次序统计量及其分布

第 1.4节 抽 样 分 布 二 、 次 序 统 计 量三 、 样 本 中 位 数 和 样 本 极 差一 、 抽 样 分 布 一 正 态 总 体 样 本 均 值 和 方 差 的 分 布1. 单 个 总 体 样 本 均 值 的 分 布 21 2 2 1 2, , , ), ( , ) ( , , , )n iX X XX N i n 设 来 自 正 态 总 体 N( , 的 样本 即定 理 1.11 2 21 1 11 2 ( , )., , , .n n ni i i ii i inU a X N a aa a a 则 它 们 的 任 一 确 定 的 线 性 函 数其 中 为 不 全 为 零 的 常 数 1 1 1( ) ( )n n ni i i i ii i iE a X a E X a 2 2 21 1 1( ) ( )n n ni i i i ii i iD a X a D X a 2 21 1 1 ( , )n n ni i i ii i ia X N a a 1 2 1, , , ,nn i iiX X Xa X由 于 独 立 且 均 为 正 态 变 量故 他 们 的 线 性 函 数 仍 为 正 态 变 量 又证 所 以 1 1 2( , , , )ia i n Xn 特 别 当 时 ， 可 以 得 到 的 分 布2 0 1( , ) ( , )XX N Nn n 或 )1()1()1( 22 2 nSn 设 X1 , X2 , , Xn 是 取 自 正 态 总 体样 本 , 2SX 和 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 .则 有 (2) X ),( 2N 的和 相 互 独 立 。2S(3) ( 1)X t nS n 2. 单 个 总 体 样 本 方 差 的 分 布 注 ),1( 2 n自 由 度 减 少 一 个 !22 11 ( )n ii X X 减 少 一 个 自 由 度 的 原 因 ： .),2,1( 不 相 互 独 立niXXi 事 实 上 ， 它 们 受 到 一 个 条 件 的 约 束 ： ni i XX1 ni i XnX1 )(1 ni i XnX1.001 21 ( ) 1 ,n kX X n 有 个 自 由 度 因 为 只 有 一 个 约 束 条 件 . 自由度表示独立（自由）变量的个数。 证 ),1,0(/ NnXU 2 22( 1) ( 1),n SV n 且 两 者 独 立 , 由 t 分 布 的 定 义 知1nVU ).1( nt 22( 1)( 1)/X n Snn T 4. 两 个 正 态 总 体 样 本 均 值 差 的 分 布定 理 1.14 .相 互 独 立与 YX ),( 121 nXXX 样 本 总 体 X和 Y， 则分 别 来 自与 ),( 221 nYYY ),()1( 22212121 nnNYX )1,0(/ )()( 222121 21 NnnYX 或 2 21 21 2 ( , ), ( , ),X N Y N 设 总 体 ),2(11 )()( 2121 21 nntnnSYXT w 时 ，当 22221)2( 2 22 21 1 2 21 21 12( ) ( ) , .w w wn S n SS S Sn n 其 中 ),( 221221 nnNYX 21 2111 )()( nnYXU ),1,0( N2 21 1 121 1( ) ( ),n S n 由 2 22 2 221 1( ) ( ),n S n 分 布 的 可 加 性 知故 由且 它 们 相 互 独 立 2, 证 由 定 理 1.11及 定 理 1.12， 知 21 121( )n SV 22 221( )n S ),2( 212 nn分 布 的 定 义按相 互 独 立与由 于 tVU ,)2/( 21 nnV UT 21 2111 )()( nnSYX w ).2( 21 nnt 定 理 1.15 .相 互 独 立与 YX ),( 121 nXXX 样 本 总 体 X和 Y， 则分 别 来 自与 ),( 221 nYYY 2 21 21 2 ( , ), ( , ),X N Y N 设 总 体2 2 1 1 1 22 22 2 1 1/ ( , );/SF F n nS 5. 两 个 正 态 总 体 样 本 方 差 商 的 分 布 证 2 21 1 1211 1( ) ( ),n S n 2 22 2 2221 1( ) ( ),n S n 2 21 2 , , S S由 假 设 独 立 分 布 的 定 义 知则 由 F2 21 1 2 1 22 21 11 1 11 122 2( ) ( ) ( , 1),( ) ( )n S n S F n nn n 2 21 1 1 22 22 2 1 1/ ( , ). /SF F n nS 即 例 一 个 样 本 ， 求设 721 , XXX )5.0,0( 2N是 来 自 正 态 总 体 的4 71 2 i iXP(1) 4)( 71 2 i i XXP(2) 由 定 理 2 知 271 00.5ii X 71 24i iX );7( 2解 7 2 1 4iiP X 164 71 2 i iXP 025.020.025(7) 16.013 16)(4 71 2 i i XXP 4)( 71 2 i i XXP 例一 个 样 本 ， 求设 721 , XXX )5.0,0( 2N是 来 自 正 态 总 体 的4 71 2 i iXP(1) 4)( 71 2 i i XXP(2) ,812.16)6(201.0 查 表 可 得 01.0 71 2)(4i i XX 271 25.0 )(i i XX )6( 2 思 考 与 练 习是 来 自 正 态 总 体 的 样nXXX , 21 ),( 2N设本 , 则 有 1 212 ni i XX(A) ;(B) 1 212 ni iX ;(C) )( 1 2ni i XXE ;(D) )( 1 2ni iXD )(2 n )1(2 n 2)1( n 42 n 二 、 一 些 非 正 态 总 体 样 本 均 值 的 分 布1. 问 题 的 提 出 抽 样 分 布 的 精 确 分 布 可 以 归 属 到 计 算 随 机 变 量或 随 机 向 量 函 数 的 分 布 ， 但 是 从 关 于 随 机 变 量 或 随机 向 量 函 数 的 分 布 介 绍 中 可 以 看 到 计 算 相 当 复 杂 ，因 而 对 于 一 般 总 体 情 形 下 的 抽 样 分 布 的 计 算 几 乎 无法 完 成 ， 因 而 对 于 一 般 情 形 ：一 方 面 可 以 考 虑 特 殊 总 体 情 形 下 的 抽 样 精 确 分 布 ，另 一 方 面 考 虑 大 样 本 情 形 下 抽 样 分 布 的 渐 近 分 布 。 例 1 2( ), , , ,. nX P X X XX 设 总 体 来自 总 体 的 一 个 样 本 ， 试 求 的 分 布解 由 泊 松 分 布 的 可 加 性 可 知 1 ( )n iinX X P n因 此 0 1 2( ) e , , , ,!k nk nP X P nX k kn k 2. 特 殊 情 形 下 抽 样 分 布 的 精 确 分 布 例 1 2 ( ), , , .n X eX X X X 设 总 体 服 从 参 数 为 的 指 数 分 布来 自 总 体 的 一 个 样 本 ， 试 求 的 分 布解 由 于 指 数 分 布 是 (1,)， 因 而 由 其 可 加 性 可 知1 ( , )n iiY nX X n 因 此 1 0( ) e , ,( )n n xYf x x xn 故 ( ) ( )( )TXf x f nx nx 1 0( ) e , ,( )n n n xn x xn 3. 一 般 情 形 下 样 本 均 值 的 渐 近 分 布定 理 1.16 1 20( ) , , , , ,nXD X X X Xn X 设 总 体 的 分 布 是 任 意 的 ， 但 具 有 有限 方 差 来 自 总 体 的 一 个 样 本则 当 时 ， 样 本 均 值 有 0 1( , ) LX EXY NDX n 即 ( ) ( )nYF x x 证 由 林 德 贝 格 列 维 中 心 极 限 定 理 可 知1 11 0 1( ) ( , )( )n ni i Li in iiX E X ND X 因 而 1 0 1( ) ( ) ( , )( ) ( )/n i Li X nE X X E X NnD X D X n 例 1 21( , ), , , , .nX B p X X XX 设 总 体来 自 总 体 的 一 个 样 本 ， 试 求 的 渐 近 分 布解 其 精 确 分 布 为 1 ( ) nk k n kkP X P nX k C p pn 由 定 理 1.16可 知 ， 其 渐 近 分 布 为 正 态 分 布1( )( , ) ( , )DX p pX N EX N pn n 二 、 次 序 统 计 量 的 分 布 定 理 1.19 ( )(X f x设 总 体 的 分 布 密 度 为 或 分 布 函 数1 2( ), , , , nkF x X X X X kX为 为 来 自 总 体 的 样 本 ， 则 第个 次 序 统 计 量 的 分 布 密 度 为 1 11 ( ) !( ) ( ) ( ) ( )( )!( )!k k n kX nf x F x F x f xk n k 1 2, , , .k n 其 中 证 根 据 分 布 函 数 的 定 义 ， 可 以 得 到1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )k nX k i i ni kF x P X x P X x X X x 1 1( ) ( ) ( ) n i i ni k P X x X P X x 1 21 2 ( ) ( ) , , , . ( , , , )( ) ( , ( ),n nTnn v x x x x xx X nX xX X X xv x B n F x 设 表 示 中 不 超过 于 的 个 数 它 表 示 的 是 总 体 作 次 重 复 独 立 观测 时 ， 事 件 出 现 的 次 数 ， 也 就 是 样 本 观 测 中不 超 过 的 个 数 ， 因 而因 此 1 11( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) k nX i i ni kni kF x P X x X P X xP v x i P v x n 1 1 = ( ) ( )n i i n in i k C F x F x 10 11 ( )! = ( ) d ( )( )!( )! F x k n kn t t tk n k 利 用 分 部 积 分因 此 1 11 !( ) = ( ( ) ( ( ) ( )( )!( )! k k n kX nf x F x F x f xk n k （ ） 1 1 12 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nX Xf x n F x f x 最 小 次 序 统 计 量 的 分 布 密 度 为1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n n nX Xf x n F x f x最 大 次 序 统 计 量 的 分 布 密 度 为说 明 例 1(p26例 )1 2 0 1 ( ) , ,( , , , ) ,. n kXX X X X X 设 总 体 服 从 区 间 上 的 均匀 分 布 为 总 体 的 样 本 试 求 的分 布 解 1 0 10,( ) ,X xf x 总 体 的 分 布 密 度 为 其 他0 0 0 11 1,( ) ,X xF x x xx 的 分 布 函 数 为 1 11 !( ) = ( ( ) ( ( ) ( )( )!( )!k k n kX nf x F x F x f xk n k （ ） 1 1 0 11 ! = ( ) ( ) , .( )!( )! k n kn x x xk n k 三 、 样 本 中 位 数 和 样 本 极 差1 2 1 2( ) ( ) ( ), , , ) ( , , ) TnTn X X X X XX 设 ( 为 样 本的 次 序 统 计 量 ， 样 本 的 中 位 数 定 义 为 12 12 212 ( )( ) ( ) , n n nX nX X X n ， 为 奇 数 ，为 偶 数 ，1、 样 本 中 位 数定 义其 观 测 值 为 12 1 2 212( )( ) ( ) , n n nx nx x x n ， 为 奇 数 ，为 偶 数 ， 2、 样 本 中 位 数 的 意 义 样 本 中 位 数 主 要 用 来 描 述 样 本 位 置 的 特 征 ，具 有 和 样 本 均 值 类 似 的 含 义 ， 但 它 不 受 样 本 异 常 值的 影 响 ， 同 时 也 容 易 计 算 ， 也 可 以 作 为 总 体 均 值 的估 计 . 缺 点 是 分 布 不 容 易 计 算 ， 因 而 在 理 论 讨 论 时 ，带 来 一 定 困 难 .3、 样 本 极 差 1 2 1 2( ) ( ) ( ), , , ) ( , , ) TnTn X X X X XX 设 ( 为 样 本的 次 序 统 计 量 ， 样 本 的 极 差 定 义 为定 义 1 11( ) ( ) max minn i ii ni nR X X X X 其 观 测 值 为 1 11( ) ( ) max minn i ii ni nr x x x x 4、 样 本 极 差 的 意 义 样 本 极 差 主 要 用 来 描 述 样 本 变 化 幅 度 以 及 离 散程 度 的 特 征 ， 具 有 和 样 本 方 差 类 似 的 含 义 ， 但 它 受样 本 异 常 值 的 影 响 较 小 ， 同 时 也 容 易 计 算 ， 也 可 以作 为 总 体 均 方 差 的 估 计 . 在 实 际 中 应 用 比 较 广 泛 .例 从 总 体 中 抽 取 容 量 为 6的 样 本 ，测 得 样 本 值 为32, 65, 28, 35, 30, 29试 求 ,样 本 中 位 数 、 样 本 均 值 、 样 本 极 差 、 。 解 首 先 将 样 本 观 测 值 进 行 排 序 ， 可 得28, 29, 30, 32, 35, 65,则 3 41 312 ( ) ( )( )x x x 样 本 中 位 数 ： 611 36 56 .iix x 样 本 均 值 ： 1 61 6 65 28 37max mini iiir x x 样 本 极 差 ： 课 后 练 习Page31-32 n 1.14n 1.15n 1.23n 1.24 n 1.25