布朗运动的计算课件.ppt

2. 与 布 朗 运 动 有 关 的 随 机 过 程过 程 1： d维 布 朗 运 动 过 程 2： 2( , ) 布 朗 运 动2, = + ( ), 0 , 0tB t W t t R 相 关 函 数均 值 函 数 2, ( )=Bm t t 2, 2 2( , )= + min( , )BR s t st s t 2( , ) 布 朗 运 动 是 一 个 高 斯 过 程性 质带 漂 移 的 布 朗 运 动 的 民 用 航 空 发 动 机 实 时 性 能 可靠 性 预 测 ， 航 空 动 力 学 报2009， Vol.1,No.12.任 淑 红 2( , ) 布 朗 运 动 是 一 个 高 斯 过 程证 明 对 任 意 自 然 数 2,n 不 是 一 般 性 ， 取 n个 不 同的 时 间 指 标 0 10= ,nt t t 定 义 增 量 2 2-1, ,= - , =1, ,k kk t tB B k n 则 2-1 -1 ( ( - ), ( - )k k k k kN t t t t 2 21 , , 1( , , )=( , , )nt t n n nB B M 过 程 3： 布 朗 桥= ( )- (1) 0,1brtB W t tW t则 称 = , 0,1br brtB B t 为 从 0到 0的 布 朗 桥均 值 函 数 ( )= ( )- (1)=0, 0,1 brBm t E W t tW t 相 关 函 数 (s, )=mins,t-st, , 0,1brBR t s t 性 质 ， 从 0到 0的 布 朗 桥 是 高 斯 过 程 例 设 常 数 , ,a b R 定 义 从 a到 b的 布 朗 桥 ：= +( - ) + 0,1a b brt tB a b a t B t 证 明 ： 0 1(1) = , =a b a bB a B b (2) 从 a到 b的 布 朗 桥 是 高 斯 过 程 ,且( )= +( - ) 0,1 a bm t a b a t t ( , )= ( - ( )( - (t)=min ,- 0,1a b a b a b a b a bs tC s t E B m s B ms t st t 布 朗 桥 在 研 究 经 验 分 布 函 数 中 起 着 非 常 重 要 的作 用 。 设 X1,X2, Xn, 独 立 同 分 布 ， XnU(0,1) ，对 0s0get tB B t R 均 值 函 数相 关 函 数 2 2,( )= exp( )=exp( + ), 02ge tBm t E B t t 22 ( - )( + ) 2 2(s, )= , , 0 ge t st s sBR t e e e s t 股 票 价 格 服 从 几 何 布 朗 运 动 的 证 明 谢 惠 扬 2,( )= exp( )ge tBm t E B 2-+ + 2- 1= 2 xt x te e dxt 2-2-+ 2- 1= 2 x t xt te e dxt 2 2( - ) ( )-+ 2 2- 1= 2 x t tt t te e e dxt 2=exp( + ), 02 t t + ( ) + (t) ( + )+ ( ( )+ ( )(s, )= =ge s W s t W s t W s W tBR t Ee e Ee ( + ) ( ( )+ ( )= s t W s W te Ee ( + ) ( )+( ( )- ( )+ ( )= s t W s W t W s W se Ee ( + ) 2 ( ) ( )- ( )= s t W s W t W se Ee E 22 ( - )( + ) 2 2= , , 0t st s se e e s t 过 程 5： 反 射 布 朗 运 动= ( ) 0retB W t t 均 值 函 数 2( )= ( ) = , 0 reB tm t E W t t ( )= ( ) reBm t E W t 2-+ 2- 1= 2 xtx e dxt 2 +-2 02= (- )2 xtt et 2= , 0t t 过 程 6： 奥 恩 斯 坦 -乌 伦 贝 克 过 程-= ( ( ) 0 0ou ttB e W t t ） ，其 中 2 20 1( )= = ( -1)2t s tt e ds e 均 值 函 数 -( )= ( ( ) =0, 0ou tBm t E e W t t ）- ( + )( , )=min (s), (t) , , 0ou s tBR s t e s t 相 关 函 数 补 充 ：随 机 变 量 序 列 或 随 机 过 程均 方 极 限均 方 连 续均 方 可 导均 方 可 积 1 均 方 极 限 的 定 义定 义 设 , , 1,2,nX X H n 如 果则 称 Xn,n=1,2,均 方 收 敛 于 X,或 称 X 为 Xn,n=1,2,的 均 方 极 限 ， 记 为 . nnlimX X 2lim 0nn E X X 2 均 方 连 续设 X(t), t T是 二 阶 矩 过 程 , t0 T, 若 0 0. ( ) ( )t tl i mX t X t 则 称 X(t), t T在 t0处 均 方 连 续 若 对 任 意 的 t T, X(t), t T在 t处 均 方 连 续 ,则 称 X(t), t T在 T上 均 方 连 续 . 或 称 X(t), t T是 均 方 连 续 的 .1. 均 方 连 续 定 义 3 均 方 导 数1. 均 方 导 数 的 定 义 设 ( ), X t t T 是 二 阶 矩 过 程 ， 0 ,t T 若 均 方 极 限0 00 ( ) ( ).t X t t X tl i m t 存 在 ,则 称 此 极 限 为 ( ), X t t T 在 t0点 的 均 方 导 数 . 0( )X t 或 0( ) .t tdX tdt 这 时 称 ( ), X t t T 在 t0处 均 方 可 导 记 为 4 均 方 积 分1. 均 方 积 分 的 定 义设 X(t),t a,b是 二 阶 矩 过 程 ， f(t,u)是 a,b U上 的 普 通 函 数 ， 对 区 间 a,b 任 一 划 分0 1 na t t t b 1, 1,2, , )k k kt t t k n （记 1 , , 1,2, ,k kk t t nt k 任 取 （ ） 作 和 式1 ( , ) ( ) ,k kn kkt tf u X t H 如 果 以 下 均 方 极 限 存 在 0 1. ( , ) ( )n k k kklim f t u X t t 1max kk n t 令 该 均 方 极 限 值 Y(u)称 为 ( , ) ( ), , f t u X t t a b 在 a,b上 的 均 方 积 分 .kt且 此 极 限 不 依 懒 于 对 a,b的 分 法 及 的 取 法 ,则 称 ( , ) ( ), , f t u X t t a b 在 a,b上 均 方 可 积 . ( , ) ( ) ,ba f t u X t dt记 为 即 ( , ) ( ) ,( ) b a f t u X t dt uY Uu 结 论 设 二 阶 矩 过 程 X(t),t T均 方 可 导 .则(1)导 数 过 程 的 均 值 函 数 等 于 原 过 程 ( ), X t t T 均 值 函 数 的 导 数 ， 即( ) ( ), ;X Xm t m t t T ( ), X t t T (2) 导 数 过 程 (), X t t T 和 原 过 程 (), X t t T 的互 相 关 函 数 ( , ) XXR s t 等 于 原 过 程 (), X t t T 的相 关 函 数 ( , )XR s t 关 于 s的 偏 导 数 ， 即( , ) ( , ), , ;XX XR s t R s t s t Ts ( , ) ( , ), , ;XX XR s t R s t s t Tt (3)原 过 程 ( ), X t t T ( ), X t t T 和 导 数 过 程 的互 相 关 函 数 ( , )XXR s t 等 于 原 过 程 ( ), X t t T 的相 关 函 数 ( , )XR s t 关 于 t的 偏 导 数 ， 即的 的(4) 导 数 过 程 ( ), X t t T 相 关 函 数 ( , )XR s t等 于 原 过 程 ( ), X t t T 相 关 函 数 ( , )XR s t的 二 阶 混 合 偏 导 数 ， 即 2 2( , ) ( , ) ( , ), , .X X XR s t R s t R s t s t Ts t t s 是 参 数 为定 义 设 ( ), 0W t t 2 的 Wiener过 程 .如 果 存 在 实 随 机 过 程 以 2 ( )s t 为 其 相 关 函 数 ，则 称 该 过 程 为 Wiener 过 程 ( ), 0W t t 的 导 数 过程 记 为 ( ), 0.W t t 从 而2( , ) ( ), , 0. WR s t s t s t 称 参 数 为 2 的 Wiener过 程 ( ), 0W t t 的 导 数 过 程 ( ), 0W t t 为 参 数 为 2 的 白 噪 声 过 程 或 白 噪 声 . 七 .布 朗 运 动 的 导 数 过 程 ts tstsRs W ,0 ,),( 2因 为 ts tstsu ,0,1)(令 ：)(),( 2 tsutsRs W 则 有 ( ) ( )s tDri u stca t 再 引 进 函 数 ： )(),( 22 tstsRst W 于 是 有 )(),( 22 tstsRts W 同 理 八 .布 朗 运 动 的 积 分 过 程0( ) ( ) , ( ) .tS t W u du S t令 称 为 积 分 布 朗 运 动积 分 布 朗 运 动 是 正 态 过 程( ) 0E s 20( , ) ( )2 3S s ts sC s t t 当 九 ： 在 某 点 被 吸 收 的 布 朗 运 动( ) 0.( ),( ) , ( ), 0 .( )x xxT W t x xW t t TZ t x t TZ t t x xZ t 设 为 布 朗 运 动 首 次 击 中 的 时 刻 ， 令则 是 击 中 后 被 吸 收 停 留 在 状 态 的 布 朗 运 动是 混 合 型 随 机 变 量 . 本 章 作 业 1. 2. 3. 6. 8. 举 例1.写 出 ( ， 2)布 朗 运 动 的 均 值 向 量 和 协 方 差 矩 阵 。2.计 算 标 准 布 朗 运 动 的 二 维 分 布 函 数 及 其 密 度 函 数 。 11( ) ( )212 21( ) (2 ) Tx xn Bexf B 3 )m N C BC Tn m（ ） Y=XC(C ),服 从 维 正 态 分 布 ( C,3.写 出 W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的 分 布