虚功(虚位移)原理复习与例题

虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理 引引引引引引 言言言言言言 约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类约束及其分类 自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标自由度和广义坐标 以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束虚位移和理想约束 质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 引引 言言 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。位移原理求解比列平衡方程更方便。位移原理求解比列平衡方程更方便。位移原理求解比列平衡方程更方便。虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，方程，方程，方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。的方法。这些理论构成分析力学的基础。的方法。这些理论构成分析力学的基础。的方法。这些理论构成分析力学的基础。5.1.1 约束及其分类约束及其分类约约约约 束束束束物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制1.1.几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束y yx xO OA AA A0 0l l几何约束几何约束几何约束几何约束 在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的位形。位形。位形。位形。C CO Oy yx xv v vC CCC C*运动约束运动约束运动约束运动约束 在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。制它们运动的速度。制它们运动的速度。制它们运动的速度。O Oy yx xA Ax xB By yB Bx xA Ay yA AB Bv vA A2.2.定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束定常约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：y yx xvO OM3.3.单单单单面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束双面约束双面约束双面约束双面约束 约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。单面约束单面约束单面约束单面约束 约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。不等式的约束。不等式的约束。不等式的约束。B BB By yx xO Oy yx xO Oy yx xO O单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？约束方程？约束方程？约束方程？约束方程？y yx xO OA AA AA A0 0l lA A0 0l l3.3.单单单单面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束4.4.完整完整完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束 完整约束完整约束完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束非完整约束非完整约束非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。4.4.完整完整完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束C CO Oy yx xv v vC CCC C*O Oy yx xA Ax xB By yB Bx xA Ay yA Av vA A 约束方程不可积分，所以导弹约束方程不可积分，所以导弹约束方程不可积分，所以导弹约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。所受的约束为非完整约束。所受的约束为非完整约束。所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。B B5.1.2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度y yx xO Ol lA A(x x,y y)y yx xO OA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点确定质点确定质点确定质点系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。用用用用 q q1 1，q q2 2，表示。表示。表示。表示。自自自自 由由由由 度度度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式函数形式函数形式函数形式N=N=3 3n ns s 5.2.1 虚位移和理想约束虚位移和理想约束1.1.虚虚虚虚 位位位位 移移移移xyOB BA AMF F 质点系在给定瞬时，质点系在给定瞬时，质点系在给定瞬时，质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小为约束所允许的无限小为约束所允许的无限小为约束所允许的无限小位移位移位移位移虚位移虚位移虚位移虚位移（1 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系（1 1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MMMM1 1d dr rd dr re er rd dr r 实位移实位移实位移实位移 r r 虚位移虚位移虚位移虚位移实位移实位移实位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。（2 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。2.2.虚虚虚虚 功功功功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功虚功虚功虚功。W W=FF r r 3.3.理想约束理想约束理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。们把这种约束系统称为理想约束。们把这种约束系统称为理想约束。们把这种约束系统称为理想约束。W W=MM F FN Ni i r ri i =0 05.2.2 虚功原理（虚位移原理）虚功原理（虚位移原理）F Fi iF FN Ni im m1 1m m2 2m mi i r ri iF Fi i 主动力主动力主动力主动力F FN Ni i约束反力约束反力约束反力约束反力 r ri i虚位移虚位移虚位移虚位移F Fi i +F+FN Ni i=0 0F Fi i r ri i+F+FN Ni i r ri i =0 0 F Fi i r ri i+F FN Ni i r ri i =0 0 F FN Ni i r ri i =0 0 F Fi i r ri i=0 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 F Fi i r ri i=0 0 上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的解析表达式解析表达式解析表达式解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：用以下方法：用以下方法：用以下方法：（1 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。例例例例 题题题题 1 1已知：已知：已知：已知：OA=rOA=r ,AB=l,AB=l,不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量。求：求：求：求：平衡时平衡时平衡时平衡时F F与与与与M M 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。B BA AO O解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象 F Fi i r ri i=0 0 由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：MF FCBADMM 例例例例 题题题题 2 2已知：已知：已知：已知：菱形边长为菱形边长为菱形边长为菱形边长为a a ,求：求：求：求：物体物体物体物体C C所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。螺距为螺距为螺距为螺距为h h，顶角为，顶角为，顶角为，顶角为2 2 ，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为M.M.F FN N r rA A r rC C解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象(2)(2)建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系xyCBADMM F FN N解法二：解法二：解法二：解法二：取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系 r rC COABCDP PQ Q 例例例例 题题题题 3 3图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，已知已知已知已知OA/OB OA/OB=1/3=1/3，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主动力动力动力动力P P 和和和和Q Q 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。r rB B r rA A解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：例例例例 题题题题 4 4图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接HH点点点点的两杆长度为的两杆长度为的两杆长度为的两杆长度为l l 外外外外,其余各杆长度其余各杆长度其余各杆长度其余各杆长度均为均为均为均为 2 2l l,弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为k k,当当当当未加水平力未加水平力未加水平力未加水平力 P P 时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且 =0 0 ，求平衡时水平力，求平衡时水平力，求平衡时水平力，求平衡时水平力P P 的大小。的大小。的大小。的大小。解：解：解：解：(1)(1)建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系(2)(2)系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程(2)(2)系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程例例例例 题题题题 5 5求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。P PMMq ql ll l2 2l lABCD解：解：解：解：(1)(1)解除解除解除解除D D处约束，处约束，处约束，处约束，代之以反力代之以反力代之以反力代之以反力F FD D，并将，并将，并将，并将其视为主动力。其视为主动力。其视为主动力。其视为主动力。P PMMq qABCDF FD D s sE E s sD D其中其中其中其中解得解得解得解得(2)(2)解除解除解除解除B B处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FB B，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。F FB B s sB B s sC CP PMMq qABCD其中其中其中其中解得解得解得解得 s sE E由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得P PMMq qABCDF FA A s sA A s sC C s sE E(3)(3)解除解除解除解除A A处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FA A，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得其中其中其中其中代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得解得解得解得解得5.2.3 用广义坐标表示的质点系平衡条件用广义坐标表示的质点系平衡条件 广义虚位移广义虚位移广义虚位移广义虚位移 广义力广义力广义力广义力Q Q1 1 =Q=Q2 2 =0=0 质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零令令令令令令 广义力的计算方法广义力的计算方法广义力的计算方法广义力的计算方法1.1.按定义计算按定义计算按定义计算按定义计算2.2.用一组特定的广义坐标变分来计算用一组特定的广义坐标变分来计算用一组特定的广义坐标变分来计算用一组特定的广义坐标变分来计算 2 2y yx xO OA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab 1 1F FA AF FF FB B例例例例 题题题题 6 6求平衡时求平衡时求平衡时求平衡时 1 1 、2 2与与与与F FA A 、F FB B 、F F 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。解法一：解法一：解法一：解法一：按定义计算，取按定义计算，取按定义计算，取按定义计算，取 1 1 、2 2 为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。2 2y yx xO OA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab 1 1F FA AF FF FB B解得解得解得解得解法二：解法二：解法二：解法二：（1 1）令：）令：）令：）令：1 1 0 0 ，2 2=0 0 y yx xO OA AB B 1 1解得解得解得解得（2 2）令：）令：）令：）令：1 1=0 0 ，2 2 0 0 y yx xO OA AB B 1 1解得解得解得解得A A C CE ED DB BMM1 1MM2 2MM3 360606060例例例例 题题题题 7 7已知：已知：已知：已知：AC=CD=DEAC=CD=DE，MM1 1求：求：求：求：平衡时平衡时平衡时平衡时MM2 2 、MM3 3。解：解：解：解：（1 1）令：）令：）令：）令：1 1 0 0 ，2 2=0 0 A A C CE ED DB B1 11 1解得解得解得解得A A C CE ED DB BMM1 1MM2 2MM3 360606060解：解：解：解：（2 2）令：）令：）令：）令：2 2 0 0 ，1 1=0 0 3 32 2A A C CE ED DB B6060 r rB B r rE E由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：解得解得解得解得5.2.3 质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题1.1.平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件 某质点系由某质点系由某质点系由某质点系由n n 个质点组成，内有个质点组成，内有个质点组成，内有个质点组成，内有d d 个完整、定常的理想约束，处个完整、定常的理想约束，处个完整、定常的理想约束，处个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力于势力场中。作用在各质点上的主动力于势力场中。作用在各质点上的主动力于势力场中。作用在各质点上的主动力 F Fi i 都是有势力，因此，该都是有势力，因此，该都是有势力，因此，该都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数质点系是保守系统，它的势能函数质点系是保守系统，它的势能函数质点系是保守系统，它的势能函数 V V 可以表示为各质点坐标的函可以表示为各质点坐标的函可以表示为各质点坐标的函可以表示为各质点坐标的函数，即数，即数，即数，即这些主动力这些主动力这些主动力这些主动力 F Fi i 主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即将上式代入虚功方程，得将上式代入虚功方程，得将上式代入虚功方程，得将上式代入虚功方程，得 上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是：其平衡的充分必要条件是：其平衡的充分必要条件是：其平衡的充分必要条件是：该质点系势能的一阶变分等于零。该质点系势能的一阶变分等于零。该质点系势能的一阶变分等于零。该质点系势能的一阶变分等于零。当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数坐标表示的势能函数坐标表示的势能函数坐标表示的势能函数因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：2.2.平衡稳定性的概念平衡稳定性的概念平衡稳定性的概念平衡稳定性的概念 （a a）稳定平衡）稳定平衡）稳定平衡）稳定平衡（b b）非稳定平衡）非稳定平衡）非稳定平衡）非稳定平衡（c c）随遇平衡。）随遇平衡。）随遇平衡。）随遇平衡。3.3.单自由度系统平衡稳定性质的判别方法单自由度系统平衡稳定性质的判别方法单自由度系统平衡稳定性质的判别方法单自由度系统平衡稳定性质的判别方法平衡位置：平衡位置：平衡位置：平衡位置：例例例例 题题题题 8 8已知：已知：已知：已知：AB=lAB=l，m,R m,R。求：求：求：求：平衡位置并判别其稳定性。平衡位置并判别其稳定性。平衡位置并判别其稳定性。平衡位置并判别其稳定性。OABm mg gCxy 解：解：解：解：取为取为取为取为 其广义坐标，建立图示坐标系。其广义坐标，建立图示坐标系。其广义坐标，建立图示坐标系。其广义坐标，建立图示坐标系。l ll lO OA Am mm m 研究研究研究研究：1 1、应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；跷板跷板跷板跷板 2 2、应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；3 3、确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。如图所示为玩具跷板简图。如图所示为玩具跷板简图。如图所示为玩具跷板简图。如图所示为玩具跷板简图。在不计质量的木钉上固结两个与在不计质量的木钉上固结两个与在不计质量的木钉上固结两个与在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为木钉夹角为木钉夹角为木钉夹角为 的刚性臂。臂端分的刚性臂。臂端分的刚性臂。臂端分的刚性臂。臂端分别安装的质量均为别安装的质量均为别安装的质量均为别安装的质量均为 m m 的小球。两的小球。两的小球。两的小球。两臂等长均为。钉长臂等长均为。钉长臂等长均为。钉长臂等长均为。钉长OAOAd d ，分别，分别，分别，分别与两臂所夹与两臂所夹与两臂所夹与两臂所夹 角的范围角的范围角的范围角的范围 。将木钉的尖端将木钉的尖端将木钉的尖端将木钉的尖端O O放置在柱形支承放置在柱形支承放置在柱形支承放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转的表面，玩者可随意让跷板旋转的表面，玩者可随意让跷板旋转的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。或摆动。或摆动。或摆动。跷跷跷跷 板板板板 O OA Am mm m l ll lC C2 2m mg g 解解解解：一般情形下，跷板绕点一般情形下，跷板绕点一般情形下，跷板绕点一般情形下，跷板绕点O O作定点作定点作定点作定点运动。本例主要研究二维运动，因此，运动。本例主要研究二维运动，因此，运动。本例主要研究二维运动，因此，运动。本例主要研究二维运动，因此，这是一个自由度的理想约束系统。取这是一个自由度的理想约束系统。取这是一个自由度的理想约束系统。取这是一个自由度的理想约束系统。取 为广义坐标。为广义坐标。为广义坐标。为广义坐标。以支点以支点以支点以支点O O作为零势能位置作为零势能位置作为零势能位置作为零势能位置1.1.跷板的静平衡位置跷板的静平衡位置跷板的静平衡位置跷板的静平衡位置O OA Am mm m l ll lC C2 2m mg g O OA Am mm m l ll lC C2 2m mg g 2.2.跷板的二维微振动方程跷板的二维微振动方程跷板的二维微振动方程跷板的二维微振动方程 为了计算系统的动能，令为了计算系统的动能，令为了计算系统的动能，令为了计算系统的动能，令l l1 1为每为每为每为每个小球到支点个小球到支点个小球到支点个小球到支点O O 的距离，的距离，的距离，的距离，系统的总动能为系统的总动能为系统的总动能为系统的总动能为系统的总势能为系统的总势能为系统的总势能为系统的总势能为由系统的机械能守恒，得由系统的机械能守恒，得由系统的机械能守恒，得由系统的机械能守恒，得将上式对时间求导，并注意到：将上式对时间求导，并注意到：将上式对时间求导，并注意到：将上式对时间求导，并注意到：得跷板的二维微振动方程得跷板的二维微振动方程得跷板的二维微振动方程得跷板的二维微振动方程O OA Am mm m l ll lC C2 2m mg g 3.3.跷板的固有频率跷板的固有频率跷板的固有频率跷板的固有频率 结论与讨论结论与讨论1.1.虚虚虚虚 位位位位 移移移移 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移虚位移虚位移虚位移 作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功虚功虚功虚功虚功 2.2.理想约束理想约束理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为们把这种约束系统称为们把这种约束系统称为们把这种约束系统称为 理想约束。理想约束。理想约束。理想约束。F Fi i r ri i=0 0 具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理3.3.虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，代之以约束反力，代之以约束反力，代之以约束反力，并将此约束反力当作主动力，可和其它主动并将此约束反力当作主动力，可和其它主动并将此约束反力当作主动力，可和其它主动并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。力一起应用虚位移原理求解。力一起应用虚位移原理求解。力一起应用虚位移原理求解。（1 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。5.5.建立虚位移关系间的方法建立虚位移关系间的方法建立虚位移关系间的方法建立虚位移关系间的方法4.4.广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。用确定质点系位形的独立参变量。用确定质点系位形的独立参变量。用确定质点系位形的独立参变量。用 q q1 1，q q2 2，表示。表示。表示。表示。自自自自 由由由由 度度度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。6.6.用广义坐标表示的质点系平衡条件用广义坐标表示的质点系平衡条件用广义坐标表示的质点系平衡条件用广义坐标表示的质点系平衡条件平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：Q Q1 1 =Q=Q2 2 =Q=Qk k=0=0广义力：广义力：广义力：广义力：广义力：广义力：7.7.质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题 如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力可写为可写为可写为可写为平衡的稳定性：平衡的稳定性：平衡的稳定性：平衡的稳定性：平衡位置：平衡位置：平衡位置：平衡位置：返回本章目录页返回本章目录页返回本章目录页返回本章目录页