不等式表示的平面区域

一、引入 本 班 计 划 用 少 于 100元 的 钱 购 买 单 价 分 别 为 2元 和 1元 的 大 、 小 彩 球 装 点 学 校 运 动 会 的 会 场 ，根 据 需 要 ， 大 球 数 不 少 于 10个 ， 小 球 数 不 少于 20个 ， 请 你 给 出 几 种 不 同 的 购 买 方 案 ？ 二、新知探究：1、 建 立 二 元 一 次 不 等 式 模 型 （ 1） 引 入 问 题 中 的 变 量 ： 设 购 买 大 球 x个 ， 小 球 y个 。（ 2） 把 文 字 语 言 转 化 为 数 学 符 号 语 言 ： 少 于 100元 的 钱 购 买大 球 数 不 少 于 10个 1002 yx 10 x（ 3） 抽 象 出 数 学 模 型 ： 购 买 方 式 应 满 足 的 条 件 ： Zyy Zxx yx ,20,10 1002小 球 数 不 少 于 20个 20 y Zx， Zy， 学 习 目 标v1 知 识 目 标 ： 能 作 出 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ）所 表 示 平 面 区 域 ； 会 把 若 干 直 线 围 成 的 平 面区 域 用 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 v2 能 力 目 标 ： 培 养 学 生 用 数 形 结 合 思 想 分 析问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 ； v3 情 感 目 标 ： 体 会 数 学 的 应 用 价 值 ， 激 发 学生 的 学 习 兴 趣 v 看 下 面 的 不 等 式 : 在 这 四 个 不 等 式 中 ,前 两 个 不 等 式 的 共 同 点 是 含 有 两 个 未 知 数 未 知 数 的 最 高 次 数 为 1, 我 们 称 这 样 的 不 等 式 为 二 元 一 次 不 等 式 . 类 似 于 方 程 组 ,我 们 把 这 四 个 不 等 式 构 成 一 个 不 等 式 组 ,并 记 为 像 这 样 的 不 等 式 组 , 叫 二 元 一 次 不 等 式 组2 100,10 12 8000, 10, 20.x y x y x y 2 10010 12 800010,20,x yx yx x Zy y Z 1二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 定 义 2、 探 究 二 元 一 次 不 等 式 的 解 集 表 示 的 图 形 （ 1） 回 忆 、 思 考 回 忆 ： 初 中 一 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 所 表 示 的 图 形 - 数 轴 上 的 区 间 .二 元 一 次 方 程 表 示 的 是 什 么 图 形 ？ 直 线 .如 ： 不 等 式 组 04 03xx 的 解 集 为 数 轴 上 的 一 个 区 间 （ 如 图 ） 。 思 考 ： 在 直 角 坐 标 系 内 ， 二 元 一 次 不 等 式 的 解 集 表 示 什么 图 形 ？ v 作 出 x +y -1=0 的 图 像 一 条 直 线 ， 直 线 把 平 面 分 成 三 部 分 ： 直 线 上 、 左 上 方 区 域 和 右 下 方 区 域 。 （ 2） 探 究 具 体 问 题 ： 二 元 一 次 不 等 式 的 解集 所 表 示 的 图 形 。 x y 1 0 xyo （ 3） 从 特 殊 到 一 般 情 况 ： 平 面 直 角 坐 标 系 中 不 在 直 线 上 的 点 被 直 线 分 为 两 部 分 ,每 部 分 叫 做 开 半 平 面 ， 开 半 平 面 与 直 线 的 并 集 叫做 闭 半 平 面 以 不 等 式 解 （ x,y） 为 坐 标 的 所 有点 构 成 的 集 合 ，叫 做 不 等 式 表 示 的 区 域 或 不 等 式 的 图 像 .0 CByAx xyo x+y-1=0在 直 线 的 上 方 、 下 方 取 一 些 点 ：上 方 ： （ 0， 2） ， （ 1， 3） ， （ 0， 5） ， （ 2， 2）下 方 ： （ -1， 0） ， （ 0， 0） ， （ 0， -2） ， （ 1， -1）分 别 把 点 的 坐 标 代 入 式 子 中 ， 会 有 什 么 结 果 ？猜 想 ： 直 线 同 侧 点 的 坐 标 是 否 使 式 子 的 值 具 有 相同 的 符 号 ？每 部 分 中 的 点 都 有 哪 些 特 点 ？ xyo x+y-1=0 x+y-10 x+y-10 (x。 ,y。 )(x0 , y) 0110 yxyx yyxx 000 , 4 二 元 一 次 不 等 式 表 示 哪 个 平 面 区 域 的 判断 方 法 直 线 Ax+By+C=0同 一 侧 的 所 有 点 (x,y)代入 Ax+By+C所 得 实 数 的 符 号 都 相 同 只 需 在 直 线 的 某 一 侧 任 取 一 点 进 行 验 证 当 C0时 ， 常 把 原 点 （ 0， 0） 作 为 特 殊 点结 论 二 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 。 这 种 方 法 称 为 代 点 法 例 1 画 出 下 面 二 元 一 次 不 等 式 表 示的 平 面 区 域 ： 2x y 3 0 3x 2y 6 0 (1)不 等 式 表 示 的 区 域 是 在 哪 条 直 线 的 一侧 ？ 这 条 直 线 是 画 实 线 还 是 虚 线 ？ (2)运 用 代 点 法 判 断 平 面 区 域 的 位 置 时 取哪 个 特 殊 点 代 入 较 好 ? ： 画 出 不 等 式 表 示 的 平 面区 域 解 ： (1)直 线 定 界 :先 画 直 线 （ 画 成 虚 线 ） (2)特 殊 点 定 域 :取 原 点 （ 0， 0） ， 代 入 因 为 2 0-0-3=-3 0 所 以 ， 原 点 不 在 表 示 的 平 面 区域 内 ， 不 等 式 表 示 的 区 域 如 图 所 示 。例 题 示 范 ： 2x y 3 0 2x y 3 0 2x y 3 0 032 yx 32 yx 2x y 3 0 3x 2y 6 0 例 2 画 出 下 列 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 2x y 1 0 x y 1 0 思 考 ： 不 等 式 组 表 示 的平 面 区 域 如 何 确 定 ？各 个 不 等 式 表 示 的 平 面点 集 的 交 集 即 各 个 不 等式 所 表 示 的 平 面 区 域 的公 共 部 分 例 2 画 出 下 列 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域2x 3y 2 02y 1 0 x 3 0 变 式 训 练 ： 第 (2)小 题 中 加上 条 件又 会 是 什 么 图 形 呢 ？ x,y N (是 上 述 公 共 平 面 区 域 内 的 整 点 ) 例 3一 个 化 肥 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 混 合 肥 料 ， 生 产1车 皮 甲 种 肥 料 需 要 的 主 要 原 料 是 磷 酸 盐 4吨 ，硝 酸 盐 18吨 ； 生 产 1车 皮 乙 种 肥 料 需 要 的 主 要 原料 是 磷 酸 盐 1吨 ， 硝 酸 盐 15吨 现 有 库 存 磷 酸 盐 吨 ， 硝 酸 盐 吨 如 果在 此 基 础 上 进 行 生 产 ， 设 分 别 为 计 划 生 产 甲 、乙 两 种 混 合 肥 料 的 车 皮 数 ， 请 列 出 满 足 生 产 条件 的 数 学 关 系 式 ， 并 画 出 相 应 的 平 面 区 域 . 解 ： x,y满 足 的 数 学 关 系 式 为 ： 分 别 画 出 不 等 式 组 中 ， 各不 等 式 表 示 的 区 域 ， 然 后取 交 集 如 图 中 的 阴 影 部分 4x y 1018x 15y 66x 0y 0 反 馈 练 习 ： 教 材 89页 练 习 A组 2（ 4） 小 结 ：知 识 上 ： 1 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 表示 平 面 区 域2 判 定 方 法 : 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 .小 诀 窍 ：如 果 C 0,可 取 （ 0， 0） ； 如 果 C 0,可 取 （ 1， 0） 或 （ 0， 1） 思 想 方 法 上 ： 数 形 结 合 的 数 学 思 想 方法 用 平 面 区 域 表 示 购 买 方 式 满 足 的 不 等 式 组 2010 1002yx yx Nx， Ny，如 果 要 求 大 球 与 小 球 的 总 数 不 超 过 48个 ，哪 种 方 案 最 省 钱 ？解 决 引 例 中 的 实 际 问 题 ：