,1 ,0,! PX X kkekXPX k或记 为分 布 的 泊 松服 从 参 数 为则 称是 常 数其 中 的 分 布 为若 0k kPX (1) 0k k !ke 0k k!ke .1ee (2)泊 松 分 布 有 很 多 应 用 . (3)二 项 分 布 与 泊 松 分 布 之 间 的 关 系 . 5 8 泊 松 (Poisson)定 理 ： 则设 随 机 变 量 序 列 ),( X, n nn pnbX ,!)1(limlim keppknkXP kknnknnnn . ,0 为 任 一 固 定 的 非 负 整 数其 中 k np n 泊 松 定 理 的 意 义 ：1. 在 定 理 的 条 件 下 , 二 项 分 布 的 极 限 分 布 是 泊 松 分 布 .2. 当 n很 大 且 p又 较 小 时 , knk p1p kn ,!kek ,np其 中. 近 似 计 算 公 式这 就 是 二 项 分 布 的 概 率 5 9 ),02.0,400(bX,3中在 例 np ,802.0400 1XP0XP12XP .)98.0()02.0(400)98.0(1 399400 .997.0e8e1 88 例 5. 设 有 同 类 型 设 备 300台 , 各 台 工 作 是 相 互 独 立 的 , 发 生 故 障 的 概 率 都 是0.01, 设 一 台 设 备 的 故 障 由 一 个 人 处 理 , 问 至 少 需 配 备 多 少 工 人 , 才 能 保 证 当设 备 发 生 故 障 但 不 能 及 时 维 修 的 概 率 小 于 0.01? 6 0 (四 ) 几 何 分 布 进 行 重 复 独 立 试 验 , 设 每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 失 败 的 概 率 为 1-p=q (0p1), 将 试 验 进 行 到 出 现 一 次 成 功 为 止 , 以 X表 示 所 需 的 试 验 次 数 , 则 X的分 布 律 为 : PX=k=qk-1p, k=1, 2, 称 为 X服 从 参 数 为 p的 几 何 分 布 .例 设 某 种 社 会 定 期 发 行 的 奖 券 ,每 券 1元 ,中 奖 率 为 p, 某 人 每 次 购 买 1张 奖 券 , 如 果 没 有 中 奖 下 次 继 续 再 买 1张 , 直 到 中 奖 止 , 求 购 买 次 数 X的 分 布 律 .若 该 人 共 准 备 购 买 10次 共 10元 钱 , 即 如 果 中 奖 就 停 止 , 否 则 下 次 再 购 买 1张 , 直到 10元 共 花 完 为 止 ,求 购 买 次 数 Y的 分 布 律 . 6 1 3 随 机 变 量 的 分 布 函 数1. 定 义 ： 设 r.v. X, xR1, 则 F(x)=P Xx 称 为 X的 分 布 函 数 .(2) 无 论 是 离 散 型 r.v.还 是 非 离 散 型 r.v. ,分 布 函 数 都 可 以 描 述 其 统 计 规律 性 .(1) P x1x1, F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.(3) F(x)至 多 有 可 列 个 间 断 点 , 而 在 其 间 断 点 上 也 是 右 连 续 的 ,F(x+0)=F(x). 6 2 例 1. 离 散 型 r.v., 已 知 分 布 律 可 求 出 分 布 函 数 .X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求 ： X的 分 布 函 数 , 并 求 P X1/2, P3/2X5/2. .pxF(x) . 2, 1,k ,pxX .x X , r.v. x:xk kkk k k PXP X则 分 布 函 数 为 若 分 布 律处 有 一 个 跃 度每 个 可 能 值 的在的 分 布 函 数 是 阶 梯 函 数离 散 型反 之 ， 若 已 知 分 布 函 数 求 分 布 律 用 如 下 公 式 求 解 ： ).0()( kkkk xFxFxXPp 6 3 .X 1 ,1 10 ,43 01 ,41 1 ,0)( X 2的 分 布 律求 当当当当的 分 布 函 数 为设例 x x xxxF 6 4 4. 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 , ,f(x),F(x).: .1 有对 于 任 意 的 实 数 使存 在 非 负 函 数的 分 布 函 数对 于定 义 xXvr x f(t)dt F(x) 则 称 X为 连 续 型 r.v. f(x)称 为 X概 率 密 度 函 数 , 简 称 概 率 密 度 .:(x)2. 的 性 质概 率 密 度 f .0 (1) f(x) . 1)( (2) - dxxf连 续 型 r.v.的 分 布 函 数 是 连 续 函 数 ,这 种 r.v. 的 取 值 是 充 满 某 个 区 间的 . )( ,)()()( )3( 21 1221 21xx dxxfxFxFxXxP xx 6 5 ,lim )()(lim)( ).()(,)( (4) 00 x xxXxPx xFxxFxf xfxFxxf xx 则 有处 连 续在 点若 .x)x(, fxxXxPx 有很 小 时上 式 可 知 当例 1. 一 个 靶 子 是 半 径 为 2米 的 圆 盘 ,设 击 中 靶 上 任 一 同 心 圆 盘 上 的 点 的 概 率 与该 圆 盘 的 面 积 成 正 比 , 并 设 射 击 都 能 击 中 靶 , 以 X表 示 弹 着 点 与 圆 心 的 距 离 . 试 求 X的 分 布 函 数 . .1.0, 00 0)( .2 3 XPk , x , xkexf X x并 求试 确 定 常 数 具 有 概 率 密 度设 随 机 变 量例 6 6 . ,0 00 01)( 的 指 数 分 布服 从 参 数 为称 则若 概 率 密 度 为 X ., x , xexf x 负 指 数 分 布3. 关 于 连 续 型 r.v.的 一 个 重 要 结 论 :定 理 : 设 X为 连 续 型 r.v. 它 取 任 一 指 定 的 实 数 值 a的 概 率 均 为 0. 即PX=a=0. 6 7 4.几 个 常 用 的 连 续 型 r.v.分 布(一 )均 匀 分 布 : :,b,aX 且 概 率 密 度 为上 取 值在 区 间设 随 机 变 量 . ,0 , ,1)( 其 它 bxaabxf则 称 随 机 变 量 X在 (a,b)上 服 从 均 匀 分 布 ,记 作 XU(a,b).则若 ),b,a(UX dcXcP dcc dxab1 ,abd . ,1 , ),()( , ,0)( bx bxaabax axxF分 布 函 数 为 : 6 8 (二 ) 正 态 分 布 : ).,(, ,)0(, ,21)( )1( 2 2 )( 2 2 NX X xex f X x记 作布 的 正 态 分服 从 参 数 为则 称为 常 数其 中 的 概 率 密 度 为设 随 机 变 量 :其 图 像 为 6 9 .t21)( 2 22 )t( dexF x 分 布 函 数性 质 : .hXP Xh-P 0h ,x 10 有这 表 明 对对 称曲 线 关 于 . 21)( .x 20 f时 取 最 大 值当(2)标 准 正 态 分 布 : ).1,0(NX,X ,tde21(x) ,e21)x(,1,0 x 2t2x 22记服 从 标 准 正 态 分 布则 称 时当 . ,)x(),x(1)x(其 表 已 列 出 供 查 用 即 标 准 正 态 分 布 函 数其 中 7 0 引 理 : ).1,0(NXZ),N(X 2 则若 有对 于 任 意 区 间 ,( 21 xxP 21 xXx 21 xXxP )()( 12 xx :)(),( 2 可 写 成它 的 分 布 函 数若 xFNX )( xXPxF xXP .)( x求设例 如 ),4,1(, NX 6.10 XP 7 1 例 设 某 商 店 出 售 的 白 糖 每 包 的 标 准 全 是 500克 ,设 每 包 重 量 X(以 克 计 )是 随 机变 量 ,XN(500,25),求 :(1) 随 机 抽 查 一 包 , 其 重 量 大 于 510克 的 概 率 ;(2) 随 机 抽 查 一 包 , 其 重 量 与 标 准 重 量 之 差 的 绝 对 值 在 8克 之 内 的 概 率 ;(3 求 常 数 c,使 每 包 的 重 量 小 于 c的 概 率 为 0.05.(1) 由 (x)=0.05怎 样 查 表 求 x的 值 ?(2) 服 从 正 态 分 布 N(, 2)的 r.v. X之 值 基 本 上 落 入 -2, +2之 内 , 几 乎 全 部 落 入 -3, +3内 .特 别 强 调 N(0,1)的 情 况 在 计 算 中 的 应 用 . 7 2z (x)0(3) 标 准 正 态 分 布 的 上 分 位 点 :满 足 条 件若设 zNX ),1,0( ,10 , zXP ,分 位 点为 标 准 正 态 分 布 的 上则 称 点 z 表 可 知由 查 标 准 正 态 分 布 函 数 .975.0)96.1(,95.0)645.1( 即z0.05 =1.645, z0.025 =1.96 ( (x)=P(Xx) ) 7 3 (三 ) 负 指 数 分 布 :1. 定 义 : 如 果 连 续 型 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 :, 0,( ) 0.0, 0,xe xf x x 则 称 X服 从 参 数 为 的 负 指 数 分 布 ,记 为 X(). 7 42. 特 例 : (1,) 是 参 数 为 的 指 数 分 布 . 3. 伽 玛 函 数 的 性 质 :(i) (+1)= (); (ii) 对 于 正 整 数 n, (n+1)=n!;.)21()iii( (四 ) 伽 玛 分 布 :如 果 连 续 型 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 :1. 定 义 : ).,(, ,)(,0,0, 0.x ,0 ,0,)()( 0 11 XX dxexxexxf xx简 记服 从 伽 玛 分 布则 称 伽 玛 函 数 为为 参 数其 中 7 5 5. 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布一 、 X为 离 散 型 r.v.例 1.设 X具 有 以 下 的 分 布 律 ,求 Y=(X-1)2分 布 律 : X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 7 6(2) 若 g(x1),g(x2), 中 不 是 互 不 相 等 的 , 则 应 将 那 些 相 等 的 值 分 别 合 并 , 并 根 据概 率 加 法 公 式 把 相 应 的 pi相 加 , 就 得 到 了 Y的 概 率 分 布 律 . 1. 离 散 r.v.分 布 函 数 的 概 率 分 布 的 求 法 :设 X的 概 率 分 布 如 下 表 : X x1 x2 xk PX=xi) p1 p2 pk .(1) 记 yi=g(xi)(i=1,2,)yi的 值 也 是 互 不 相 同 的 , 则 Y的 概 率 分 布 如 下 表 : Y y1 y2 yk PY=yi) p1 p2 pk . 7 7 二 、 X为 连 续 型 r.v. .82 , 0, ,40 ,8)( r.v. .2 的 概 率 密 度求其 它具 有 概 率 密 度设例 XYxxxf XX1. “ 分 布 函 数 法 ” :(1) 先 求 出 Y的 分 布 函 数 : FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG,其 中 G=x:g(x) y,转 化 为 关 于 X的 事 件 , 再 利 用 X 的 分 布 函 数 表 示 .(2)对 y求 导 得 到 Y的 概 率 密 度 :f Y(y)=FY(y). 7 8 .XY ,- ),(X .3 2 X的 概 率 密 度求 的 概 率 密 度 为设例 xxf其 概 率 密 度 为设例 如 1), N(0,X , ,-e21)( 2- 2 xx x的 概 率 密 度 为则 2XY 0,y 0, ,0 ,ey21)( 2y-21-Y yyf .1Y 2分 布的服 从 自 由 度 为此 时 称 7 9 . , 0 , |,)(|)()( 其 它当 yyhyhfyf XY(1) 若 f(x)在 有 限 区 间 a, b以 外 等 于 零 , 则 只 需 假设 在 a, b上 g(x)严 格 单 调 , 选 取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).2.公 式 法 ：定 理 :设 X是 连 续 型 r.v., 具 有 概 率 密 度 f(x),设 y=g(x)是 x的 严 格 单 调 函 数 , 且 反函 数 x=h(y)具 有 连 续 的 导 函 数 . 当 g(x)严 格 增 加 时 , 记 =g(-), =g(+); 当 g(x)严 格 减 少 时 , 记 =g(+), =g(-),则 Y的 概 率 密 度 为 : 2 定 理 中 条 件 y=g(x)是 X的 严 格 单 调 函 数 是 相 当苛 刻 的 ,许 多 常 见 的 函 数 都 不 能 满 足 , 因 此 ,求 随 机变 量 的 函 数 的 分 布 时 , 只 能 按 “ 分 布 函 数 法 ” 直 接求 解 . 8 0 .2可 由 定 理 直 接 解 出例 .xy3 2并 不 是 严 格 单 调 函 数不 能 由 定 理 直 接 得 出 因但 例 例 4. r.v.XN(, 2), 证 明 X的 线 性 函 数 Y=aX+b (a0)也 服 从 正 态 分 布 . 8 1 第 二 章 习 题 课 一 . 主 要 内 容二 . 课 堂 练 习1. 甲 ， 乙 两 名 篮 球 队 员 独 立 地 轮 流 投 篮 ， 直 到 某 人 投 中 为 止 ， 今 设 甲 投 中的 概 率 为 0.4,乙 投 中 的 概 率 为 0.6, 求 甲 队 员 投 篮 次 数 的 分 布 律 (设 甲 先 投 ). .)3( )1,0()2()1( ,)(.3 . 0,0 0,)( .2 |2/2的 分 布 函 数 内 的 概 率落 在 区 间系 数求 的 概 率 密 度 为设 和求 系 数 的 分 布 函 数 为已 知X XA； xAexfXvr BA x xBeAxFXvr xx 8 2.cos 2,2.6 . 1 1)(.,0)3( ;,0)2(;)1(.5 .sin)( 23,0)3( ;,0)2( ;2,0)1(.4 2的 概 率 密 度 求上 服 从 均 匀 分 布在 区 间设 随 机 变 量 分 布 函 数可 否 为 某 一 随 机 变 量 的 验 证 函 数其 它 情 况 适 当 定 义 其 它 情 况 适 当 定 义如 果 的 概 率 密 度是 否 为 连 续 型 随 机 变 量验 证 函 数的 一 切 可 能 取 值 为如 果 XY ，X xxFx xx XxxfX 8 3 第 三 章 多 维 随 机 变 量 及 其 分 布 1 二 维 随 机 变 量1. 二 维 r.v.定 义 : 设 E是 一 个 随 机 试 验 , 样 本 空 间 是 S=e,设 X=X(e)和 Y=Y(e)是 定 义 在 S上 的 r.v., 由 它 们 构 成 的 一 个 向 量 (X, Y), 叫 做 二 维 r.v.2. 二 维 r.v.(联 合 )分 布 函 数 : . r.v. ,r.v. yx,yxy x, y, x, 的 联 合 分 布 函 数和 或 称 为的 分 布 函 数称 为 二 维 二 元 函 数对 于 任 意 的 实 数Y X(X, Y) YPX)(Y)P(X)F( 8 4 若 将 (X, Y)看 成 平 面 上 随 机 点 的 坐 标 , 则 分 布 函 数 F(x,y)的 值 为 (X,Y)落 在 阴 影部 分 的 概 率 (如 图 1) 的 概 率 为图则 随 机 点 落 在 矩 形 域 yy;xx)2( 2121 YX 图 1 图 2yYy;xXxP 2121 )y ,xF()y,(x)-Fy ,x)-F(y,xF( 11122122 二 维 r.v.的 分 布 函 数 的 基 本 性 质 与 一 维 r.v.的 分 布 函数 F(x)的 性 质 类 似 , 此 处 从 略 . 8 5 3. 下 面 分 别 讨 论 二 维 离 散 型 和 连 续 型 r.v. ,1 p 0,p 321j i, ,py,x r.v.r.v. ijij ijji i j , , YPX(X, Y)(X,Y)则 有记 为 离 散 型则 称 对 或 可 列 多 对的 所 有 可 能 取 值 是 有 限若 二 维 (一 ) 二 维 离 散 型 r.v. .Yr.v.X ,(X, Y)r.v. 3, 2, 1j i, ,pyY,xPX ijji 的 联 合 分 布 律和或的 分 布为 离 散 型则 称 8 6 例 1. 设 r.v. X在 1, 2, 3, 4四 个 整 数 中 等 可 能 地 取 值 , r.v. Y则 在 1X中 等 可 能 地取 一 整 数 , 试 求 (X, Y)的 分 布 律 . .j i,yy x,x py x,: , ji x ijji 求 和的即 对 一 切 满 足表 示 为 则 分 布 函 数 可的 分 布 律若 已 知 ,)F(X, Y) yyx 8 7 (二 ) 二 维 连 续 型 r.v. .YX , ),()y x,( , v. r. dudv,v u, , : )1( y- x-的 联 合 概 率 密 度和或 称 为概 率 密 度 的称 为其 中 非 负 函 数连 续 型 的 二 维 为则 称若定 义 YXf (X, Y) )f(y)F(x ;1),(dxdyy x,2 - -0 F)f( ;yx,yx )yx,( ,y x,y x, 3 20 )f(F )()F( 则 有点 连 续在 点若 :y x, 2 的 性 质)f()( 0;y x, 1 0 )f( 8 8 G y)dxdy.f(x, :G y) (x, ,xoyG G) P(X, Y40内 的 概 率 为在 落点平 面 上 的 一 个 区 域是设二 维 连 续 型 r.v. (X, Y)落 在 平 面 G上 概 率 , 就 等 于 密 度 函 数 f(x, y)在 G上 的 积 分 , 这 就 将 概 率 的 计 算 转 化 为 一 个 二 重 积 分 的 计 算 了 . .X)3( );()2( ;)1(: , 0, 0,0Ae)( Y) r.v.(X, 2. 2 YP x,yFA , y, xx, yf y)x-(概 率 分 布 函 数常 数求 其 它具 有 概 率 密 度设 二 维例 8 9 2. 边 缘 分 布 一 、 边 缘 分 布 函 数 ： )2.2 ( ) y ,F()y( F )1.2) ( x,F(Y x,PXxPX)x(F . YX)(X, Yr.v. (y),F (x),F , r.v.,YX,)yx,F( , ,(X, Y)r.v. YXY X 同 理数 的 边 缘 分 布 函和 关 于关 于称 为 二 维 记 为分 别 也 有 分 布 函 数都 是和而 具 有 分 布 函 数它 作 为 一 个 整 体对 于 二 维二 、 边 缘 分 布 律 ： ,xXP)x(FXr.v. ,p )x,F()x(F )1.2( , r.v.(X, Y) xx iXxx 1j ijX ii 的 分 布 函 数 为又 有由为 二 维 离 散 型设 9 0 xPX :X i的 分 布 律 为可 知 ,2,1i,pp i1j ij :Y , 的 分 布 律 为同 理 的 边 缘 分 布 律和 关 于 关 于为和分 别 称 YX (X, Y) 2, 1,(j ,p ,) 2, ,1i( p ji ,2,1j,ppyPY j1i ijj 例 1(续 ) X Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 p i 1/4 1/4 1/4 1/4 25/4813/487/483/481 9 1 三 、 边 缘 概 率 密 度 : y), f(x, ,r.v. 由概 率 密 度 为设 二 维 连 续 型 (X, Y)(x)FX )F(x , x- - )dydx ,( yxf)( x fX则 ,y)dx (x,)( - fyfY同 理,y)dy (x,- f .Y(X, Y) 的 边 缘 概 率 密 度关 于分 别 称 为 :r.v.的 均 匀 分 布连 续 型 二 维 )(X, Y , A G 密 度 为 的 概 率若其 面 积 为是 平 面 上 的 有 界 区 域设 . ),( , 0, G,)( ,/1y) (x, 上 服 从 均 匀 分 布在则 称 其 它GYX x,yAf 9 2 ).(),(: X, Y YX yfxf , 0, x,yx 6,y) f(x, )( 2. 2边 缘 密 度求 其 它的 概 率 密 度 为设例 ),N(