圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（ 1）中点弦问题（ 2）焦点三角形问题（ 3）直线与圆锥曲线位置关系问题（ 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（ 5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决2曲线的形状未知求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题（ 7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，r+r2=2a。第二定义中，ri=edi r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，I r2 = 2a，当rir2时，注意r2的最小值为 c-a:第二定义中，ri=edi，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准 线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲 线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注 意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解 决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,yo)，将点A、1 1 2 2 0 0B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：QQ群557619246x2y 2(1) + = 1( a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x,y),则有a2 b200L + Ak = 0。(其中K是直线AB的斜率)a 2 b2x2 y 2(2) 一 = 1(a 0, b 0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x,y)则有a2 b20 0L 卜k = 0 (其中K是直线AB的斜率)a 2 b2(3) y2=2px(p0)与直线 1 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2yk=2p,即 y0k=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y = kx + b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 + bx + c = 0的方程，方程的两根设为x，x，判别AB式为，则IABI+ k2lx x I二1 + k2_，若直接用结论，能减少配方、开A BI a I方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些 代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数 性质。如“2x+y”，令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”，令Jx2 + y2 = d，则d表示点P（X, y）到原点的距离；又如“ ”，令则kx + 2 x + 2表示点P （x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P,常设P （t, 0）；直线x-2y+l=0上一动点P。 除设P（xi，yi）外，也可直接设P（2yi-l,yi）（2）斜率为参数当直线过某一定点P（xo，yo）时，常设此直线为y-yo=k（x-xo），即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。（ 3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件匕，方法2可将条件P2代入条i 2i22件气，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，QQ群557619246代入Pi，P2，这就是待定 法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、（1）抛物线C：y2=4x上一点P到点A（3,4冒2）与到准线的距离和最小，则点P的坐标为（2）抛物线C： y2=4x上一点Q到点B（4，1 ）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF,则|PH| = |PF|，因而易发现,当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作QR丄1交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：(2, 2)连PF,当A、P、F三点共线时，|AP| + PH = |Ap + |PF|最小，此时AF的方程为4.： 2 - 0y =(x一 1)即 y=2 七2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 丫2 )，(注：另一交点为3-1(2，一2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)过Q作QR丄1交于R，当 B、Q、R三点共线时，|bq| + Qf| = |bq|+ QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x= 4，Aq( 4，1)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔 细体会。x2 y 2yi - PH0F丿x例2、F是椭圆才+=1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。(1) |PA|+ |PF|的最小值为(2) |pA|+ 2|PF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。 解: (1) 4-5设另一焦点为F，则Fr (-1,0)连AF ,PF|PA| + |PF| = |PA| + 2a - |PF| = 2a - (|PF| - |PA|) 2a - |AF| = 4 -、当P是F A的延长线与椭圆的交点时，|PA| + |PF|取得最小值为4-扁。(2)作出右准线 1,作 PH丄 1 交于 H,因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1， e=, .|PF| = 1|PH I，即2|PF I = |PH|PA| + 2|PF = |PA| + |PH|a2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为-x = 4 -1 = 3解：如图，|MC = MD,:.AC - MA = MB - DB即6 - |MA| = |MB| - 2.|MA| + |MB| = 8(*)x2 y 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=l, b2=15轨迹方程为二7 = 116 15点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出V（x +1）2 + y2 + /（x-1）2 + y2 = 4，再移项，平方，相当于将椭圆标准 方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、AABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sinC-sinB= 5 sinA,求点 A 的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径）, 可转化为边长的关系。33解：sinC-sinB= 5 sinA 2RsinC-2RsinB=5 2RsinA3.|AB| -AC = 5 |BC|即 |ab| |ac| = 6（*）.点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）.2a=6, 2c=10. a=3，c=5，b=4x2 y 2所求轨迹方程为W-TZ = 1（x3）9 16点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最 短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（xi,xi2），B（x2，X22），又设AB中点为M（xoyo）1 1 2 2 00 用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(xi, xi2)，B(x2, x22)，AB 中点 M(x0, yo)i i2200(x x )2 + (x2 x2)2 = 9 1 2 1 2 2 ,即 |MM+ 4 2 ,. |MMJ 4 ,当ab经过焦点F时取得最小值。5M到x轴的最短距离为丁4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x, x2,从而形成y0关于xo的函数， 这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点到x轴 的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为、B到准线的距离和，结合定 义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,Q群557619246两边之和等于第 三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F， 而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】x2 y 2例6、已知椭圆+= 1(2 5 m 5 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线m m 1从左到右依次交于A、B、C、D、设f(m)=|ABCD , (1)求f(m), (2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A 在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投 影”到x轴上，立即可得防f (m) = (x x )J2 (x xB AD C)V2 = x/2|(x x ) (x X )1 B ADC=x + x ) 一 (x + x )1B CA D=.胡(亠+ X )此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。x2解：(1)椭圆+m m 1 = 1 中, a2=m，b2=m-1，CT 左焦点 Fi(T0)则 BC：y=x+l,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=02m设 B(xi,yi),C(x2,y2),则气+气=-(2 m 5)1 12 21 22m 1f (m) = | |ab|cd| = J2|( x_ x ) (x x )1B AD C=i2|(x + x ) (x+ x )| = q2lx + x |=；2 -1 12 A c、I 12m 12m 1 +11 、 f(m)=、2r f2(1+E:当 m=5 时，f(m)min_ io9当 m=2 时， f (m)max点评：此题因最终需求 + xc，而 BC斜率已知为】，故可也用“点差法”设BC中点xy为M(x,y),通过将B、C坐标代入作差，得i + 叮-k = 0，将y=x+l, k=1代入得0 0m m 10 0x x + 1门m2mo + o = 0，.: x =，可见 x + x =m m 102m 1B C2m 1当然，解本题的关键在于对f (m) = |AB|-|CD|的认识，QQ群557619246通过线段在 x轴的投影”发现f (m) = |x + x |是解此题的要点。B C三、点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二 次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x , y )、B(x , y )，将这两点代入1 1 2 2圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1. 以定点为中点的弦所在直线的方程x2 y 2例1、过椭圆布+斗=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线16 4的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(x , y )、B(x , y )1 1 2 2M(2,1)为AB的中点x + x = 412又A、B两点在椭圆上，则xi2 + 4yi2二16，x 2 + 4 y 2 = 1622两式相减得(x 2 -x 2) + 4(y 2 - y 2) = 01 2 1 2于是(xi + x2)(xi -叮 + 4(yi + y2)(yi - y2)二 0y - yx 一 x12x + x12 -4(y +y )12即kAB=- 2，故所求直线的方程为y 一1二-扣一 2)即x + 2 y 一 4 = 。例2、已知双曲线x2 -苓=1，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B, 且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线/，求出它的方程，若不存在，说明理 由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且 A(x，P、B( x2, y2)11两式相减，得(X x 2)(片一 一 |(人+ y 2)(叮 y 2)= 0._ y 一y.k 12 2AB x 一 x故直线 AB: y -1 2(x -1)y -1 = 2(x -1)由 1 y21 消去 y，得2x2-4x + 3 = 0 2A = (-4)2 - 4 x 2 x 3 = -8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线1。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中 点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦 一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2. 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹y 2 x21例3、已知椭圆75+25 =1的一条弦的斜率为3,它与直线x = 的交点恰为这条弦的中点 M ，求点 M 的坐标。解：设弦端点P(X , y )、Q(X , y )，弦PQ的中点M(x , y )，则xo =1 1 2 2 0 0 0 2x +x = 2x =1 ， y + y =2y1 2 0 1 2 0畧+汇=1,7525M + M = 17525两式相减得 25(y + y )(y - y ) + 75(x + x )(x - x ) = 01 2 1 2即2yo(y1-y2)+ 3(x -x2)= 0y y1 2 =2y0x - x12y - yk = 12 = 3x - x12.点M的坐标为(q，一 2。y 2 x2例4、已知椭圆75+25 =1,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点P(xr y1)、Q( x 2, y 2)，弦PQ的中点M (x y)，则x + x = 2x ，12y +y12=2yx 2 =25 = bM + M = 17525两式相减得 25( y1 + y 2)( y1 - y 2) + 75( x1 + x 2)( x1 - x 2) = 0即 y (y y ) + 3x(x x ) = 0，即1 2 1y - y1 2X 一 X123x7 y 一 y. k = i 2 = 3x 一 x123x=3 , yx + y = 0 由 y2 , x2 ，得 p(+ =175255J3 5昭、小5运 5花、 厂）Q（厂） 点 M 在椭圆内5j35j3二它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x + y = 0（ - x b o）的一条准线方程是x=1，有一条倾斜角为?的，求椭圆方程.直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为CV 2 4丿解设 A（x，y）、B（x，yJ，则 x1 + x112 =1，+ yx2且亠+a2十=1 ,(1)b2x2 y 2亠 + A = 1,(2) b2(1)-(2)得：=a2y22b 2y今x x12b 2 (xa2 ( y+ x )12b2a2.1 = kABy y2b 2x x12a2. a2 = 2b2 ，(3)a2又一=1,c. a2 = c ，(4)而 a2 = b2 + c2, (5)1 1x2y 2由(3), (4), (5)可得a2 = ,b2 =,所求椭圆方程为+=12 411244. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题x2 y 2例6、已知椭圆才+ 3 = 1，试确定的m取值范围，使得对于直线y = 4x + m，椭圆上总 有不同的两点关于该直线对称。解：设P（x , y ），P （x , y ）为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点，P（x, y）为弦PP 1 1 1 2 2 2 1 2的中点，则 3 x2 + 4 y 2 = 12， 3 x 2 + 4 y 2 = 121 1 2 2两式相减得，3(xi2 - x22)+ 4(yi2 - y22)二 0即3（%+叮（珥一叮+ 4（儿+打）（yiy yiV x2 = 2 x，人 + y2 = 2儿1 2 =x x4i2 y = 3x这就是弦PiP2中点P轨迹方程。它与直线y = 4x + m的交点必须在椭圆内I y 二 3xI x 二m3联立y二4x + m，得y = -3m则必须满足* 3 一 4卩即(3m)2 3 4 m2，解得 m 愛5. 求直线的斜率，C (x2 y2 )与焦点例5已知椭圆g +于=i上不同的三点A * yi）F（4,0）的距离成等差数列.（1）求证：x + x二8 ； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴i2的交点为T，求直线BT的斜率k.1）证 略.解xi + x2 - 8设线段AC的中点为D（4, yo） 又A、C在椭圆上，辛+罟=i，（1）专5 +詈=i，（2）（i）-（2）得i225y - y1 2x -x129 (x + x )98361 2 . 25 (y + y 厂 25 2 251 2 0 0直线DT的斜率k 辛DT 36直线DT的方程为y -人-警(x - 4)64令y 0，得x 石,64直线BT的斜率k -057644 -256. 确定参数的范围例6若抛物线C : y2 x上存在不同的两点关于直线l: y m(x-3)对称，求实数m 的取值范围.解当m 0时，显然满足.当m丰0时，设抛物线C上关于直线l: y m (x - 3)对称的两点分别为P(x , y )、Q(x , y )，且 PQ 的中点为M (x , y )，则 y1x，1) y2x，( 2 )(1) - (2)得y12 -y2PQy1+ y22y0PQ， . y0t中点M (x ,y )在直线l00(x - 3)上.y0m(x - 3)于是x:中点在抛物线y2 x区域内M.y2 b 0)不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 a2 b2中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值. 证明设 A (x , y ), B (x , y )且 x 丰 x，1 1 2 2 1 2x2则+a 2b2空=1, (1)匚+M -1,a 2b22)(1)-(2)得:b2x2 -x 212_a2y y1 2 - x - x12b2 (x + x ) a2 (y + y )，12k ABy y1 2x - x12b2 (x + x )； 1 2、 a2(y + y )12又 k - y1 + 人,kOP x + x AB12b 1 , . k - k -AB OPa 2 kOPb2(定值).a28. 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y 2 - 2 px( p )上一定点P( x o,y o )( y o 0)，作两条直线分别交抛物线于 A ( x ,y ), B ( x , y ).1 1 2 2p(1)求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,率是非零常数.求yi + y2的值，并证明直线AB的斜 y0解(1)略(2)：设 A( y12,y1) ,B(y22,y2)y - yk =21AB y 2 - y 2 y + y2 1 2 1k =丄工PAy 21 - yo2,ky + y PB1oy - y20y 2 - y 2y + y2o2 o由题意， kAB=-kAC,y1+y 0,则 y + y -2 y y + y 12 o2o1则：kA = - 一为定值。AB 2yo例10、抛物线方程y2 - p(x + 1) (p 0)，直线X + y - t与x轴的交点在抛物线准线的右边。( 1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA丄OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1)证明：抛物线的准线为1： x -1 -4由直线x+y=t与x轴的交点(t, 0)在准线右边，得t -1 -，而4t + p + 4 0I x + y = t由 c消去y得 x2 - (2t + p)x + (t2 p) = 0ly2 = p(x +1)A = (2t + p)2 4(t2 p) = p(4t + p + 4)0 故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X, y 点 B(x2, y2)/. x + x = 2t + p, x x = t2 p1 2 1 2Q OA 丄 OB k x k =1OA OB贝 Ix x + y y = 01 2 1 2又 y y = (t x )(t x )1 2 1 2- xix2 + yiy2 = t2(t + 2)p = 0 p = f (t) =t2T+2又p0, 4t + p + 40得函数f(t)的定义域是(2, 0) u (0, + to)同步练习】x2 y 2】、已知：Fi，F2是双曲线-石=1的左、右焦点过Fi作直线交双曲线左支于点A、B,若 |AB| = m ABF2 的周长为()A、 4aB、 4a+mC、 4a+2mD、 4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是 ()A、 y2=-i6xB、 y2=-32xC、 y2=i6xD、 y2=32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且|AB|AC|，点B、C的坐标分别为(-1, 0), (1, 0), QQ群557619246则顶点A的轨迹方程是()A、x2y 2+ = 143B、x24=1(x 0)C、x2y 2+ -=1( x 0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为a2 b2A、B、C、D。求证：|ab| = |cd|参考答案1、ClAq-lAF = 2a, |bf2HbF = 2a,|AF | + |BF | -AB = 4a, |AF | + |BF | + |AB| = 4a + 2m,选 c2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选 C3、D AB + AC = 2 x 2，且AB AC 点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即yMO,故选D。4、 A设中心为(x, y)，则另一焦点为(2x-1, 2y)，则原点到两焦点距离和为419得1 + ；(2x 1)2 + (2y)2 二 4，.: (x - )2 + y2 =又 cva,.囂(x 1)2 + y2 2) 设弦为 AB，A(X, y1)，B(x2，y2)AB 中点为(x, y)，则 y=2X2,5、y2=2x22， y1-y2=2(x1将x = 2代入y=2x2得y = 2 ,轨迹y y12 = 2(x + x ).2=2 2x, x =x x1221211方程是x = 2 (y 2)7、y2=x+2(x2)设 A(X, y1), B(x2，y2), AB 中点 M(x, y),则y - yy 2 = 2x , y 2 = 2x , y 2 一 y 2 = 2(x 一 x ),-11221.1亠 (y + y ) = 212 x - x 1212T kAB=kMPy 2 y = 2，即 y2=x+2 x+2又弦中点在已知抛物线内P,即y228、4a2 = b2 = 4, c2 = 8, c = 2% 2，令 x = 2*2 代入方程得 8-y2=4y2=4 , y=2，弦长为 49、土 丫 2或 土 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=011 - k 2 丰 0得 4k2+8(1-k2)=0, k= y2 1-k2=0 得 k=1I A = 010、解：a2=25, b2=9, c2=16设片、F2为左、右焦点，则F1(-4, 0)F2(4, 0) =厂2, 1 2 =0设竹=比r + r = 2012r2 + r2 - 2rr cos0 = (2c)2J 121 22-得 2r1r2(1+cos0 )=4b2.4b22b21+cos0 =2r rr r1 2 1 2Tr1+r2 人吃屮2的最大值为a21+cose的最小值为 竺a2，即 1+cose 25厶J7cOs0 一 25，0-0-K-arccos?则当025兀=时，sin0取值得最大值1,即sinZFPF2的最大值为1。x2 y 211、设椭圆方程为+ 1= 1(a b 0)a2 b2a2由题意：C、2C、+ c成等差数c列，/. 4c = c + + c 即a 2 = 2c 2, ca2=2(a2-b2), a2=2b2x2y 2椭圆方程为莎 + b2 = 1，设 A（X1, yi），B（x2, y2）x 2y 21+4 = 12b2b2x22b2x 2 - x 2 y 2 一 y 2-得飞bT+飞严=0ZZx , ym十冊2b2b 2-2+k =0 . k=1直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3， 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0,I AB I =片x 2 丁1 +1 = 3QI22 12(18 2b 2)屮2 = 4&3x2y 2解得b2=12,.椭圆方程为+12 = 1，直线1方程为x-y+3=012、证明：设A(x1, y1), D(x2, y2), AD中点为M(x, y)直线1的斜率为k,则 卑一岸=12 x2y ,门a2 b2-得0 T * k = 0 设a 2b 2孕写=1、a 2 b 2B(x, y，), C(x, y), BC中点为M(x, y),00x2络=0a 2b 2容-竽=0、a 2b 2-得 0 - k = 0a2b20上，而M、M又在直线1上,若1与x轴垂直，则由对称性知命题2x 2y由、知M、M均在直线1 :一 k =a2 b2若 1 过原点,则 B、 C 重合于原点,命题成立 成立 QQ 群 557619246若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合.|AB| = |CD|四、弦长公式法若直线1 : y = kx + b与圆锥曲线相交与A、B两点，A(叫，人)，BL叮则 弦长 |AB| =(X x2)2 + (yi - y2)2=(X X )2 + kx + b (kx + b)2 1 2 1 2=J1 + k 2 X X I1 2同理：=v1 + k 2、.；( X + X )I11iabi*1 +I y y I *(y + y )2 4y yk 221212 1特殊的，在如果直线AB经过抛物线的焦点，则ABI=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y = kX + b代入圆锥曲线方程中，得到型如aX2 + bX + c = 0的方程，方程的两根设为x ，X，判别式为，则 ABI ABI = J + k 2 IX - X I = v1 + k 2 ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过 A BI a I程。例 求直线x - y + 1 = 0被椭圆x2 + 4y2 = 16所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例题1已知直线y = X +1与双曲线C : x2 = 1交于A、B两点，求AB的弦长解：设 A(X ， y )， B(X ， y )1 1 2 2 y = x +1由 y2得 X X =1 2 x 2 (x +1)2 4 = 0 得 X + X1 2 则有 x 2 2x5 = 0X 2 = 1得，|AB| = 1 + k2 X+ X )2 一 4X X2 1 24X 21练习1已知椭圆方程为可+ y2 = 1与直线方程1: y = X + -相交于A、B两点，求AB的 弦长_练习2：设抛物线y2 = 4x截直线y = 2x + m所得的弦长AB长为3订5 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A(x ， y )，B(x ， y )1 1 2 21y x + 联立方程2得 6 x 2 + 4 x 3 0 x21I 2+ y 2 1_ 22 一3xx12122 4 x ( 1) - 乂23|AB| v 1 + k2 (x + x )2 4x x 2 解：设 A(x , y ), B(x , y )1 1 2 2I y 2 4x联立方程：彳得4x2 + (4m 一 4)x + m2 0I y 2x+ mx + x 1 m12 m2x x -1 24/ |AB| _ 1 + k2(x + x )2 4x x .：5十(1 一 m)2 m2 35. m 4例题2：已知抛物线y x2 + 3上存在关于直线x + y 0对称相异的两点A、B,求弦长分析:A、B两点关于直线x + y 0对称,则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为-1且AB 的中点在已知直线上解：t A、B关于l: x + y 0对称.k 1ABk k 1l AB/ k = 一1lIab设直线AB的方程为y x + b ，A(x , y ), B(x , y )1 1 2 2 Iy x+b联立方程f化简得x2 + x + b 3 0I y x2 + 3/. x + x 112.AB中点M(-2，-2 + b)在直线x + y = 0上/. x2 + x 2 = 0I x + x 1则 f 12 2I x x 212|AB| v 1 + k2*(x + x )2 4x x =、：2f(1)2 + 8 3.2小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解 过程中一般采取步骤为：设点T联立方程T消元T韦达定理T弦长公式作业 ：(1)过抛物线y2 _ 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A, B两点，且 AB _罟求a的值，( 2)x2已知椭圆方程+ y2 _ 1及点B(0,2)，过左焦点F与B的直线交椭圆于21C、D两点，F为椭圆的右焦点，求ACDF的面积。22【典型例题】五、数形结合法例1：已知P(a,b)是直线x+2y-l=0上任一点，求S=/a2 + b2 + 4a 6b +13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式ASminI 2 + 2 x 3 11点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注：可令根式内为 t 消元后，它是一个一元二次函数)y例2：已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求一的最值。xyy解：设0(0, 0)，则丛表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，丛取X得最值，设最值为k,则切线:y=kx，即kx-y=0圆(x-3)2+(y-2)2=l,由圆心(3, 2)到直线kx-y=0的距离为1得聖二岂二1弋 k 2 +1V X丿min3-逅 f y )4 x 丿max_ 3 + 434例 3：X 2y 2直线l： ax+y+2=0平分双曲线二7 W = 1的斜率为1的弦，求a的取值范围.169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。解：s=J(a + 2)2 + (b 3)2 设 Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离Q Q群5 5 7619246解：设A(x,y),B(x,y)是双曲线上的点，且AB的斜率为1, AB的中点为M(x,y)1 1 2 2 0 0则：xj 畧=1x 2 y 2 2 = 1169x 2 x2-得-116-2y2i y22即M（X，y）在直线9x-16y=0上。由（9x-16y=0得 Cx 2 y 2I = 1169U7点M的轨迹方程为9x-16y=0(x-16、刁7k =J aPD 160 + - 7由图知，当动直线l的斜率ke9 9 + 2/7、16, 1 丿时， l 过斜率为 1 的弦 AB2 + 皂 -2一-16眉 _ 9 2歯 k _J7 _ 9 + 2/7的中点M,而k=-a.a的取值范围为:9 + 2/79 -1616 丿点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知,AB中点轨迹 并不是一条直线(9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线无端点)再利用图形中的特殊(射 线的端点C、D)的属性(斜率)说明所求变量的取值范围。六、参数法例4 (k参数)：过y2=x上一点A (4, 2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。分析：(1)点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k,写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线 方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得 点C坐标，再求BC斜率。(2)因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B(xi，yi), C(x2，y2),因xi=yi2,x2=y22,即可设B (yi2,yi),C(y22,y2) 再考虑k =-k得参数yi,y2的关系。1122AB AC12解法1：设AB的斜率为k,则AC的斜率为-