空间曲线的切线与弧长

复 习 : 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线切 线 方 程 0yy )( 00 xxxf 法 线 方 程 0yy )()(1 00 xxxf 已 知 平 面 光 滑 曲 线 )(xfy ),( 00 yx在 点 有5-5 空 间 曲 线 的 切 线 与 弧 长 0),( 0),( zyxG zyxF空 间 曲 线 的 一 般 方 程 曲 线 上 的 点都 满 足 方 程 ， 满 足 方 程 的点 都 在 曲 线 上 ， 不 在 曲 线上 的 点 不 能 同 时 满 足 两 个方 程 . x oz y1S 2SC空 间 曲 线 C可 看 作 空 间 两 曲 面 的 交 线 .特 点 ： 例 方 程 组 表 示 怎 样 的 曲 线 ？ 6332 122 zyx yx解 122 yx 表 示 圆 柱 面 ，6332 zyx 表 示 平 面 ， 6332 122 zyx yx 交 线 为 椭 圆 . 例 方 程 组 表 示 怎 样 的 曲 线 ？ 4)2( 222 222 ayax yxaz解 222 yxaz 上 半 球 面 , 4)2( 222 ayax 圆 柱 面 ,交 线 如 图 . )( )( )(tzz tyy txx 空 间 曲 线 的 参 数 方 程曲 线 的 向 量 表 示 .r t x t i y t j z t k 空 间 曲 线 是 指 区 间 到 空 间 的 一 个 连续 映 射 的 像 . ,a b 3R 若 在 有 连 续 的 导数 ,且 对 于 每 一 点不 同 时 为 零 ,则 称 曲 线 是 光 滑 曲 线 . , ,x t y t z t ,a b , , , ,c a b x t y t z t 过 点 M 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 曲 线 在 该 点 的 法 平 面 .位 置 .空 间 光 滑 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 为 此 点 处 割 线 的 极 限TMTM 曲 线 方 程 为 参 数 方 程 的 情 况: ( ), ( ), ( )x x t y y t z z t zzzyyyxxx 000 ,t上 述 方 程 之 分 母 同 除 以 得令 ,0t切 线 方 程 000 zzyyxx ),( 0000 zyxMtt 对 应设 ),( 0000 zzyyxxMttt 对 应 0( )x t 0( )y t 0( )z t TM M:的 方 程割 线 MM r r t a t b 0r t即 在 处 的 切 线 方 程 是 0 0r r t ur t u R + 0 0( )( )x t x x 此 处 要 求 0 0 0( ), ( ), ( )x t y t z t 也 是 法 平 面 的 法 向 量 ,切 线 的 方 向 向 量 :称 为 曲 线 的 切 向 量 . 0 0( )( )y t y y 0 0( )( ) 0z t z z 如 个 别 为 0, 则 理 解 为 分 子 为 0 . M不 全 为 0, 0 0 0( ( ), ( ), ( )T x t y t z t T 因 此 得 法 平 面 方 程 o )(tr T z yx o例 . 求 圆 柱 螺 旋 线 kzRyRx ,sin,cos2 对 应 点 处 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 . ,2 时当 切 线 方 程 Rx法 平 面 方 程 xR 022 kzkxR 即 0 02Ry kRzRxk 即解 : 由 于 ,sinRx 0 Ry k kz 2 ,cosRy ,kz 0M对 应 的 切 向 量 为 0)( 2 kzk 在),0,( kRT , 故 曲 线 的 参 数 方 程 ,x x ty y tz z t ,a t b 曲 线 的 弧 长 2 2 2 .x t y t z t dt 则 弧 微 分 ds r t dt baS r t dt 弧 长 2 2 2 .ba x t y t z t dt 如 ： 例 2 任 一 空 间 曲 线 可 以 看 作 是 二 个 曲 面 的 交 线 12 , , 0, , 0,F x y zF x y z 1因 为 通 过 一 空 间 曲 线 的 曲 面 可 以 有 无 穷 多 个 ,例 如 及 都 表 示 同 一 空 间 直 线 轴 .0, 0,xy 0,0,x yx y oz故 我 们 可 用 不 同 的 方 法 选 择 其 中 二 个 曲 面 ,使 其 交 线 是 给 定 的 曲 线 . 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 *投 影 曲 线 与 投 影 柱 面 设 空 间 曲 线 C: 12 , , 0, , 0,F x y zF x y z 1消 去 变 量 后 得 到 方 程z , 0,F x y 这 是 一 个 母 线 平 行 于 轴 的 柱 面 ,称 之 为 投 影 柱 面z它 显 然 通 过 空 间 曲 线 C , 0,0,F x yz 称 为 C在 面 上 的 投 影 (曲 线 )xoy同 理 ,消 去 (1)中 的 或 ,可 得 曲 线 C在 或 平 面 上 的 投 影 x y yoz zox , 0,0,G y zx , 0,0,H x zy 或 投 影 曲 线投 影 柱 面过 程 ：空 间 曲 线 补 充 : 空 间 立 体 或 曲 面 在 坐 标 面 上 的 投 影 .空间立体曲面 例 求 在 面 上 的 投 影 曲 线 . 2 2 2 22 2 1,: 1 1,x y zC x y z xoy解 : 先 求 C投 影 到 面 的 投 影 柱 面 ,即 只 要 从 二 方 程 消 去xoy z二 式 相 减 , 得 1 ,2z 将 它 代 入 原 方 程 组 的 第 一 式 (或 第 二 式 )即 得 投 影 柱 面 方 程 2 2 3 ,4x y 于 是 ,所 求 C在 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是xoy2 2 3 ,40,x yz z yx o在 面 上 的 投 影 曲 线 分 别 是 .,xoy ,yoz zox圆 柱 螺 旋 线 kzRyRx ,sin,cos例 . 2 2 2 ,0,x y Rz sin ,0, zy R kx cos ,0, zx R ky