(完整版)高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4 之平面向量知识点归纳一 .向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行单位向量：模为1 个单位长度的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设uuurruuurrr uuuruuur uuurABa, BCb ，则 a + b = ABBC = AC（ 1） 0 aa0a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；uuuruuuruuurLuuuruuuruuurABBCCDPQQRAR ，但这时必须“首尾相连” 3、向量的减法： 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量向量减法：向量a加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法： ab 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（a 、 b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：（）aa ； （）当0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当0时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a 0 ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b = a6、平面向量的基本定理：如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 ,2 使： a1 e12e2 ，其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量rrrra 可表示成axiyj ，记作ra =(x,y)。2 平面向量的坐标运算：(1)rx1 , y1rx2, y2rrx1x2 , y1y2若 a,b，则 abuuur(2)若 A x1 , y1 , Bx2 , y2 ，则 ABx2x1, y2y1(3)r=(x,y)，则rx,y)若 aa =(4)rx1 , y1rx2, y2rrx1 y2x2 y10若 a,b，则 a / b(5)rx1 , y1rx2, y2rrx1 x2y1 y2若 a,b，则 a brry1 y2 0若 ab ，则 x1 x2三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：rrrrrr已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为，则 a b = a b cosrrr r0叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定 0 arr rrr cosa b2 向量的投影： b= r R，称为向量 b在 a 方向上的投影 投影的绝对值| a |称为射影3 数量积的几何意义：rrrrrab 等于a 的长度与 b在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：r rr2r2a aa| a |5 乘法公式成立：rrrrr 2r 2r 2r2abababab；rr 2r2r rr2r 2r rr 2aba2a bba2abb6 平面向量数量积的运算律：r rrr交换律成立： a bba对实数的结合律成立：rrrrrrRaba babrrrrrrrrrr( 第 1 题 )分配律成立：abca cbccab特别注意：（ 1）结合律不成立：rrrr rr；ab ca bcrrr rrr（ 2）消去律不成立 a ba c不能得到 bcr r不能得到rrrr（ 3） a b =0a=0 或 b = 07 两个向量的数量积的坐标运算：rrrry1 y2已知两个向量 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，则 a b = x1x28 向量的夹角：已知两个非零向量rruuurruuur ra与 b ，作 OA = a ,OB = b ,则 AOB=（ 001800）叫做向量rra与 b 的夹角r rr ?rx xyyb212a1cos = cosa,brr =22x222a ? bx1y1y2rr同方向时，rr当且仅当两个非零向量 a与 b=00 ，当且仅当 a与 b 反方向时 =1800 ，r同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题rr0rrrr9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 90则称 a 与 b 垂直，记作 a b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ba b Ox1 x2y1 y20 平面向量数量积的性质一、选择题1在 ABC中， AB AC，D， E 分别是 AB， AC 的中点，则 () A AB 与 AC 共线 B DE 与 CB 共线 C AD 与 AE 相等D AD 与 BD 相等2下列命题正确的是() A向量 AB 与 BA 是两平行向量B若 a， b 都是单位向量，则a bC若 AB DC ，则 A， B，C，D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点A( 3， 1) ，B( 1，3) ，若点 C满足 OC OA OB ，其中， R，且 1，则点 C 的轨迹方程为 () A 3x 2y11 0B( x 1) 2 ( y1) 2 5C 2x y0D x2y 5 04已知 a、 b 是非零向量且满足( a2b) a，( b2a) b ，则 a 与 b 的夹角是AB25CD63365已知四边形 ABCD是菱形， 点 P 在对角线 AC 上 ( 不包括端点 A，C) ，则 AP A ( AB AD ) ， ( 0， 1)B ( AB BC ) ， ( 0，2 )2C ( AB AD ) ， ( 0，1)D ( AB BC ) ， ( 0，2 )26 ABC中， D， E， F 分别是 AB， BC， AC 的中点，则 DF () A EF EDB EF DEC EF ADD EF AF7若平面向量a 与 b 的夹角为60， | b| 4， ( a 2b) ( a 3b) 72，则向量 a 的模为 () A2B4C 6D 128点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点， 满足 OA OB OB OC OC OA ，则点 O 是 ABC 的 () A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点9在四边形ABCD中， AB a 2b， BC 4a b ， CD 5a 3b，其中 a，b 不共线，则四边形ABCD为 () A平行四边形B矩形C梯形D菱形10如图，梯形 ABCD中，| AD | | BC | ，EF AB CD 则相等向量是 () A AD 与 BCB OA 与 OBC AC 与 BDD EO 与 OF二、填空题( 第 10 题 )11已知向量 OA ( k，12) ， OB ( 4， 5) ， OC ( k，10) ，且 A， B， C 三点共线，则 k12已知向量 a ( x 3， x2 3x 4) 与 MN 相等，其中 M( 1， 3) ，N( 1， 3) ，则 x BC CA CA AB 的值等于14给定两个向量a ( 3， 4) ， b( 2， 1) ，且 ( a mb) ( ab) ，则实数m等于15已知 A， B， C 三点不共线，O 是 ABC 内的一点，若OA OB OC 0，则 O 是 ABC的16设平面内有四边形ABCD和点 O， OA a， OB b， OC c, OD d ，若a c b d，则四边形ABCD的形状是三、解答题17已知点A( 2，3) ， B( 5， 4) ， C( 7， 10) ，若点 P 满足 AP AB AC ( R) ，试求为何值时，点P 在第三象限内？13已知平面上三点A，B，C 满足 | AB | 3，| BC | 4，| CA | 5，则 AB BC18如图，已知ABC，A( 7， 8) ， B( 3， 5) ， C( 4，3) ， M ，N， D 分别是AB，AC， BC的中点，且MN 与 AD 交于 F，求 DF ( 第 18 题 )19如图，在正方形ABCD中， E， F 分别为 AB， BC 的中点，求证：AF DE( 利用向量证明 ) ( 第 19 题 )20已知向量a ( cos ， sin ) ，向量 b (3 ， 1) ，则 | 2a b| 的最大值一、选择题1 B解析：如图，AB 与 AC ， AD 与 AE 不平行， AD 与 BD 共线反向2 A( 第 1 题 )解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对若 AB DC ，可能 A， B，C，D 四点共线，故C 不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对3 D解析：提示：设OC ( x， y) ， OA ( 3，1) ， OB ( 1， 3) ，OA ( 3 ，) ，OB ( ， 3 ) ，又OA OB ( 3 ， 3 ) ， ( x， y) ( 3 ， 3 ) ， x3 ，又 1，由此得到答案为y 3D4 B解析： ( a 2b) a， ( b2a) b， ( a2b) a a 2 2a b 0， ( b 2a) b b2 2a b 0， a2 b2，即 | a| | b| | a| 22| a| b| cos 2| a| 2cos解得 cos 1 2 a 与 b 的夹角是35 A解析：由平行四边形法则，AB AD AC ，又 AB BC AC ，由 的范围和向量数乘的长度， ( 0， 1) 6 D解析：如图，AF DE ， DF DE EF EF AF 7 C解析：由 ( a 2b) ( a 3b) 72，得 a2 a b 6b2 72而 | b| 4， a b | a| b| cos 60 2| a| ， | a| 2 2| a| 96 72，解得 | a| 68 D解析：由OA OB OB OC OC OA ，得 OA OB OC OA ,即 OA ( OC OB ) 0，故 BC OA 0， BC OA ，同理可证AC OB ， O 是 ABC的三条高的交点9 C解析：AD AB BC CD 8a 2b 2 BC ， AD BC 且 | AD | | BC | 四边形 ABCD为梯形10D解析： AD 与 BC ， AC 与 BD ， OA 与 OB 方向都不相同，不是相等向量二、填空题11 2 3解析： A， B， C 三点共线等价于AB ， BC 共线，AB OB OA ( 4， 5) ( k， 12) ( 4k， 7) ，BC OC OB ( k， 10) ( 4， 5) ( k 4， 5) ，又 A， B，C 三点共线， 5( 4 k) 7( k4) ，k 2 312 1解析： M( 1，3) ， N( 1， 3) ， MN ( 2， 0) ，又 a MN ，x32x1解得2或x4x 3x40x1 x 113 25解析：思路1：AB 3， BC 4， CA 5 ，D( 第 13 题 ) ( CA ) 22 CA 25思路 2：AB 3， BC 4， CA 5， ABC 90， cos CAB AB 3 ， cos BCA BC 4 CA5CA5根据数积定义，结合图( 右图 ) 知 AB BC 0，4BC CA BC CA cos ACE 4 5 ( ) 16，3CA AB CA AB cos BAD 3 5 ( ) 9 AB BC BC CA CA AB 0 169 2514 23 3解析： a mb ( 3 2m，4 m) ， a b ( 1， 5) ( a mb) ( a b) ， ( a mb) ( a b) ( 3 2m) 1 ( 4 ABC为直角三角形且ABC90，即 AB BC ， AB BC 0， AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB CA ( BC AB )m) 5 0m 23 315答案：重心( 第 15 题 )解析：如图，以 OA ， OC 为邻边作 AOCF交 AC 于点 E，则 OF OA OC ，又OA OC OB ， OF 2 OE OB O 是 ABC的重心16答案：平行四边形解析：a c b d，a b d c， BA CD 四边形 ABCD为平行四边形三、解答题17 1解析：设点P 的坐标为 ( x， y) ，则 AP ( x， y) ( 2， 3) ( x 2，y3) AB AC ( 5，4) ( 2， 3) ( 7， 10) ( 2， 3) ( 3， ) (5， 7) ( 35， 7) AP AB AC ， ( x 2，y 3) ( 35，1 7)x235x55y317即47y( 第 18 题 )要使点 P 在第三象限内，只需550解得 147018 DF (7 ， 2) 4解析：A( 7， 8) ， B( 3， 5) ， C( 4，3) ，AB ( 4， 3) ， AC ( 3， 5) AD 1 ( AB AC ) 1 ( 4 3， 3 5)22 1 ( 7， 8) ( 7 ， 4) 22又 M ，N 分别是 AB， AC的中点， F 是 AD 的中点， DF FD 1 AD 1 ( 7 ， 4) ( 7 ， 2) 222419证明：设 AB a， AD b ，则 AF a 1b， ED b 1a22 AF ED ( a 1 b) ( b 1 a) 1 b2 1 a2 3 a b22224又 AB AD ，且 AB AD ， a 2 b2， a b 0 AF ED 0， AF ED 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明( 第 19 题)20分析：思路 1： 2a b ( 2cos 3 ，2sin 1) ， | 2a b| 2 ( 2cos 3 ) 2 ( 2sin 1) 28 4sin 43 cos 8，又 4sin 4 3 cos 8( sin cos cos sin) 8sin() ，最大值为333 | 2a b| 2 的最大值为16， | 2a b| 的最大值为 4思路 2：将向量 2a， b 平移，使它们的起点与原点重合，则| 2a b| 表示 2a， b终点间的距离 | 2a| 2，所以 2a 的终点是以原点为圆心， 2 为半径的圆上的动点P，b 的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，| PQ| 的最大值为直径的长为4又 D 是 BC的中点，