概率论与数理统计实验.ppt

概 率 论 与 数 理 统 计 实 验随 机 数 的 产 生 数 据 的 统 计 描 述 实 验 目 的实 验 内 容 学 习 随 机 数 的 产 生 方 法直 观 了 解 统 计 描 述 的 基 本 内 容 。2、 统 计 的 基 本 概 念 。4、 计 算 实 例 。3、 计 算 统 计 描 述 的 命 令 。1、 随 机 数 的 产 生 在 Matlab软 件 中 ， 可 以 直 接 产 生 满 足 各 种 常 用分 布 的 随 机 数 ， 命 令 如 下 ：一 、 随 机 数 的 产 生10常 用 分 布 随 机 数 的 产 生定 义 ： 设 随 机 变 量 XF(x),则 称 随 机 变 量 X的抽 样 序 列 Xi为 分 布 F(x)的 随 机 数 函 数 名 对 应 分 布 的 随 机 数binornd 二 项 分 布 的 随 机 数chi2rnd 卡 方 分 布 的 随 机 数exprnd 指 数 分 布 的 随 机 数frnd f分 布 的 随 机 数gamrnd 伽 玛 分 布 的 随 机 数geornd 几 何 分 布 的 随 机 数hygernd 超 几 何 分 布 的 随 机 数normrnd 正 态 分 布 的 随 机 数poissrnd 泊 松 分 布 的 随 机 数trnd 学 生 氏 t分 布 的 随 机 数unidrnd 离 散 均 匀 分 布 的 随 机 数 unifrnd 连 续 均 匀 分 布 的 随 机 数 调 用 格 式 ：1、 y=random(name, A1, A2, A3, m, n)其 中 ： name为 相 应 分 布 的 名 称 ， A1, A2, A3为 分 布参 数 ， m为 产 生 随 机 数 的 行 数 ， n为 列 数 。2、 直 接 调 用 。如 ： y=binornd(n, p, 1,10) 产 生 参 数 位 n， p的 1行 10列 的 二 项 分 布 随 机 数 当 只 知 道 一 个 随 机 变 量 取 值 在 （ a， b） 内 ， 但 不知 道 （ 也 没 理 由 假 设 ） 它 在 何 处 取 值 的 概 率 大 ， 在何 处 取 值 的 概 率 小 ， 就 只 好 用 U（ a， b） 来 模 拟 它 。1、 均 匀 分 布 U(a,b)1)unifrnd (a,b)产 生 一 个 a,b 均 匀 分 布 的 随 机 数2)unifrnd (a,b,m, n)产 生 m行 n列 的 均 匀 分 布 随 机 数 矩 阵 例 1、 产 生 U(2,8)上 的 一 个 随 机 数 ， 10个 随 机 数 ， 2行 5列 的 随 机 数 。命 令 ： (1) y1=unifrnd(2,8)(2) y2=unifrnd(2,8,1,10)(3) y3=unifrnd(2,8,2,5)y1=7.7008y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726 4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926y3=6.7516 6.4292 4.4342 7.5014 7.3619； 7.5309 3.0576 7.6128 4.4616 2.3473 2、 正 态 分 布 随 机 数例 2、 产 生 N(10,4)上 的 一 个 随 机 数 ， 10个 随 机 数 ， 2行 5列 的 随 机 数 .命 令(1) y1=normrnd(10,2)(2) y2=normrnd(10,2,1,10)(3) y3=normrnd(10,2,2,5)1)R = normrnd(, ,)： 产 生 一 个 正 态 分 布 随 机 数2)R = normrnd(, ,m,n)产 生 m行 n列 的 正 态 分 布 随 机 数 当 研 究 对 象 视 为 大 量 相 互 独 立 的 随 机 变 量 之 和 ，且 其 中 每 一 种 变 量 对 总 和 的 影 响 都 很 小 时 ， 可 以 认为 该 对 象 服 从 正 态 分 布 。 机 械 加 工 得 到 的 零 件 尺 寸 的 偏 差 、 射 击 命 中 点与 目 标 的 偏 差 、 各 种 测 量 误 差 、 人 的 身 高 、 体 重 等 ，都 可 近 似 看 成 服 从 正 态 分 布 。 3、 指 数 分 布 随 机 数例 3、 产 生 E(0.1)上 的 一 个 随 机 数 ， 20个 随 机 数 ， 2行 6列 的 随 机 数 。命 令(1) y1=exprnd(0.1)(2) y2=exprnd(0.1,1,20)(3) y3=exprnd(0.1,2,6)1) R = exprnd()： 产 生 一 个 指 数 分 布 随 机 数2)R = exprnd(,m,n)产 生 m行 n列 的 指 数 分 布 随 机 数 结 果(1) y1=0.0051(2) y2=0.1465 0.0499 0.0722 0.0115 0.0272 0.0784 0.3990 0.0197 0.0810 0.0485 0.0233(3) y3=0.1042 0.4619 0.1596 0.0505 0.1615 0.0292； 0.0207 0.1974 0.1616 0.1301 0.4182 0.0809 排 队 服 务 系 统 中 顾 客 到 达 率 为 常 数 时 的 到 达 间 隔 、故 障 率 为 常 数 时 零 件 的 寿 命 都 服 从 指 数 分 布 。指 数 分 布 在 排 队 论 、 可 靠 性 分 析 中 有 广 泛 应 用 。例 顾 客 到 达 某 商 店 的 间 隔 时 间 服 从 参 数 为 0.1的 指数 分 布 指 数 分 布 的 均 值 为 1/0.1=10。 指 两 个 顾 客 到 达 商 店 的 平 均 间 隔 时 间 是 10个单 位 时 间 .即 平 均 10个 单 位 时 间 到 达 1个 顾 客 . 顾客 到 达 的 间 隔 时 间 可 用 exprnd(10)模 拟 。 4、 二 项 分 布 随 机 数例 4、 产 生 B(10,0.8)上 的 一 个 随 机 数 ， 15个 随 机 数 ， 3行 6列 的 随 机 数 。命 令(1) y1=binornd(10,0.8)(2) y2=binornd(10,0.8,1,15)(3) y3=binornd(10,0.8,3,6)1)R = binornd(n, p)： 产 生 一 个 二 项 分 布 随 机 数2) R = binornd(n,p,m,n)产 生 m行 n列 的 二 项 分 布 随 机 数 20、 其 他 分 布 随 机 数 的 产 生 方 法定 理 设 X的 分 布 函 数 为 F(x)， 连 续 且 严 格 单 调 上 升 ，它 的 反 函 数 存 在 ， 且 记 为 F-1(x)，则 F(X)U(0,1) 若 随 机 变 量 UU(0,1),则 F-1(U) 的 分 布 函 数 为 F(x)。 此 定 理 给 出 的 构 造 分 布 函 数 为 F(x)的 随 机数 的 产 生 方 法 为 ： 取 U(0,1)随 机 数 Ui,(i=1,2),令 Xi=F-1(Ui),则Xi ,(i=1,2),就 是 F(x)随 机 数 ， 如 果 Ui独 立 ， 则X i也 互 相 独 立 。 （ 一 ） 直 接 抽 样 法 （ 反 函 数 法 ）（ 1） 连 续 分 布 的 直 接 抽 样 法设 连 续 型 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 为 F(x)，则 产 生 随 机 数 的 方 法 为 ：取 U(0,1)随 机 数 Ui,(i=1,2),令 Xi=F(Ui),则 Xi ,(i=1,2),就 是 F(x)随 机 数 ， 如 果 Ui独 立 ， 则 Xi也 互 相 独 立 。 设 分 布 律 为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, .， 其 分 布 函 数 为 F(x) （ 2） 离 散 分 布 的 直 接 抽 样 法 产 生 均 匀 随 机 数 R， 即 RU(0,1) )( ,(),()( 11 i1ii xFRx 32ixFRxFxX 若若 则 XF(x) （ 二 ） 变 换 抽 样 法（ 三 ） 值 序 抽 样 法（ 四 ） 舍 选 抽 样 法（ 五 ） 复 合 抽 样 法 （ 合 成 法 ）（ 六 ） 近 似 抽 样 法详 见 ： 高 惠 璇 北 京 大 学 出 版 社 统 计 计 算 的 随 机 数生 成 ,min 21 nXXXY 例 5、 设 X分 布 函 数 为 nnXY yyFyF 11)(11)( ， 11 10 00)( xxx xxFX nY yyF )1(1)(1 解 ： Y的 分 布 函 数 为其 反 函 数 为 nY URand 1)1(1 生 成 n=20的 1行 10列 随 机 数命 令 ： U=unifrnd(0,1,1,10); Y=1-(1-U).(1/20);)1,0(UU设则 例 6 生 成 单 位 圆 上 均 匀 分 布 的 1行 10000列 随 机 数 ， 并画 经 验 分 布 函 数 曲 线 。Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);%(0,2pi)上 均 匀 分 布 随 机 数xRandnum=cos(Randnum);%横 坐 标yRandnum=sin(Randnum);%丛 坐 标plot(xRandnum,yRandnum); 例 6 频 率 的 稳 定 性1、 事 件 的 频 率 在 一 组 不 变 的 条 件 下 ， 重 复 作 n次 试 验 ， 记 m是 n次 试 验 中 事 件 A发 生 的 次 数 。 频 率 f=m/n 2.频 率 的 稳 定 性 在 重 复 试 验 中 ， 事 件 A的 频 率 总 在 一 个 定 值 附 近 摆 动 ，而 且 ， 随 着 重 复 试 验 次 数 的 增 加 ， 频 率 的 摆 动 幅 度越 来 越 小 ， 呈 现 出 一 定 的 稳 定 性 . 掷 一 枚 硬 币 ， 记 录 掷 硬 币 试 验 中 频 率 P*的 波 动 情 况 。(1)模 拟 产 生 n个 0-1分 布 随 机 数 randnum(n)(2)对 模 拟 产 生 的 随 机 数 ， xrandnum (i)表 示第 i次 试 验 的 结 果 ， 1表 示 正 面 向 上 ， 0表 示 反面 向 上 。(3)统 计 前 i次 试 验 中 正 面 向 上 的 次 数 ， 并 计 算 频 率（ 4） 作 图 (关 于 频 率 和 试 验 次 数 的 图 像 ）p为 正 面 向 上 的 概 率 ， n为 试 验 次 数 在 Matlab中 编 辑 .m文 件 输 入 以 下 命 令 ：function binomoni(p,n)pro=zeros(1,n); %频 率 向 量randnum = binornd(1,p,1,n);%产 生 二 项 分 布 随 机 数a=0;for i=1:n a=a+randnum(1,i);%频 数 pro(i)=a/i;%频 率end pro=pro;num=1:n;plot(num,pro,num,p) 在 Matlab命 令 行 中 输 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.5,1000) 在 Matlab命 令 行 中 输 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.5,10000) 在 Matlab命 令 行 中 输 入 以 下 命 令 ：binomoni(0.3,1000) 1、 表 示 位 置 的 统 计 量 平 均 值 和 中 位 数平 均 值 （ 或 均 值 ， 数 学 期 望 ） ： ni iXnX 11中 位 数 ： 将 数 据 由 小 到 大 排 序 后 位 于 中 间 位 置 的 那 个 数 值 . 二 、 常 用 统 计 量平 均 值 ： mean(x)中 位 数 ： median(x)若 x为 矢 量 ， 返 回 平 均 值 和 中 位 数 ， 若 x为矩 阵 ， 结 果 为 行 向 量 ， 每 个 元 素 对 应 x中列 元 素 的 平 均 值 和 中 位 数 2、 表 示 变 异 （ 离 散 ） 程 度 的 统 计 量 方 差 、 标 准 差 、 极 差 样 本 方 差 ： )( n1i 2i2 XX1n1S它 是 各 个 数 据 与 均 值 偏 离 程 度 的 度 量 标 准 差 ： 是 方 差 的 开 方 极 差 ： 样 本 中 最 大 值 与 最 小 值 之 差 . 标 准 差 ： std(x) 方 差 ： var(x)极 差 ： range(x) 例 7： 产 生 5组 正 态 分 布 随 机 数 ， 每 组 100个 ，计 算 均 值 、 中 位 数 、 标 准 差 、 极 差 、 方 差 。x=normrnd(0,1,100,5);mean1=mean(x)median1=median(x)std1=std(x)var1=var(x)rang1=range(x) 3.表 示 分 布 形 状 的 量 偏 度 和 峰 度 分 布 偏 度 ： 31 31 )(1 s XXnG ni i 3 31 )( XEXEg 其 估 计 量 为 ： 其 中 2)(1 XXns i 命 令 ： y=skewness(x)若 x为 矢 量 ， 返 回 样 本 偏 度 ， 若 x为 矩 阵 ，结 果 为 行 向 量 ， 每 个 元 素 对 应 x中 列 元 素的 样 本 偏 度 。正 态 分 布 偏 度 为 0， 偏 度 反 映 分 布 的 对 称 性 ，g1 0称 为 右 偏 态 ， 此 时 数 据 位 于 均 值 右 边 的比 位 于 左 边 的 多 ； g1 0称 为 左 偏 态 ， 情 况 相反 ； 而 g1接 近 0则 可 认 为 分 布 是 对 称 的 . 分 布 峰 度 4 42 )(1 s XXnG i 42 4)( XEXEg 其 估 计 量 为 ： 其 中 2)(1 XXns i 命 令 ： y=kurtosis(x)若 x为 矢 量 ， 返 回 x的 样 本 峰 度 ， 若 x为 矩阵 ， 结 果 为 行 向 量 ， 每 个 元 素 对 应 x中 列元 素 的 样 本 峰 度 。峰 度 是 分 布 形 状 的 另 一 种 度 量 ， 正 态 分 布的 峰 度 为 3， 若 g2比 3大 很 多 ， 表 示 分 布 有 沉重 的 尾 巴 ， 说 明 样 本 中 含 有 较 多 远 离 均 值 的数 据 ， 因 而 峰 度 可 用 作 衡 量 偏 离 正 态 分 布 的尺 度 之 一 例 8： 产 生 5组 正 态 分 布 随 机 数 ， 每 组 100个 ，计 算 样 本 偏 度 和 峰 度 。x=normrnd(0,1,100,5);skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x)例 9： 产 生 5组 指 数 分 布 随 机 数 ， 每 组 100个 ，计 算 样 本 偏 度 和 峰 度 。x=exprnd(10,100,5); skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x) 三 、 分 布 函 数 的 近 似 求 法 （ 直 方 图 ）1、 经 验 分 布 函 数 （ 累 计 频 率 直 方 图 ）Empirical Cumulative Distribution Function 定 义 ： 设 x1， x2， ， xn是 总 体 的 容 量 为 n的 样本 值 ， 将 其 按 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 并重 新 编 号 ， 记 为 *2*1 nxxx 则 经 验 分 布 函 数 为 ：总 体 分 布 函 数 的 近 似 * * 1* *110)( n kkn xx xxxnk xxxF2、 频 率 直 方 图 近 似 概 率 密 度 函 数下 面 介 绍 频 率 直 方 图 和 经 验 分 布 函 数 的 做 法 1、 整 理 资 料 ： 把 样 本 值 x1， x2， ， xn进 行 分 组 ， 先将 它 们 依 大 小 次 序 排 列 ， 得 *2*1 nxxx 在 包 含 , *1 nxx 的 区 间 a， b内 插 入 m-1个 等 分 点 ： 121 mttt 注 意 要 使 每 一 个 区 间 (i=1， 2， ， m)内 都 有 样 本 观 测 值 x i（ i=1， 2， ， n-1） 落 入 其 中 .记 t0=a,tm=b。 第 i个 小 区 间 为 ), 1 ii tt ), 1 ii tt 2、 求 出 各 组 的 频 数 和 频 率 ：统 计 出 样 本 观 测 值 在 每 个 区 间 中 出 现 的 次 数 i 它 就 是 这 区 间 或 这 组 的 频 数 ， 计 算 频 率 nf ii 累 计 频 数 为 ij iiv 1 累 计 频 率 为 nvg ii ), 1 ii tt 3、 作 图 ： 记 ： dfy ii 其 中 d为 区 间 长 度 ， 以 小 区 间), 1 ii tt 为 底 ， 以 iy 为 高 作 长 方 形 (i=1,2,m)这 样 画 出 一 排 竖 着 的 长 方 形 极 为 频 率 直 方 图若 以 dg i 为 高 既 得 累 计 频 率 直 方 图 (1)、 描 绘 数 组 data的 频 数 直 方 图 的 命 令 为 ： hist(data, k)4、 频 数 直 方 图 的 描 绘(2)、 描 绘 附 加 带 有 正 态 密 度 曲 线 的 直 方 图 命 令 为 ： histfit(data , k)(3)、 描 绘 数 组 data的 经 验 分 布 函 数 的 命 令 为 ： cdfplot(data) 例 10 一 道 工 序 用 自 动 化 车 床 连 续 加 工 某 种 零 件 ，由 于 刀 具 损 坏 等 会 出 现 故 障 .故 障 是 完 全 随 机 的 ，并 假 定 生 产 任 一 零 件 时 出 现 故 障 机 会 均 相 同 .工 作人 员 是 通 过 检 查 零 件 来 确 定 工 序 是 否 出 现 故 障 的 .现 积 累 有 100次 故 障 纪 录 ， 故 障 出 现 时 该 刀 具 完 成的 零 件 数 如 下 ： 作 频 数 直 方 图 及 经 验 分 布 函 数 图 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 49 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 解x=459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 hist(x,10) histfit(x,10) 作 经 验 分 布 函 数 图cdfplot(x) 例 11、 产 生 参 数 为 10的 指 数 分 布 随 机 数 500个 ，并 画 出 直 方 图 和 经 验 分 布 函 数 图 。x=exprnd(10,100,1);作 经 验 分 布 函 数 图cdfplot(x) hist(x,9)作 直 方 图产 生 随 机 数