单孔的夫琅和费衍射

4.3 单孔的夫琅和费衍射计算夫琅和费衍射问题，可以直接使用我们上次课得到的衍射积分公式，也可以用菲涅耳半波带法和相辐矢量分析法。4.3.1 单缝的夫琅和费衍射 fS C L y x 衍射物只在方向上限制入射光波，在方向不受限制。因此单缝衍射是一维问题。入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（单缝）的透射系数为： 0rect)( at 则透过衍射物之后的复振幅为： 0rect)()( atA 代入我们上次课得到的一维孔径夫琅和费衍射积分公式即可。 dydxadyxdjkdjyxE 22 2exp1),(其中： ddxjAdxa 2exp)( ddxja 2exprect 0 dxaa 00 sinc代入上式，可得单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布： fyfxafyxfjkfjayxE 22 00 sinc2exp),( 单缝夫琅和费衍射屏上的辐照度分布：2),(),( yxEyxL fyfxafa 0222 20 sinc单缝夫琅和费衍射屏上的衍射图形见教材186页图（a）图（b）令：0)( xL得： 0/afx 所以中央亮斑的条纹宽度：0/2 afw 不难得出，其他条纹的宽度是中央条纹宽度的1/2。 f /a0-f /a0 2f /a0-2 f /a0 x 1 L / L0 0辐 照 度 分 布 ：斜入射情况：S 入射光是斜入射平面波，可设入射光的复振幅为： rkj exp S sinexp jk则透过衍射物之后的复振幅为： 0rect)sinexp()()sinexp()( ajktjkA 其傅立叶变换为： ddxjAdxa 2exp)( ddxjAdxa 2exp)( sinsinc 00 dxaa斜入射时单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布： fyfxafyxfjkfjayxE 22 sinsinc2exp),( 00辐照度分布： fyfxafayxL sinsinc),( 0222 20所以斜入射时屏上的复振幅分布不变，只是有了一个平移：sinfx 4.3.2 矩孔的夫琅和费衍射fS C L y x这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。但是对于可分离变量的透射系数，可简化为分别计算两个一维积分。 入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（矩孔）的透射系数为： 0021 rectrect)()(),( battt 则透过衍射物之后的复振幅为： 0021 rectrect)()(),( baAAA 函数)(),( 21 AA的傅立叶变换为： dxaadxa 001 sinc dybbdya 002 sinc 上次课得到的夫琅和费衍射积分公式： dddydxjkEyx2djkdj jkdyxE 22 exp,expexp,利用刚才求得的傅立叶变换结果： fybfxabayx2fjkfj jkfyxE 22 0000 sincsincexpexp,屏上的辐照度分布：2),(),( yxEyxL fybfxafba 020222 2020 sincsinc fybfxaL 0202 sincsinc)0,0( (1) 衍射光强分布对于沿x轴的光强度分布， 因y=0， 有 fxaLxL 02sinc)0,0()0,(当x=0 时(对应于原点)，有主极大。在为整数处，有极小值， L=0，与这些值相应的点是暗点， 暗点的位置为 2sinc)0,0(L 0afmx (m=1,2,)相邻两暗点之间的间隔为： 0afx 在相邻两个暗点之间有一个强度次极大， 次极大的位置由下式决定: 0)(sinc2 dd tan夫朗和费矩形孔衍射在y轴上的强度分布特性与x轴类似。在x, y轴以外各点的光强度，可按式进行计算，图 给出了一些特征点的光强度相对值。 显然， 尽管在xOy面内存在一些次极大点， 但它们的光强度极弱。 )(sinc2 夫朗和费矩形孔衍射图样中一些特征点的相对强度 (2) 中央亮斑 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处， 其边缘在x, y轴上的位置是 00 bfyafx 和中央亮斑面积为 00 220 4 bafS 该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大. (3) 衍射图形状 当孔径尺寸a0=b0, 即为方形孔径时，沿x, y方向有相同的衍射图样。当a0b0， 即对于矩形孔径， 其衍射图样沿x, y方向的形状虽然相似，但线度不同。例如，a 0b0时， 衍射图样沿x轴亮斑宽度比沿y轴的亮斑宽度大。4.3.3 圆孔的夫琅和费衍射由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理更加方便。 fS C L y x这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。考虑到圆孔的对称性，在极坐标系中处理比较简便。 设圆孔上任一点的位置坐标为、，与相应的直角坐标x, y的关系为： = cos = sin 类似地，观察屏上任一点的位置坐标r、与相应的直角坐标的关系为 sincosry rx dddydxjkEyx2djkdj jkdyxE 22 exp,expexp, ddfrjkEr2fjkfj jkfrE )cos(exp,expexp, 2由此，屏上光场复振幅， 在经过坐标变换后为 ：fr/是衍射角。设衍射物（圆孔）的透射系数为： circ)(t 是圆孔的半径。 入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。则透过衍射物之后的复振幅为： circ),(E代入后： ddfrjkr2fjkfj jkfrE )cos(expexpexp, 2根据零阶贝塞尔函数的积分表示式 ： dixxJ 200 )cosexp(21)( 可将上式变换为 ： 0 02expexp2, dfrkJr2fjkfj jkfrE这里已利用了J0(x)为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质: )()( 10 xxJdxxxJ 式中，J1(x)为一阶贝塞尔函数，可得: frkJ2frfjkjrrE 12exp, 屏上的辐照度分布：2)()( rErL 21 frkJr frk frkJf 122 2可以证明，x0时， 1)(2 1 x xJ屏上中心点辐照度： 22)0( fL令： frk 则： 21 )(2)0()( JLL 21 )(2)0()( JLL基于此式，可以得到夫朗和费圆孔衍射的如下特点：(1) 衍射图样 由上三式可见，夫朗和费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角有关(或者，由=r/f，仅与r有关)， 而与方位角坐标无关。这说明，夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。 fr/是衍射角。frk 0/LL 圆孔夫琅和费衍射的强度分布 21 /)(2 J (2) 爱里斑 由上表可见，中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的83.78%，这个亮斑叫爱里斑。爱里斑的半径r0由第一光强极小值处的值决定， 即 ： 22.1010 frk因此 ffr 61.0222.1 0 或以角半径0表示 61.000 fr 4.3.4 光学成像系统的分辨本领 瑞利判据从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此， 对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无限的， 即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。 但实际上， 光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限性产生衍射， 这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于光学成像系统具有光阑、 透镜外框等圆形孔径，所以讨论它们的分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为理论基础。如图 422所示，设有S 1和S2两个非相干点光源，间距为， 它们到直径为D的圆孔距离为R，则S1和S2对圆孔的张角为 R 由于圆孔的衍射效应，S1和S2将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0：D 22.10 根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨开这两个点物。 这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5%(对于缝隙形光阑，约为81%)。 于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像的爱里斑角半径0决定了该系统的分辨极限。 几种光学成像系统的分辨本领 (1) 人眼睛的分辨本领 人眼的成像作用可以等价于一个单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔直径约为 1.56 mm（视入射光强的大小而定)。当人眼瞳孔直径为 2 mm时，对于最敏感的光波波长=0.55 m，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角e为通常由实验测得的人眼最小分辨角约为1(=2.910-4rad)，与上面计算的结果基本相符。 radD ee 4103.322.1 (2) 望远镜的分辨本领 望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物镜的圆形通光孔径直径为D，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨开， 则根据瑞利判据， 这两个物点对望远镜的张角为 D 22.1 0 这也就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的直径D愈大，分辨本领愈高，并且，这时像的亮度也增加了。 例如，天文望远镜物镜的直径做得很大(可达 6m)，原因之一就是为了提高分辨本领。对于=0.55m的单色光来说，其最小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本领要大三千倍左右。通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率应为 ee DDM (3) 照相物镜的分辨本领 照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片的位置大致与照相物镜的焦平面重合。 若照相物镜的孔径为D， 相应第一极小的衍射角为0， 则底片上恰能分辨的两条直线之间的距离为 Dff 22.1 0 习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成多少条恰能分开的线条数N表示，N为 fDN 22.1 11 式中，D/f是照相物镜的相对孔径。可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。 例如，对于D/f=1 3.5的常用照相物镜，若=0.55m，则N=1 4901/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。 例如， 对于上面的例子， 应选择分辨本领大于425条/mm的底片。 (4) 显微镜的分辨本领 显微镜由物镜和目镜组成，在一般情况下系统成像的孔径为物镜框，因此，限制显微镜分辨本领的是物镜框(即孔径光阑)。 显微镜物镜的成像如图所示。点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜的焦距很短，所以S1和S2发出的光波以很大的孔径角入射到物镜， 其像S1和S2离物镜较远。虽然S1和S2离物镜很近，它们的像也是物镜边缘(孔径光阑)的夫朗和费衍射图样， 其爱里斑的半径为 Dll 22.1 00 (3 - 46) 显微镜的分辨本领 由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)正弦条件 sinsin unun 式中，n和n分别是物方和像方折射率，在n=1 时，因l D, 有 2/sin lDuu 所以，能分辨两点物的最小距离为 NAun un lDDlun u 61.0sin61.0 sin 2/22.1sin sin 式中，NA=n sin u称为物镜的数值孔径。由此可见，提高显微镜分辨本领的途径是： 增大物镜的数值孔径； 减小波长，例如，电子显微镜利用电子束的波动性成像， 由于其波长可达10-3nm，因而分辨本领将比可见光显微镜提高几十万倍，只是由于电子显微镜的数值孔径较小， 其分辨本领实际上仅提高千倍以上。