乙两射手各打了

引 例 甲 、 乙 两 射 手 各 打 了 6 发 子 弹 ,每 发子 弹 击 中 的 环 数 分 别 为 ：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问 哪 一 个 射 手 的 技 术 较 好 ？解 首 先 比 较 平 均 环 数甲 = 8.3, 乙 = 8.3 4.2 方 差 有五个不同数有四个不同数 再 比 较 稳 定 程 度 34.13)3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(2 22 222 甲 ：乙 ： 34.5)3.87( )3.88(3)3.89()3.810( 2 222 乙 比 甲 技 术 稳 定 ， 故 乙 技 术 较 好 . 进 一 步 比 较 平 均 偏 离 平 均 值 的 程 度甲 )3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(261 22 222 乙 )3.87()3.88(3 )3.89()3.810(61 22 22 22.26/34.13 89.06/34.5 51 2)(k kk pXEx 41 2)(k kk pXEx E X - E(X)2 若 E X - E(X)2 存 在 , 则 称 其 为 随 机称 )(XD 为 X 的 均 方 差 或 标 准 差 . 方 差 概 念定 义 即 D (X ) = E X - E(X)2 变 量 X 的 方 差 , 记 为 D (X ) 或 Var (X ) 两 者 量 纲 相 同 D(X ) 描 述 r.v. X 的 取 值 偏 离 平 均 值 的 平 均 偏 离 程 度 数 ,2,1,)( kpxXP kk若 X 为 离 散 型 r.v.， 分 布 律 为 1 2)()( k kk pXExXD若 X 为 连 续 型 r.v. ， 概 率 密 度 为 f (x) dxxfXExXD )()()( 2 计 算 方 差 的 常 用 公 式 ： )()()( 22 XEXEXD D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) )()(2 )()()( YEYXEXE YDXDYXD 特 别 地 ， 若 X ,Y 相 互 独 立 ， 则 )()()( YDXDYXD 方 差 的 性 质 若 nXX ,1 相 互 独 立 ， baaa n, 21 为 常 数则 ni iini ii XDabXaD 1 21 )(若 X ,Y 相 互 独 立 )()()( YDXDYXD )()()( YEXEXYE 对 任 意 常 数 C, D (X ) E(X C)2 , 当 且 仅 当 C = E(X )时 等 号 成 立 D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 称 为 X 依 概 率 1 等 于 常 数 E(X) 性 质 1 的 证 明 ： 0)()( 2 CECECD性 质 2 的 证 明 ： 2)()()( baXEbaXEbaXD 2)()( bEbXEXaE 22 )( XEXaE )(2 XDa 2)()()( YXEYXEYXD )()(2 )()( 22 YEYXEXE YEYEXEXE )()(2 )()( YEYXEXE YDXD 性 质 3 的 证 明 ：当 X ,Y 相 互 独 立 时 ， )()()( )()( YEXEXYE YEYXEXE 注 意 到 ， )()()( YDXDYXD 22 )()( XECXEXECXE 性 质 4 的 证 明 ： 22 )()( XECXEXE 当 C = E(X )时 ， 显 然 等 号 成 立 ；当 C E(X )时 ， 0)( 2 XEC )(2 XDCXE 2)()( XECXD 例 1 设 X P (), 求 D ( X ).解 0 !)( k kkekXE 1 1)!1(k kke )()1()( 2 XEXXEXE !)1()1( 0 kekkXXE kk 22 22 )!2( k kke 方 差 的 计 算 22)(XE )()()( 22 XEXEXD 例 2 设 X B( n , p)， 求 D(X ).解 一 仿 照 上 例 求 D (X ).解 二 引 入 随 机 变 量 nXXX , 21 发 生次 试 验 事 件第 发 生次 试 验 事 件第 Ai AiXi ,0,1nXXX , 21 相 互 独 立 ， ni ,2,1 )1()( ppXD i ni iXX 1故 )1()()( 1 pnpXDXD ni i 例 3 设 X N ( , 2), 求 D( X )解 dxexXD x 2 22 )(2 21)()( dtet ttx 222 221 令 2 常 见 随 机 变 量 的 方 差 (P.159 )分 布 方 差概 率 分 布参 数 为 p 的 0-1分 布 pXP pXP 1)0( )1( p(1-p)B(n,p) nk ppCkXP knkkn ,2,1,0 )1()( np(1-p)P() ,2,1,0!)( kkekXP k 分 布 方 差概 率 密 度区 间 (a,b)上的 均 匀 分 布 其 它,0 ,1)( bxaabxf 12)( 2abE() 其 它,0 ,0,)( xexf x 21N(, 2) 2 22 )(21)( xexf 2 例 4 已 知 X ,Y 相 互 独 立 , 且 都 服 从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解 )5.0,0(),5.0,0( NYNX 1)(,0)( YXDYXE故 )1,0(NYX dzezYXE z2221|)(| 222 20 2 dzez z 例 5 设 X 表 示 独 立 射 击 直 到 击 中 目 标 n 次为 止 所 需 射 击 的 次 数 , 已 知 每 次 射 击 中 靶的 概 率 为 p , 求 E(X ), D(X ).解 令 X i 表 示 击 中 目 标 i - 1 次 后 到 第 i 次击 中 目 标 所 需 射 击 的 次 数 ， i = 1,2, n 1 ,2,1,)( 1 qp kpqkXP ki 1 11 1)( k kk ki kqpkpqXE pqp 1)1( 1 2 nXXX , 21 相 互 独 立 ， 且 ni iXX 1 1 11 12 )1()( k kk ki kpqpqkkXE pqkkpqk k 1)1(2 2 pxdxdpq qxk k 1022 pxpq qx 1)1( 2 3 22pp222 112)( pppppXD i pnXEXE ni i 1 )()(故 21 )1()()( p pnXDXD ni i 本 例 给 出 了 几 何 分 布 与 巴 斯 卡分 布 的 期 望 与 方 差 例 6 将 编 号 分 别 为 1 n 的 n 个 球 随 机地 放 入 编 号 分 别 为 1 n 的 n 只 盒 子 中 ,每 盒 一 球 . 若 球 的 号 码 与 盒 子 的 号 码 一致 ， 则 称 为 一 个 配 对 . 求 配 对 个 数 X 的期 望 与 方 差 .解 niiiXi ,2,1,0,1 其 它 号 盒号 球 放 入则 ni iXX 1 nXXX , 21 不 相 互 独 立 ，但 11)()( 1 nnXEXE ni i 212)( ni iXEXE iXP 1 0n1 n11 ni ,2,1 n nji jini i XXXE 11 2 2 n nji jini i XXEXE 11 2 )(2)( 2iXP 1 0n1 n11 ni ,2,1 nji ,2,1, jiXXP 1 0)1( 1nn )1( 11 nnnXE i 1)( 2 )1( 1)( nnXXE ji n nji jini i XXEXEXE 11 22 )(2)()( n njini nnn 11 )1( 121 )1( 121 2 nnCnn n2 1)()()( 22 XEXEXD 标 准 化 随 机 变 量设 随 机 变 量 X 的 期 望 E(X )、 方 差 D(X )都 存 在 , 且 D(X ) 0, 则 称)( )(XD XEXX 为 X 的 标 准 化 随 机 变 量 . 显 然 ，1)(,0)( XDXE 仅 知 r.v.的 期 望 与 方 差 并 不 能 确 定 其 分 布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025与 2.0)(,0)( XDXE 2.0)(,0)( YDYE 有 相 同 的期 望 方 差但 是 分 布却 不 相 同例 如 例 7 已 知 X 服 从 正 态 分 布 , E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求 Y 的 密 度 函 数 .解 1234)( ,4.27.121)( YDYE yeyf yY ,62 1)( 24 )4.2( 2 在 已 知 某 些 分 布 类 型 时 ,若 知 道其 期 望 和 方 差 ,便 常 能 确 定 分 布 . 作 业 P.170 习 题 三 9 11 16 17 19 21 附 例 在 0, 1 中 随 机 地 取 两 个 数 X , Y , 求 D (min X ,Y )解 其 它,0 10,10,1),( yxyxf 110 10 10 ,minyx dxdyyx.3/1 dydxydxdyx yx 10 110 1 ),(min YXE dydxydxdyx YXE yx 10 1 210 1 2 2 ),(min.6/1 ,min,min ),(min 22 YXEYXE YXD .18/1 例 8 已 知 X 的 d.f.为 其 它,0 ,10,)( 2 xBxAxxf其 中 A ,B 是 常 数 ， 且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ) 解 (1) 1)()( 10 2 dxBxAxdxxf 21)()( 10 2 dxBxAxxdxxxf 2134 123 BA BA 6 ,6BA (2) .10/3)66(10 22 dxxxx .7/1)66( 10 24 dxxxx .70037)()()( 22 YEYEYD dxxfxXEYE )()()( 22 dxxfxXEYE )()()( 442 J7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6Fy(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcKD1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLa3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+xqZnV