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实数练习题温故而知新：1. 算术平方根与平方根：算术平方根：一般地，如果一个正数x的_平方_等于a，即_x2_=a_，那么这个正数x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.平方根：一般地，如果一个数的_平方_等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），这就是说，如果_x2_=a_，那么x叫做a的平方根，记为 平方根的性质：（1）正数有_两_个平方根，它们互为相反数_；（2）0的平方根是_0_；（3）_负数_没有平方根. 2. 立方根：立方根：一般地，如果一个数的_立方_等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果_x3_=a_，那么x叫做a的立方根. 立方根的性质：（1）正数的立方根是_正数_；（2）负数的立方根是_负数_；（3）0的立方根是_0_，即_0_.3. 实数的概念与分类：_整数 0正整数有限小数或无限循环小数负整数有理数正分数分数负分数实数正无理数无理数_无限不循环小数负无理数例1 一个正数x的平方根分别是a+1与a-3，则a的值为（ ）.A. 2 B. -1 C. 1 D. 0解析：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.（下）（a+1）+（a-3）=0，解得 a=1.答案：C小结：（1）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；（2）一个正数的立方根是一个正数.例2 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求m,n.先估算的值的范围，再确定其整数部分，余下的即为小数部分.解析：先估算的值的范围，再确定其整数部分，余下的即为小数部分。答案：解： 即 34 的整数部分 m=3，的小数部分n=-3小结：确定一个无理数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定小数部分的方法是：首先确定其整数部分，然后用这个数减去整数部分即得小数部分.例3 求下列各式中的x:（1）x2-144=0;（2）25x2-16=0；（3）（x-3)225.解析：先通过移项、系数化为1，将原式变形为x2=a(a0)的形式，再根据平方根的定义求出未知数x的值.答案：解：（1）x2-144=0 x2=144 x=12；（下） （2）25x2-16=0 x2= x=；（下） （3） （x-3）2=25 x-3=5 x=8或 x=-2小结：解这类题目要根据平方根的意义求解，所以先将方程转化为“x2=a”的形式，再用开平方法求解，这里要注意：当a0时，其平方根有两个，所以方程有两个解.例4 计算下列各式的值：（1）（2）（2）-（）解析：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减.答案：解：（1）原式=0-3-（-0.5）+ =0-3-+ =-2（下） （2）原式=2-=（2）+（） =小结：（1）有理数的运算法则及运算律在实数中仍然适用；（2）对于含有根号的计算，其结果不一定是无理数.例5 如图3-1所示，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm，现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液的高度为10 cm，求：（1）瓶内溶液的体积；（2）圆柱形杯子的内底面半径（3.14,结果精确到0.1 cm）.解析：该瓶的容积相当于底面与瓶底面相同，高为25 cm的圆柱体的体积.答案：解：1L=1000cm，由题意得瓶子的底面积为（cm2）（1） 瓶内溶液的体积是 4020=800（cm3）（2） 设圆柱形杯子的内底面半径为r，则 r210=800， r=5.0（cm）小结：解此类等积变形问题的关键是根据体积不变确定数量关系或建立等量关系.例6 规律探究：观察,即；,即.（1）猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；（2）写出符合这一规律的一般等式.解析：从给出的运算过程中找出规律，然后依规律计算答案：（1）,验证：;(2) (n为大于0的自然数).小结：此类规律型问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地计算，必要的观察，猜想，归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论.举一反三：1. 某正数的平方根为和，则这个数为（）.A. 1 B. 2 C. 4 D. 9解析：由平方根定义知与互为相反数，所以+=0,解得a=3，所以这个数的平方根为1,所以这个数为1.选A.2. 如图3-3，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（ ）.A. -2- B. -1- C. -2+ D. 1+ 解析：AB=+1,C点表示的数为-1-（+1)=-2-. 选A3. (1)1的平方根是 ；立方根为 ；算术平方根为 (2)平方根是它本身的数是 (3)立方根是其本身的数是 (4)算术平方根是其本身的数是 .解析：思考平方根和立方根的含义，注意特殊的数字。答案：（1）1 1 1（2） 0（3）1，0（4）1，04. 求下列各式中的x.（1）x2-5=4； （2）（x-2)3=-0.125解：（1）x=3; (2)x=1.5.5. “欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远，如图3-2，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d=，其中R是地球半径（通常取6 400 km）小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值解析：注意每一个字母所代表的含义.答案：解：由R=6 400 km，h=0.02 km,得d=16(km).答：此时d的值为16 km.7
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