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第七章直线与圆的方程71 直线的方程基础自测1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转4，得到直线的倾斜角为+45，则（ )A.0180B135C. 0135. 01）,由已知可得2分(）2=1，ab8.SAB=b. 4分当且仅当=,即a4,b=2时，A取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+-40. 6分（2)由+1，得ab-a-2b=,变形得(a-2)(b-)2,|PA|=. 10分当且仅当a2=,b-1=,即a3，b=3时，|A|B|取最小值4.此时直线l的方程为y-3=0. 12分方法二 设直线l的方程为y-1k(x-2) (k）,则l与x轴、轴正半轴分别交于A、B（0，1-2）.(）SAOB=（1k)=（44)4.当且仅当-4=-,即-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=(2),即+2y-40.6分(2)|PA|B|=4,当且仅当=4k2,即k-1时取得最小值，此时直线的方程为y-1(x-2），即x+y-30. 12分1.设a，b,是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b,b3）、C（c,3）在同一直线上，求证：ab+=0.证明 A、B、C三点共线，kABk,，化简得a+ab+b2=a2+a+c2，b2-2+ab-ac=0,（bc)（ab+c），、b、c互不相等，b-c，a+bc0.(20宜昌调研）若实数x，y满足等式(-)2+=3,那么的最大值为( ）A. D.答案D3.（1）求经过点（-，2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的倍的直线方程;（2）过点A（8,6）引三条直线,l2,它们的倾斜角之比为12，若直线l2的方程是y=x,求直线1，l3的方程.解 ()当直线l在x、y轴上的截距都为零时,设所求的直线方程为y=x,将(-5，2)代入y=kx中，得k=-,此时，直线方程为y=-x,即2x+5y=.当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为=1,将（-5，2）代入所设方程,解得a=-，此时,直线方程为+2y+1=0综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+y0(2）设直线l2的倾斜角为，则tn=.于是tan=,tan=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8)，即3+1=,l3的方程为y6=(x8）,即2x7y150=0.4直线l经过点P（3，2)且与x，y轴的正半轴分别交于、两点,AB的面积为2，求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为（a，b0),A(a,0),(0,b）,解得所求的直线方程为=,即23y2=0.方法二 设直线l的方程为y2=k（x-3）,令y=,得直线l在x轴上的截距a-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3.（2)=24.解得k-.所求直线方程为y-2-(x-）.即2+312=0.一、选择题1.直线xcos+y-10 （）的倾斜角的范围是( ）. .C. D.答案D2已知直线l过点(a，1),(+1,an+1）,则（ ）A一定是直线的倾斜角B一定不是直线的倾斜角C.不一定是直线的倾斜角D10-一定是直线的倾斜角答案C3.已知直线l经过A（,1）,B（1,m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是( ).B.C. D.答案 B4.过点(1，3）作直线l，若经过点（，）和(0，b)，且aN*，bN*，则可作出的l的条数为（ ）.1 . C.3 D.4答案B5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小,则直线的方程为( )A.+2y-60.2xy-60Cx2y+7=0D.-2y-70答案.若点A(2，-)是直线1xb1y+10和a2xby+1=0的公共点，则相异两点(a1,b）和（2，）所确定的直线方程是（ ）A.23y+1=0B.3x-y+1=0C2-3y=0 Dxy-10答案A二、填空题7.（02浙江理,1）已知a0，若平面内三点（1,)，B(2,a2）,C(3，3)共线,则a= .答案 1+8.已知两点A(,-5）,B(,-）,若直线l的倾斜角是直线B倾斜角的一半,则的斜率是 答案 三、解答题9已知线段P两端点的坐标分别为(1，1）、(2,2）,若直线:+mym0与线段P有交点，求m的取值范围. 解 方法一 直线x+mym=恒过（0，-)点.kP-,AQ=,则或-2，-m且m0.又m=时直线x+y+m=与线段PQ有交点,所求的取值范围是-m.方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=(x+),即yx+,代入x+my+0,整理，得=.由已知-1-2, 解得m.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程:（)过定点(3，4）；（2）斜率为解 (）设直线l的方程是y=k(x3)+4，它在x轴,轴上的截距分别是-3,3k+4，由已知，得（3k+4）(+3）=，解得k1=-或2=-.直线l的方程为2x3y-=0或x+1=0.(）设直线l在y轴上的截距为,则直线l的方程是yx+b,它在x轴上的截距是-b,由已知,得|-bb|=6，b1.直线l的方程为x-6+=或x6-6=0.11已知两点A（-，),(m，3）.(1)求直线的方程;（2）已知实数m,求直线A的倾斜角的取值范围解 (1)当m-1时，直线B的方程为=-,当m时，直线B的方程为y-=（x+).(2）当m=-1时,；当m-1时,m，k=（-，-，.综合知，直线A的倾斜角.12.过点P（,0)作一直线,使它夹在两直线1:x-y-2=0与l2:xy3=0之间的线段B恰被点平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A(，）在1上，由题意知,点B(6x，-y），解方程组,得,.所求的直线方程为8(-3）,即8-y-2=0.方法二 设所求的直线方程为y=(x-3),则，解得，由,解得.(3,）是线段AB的中点，A+yB=0,即+0,k2-8k=0，解得=或k=8.又当0时,xA=1,xB=-3，此时,k=0舍去，所求的直线方程为y=8(x-),即8x-y4=.7.2两直线的位置关系基础自测1.如果直线xy+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么实数a等于( )A.-3B.-6C.D.答案B2.已知直线2x+2=0和mx-y+=0的夹角为，那么的值为 （ ）.-或-3B.-或D.或3答案C3.已知过点（-2,m)和B(,)的直线与直线x+=1平行，则m的值为( )A.0B-8 C.D.10答案B4.已知直线l1:y=2,直线l2与l关于直线=对称,直线ll2，则l3的斜率为( ）.B.C.-2.2答案C5.（202X岳阳模拟)若直线l经过点(2,-)和（a-2,)且与经过点（-,1)，斜率为的直线垂直,则实数a的值为 .答案 例1已知直线l1:ax+=0和直线2:x+(a1)y+a2-1=0,(）试判断l1与l2是否平行；(）1l2时,求a的值.解 ()方法一当a1时,l1:+2y+6=0，l:x=,l1不平行于l2;当0时,l1:y=-3,l:-y-1=0，l1不平行于l2;当a1且a0时，两直线可化为l:y=3，l2：y=（a+1）,ll2，解得a-1,综上可知，a=-时,l1l2,否则l1与l不平行 方法二 由1B2-A2B1,得a(a-1）-12=0,由A1C2-A2C10,得(a2-1)-160, l1la-1，故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.（2）方法一 当a=1时，l1:+y+0,l:x=0,l1与l2不垂直,故=1不成立.当a时,l1:y=-x-3，2:y=-（a+1),由=-1a=. 方法二 由A1A2+12=0,得+2(a-)=0a=.例2 求过两直线l:xy+10，l2:5-y10的交点,且与直线3x+21=0的夹角为的直线方程.解 设所求直线方程为x+（5x-y-1）=,即(+)(1)-=0.因为所求直线与直线x+y1=0的夹角为,所以a=解得=-.所求直线方程为x+5y+=.又直线2:5x-1=0与直线3x+y+1=0的夹角满足tan=,故直线l2也是符合条件的一解综上所述，所求直线方程为x+y+50或x-y-=0.例3(12分)已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:xy1，l:x+y6=截得的线段长为，求直线l的方程.解 方法一若直线的斜率不存在,则直线l的方程为=3,此时与1,l2的交点分别是A（3，-4)，B(，),截得的线段长|AB|-+|=5,符合题意.4分若直线的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x3）,分别与直线l1,l2的方程联立，由,解得A.分由,解得B, 由两点间的距离公式，得+=25,解得k0,即所求直线方程为y=1. 10分综上可知,直线l的方程为x=或y=1. 1分方法二 设直线l与l,2分别相交于A(1,y1),B(x2,y2),则+y1+=0,2y2+60,两式相减，得(x1x2）+(y1-y2)5 6分又(1-x2）2(12）2联立可得或, 1分由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90,故所求的直线方程为x=3或y1. 1分例 求直线l:y=2x+3关于直线l:y=+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为(2，-），设直线l2的方程为1k(x+2),即x-0.在直线上任取一点（,）,由题设知点（1，2)到直线1、l2的距离相等,由点到直线的距离公式得=，解得=(k=2舍去),直线的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一点P(x，y），则在直线l上必存在一点1（x0，y)与点P关于直线对称.由题设：直线P1与直线l垂直,且线段P1的中点P2在直线上，变形得,代入直线l:2x+3，得x+1=（y-1）+3，整理得x2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.1已知两条直线:(+m)x+y=5-，2:2x+（5m)=8.当m分别为何值时,l1与l2:()相交？（2）平行？(3）垂直? 解 当m=-5时,显然，l1与l2相交;当m-5时，易得两直线1和l2的斜率分别为k1=-,k2-，它们在轴上的截距分别为=，b2=(1）由k1k2,得-，m-7且m-1.当-7且m-时，l与l2相交.（2)由,得，m-当m=-7时,l1与l2平行.（3）由kk=1,得-=-1，m=-.当m=时，l1与l2垂直.2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高C=0（米）,塔所在的山高OB=220（米），O=200(米），图中所示的山坡可视为直线，且点P在直线上，l与水平地面的夹角为,an=.试问，此人距水平地面多高时,观看塔的视角C最大(不计此人的身高)？解 如图所示,建立平面直角坐标系，则A（20,)，(0,20),(0,00）.直线l的方程为y(x200)t，则=.设点的坐标为（x,),则P（x,）(x00).由经过两点的直线的斜率公式P，kPB.由直线到直线B的角的公式得tBPC= （x20）.要使tnBPC达到最大，只需x-28达到最小,由均值不等式+-282-8,当且仅当x时上式取得等号故当x=30时,anBC最大.这时,点的纵坐标y为y=60.由此实际问题知0,a=.(2)假设存在这样的P点.设点P(，0）,若P点满足条件,则点在与l、l2平行的直线l:2x-y+=0上,且=,即C或C=,2x0-y0+或20-y0+=0；若P点满足条件,由点到直线的距离公式=，即20-y0+3|=|x0+y0-1|,x0-y0+4=0或3x+2=0;由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意联立方程，解得 (舍去）.由解得假设成立,点即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:-250射入，遇直线l:3x+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一 由得反射点M的坐标为（-1，2）又取直线x-2y5=0上一点P(-5，0），设P关于直线的对称点，由P可知，PP=.而PP的中点Q的坐标为,点在上，3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为2xy+3=.方法二 设直线xy+5=上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P(x，y),则,又P的中点在l上,32+70,由可得点的坐标为x=,0=,代入方程x-y+5中,化简得2x-2y+33=,即为所求反射光线所在的直线方程.一、 选择题1.（202X全国文）原点到直线x+50的距离为（ ).1.C.2D.答案 D2.A、是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|A|=PB|,若直线PA的方程为x-+1=,则直线P的方程为（ ）.2y-1= B.xy=0C2xy-7=0 D.2-x-40答案 3.已知直线1的方向向量a=（1,3），直线l2的方向向量b=（1,k),若直线l经过点(,5），且ll，则直线l2的方程为( )A.x+3-5=0 B.x+3y-15=0.x-y+5=0 D.x-3y+5答案 B4.已知三条直线l1:=x-,l2：y=,3：xy+=,l1与的夹角为,l2与3的夹角为,则的值为( ）A75B.05 C165D.5答案5.曲线f(x，)0关于直线x-y-2=0对称的曲线方程是( ）A.f(2，x)0 B.f(x2，y）0.(+2，-2)= D.f(y-2,x+2)=答案C.设ABC的一个顶点是A（3,1）,B,C的平分线方程分别为x=0，yx,则直线BC的方程是（ )A.y=2x+5 By=x+3C.y=3x+5 D.y=-+答案A二、填空题7.设直线l经过点A(-1，）,则当点B（,-1）与直线l的距离最远时,直线l的方程为 .答案 3x-y+08直线2+3y-6=0关于点(1，1）对称的直线方程是 .答案 x+3y+8=0三、解答题9.已知直线l：x+my+6=0,2:(m）x+3y+2m0,求m的值，使得：(1）l1与l2相交；(2）1l2;(3)l;(4)1,l2重合.解（1）由已知13m(m-2),即2-2m-30，解得m-1且3.故当-且m3时,1与l2相交.（)当1（m-2)m=0,即m=时，l2.（3）当=，即m=-1时，l1l2（4）当=，即=3时,l1与l2重合 10.已知（，3）、B（-,0)、C(,)，求D点的坐标，使四边形ABC为直角梯形（、B、C、D按逆时针方向排列）解 设所求点的坐标为（,）,如图所示,由于AB3,kBC0，ABkBC=,即AB与B不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.（1）若CD是直角梯形的直角边,则BD，ADCD,C0，C的斜率不存在,从而有x3.又kAD=BC,=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3，3）.()若AD是直角梯形的直角边,则ADA，ADCD,kAD=，kCD=由于ADAB，3=-1.又ABD，=3.解上述两式可得此时AD与不平行.故所求点D的坐标为，综上可知,使ABCD为直角梯形的点的坐标可以为(3，3）或.1.一条光线经过P（，）点,射在直线l:x+y1=0上,反射后穿过Q（1，）.(1)求光线的入射方程；（2）求这条光线从P到的长度.解 (1)设点为关于直线l的对称点且交l于M点，k=-1,kQQ=1.所在直线方程为y11(x-1)即xy=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为又为Q的中点，由此得.解之得（，-2).设入射线与l交点N，且，N,共线.则P(2，3)，(-2，-2）,得入射线方程为，即5x-y+=(2)l是Q的垂直平分线,因而|N|=.|PN|+|NQ|=|P|+|Q|=,即这条光线从P到Q的长度是.2.已知直线l经过两条直线l1：x+2y与l2:3x-4y-0=的交点,且与直线l3：x2y=0的夹角为,求直线的方程.解 由解得l和l的交点坐标为(2，-1).设所求直线l的方程为y+1=（-).又,由l与l3的夹角为得ta=,即1=或k.故所求的直线的方程为+1=-(x-2)或y+1(x-）,即7x+3y-11=或x-y13=0.7.3 简单的线性规划基础自测1.已知点（1，-1）,B（5，-3),C(4,-5），则表示BC的边界及其内部的约束条件是 .答案 2.（202天津理,2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=xy的最大值为（ ） A.2 B3C.4D5答案D.若点（，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是 ( ） A-5或m0B.m=5或1 C.510D.5m10答案4.（202X北京理，5）若实数x,满足则z=3x+y的最小值是（ ）A0B.1C.D.9答案B5.（202X福建理,)若实数x、y满足则的取值范围是( ）A.（0，)B.(0,1C.（1,）D.1,)答案C例1 画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:()指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点解 （)不等式x-+5表示直线x-y+=0上及右下方的点的集合x+y0表示直线+y=0上及右上方的点的集合, 3表示直线=上及左方的点的集合.则 所以,不等式组.表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x,-3,8.(2)由图形及不等式组知当x=3时,-38，有12个整点；当x=2时,-2y7,有0个整点;当1时,1y,有8个整点；当x=0时，0y,有6个整点;当x=-1时,1y,有4个整点;当x=-时,y3,有2个整点；平面区域内的整点共有2+4+8+1+1=2(个).例2 (202X湖南理,3)已知变量、y满足条件则x+的最大值是（ ）A5C.6D.答案C例3 （2分）某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于15吨,已知生产甲产品1吨,需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个;生产乙产品1吨,需煤4吨,电力5千瓦时,劳力个;甲产品每吨的利润为万元,乙产品每吨的利润为12万元;但每天用煤不超过300吨,电力不超过00千瓦时,劳力只有300个问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大?解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为万元,1分则线性约束条件为4分目标函数为z7x2y, 6分作出可行域如图, 8分作出一组平行直线7x+12t,当直线经过直线4+5y200和直线+1300的交点A（20,24）时,利润最大. 0分即生产甲、乙两种产品分别为20吨、2吨时，利润总额最大,zmax=20122442（万元）.答 每天生产甲产品2吨、乙产品4吨，才能使利润总额达到最大. 1分1.（202X浙江理,17)若a0,b0,且当时，恒有ax+by1，则以,b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于 .答案 (20X全国理,13）若x,y满足约束条件则=2-y的最大值为 .答案 .某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有130个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是1元和20元,根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润?解 依题意设每星期生产把椅子，y张书桌，那么利润p15x+0.其中x,满足限制条件.即点(，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+y8 00 (即A),2xy130(即BC)，x=0（即OA)和=0(即OC)对于某一个确定的满足=15+0y,且点（x,y）属于解x，就是一个能获得元利润的生产方案.对于不同的p，p=1520y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高;p越小,相应的直线位置越低.按题意,要求p的最大值，需把直线p1520y尽量地往上平移，又考虑到x,的允许范围，当直线通过B点时,处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值.由，得B（00,00）,当x=0,y=00时，p取最大值,即pmax=150+20900=21 00,即生产20把椅子、9张书桌可获得最大利润2100元. 一、选择题1.(22X全国理，5）设变量，y满足约束条件:则z=x-的最小值为 （ ）A.- .4C.-6D-答案D2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 ( )A.a B.0a1C.1a .0)仅在点（3，)处取得最大值,求a的取值范围解 依据约束条件,画出可行域.直线+2y-=0的斜率k1，目标函数=a+y （a)对应直线的斜率k2-a,若符合题意,则须k1k2,即-a,得a.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A，B,C三种规格成品:规格类型钢板类型A规格B规格规格第一种钢板11第二种钢板23某建筑工地需A，B，C三种规格的成品分别为5,18，27块,问怎样截这两种钢板,可得所需三种规格成品,且所用钢板张数最小解 设需要第一种钢板x张,第二种钢板张,钢板总数为z张,=,约束条件为:作出可行域如图所示:令0，作出基准直线:yx,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+=15的交点A可使z取最小，由于都不是整数,而最优解(,y)中，,y必须都是整数,可行域内点A不是最优解;通过在可行域内画网格发现,经过可行域内的整点且与点距离最近的直线是+y=12,经过的整点是(3,9)和C(，8)，它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板张,第二种钢板8张；两种方法都最少要截两种钢板共2张.2.在R上可导的函数f(x）=x3a+2x+c,当x(0，1)时取得极大值，当(1，）时取得极小值,求点(a，b)对应的区域的面积以及的取值范围.解 函数f()的导数为f()=x+a+2b,当x(,)时,f(x)取得极大值,当(,2)时，f（x）取得极小值,则方程x2+b0有两个根,一个根在区间(0，）内，另一个根在区间（1，2)内，由二次函数f(x)x+x+2b的图象与方程x+x+b=根的分布之间的关系可以得到在b平面内作出满足约束条件的点(，b)对应的区域为ABD（不包括边界）,如图阴影部分，其中点A(-3,1),B(-1,0)，D（-2，0）,BD的面积为SABD=|=（h为点到轴的距离）.点C(1,)与点(a，b)连线的斜率为,显然(k,kCB),即 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程（,y)=0的点都在曲线C上，那么( ）A.曲线C上的点的坐标都适合方程F（x,)=0B.凡坐标不适合F(x，y）=0的点都不在C上.不在C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不适合F(，y)=0D.不在上的点的坐标必不适合F(x,y）=答案D2.到两定点A(,0），B(，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.AB所在的直线C线段B .无轨迹答案C动点到两坐标轴的距离之和等于,则点的轨迹所围成的图形面积是( )A2B.4 .D.不存在答案C.(202X北京理,4）若点到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A.圆B.椭圆.双曲线D.抛物线答案D.已知直线l的方程是(x，y）=0,点M（x0，y0)不在l上，则方程f（x,y）-f(0，y0）0表示的曲线是 ( )A.直线l .与垂直的一条直线C与l平行的一条直线D与l平行的两条直线答案例1 如图所示,过点(2，4)作互相垂直的直线l1、.若1交轴于A,l交y轴于,求线段A中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为(x,y)，是线段AB的中点，点的坐标为（2x,0),B点的坐标为(0,y）.=（2x-,-4),=(-2，2y-).由已知0，-2(2x）-4（y-4)0，即+y5=0.线段B中点的轨迹方程为y-5=0.例2（5分）在AC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件snC-in=snA,则动点A的轨迹方程是（ ）.= (0).=1 （0)C=1（y0）的左支D.1（0)的右支答案D例3如图所示,已知（,)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足AB=90，求矩形AP的顶点的轨迹方程解 设的中点为R，坐标为(x,y1),Q点坐标为（x，），则在RtAB中,|R|=|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有OR中，AR|=|A|-|OR|2=36（).又|R|PR=，所以有(-4)2+=36（）.即-4x1-0=0因为为PQ的中点,所以x1=,y1.代入方程4x11=0,得-=.整理得2y2=56.这就是Q点的轨迹方程.已知两点M(-2,0）、N（2，0）,点P为坐标平面内的动点，满足|+ =0,求动点P(x,y)的轨迹方程.解 由题意:=（4，0）,(x+2,）,=(x-2,y），|+0，+（x-2）4+y00,两边平方，化简得2=8x.2.已知圆C1:(3）2+y2=1和圆C2：(-3）2+y=9，动圆M同时与圆C及圆C相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示,设动圆与圆C1及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件,得|MC1-|AC=|A|，|MC|-|BC2|M|.因为M|B|，所以MC2|-|MC|C2|-|AC1|=32.这表明动点M到两定点C2，1的距离之差是常数.根据双曲线的定义,动点的轨迹为双曲线的左支(点M到C的距离大,到C1的距离小)，这里=1，c3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x-= (x-）.3(0X宜昌模拟)设（1,0)，点在x轴上,P点在轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解设M（0,），（0,0),N（，y）,由=得（x-，y）=2(x,y0），即,(x0,y0), =(1，-y0)，(x0，)(1，-y)0,x0+=-+=,即y2=4故所求的点N的轨迹方程是y24x.一、选择题1方程x2+y2 (xy）的曲线形状是( )答案2.已知两定点A（,0),B(1,0），如果动点P满足|P2|P|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ）A.B4C.8.9答案B3长为3的线段A的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=,则点C的轨迹是( )A.线段B.圆C.椭圆.双曲线答案C.平面直角坐标系中,已知两点(，)，B(-，3）,若点满足=1+(O为原点）,其中1，2,且1=1,则点的轨迹是（ ）A直线 B.椭圆C.圆 D.双曲线答案A5.（02X成都质检）F、F是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点，从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线,垂足为P,则P点的轨迹为（ ）A.圆椭圆C.双曲线 .抛物线答案A.(202X潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片,折痕D与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（ ).椭圆B双曲线C抛物线D.圆答案A二、填空题.已知ABC的顶点B(，0），C（5，0)，AB边上的中线长C|=，则顶点的轨迹方程为 .答案 （x-10）2+y2=36 (y0） 8.平面上有三点A（-,）,B(0,），C（x,y),若,则动点的轨迹方程为 .答案 =8三、解答题.如图所示，已知点的坐标是(2,2），过点C的直线CA与轴交于点，过点且与直线CA垂直的直线B与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.解 方法一(参数法）:设M的坐标为(x,y）.若直线A与轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1）.若直线A不与x轴垂直,设直线CA的斜率为，则直线CB的斜率为-，故直线A方程为:y=(2)2，令0得x-,则A点坐标为.B的方程为：y=(x-2）2,令=0，得y=2+，则B点坐标为，由中点坐标公式得点的坐标为 消去参数k得到xy-2=0(x1),点M(1,1）在直线y-20上，综上所述,所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二 （直接法)设M（，y)，依题意A点坐标为（2x，),点坐标为(0，2y).|MA|=|C|，化简得x+y-20.方法三 （定义法)依题意|MA|C|MO|,即：|MC|=|MO,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y=.如图所示,线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a(a0),|CD=2b(0),动点P满足PAPB|P|D|求动点的轨迹方程.解 以O为坐标原点,直线AB、CD分别为轴、y轴建立直角坐标系，则A（-，)，B（,0），C（0，-b），（,b),设P(x,y），由题意知|PB=|P|PD|,=,化简得x2-y=.故动点的轨迹方程为x2y2=.1.已知两条直线l1：2x-3y+2和2:3x-y3=0，有一动圆（圆心和半径都动)与1、都相交,且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值2和2，求圆心的轨迹方程解 设
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