图形变换的矩阵方法(已排)

1 第4章图形变换的矩阵方法要 求 ：1.掌 握 各 种 图 形 变 换 的 变 换 矩 阵 。2.掌 握 图 形 变 换 矩 阵 的 一 般 形 式 。3.掌 握 齐 次 坐 标 表 示 法 。计 算 机 产 生 图 形 的 过 程 大 致 可 分 为 三 步 ： 图 形 输 入 图 形 处 理 图 形 输 出计 算 机 对 图 形 数 据 进 行 处 理 ， 就 是 图 形 处 理 。 图 形 变 换 - 就 是 要 变 换 图 形 的 几 何 关 系 (即 改 变 顶 点 坐 标 ), 同 时 保 持 图 形 的 原 拓 扑 关 系 不 变 .一 般 来 说 ， 图 形 从 输 入 到 输 出 贯 串 着 各 种 变 换 。 被 描 述 的 对 象所 处 的 环 境 和 显 示 屏 幕 的 环 境 是 很 不 同 的 ， 不 仅 位 置 不 同 ， 大 多 数情 况 下 ， 尺 寸 也 很 不 相 同 。 这 就 要 求 协 调 二 者 的 关 系 。 此 外 ， 三 维的 图 形 要 在 二 维 的 图 纸 或 屏 幕 上 表 示 出 来 要 通 过 投 影 变 换 。 为 了 从不 同 的 方 向 去 观 察 对 象 ， 要 求 能 对 对 象 作 旋 转 变 换 ， 放 大 缩 小 和 平移 变 换 更 是 经 常 要 用 的 。 绘 图 过 程 中 还 要 用 窗 口 来 规 定 要 显 示 的 内容 ， 用 视 区 来 规 定 在 屏 幕 上 或 图 纸 上 显 示 的 位 置 。 本 章 学 习 实 现 上述 功 能 的 算 法 。 2 图 形 变 换 几 何 变 换投 影 变 换 又 称 坐 标 变 换 :它 是 将 点 集 的 坐 标 变 换 达 到 改 变 位置 、 形 状几 何 变 换 基 本 变 换组 合 变 换 ： 上 述 变 换 的 连 续 实 施投 影 变 换 正 投 影 变 换斜 投 影 变 换中 心 变 换 ： 三 面 正 投 影 图 、 轴 测 图： 斜 轴 测 图变 位 变 换变 形 变 换 ： 旋 转 、 镜 像 、 ： 比 例 、 错 切 周 分 布 、 阵 列 、 线 框 图 的 变 换 通 常 以 点 变 换 为 基 础 ， 把 图 形 的 顶 点 作 一 系 列的 几 何 变 换 后 ， 连 接 新 的 顶 点 系 列 即 可 产 生 新 的 图 形 。 用 参 数 方 程 描 述 的 图 形 的 变 换 通 过 参 数 方 程 作 几 何 变 换 实 现 。 我 们 在 这 只 讨 论 图 形 拓 扑 关 系 不 变 的 几 何 变 换 。 重 点 讨 论 线 框 图的 变 换 。 ： 透 视 图 由 于 显 示 器 和 绘图 机 只 能 用 二 维 空 间来 表 示 图 形 ， 要 显 示三 维 图 形 就 要 用 投 影方 式 来 降 低 其 维 数 。 3 1.二 维 平 面 上 点 的 表 示 法 改 变 顶 点 坐 标 , 也 就 是 对 向 量 的 变 换 ,向 量 运 算 必 须 用 矩 阵 运 算 来 实 现 。2. 图 形 变 换 的 矩 阵 表 示 一 对 坐 标 (x,y)一 个 向 量 x y设 : 点 P(x,y) 点 P (x, y) 其 数 学 表 达 方 法 cyaxx ; dybxy 矩 阵 表 达 方 法 yx yx dc ba dybxcyax 变 换 后 的 位 置 矢 量 矩 阵 变 换 矩 阵位 置 矢 量 矩 阵 4.1二维图形变换 4 就 是 将 图 形 放 大 或 缩 小 的 变 换 方 法 。变 换 式 为 ： x=Sx* xy=Sy* y讨 论 ： 1. Sx Sy 1， 点 的 位 置 、 图 形 形 状 不 变 ， 又 称 恒 等 变 换2. Sx Sy1， 点 的 位 置 变 了 、 图 形 放 大 了 Sy倍 。3. Sx Sy14. Sx Sy， 图 形 产 生 了 畸 形 图 形 沿 两 个 坐 标 轴 方 向 作 非 均 匀比 例 变 换 。 4.1.1比例变换 5 xOy (x,y)(-x,y)(-x,-y) (x,-y) xOy y=x(x,y)(x,y) xO y=-x(x,y)(x,y) y4.1.2对称变换 6 yxyxyx 10 0112.关 于 y轴 的 对 称 变 换 yxyxyx 10 013.关 于 45度 平 分 线 的 对 称 变 换4.关 于 -45度 平 分 线 的 对 称 变 换5.关 于 坐 标 原 点 的 对 称 变 换 xyyxyx 01 10 xyyxyx 01 10 yxyxyx 10 011.关 于 x轴 的 对 称 变 换 7 沿 x轴 方 向 的 错 切 变 换 沿 y轴 方 向 的 错 切 变 换1.沿 X轴 方 向 的 错 切 变 换4.1.3错切变换 ycyxcyxyx 101(1)变 换 过 程 中 ,点 的 y坐 标 保 持 不 变 ,而 x坐 标 值 发 生 线 性 变 化 ; (2)平 行 于 X轴 的 线 段 变 换 后 仍 平 行 于 X轴 ;(3)平 行 于 Y轴 的 线 段 变 换 后 错 切 成 与 Y轴 成 角 的 直 线 段(4)X轴 上 的 点 在 变 换 过 程 中 保 持 不 变 ,其 余 点 在 变 换 后 都 平 移 了 一 段 距 离 。（ 2） 沿 Y轴 方 向 错 切（ 1） 沿 X轴 方 向 错 切 (x,y)(x,y) (x,y)(x,y) 8 ycyxbyxyx 101(1)变 换 过 程 中 ,点 的 x坐 标 保 持 不 变 ,而 y坐 标 值 发 生 线 性 变 化 ;(2)平 行 于 Y轴 的 线 段 变 换 后 仍 平 行 于 Y轴 ;(3)平 行 于 X轴 的 线 段 变 换 后 错 切 成 与 X轴 成 角 的 直 线 段(4)Y轴 上 的 点 在 变 换 过 程 中 保 持 不 变 ,其 余 点 在 变 换 后 都 平移 了 一 段 距 离 。2. 沿 Y轴 方 向 的 错 切 变 换 9 )cos( OPx )sinsincos(cos OP sincos yx )sin( OPy )sincoscos(sin OP cossin yx yx yx cossin sincos cossinsincos yxyx 其 矩 阵 表 示 法 ： 4.1.4绕坐标原点的旋转变换 10 变 换 过 程 为 ： x=x ly=y+m 11yl xm变 换 矩 阵 为如 变 换 矩 阵 改 为 ： ml 1001 则 点 的 坐 标 （ x,y) （ x,y,1)P=P*T= 1yx ml 1001 1mylx = xO (x,y) (x,y)y4.1.5平移变换 11 它 是 用 一 个 n+1维 向 量 表 示 一 个 n维 向 量 的 方 法如 ： 二 维 点 x y 用 X Y H 表 示如 ： 空 间 点 x y z 用 X Y Z H 表 示正 常 化 齐 次 坐 标怎 样 由 齐 次 坐 标 求 正 常 化 齐 次 坐 标 ?H 可 以 任 意 选 取 , 齐 次 坐 标 与 普 通 坐 标 之 间 是 一 一 对 应 关 系 。如 二 维 平 面 上 的 一 点 3,4,用 齐 次 坐 标 表 示 为 3,4,1 6,8,2 1.5,2,0.5通 常 将 H =1的 齐 次 坐 标 称 为 x=X/Hy=Y/Hz=Z/H 齐 次 坐 标 表 示 点 ， 可 以 防 止 溢 出能 将 上 述 的 所 有 变 换 统 一 用 一 个 矩 阵 描 述 4.1.6齐次坐标与变换通式 12 snm qdc pbaT比 例 、 反 射 、 旋 转 、 错 切 投 影 变 换平 移 总 体 比 例 变 换 snm qdc pbayxHyx 1 sqypxH ndybxy mcyaxx sqypx ndybxy sqypx mcyaxx 齐 次 化 坐 标4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式T: 13 (1)复 合 平 移T 21*TT 1010 001 11 nm 1010 001 22 nm 1010 001 2121 nnmm(2)复 合 比 例T 21*TT 100 00 0011 da 100 00 0022 da 010 0*0 00* 1121 ddaa 组 合 变 换 :由 多 个 基 本 变 换 的 连 续 实 施 而 成 的 复 杂 变 换 ,又 称 基 本 变 换 的 级 连 .4.1.8二维组合变换 14 (3)复 合 旋 转T 21*TT 100 0cossin 0sincos 11 11 100 0cossin 0sincos 22 22 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 2121 2121 15 1cossinsincos 0cossin 0sincos 100 0cossin 0sincos1010 0011 nmnm nmT * 先 平 移 ,再 旋 转 * 先 旋 转 ,再 平 移 10cossin 0sincos 1010 001100 0cossin 0sincos1 nm nmT 级 联 的 顺 序 不 同 ,最 终 的 图 形 不 同 ABBA 由 于 矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 率 ,(4)级 联 顺 序 对 组 合 变 换 的 影 响 16 1010 0011 nmT 100 0cossin 0sincos2 T3. 将 图 形 从 原 点 平 移 到 p(m,n) 1010 001 3 nmT 1.将 图 形 从 点 p(m,n)平 移 到 原 点 O2.绕 原 点 旋 转P(m,n)0 P(m,n)0 P(m,n)0 P(m,n)0（ 1） （ 2） （ 3）(5)绕 平 面 上 任 意 点 P(m,n)的 二 维 旋 转 变 换 17 T1*T2*T3 1010 001 nm 100 0cossin 0sincos 1010 001 nm 1cossinsincos 0cossin 0sincos nmnnmmT =绕 平 面 上 任 意 点 p(m,n)的 二 维 旋 转 变 换 的 总 变 换 矩 阵 18 设 直 线 方 程 Ax+By+C =0Ax+By+C =0-C/B-C/A E FFE G G 则 ： x轴 上 的 截 距 为 -C/A y轴 上 的 截 距 为 -C/B 斜 率 为 -A/B 10/ 010 0011 ACT 2.让 直 线 绕 原 点 顺 时 针 旋 转 角 ， 使 之 与 X 轴 重 合 100 0)cos()sin( 0)sin()cos(2 T1.将 直 线 沿 X轴 平 移 C/A， 使 之 过 原 点 对 任 意 直 线 的 对 称 变 换 可 分 解 为 以 下 五 步 : (6)对 任 意 直 线 的 对 称 变 换 19 3.图 形 对 直 线 的 对 称 变 换变 成 对 x轴 的 对 称 变 换 100 010 0013T 4.让 直 线 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 恢 复 到 原 来 的 倾 斜 位 置 100 0cossin 0sincos4 T 10/ 010 001 5 ACT5.将 直 线 平 移 回 原 来 的 位 置T 54321 TTTTT 12sin/)12(cos/ 02cos2sin 02sin2cos ACAC组 合 变 换 矩 阵 20 三 维 图 形 变 换 矩 阵 通 式 为 4 x 4 方 阵 比 例 、 反 射 、 旋 转 、 错 切平 移投 影 变 换总 体 比 例 变 换空 间 点 x y z 的 四 维 齐 次 坐 标 X Y Z H 表 示三 维 空 间 点 的 变 换 为 x y z 1 T = x y z 1变 换 前 点 的 坐 标 变 换 后 点 的 坐 标三 维 图 形 的 变 换 矩 阵33xjih fed cba l m n 1 x 3 p q rTs1x1 srqpnjfcmieblhdaT4.2三维图形变换 21 三 维 图 的 基 本 变 换4.2.2轴向比例变换变 换 矩 阵 主 对 角 线 上的 元 素 a、 e、 j、 s的 作 用 是是 图 形 产 生 比 例 变 换 。 sT 000010000100001 1000000000000 jeaT 0S1， 为 图 形 整 体 缩 小S0);3)最 后 向 V面 作 正 投 影 .T 1000 0100 00cossin 00sincos 1000 0cossin0 0sincos0 0001 1000 0100 0000 0001 1000 0cos00 0sincos0sin 0sinsin0cos X Y ZOPX Z YO S4.2.8轴测投影变换 32 这 种 轴 测 图 的 特 点 是 ： 三 个 轴 向 变 形 系 数 是 相 等 的 1000 0816.000 0408.00707.0 0408.00707.0T =45， =3516 轴 向 变 形 系 数 为 cos3516=0.8165在 轴 测 投 影 变 换 中 ， 最 常 用 的 是 正 轴 测 投 影 332.写 出 对 任 意 直线 的 对 称 变 换 的过 程 及 变 换 矩 阵 Ax+By+C =0-C/B-C/A E FFE G G作 业1.读 懂 程 序 例 4-1， 并 将 其 改 编 为 一 个 绕 任 意 点 旋 转 的 二 维图 形 变 换 程 序 。