空间向量数量积

（ 一 ） 数 量 积 的 定 义（1）空 间 向 量 的 夹 角已 知 两 个 非 零 向 量 ， 在 空 间 中 任 取 一 点 O， 作b,a,b,a baAO B,bO B,aO A 记 作 的 夹 角 ，与叫 做 向 量则 。互相垂直，记作则称若bababa abba ba ,2,)3( ;,)2( ;,0)1( （ 2） 、 数 量 积 的 定 义：零向量与任一向量的数量积为0，即 ，的 数 量 积 ， 记 作，叫 做 ，则，已 知 两 个 非 零 向 量 bacosbaba baba bacosba,ba 2aa,acosaaaa ： (3)数 量 积 的 运 算 律 分 配 律交 换 律 数 乘 结 合 律.caba)cb(a ;abba );ba(b)a( 是不是一定成立？对向量运算？即向量能不能进行除法，能不能写成若？能不能得到）由评注：（)()(,)3( ,)2( ,1 cbacbacba bkakba cbcaba 不能不能不一定 .ACGF)3(;DBAD)2(;ACAB)1( DCADABGFE aABCD1 求 ： 的 中 点 ，、分 别 是、点 ，于的 每 条 边 和 对 角 线 都 等、 已 知 空 间 四 边 形例 E GAB C DF 、 大 小 不 能 确 定，、 、 的 中 点 ， 那 么 （ ）是 ，各 边 及 对 角 线 长 均 为、 空 间 四 边 形练 习 ： DCDAEBCAEC CDAEBCAEB,CDAEBCAEA BCE 1ABCD1 _;BDCAADBCCDABABCD2 ， 则、 已 知 空 间 四 边 形 、 不 确 定、 钝 角 三 角 形 ， 、 锐 角 三 角 形、 直 角 三 角 形 ， 是 （ ）则 足是 空 间 不 共 面 四 点 且 满、 设 DC BA BCD,0ADAB,0ADAC ,0ACABDCBA3 一 、 夹 角 与 距 离 ；：两 个 向 量 的 夹 角 的 余 弦 则 空 间 中由 数 量 积 的 定 义 ba babacos ,bacosbaba)1( ;2aaaa)2( .ca2cb2ba22c2b2a 2)cba(cba ;2bba22a2)ba(ba 一 般 常 用 的 ： 所 成 角 的 余 弦 值与） 求 异 面 直 线（ 的 长） 求（ ） 求 证 ：（ 的 中 点、分 别 是， 点的 长 都 等 于 的 每 条 边 和 对 角 线、 如 图 ， 空 间 四 边 形例 CMANMN CDMNABMN CDABNMa ABCD32 ,1 ,3 AB C DM N 所 成 角 的 余 弦 。与的 中 点 ， 求、分 别 是、 ，各 边 及 对 角 线 长 都 相 等： 已 知 空 间 四 边 形例 CFAEADBCFE ABCD2 AB C DFE 的 距 离 。、， 求。成与折 起 ， 使将 它 沿 对 角 线 ，。中 ，、 如 图 ， 在 平 行 四 边 形例 DB60CDABAC 90ACD,1ACABABCD2 B A C D图一DA B C图二 二、垂直问题例 1、 在 平 面 内 一 条 直 线 与 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 的 射 影垂 直 ， 那 么 它 也 与 这 条 斜 线 垂 直 。已 知 ， 如 图 ， PO、 PA分 别 是 平 面 内 的 垂 线 、 斜 线 ， AO是 PA在 平 面 内 的 射 影 ， 且 l OA， 求 证 ： l PA. l PO A l ., ,2 lnlml nm 求 证 ：如 果 内 的 两 条 相 交 直 线 ，是 平 面、 如 图 ，例 glmn ., ,3 BCOG MNGBCOANMOCOBOA AOCBOCAOBOABC 中 点 ， 求 证 ： 的是的 中 点 ，、分 别 是、且 中 ，、 已 知 空 间 四 边 形例 OA B CM NG .1 11111 PACOBABCDO DDPDCBAABCD 平 面的 中 心 ， 求 证 ：是 底 面 的 中 点 ，是中 ，变 式 ： 正 方 体 A B CD1A 1D 1C1BOP