部分两自由度系统的振动

基 本 知 识 点2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动11 1 12 2 11 1 12 221 1 22 2 21 1 22 2 00m x m x k x k xm x m x k x k x 1 111 12 11 12 21 22 21 222 2 00 x xm m k km m k kx x 写 成 矩 阵 形 式考 虑 只 有 静 力 耦 合 的 情 况1 11 11 122 21 222 20 00 0 x xm k km k kx x 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动l固 有 频 率 及 振 型 求 解 0det)( 222221 1212112 mkk kmk (4.1-11)（ 1） 固 有 频 率 求 解(2)称 为 特 征 行 列 式 ， 它 是 2的 二 次 多 项 式 。 0)()( 212221121122214212 kkkkmkmmm 展 开 得 2 0 K M21 1122212221 21 mm kmkm 21 2122211221 112221 421 mm kkkmm kmkm 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动式 中 1和 2唯 一 地 决 定 于 振 动 系 统 的 质 量 和 弹 簧 刚 度 ，称 为 系 统 的 固 有 频 率 。 1为 第 一 阶 固 有 频 率 ， 简 称 为 基频 ； 2为 第 二 阶 固 有 频 率 。（ 2） 阵 型 求 解 用 和 表 示 对 应 于 1的 值 ， 用 和 表示 对 应 于 2的 值 。 1 , ， 2 , 。 )1(1u )1(2u )2(1u )2(2u)1(1u )1(2u )2(1u )2(2u( ) 2 ( )r rrKu Mu 将 代 入 方 程 特 征 方 程 组21 特 征 方 程 组 22122 1212 12111)1(1 )1(21 mk kk mkuur 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 将 代 入 特 征 方 程 组22 22222 1212 12211)2(1 )2(22 mk kk mkuur 成 对 的 常 数 和 与 另 一 对 常 数 和 可 以 确 定 当 系统 分 别 以 频 率 1和 2进 行 同 步 简 谐 运 动 时 呈 现 的 形 状 ，称 为 系 统 的 固 有 振 型 (或 主 振 型 )。 )1(1u )1(2u )2(1u )2(2u可 以 表 示 为 下 列 矩 阵 形 式 (1)(1) (1)1 1(1) 12 1u u ru u (2)(2) (2)1 1(2) 22 1u u ru u 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动式 中 和 称 为 振 型 向 量 或 模 态 向 量 。 为 第 一阶 固 有 振 型 ， 为 第 二 阶 固 有 振 型 。 (1)u (2)u (1)u(2)ul响 应 求 解 在 一 般 情 况 下 ， 振 动 系 统 的 响 应 将 通 过 两 个 固 有 振型 的 叠 加 求 得 ， 即 (1) (2)1 1 1 2 2 21 2( ) ( ) ( )1 1sin( ) sin( )t t tC t C tr r x x x式 中 常 数 C1和 C2以 及 相 角 1和 2由 初 始 条 件 确 定 。 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 在 一 般 情 况 下 ， 两 自 由 度 系 统 的 自 由 振 动 是 两 种不 同 频 率 的 固 有 振 动 的 叠 加 ， 其 结 果 通 常 不 再 是 简 谐 振动 。 在 特 殊 的 情 况 下 ， 系 统 的 自 由 振 动 会 按 某 一 个 固有 频 率 作 固 有 振 动 ， 其 结 果 是 简 谐 振 动 。 )cos()cos( )cos()cos( 22222111112 222211111 trCtrCx tCtCx )sin()sin( )sin()sin( 222211112 2221111 trCtrCx tCtCx初 始 条 件 的 响 应 ， 由 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 2222111120 22211110 22211120 221110 coscos coscos sinsin sinsin rCrCx CCx rCrCx CCx 解 得 21 220102220102121 1 xxrxxrrrC 22 220101220101212 1 xxrxxrrrC 20102 2010211-1 tan xxr xxr 20101 2010121-2 tan xxr xxr 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动例 题 1： 在 下 图 所 示 的 振 动 系 统 中 ， 设 m1=m， m2=2m，k1=k2=k， k3=2k， 试 求 系 统 的 固 有 频 率 和 固 有 振 型 ， 并 画出 振 型 图 。解 ： 振 动 的 微 分 方 程 为 0) 0)( 2321222 2212111 xkkxkxm xkxkkxm （ (a)设 )sin()( 11 tXtx )sin()( 22 tXtx (b) 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动代 入 振 动 微 分 方 程 组 ， 得 0) 0)( 2223212 2211221 XmkkXk XkXmkk （ (c)代 入 m1=m, m2=2m, k1=k2=k, k3=2k， 得上 式 具 有 非 零 解 的 条 件 为 X1和 X2的 系 数 行 列 式 等 于 零 ，即 023 02 221 212 XmkkX kXXmk (d)0232)( 222 mkk kmk (e)得 特 征 方 程 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 0572)( 22422 kmkm (f)固 有 频 率 为 1 2, 1.5811k km m (g)将 代 入 式 (d) ， 有21 023 02 122111 121121 XmkkX kXXmk (h)得 1)(22 2111121 k mmkkk mkXXr (i) 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动将 代 入 式 (d) ， 有22 023 02 222221 222122 XmkkX kXXmk (j)得 5.0)25(22 2221222 k mmkkk mkXXr (k)故 根 据 (4.1-15)得 到 的 系 统 的 固 有 振 型 为 (1) (1)1 1 ,1u u图 4.1-2 (2) (2)1 1 0.5u u 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动例 题 2： 已 知 二 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 的 运 动 微 分 方程 ： 求 该 系 统 固 有 频 率 、 主 振 型 ，并 画 主 振 型 图 。 022 02 212 211 kkI kkI 解 ： 由 已 知 得 特 征 方 程 0222 22 Ikk kIk 0362 2242 kIkI 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动解 特 征 方 程 得 ， I kkI kIIkIk 2 334 324366, 2 22222221 Ik 796.0 1 Ik 538.12 求 振 型 ， 111 21 12 0.7322 ku k Iu 1 两 自 由 度 系 统 自 由 运 动 212 22 22 2.7322 ku k Iu (1) 0.7321 u (2) 2.7321 u 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动 )()(2222121222121 1212111212111 tFxkxkxmxm tFxkxkxmxm 考 虑 F1(t)和 F2(t)为 简 谐 激 励 ， 即tFtF sin)( 11 tFtF sin)( 22 l响 应 求 解 tXtx sin)( 11 tXtx sin)( 22 稳 态 响 应 的 表 达 式 2222222121212 1212122111112 )()( )()( FXkmXkm FXkmXkm 代 入 微 分 方 程 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动引 入 记 号 ： ijijij kmZ 2)( (i, j=1, 2)方 程 可 以 改 写 为 2222121 1212111 )()( )()( FXZXZ FXZXZ 1( ) X Z F于 是 有 1 22 1221 11( ) ( )1 ( ) ( )det Z ZZ Z Z Z )()( )()()()()( 1 1121 12222122211 ZZ ZZZZZ式 中 tZZZ FZFZtXtx sin)()()( )()(sin)( 2122211 21212211 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动 tZZZ FZFZtXtx sin)()()( )()(sin)( 2122211 21112122 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动1sinQ t如 下 图 所 示 ， 梁 上 有 一 固 定 转 速 的 马 达 ， 运 转 时 由 于 偏 心而 产 生 受 迫 振 动 ， 激 振 力 。 马 达 的 质 量 为 m1、 梁的 质 量 忽 略 不 计 ， 梁 的 刚 度 为 k1。 通 过 附 加 弹 簧 质 量（ m2,k2)系 统 可 进 行 动 力 消 振 ， 试 推 导 消 振 系 统 应 满 足 的条 件 。 1 1 1 2 1 2 2 12 2 2 1 2 2( ) sin0m x k k x k x Q tm x k x k x 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动解 ： 系 统 的 力 学 模 型 见 右 图 ,相 应 的 微 分 方 程为稳 态 响 应 的 表 达 式 为tXtx sin)( 11 tXtx sin)( 22 解 得 21 2 2 1 2 2 21 2 1 2 2 21 22 2 2 21 2 1 2 2 2( )( )( )( )( )Q k mX k k m k m kQkX k k m k m k 1 0X 22 2 0k m 2 两 自 由 度 简 谐 激 励 系 统 强 迫 振 动减 振 的 效 果 是 为 了 使 主 振 系 统 的 振 幅所 以 有 22 2km 即 消 振 系 统 的 固 有 频 率 等 于 外 激 励 的 频 率