一元函数积分学

机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 第十章机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积=底面积*高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”用任意曲线网分D 为 n 个小区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案7.(二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例1.比较下列积分的大小:解解:积分域 D 的边界为圆周从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学高等数学A A电子教案电子教案内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)