《有限元分析》PPT课件

有 限 元 分 析 第 1 章 绪 论1.1 计 算 机 辅 助 工 程 （ CAE） 概 述1.2 有 限 元 法 （ FEM） 的 发 展 与 现 状1.3 有 限 元 法 的 基 本 思 想 什 么 是 计 算 机 辅 助 工 程 （ CAE） CAE=在 产 品 的 研 发 过 程中 ， 利 用 计 算 机 进 行 建模 及 性 能 仿 真 分 析 性 能 仿 真 的 内 容 涉 及 产品 （ 或 系 统 ） 的 力 学 性能 （ 变 形 ， 应 力 ） 、 热学 性 能 、 流 动 性 能 、 振动 特 性 和 噪 声 控 制 等 可 替 代 大 多 数 昂 贵 而 费时 的 物 理 样 机 实 验 ， 即用 数 字 化 样 机 取 代 传 统的 物 理 样 机 实 验 广 泛 应 用 于 各 工 业 领 域1.1 计 算 机 辅 助 工 程 （ CAE） 概 述 为 什 么 要 采 用 CAE 波 音 7 7 7 的 研 发 过 程 中 采 用 CAE数 字 化 样 机 技 术 ， 节 省 了 大 量 物 理 样 机 试 飞 次 数 ， 仅 一次 试 飞 即 获 得 成 功 ， 每 次 物 理 样 机 实 验 需 花 费 1 亿 美 元 CAE技 术 在 汽 车 工 业 中 的 应 用 ， 使 新 车 开 发 周 期 由 原 来 的 5 6 年 缩 减 到 现 在 的 1 2 年 在 机 械 工 程 中 的 应 用齿 轮 在 土 木 工 程 中 的 应 用 在 航 空 工 程 中 的 应 用 在 电 子 工 程 中 的 应 用 在 生 物 工 程 中 的 应 用 CAE方 法 体 系机 械 系 统 物 理 模 型 ：结 构 模 型 ， 机 构 模 型数 学 模 型 ：偏 微 分 方 程 ， 常 微 分 方 程 数 学 模 型 ：物 体 运 动 ： 常 微 分 方 程 ， 铰 约 束 ： 代 数 方 程解 析 法 ： 材 料 力 学 ，弹 性 力 学 等 数 值 法 解 析 法 ： 理 论 力 学 ，机 械 原 理 等 数 值 法 有 限 差 分 法FDM 有 限 元 法FEM 边 界 元 法BEM 有 限 体 积 法FVM 无 网 格 法Meshfree 多 体 动 力 学或 虚 拟 样 机结 构 模 型 机 构 模 型 CAE方 法 体 系 数 值 分 析 工 具 箱“如 果 仅 有 一 把 锤 子 ， 解 决 问 题 的 方 法 只 能 是 用 钉 子 ” 有 限 元 法 ： CAE的 最 主 要 方 法 ， 求 解 问 题 包 罗 万 象 ， 几 乎涵 盖 各 个 学 科 及 各 个 工 程 领 域 。 技 术 最 成 熟 ， 商 业 软 件 十分 丰 富 。 如 ANSYS,NASTRAN,MAC,LS-DYNA,ABAQUS,ADINA 与 CAE相 关 的 课 程 材 料 力 学 ， 结 构 力 学 ， 弹 性 力 学 ， 流 体 力 学 ， 热 力 学 等 理 论 力 学 ， 机 械 原 理 ， 机 械 振 动 计 算 机 三 维 造 型 （ SolidEdge, Pro/E, Solid Work, UG等 软 件的 使 用 ） 有 限 元 分 析 （ FEM） (有 限 元 理 论 及 软 件 的 使 用 如 ANSYS, ABAQUS, LS-DYNA) 虚 拟 样 机 理 论 及 应 用 （ 多 体 系 统 动 力 学 理 论 及 虚 拟 样 机软 件 的 使 用 如 ADAMS） 无 网 格 法 理 论 及 应 用 CAE应 用 现 状 现 有 先 进 产 品 开 发 技 术 包 括 : CAD /CAE /CAM / PLM ( Product Lifecyele Management ) CAD已 普 及 （ 要 求 每 个 工 程 师 必 须 掌 握 ） CAM /PLM（ PDM） 应 用 较 少 CAE在 发 达 国 家 及 一 些 大 公 司 中 利 用 CAE技 术 优 化 产 品设 计 以 降 低 成 本 ， 缩 短 研 发 周 期 已 达 8 0 %9 5 % CAE 的 应 用 已 涵 盖 机 械 工 程 的 各 个 方 面 （ 包 括 运 动 分析 ， 动 力 学 分 析 ， 强 度 及 稳 定 性 分 析 ， 液 压 传 动 分 析 ，振 动 和 噪 声 的 控 制 等 ） CAE方 面 的 专 业 人 才 短 缺 （ 包 括 发 达 国 家 ） CAE的 未 来 CAD /CAE /CAM /PLM 的 软 件 被 广 泛 应 用 ， 其 价 格 低 廉（ “ CAE计 算 器 ” ） 每 个 工 程 师 都 具 备 CAE的 知 识 和 能 力 大 规 模 、 多 尺 度 、 多 场 耦 合 分 析 ， 虚 拟 工 程 CAE全 球 化 （ 如 中 国 、 印 度 的 工 程 师 承 接 美 国 的 CAE项目 ） 在 线 分 析 ： 基 于 新 一 代 的 高 速 因 特 网 实 现 软 件 共 享 ，协 同 分 析 打 好 基 础 ， 做 好 准 备 ， 适 应 未 来 发 展 的 需 要 1 .2 有 限 元 法 的 发 展 与 现 状 有 限 元 法 的 基 本 思 想 源 于 20世 纪 50年 代 中 期 用 于 飞 机 结 构分 析 的 “ 矩 阵 分 析 法 ” 。 有 限 元 法 （ Finite element method）的 名 称 由 美 国 的 R.W.Clough于 1960年 首 先 提 出 。有 限 元 法 的 应 用 范 围 :从 开 始 的 杆 、 梁 结 构 发 展 到 弹 性 力 学 平 面 问 题 、 空 间 问 题 、 板 壳 问 题 ；由 静 力 学 平 衡 问 题 扩 展 到 动 力 问 题 、 波 动 问 题 和 稳 定 问 题 等 ;研 究 对 象 从 弹 性 材 料 扩 展 到 黏 弹 性 、 塑 形 、 黏 塑 形 及 复 合 材 料 等 ;从 固 体 力 学 扩 展 到 流 体 力 学 、 传 热 学 及 连 续 介 质 力 学 各 个 领 域 。 有 限 元 法 的 理 论 也 相 当 完 善 。 科 技 人 员 将 有 限 元 理 论 、 数 值 计 算技 术 和 计 算 机 辅 助 设 计 技 术 等 相 结 合 ， 开 发 了 一 大 批 通 用 和 专 用有 限 元 软 件 。国 际 上 大 型 通 用 有 限 元 软 件 已 经 有 几 百 种 ， 最 著 名 的 有 ：ANSYS、 ADINA、 MARC、 ALGOR等有 限 元 法 是 综 合 现 代 数 学 、 力 学 理 论 、 计 算 方 法 、 计 算 机 技 术等 学 科 的 最 新 知 识 发 展 起 来 的 一 种 新 兴 技 术 。 有 限 元 法 的 基 本 思 想 ：1.结 构 的 离 散 化 。 将 连 续 体 离 散 成 若 干 个单 元 ， 单 元 之 间 通 过 其 边 界 上 的 节 点 连 接成 组 合 体 。2.单 元 分 析 。 1 .3 有 限 元 法 的 基 本 思 想有 限 元 法 基 本 采 用 位 移 法 ， 位 移 作 为 求 解 的 基 本 未 知 量 。选 择 位 移 模 式 ： 单 元 内 任 意 点 的 位 移 随 位 置 变 化 的 函 数， 近 似 表 达 单 元 内 的 位 移 分 布 。计 算 单 元 刚 度 矩 阵 ： 建 立 单 元 节 点 力 和 节 点 位 移 之 间 的关 系 。 运 用 几 何 方 程 和 物 理 方 程 。计 算 单 元 等 效 节 点 力 ： 将 作 用 在 弹 性 体 上 的 各 种 力 等 效到 节 点 上 。 4.引 入 约 束 和 载 荷 条 件 ， 求 解 线 性 方 程 组 ， 得 出 节 点 位 移5.由 节 点 位 移 计 算 单 元 的 应 力 和 应 变 。3.单 元 集 成 。把 单 元 刚 度 矩 阵 集 成 起 来 ， 形 成 整 体 刚 度 矩 阵 。 2. FEM的 特 点 （ 1） 具 有 通 用 性 和 灵 活 性 。（ 2） 理 论 基 础 简 明 ， 物 理 概 念 清 晰 。 （ 3） 广 泛 采 用 矩 阵 计 算 ， 最 适 合 于 计 算 机存 储 ， 便 于 程 序 设 计 。 对 同 一 类 问 题 ， 可 以 编制 出 通 用 程 序 ， 应 用 计 算 机 进 行 计 算 。 1.4 有 限 元 法 在 机 械 工 程 中 的 应 用1.静 力 学 分 析 。 包 括 机 械 结 构 承 受 静 载 荷 作 用 下 的 应 力 、 应 变和 变 形 情 况 。2.模 态 分 析 。 分 析 结 构 的 固 有 频 率 和 振 型 。3.动 力 学 分 析 。 包 括 谐 响 应 分 析 和 瞬 态 动 力 学 分 析 ， 用 于 分 析结 构 在 随 时 间 呈 正 弦 规 律 或 任 意 规 律 变 化 是 的 载 荷 作 用 下 的 响 应 。4.热 应 力 分 析 。 分 析 结 构 因 温 度 分 布 不 均 而 产 生 的 热 应 力 。6.其 他 分 析 。 例 如 ： 结 构 -流 体 耦 合 分 析 等 。5.流 体 分 析 。 课 程 内 容弹 性 力 学 的 基 本 知 识平 面 问 题 的 有 限 元 法等 参 数 单 元1 . 有 限 元 基 本 理 论2 . ANSYS上 机 实 习 王 新 荣 陈 永 波 主 编 有 限 元 法 基 础 及ANSYS应 用 科 学 出 版 社教 材张 力 主 编 ， 有 限 元 法 基 础 及 ANSYS程 序 应 用 基 础 ，科 学 出 版 社刘 怀 恒 主 编 ， 结 构 及 弹 性 力 学 有 限 元 法 西 北 工 业 大 学出 版 社参 考 资 料 第 2 章 弹 性 力 学 的 基 本 知 识2 .1 弹 性 力 学 的 基 本 概 念2 .2 弹 性 力 学 的 基 本 方 程2 .3 弹 性 力 学 的 平 面 问 题 2 .1 弹 性 力 学 的 基 本 概 念有 限 元 的 基 本 理 论 是 建 立 在 弹 性 力 学 有 限 单 元 法 的 基 础 上 ,在 经 典 弹 性 力 学 的 基 本 概 念 和 基 本 方 程 上 建 立 的 。 研 究 对 象材 料 力 学 研 究 杆 件 (如 杆 、 梁 、柱 和 轴 )的 拉 压 、 弯 曲 、 剪 切 、 扭转 和 组 合 变 形 等 。结 构 力 学 在 材 料 力 学 基 础 上 研 究杆 系 结 构 (如 桁 架 、 刚 架 等 )。 弹 性 力 学 研 究 各 种 形 状 的 弹 性 体 ， 如 杆 件 、 平 面 体 、 空 间 体 、板 壳 、 薄 壁 结 构 等 问 题 。 研 究 弹 性 体 由 于 受 外 力 、 边 界 约 束 或 温 度 改 变 等 原 因 而 发生 的 应 力 、 形 变 和 位 移 。 杆 系 结 构研 究 弹 性 体 的 力 学 ， 有 材 料 力 学 、 结 构 力 学 、 弹 性 力 学 。 研 究 方 法在 区 域 V内 严 格 考 虑 静 力 学 、 几 何 学 和 物 理 学 三 方 面 的 条 件 ，建 立 三 套 方 程 ;在 边 界 s上 考 虑 受 力 或 约 束 条 件 ， 建 立 应 力 或位 移 边 界 条 件 ;并 在 边 界 条 件 下 求 解 上 述 方 程 ， 得 出 较 精 确的 解 答 。也 考 虑 这 几 方 面 的 条 件 ， 但 不 是 十 分 严 格 的 ： 常 常 引 用 近似 的 计 算 假 设 （ 如 平 面 截 面 假 设 ） 来 简 化 问 题 ， 并 在 许 多方 面 进 行 了 近 似 的 处 理 。因 此 材 料 力 学 建 立 的 是 近 似 理 论 ， 得 出 的 是 近 似 的 解 答 。 从 其 精 度 来 看 ， 材 力 解 法 只 能 适 用 于 杆 件 形 状 的 结 构 。弹 力 研 究 方 法材 力 研 究 方 法 单 元 体 的 受 力 应 力 理 论 (平 衡方 程 )； 单 元 体 的 变 形 变 形 几 何 理 论 (几 何 方 程 ); 单 元 体 受 力 与 变 形 间 的 关 系 本构 理 论 (物 理 方 程 )。 建 立起 普 遍适 用 的理 论 与解 法 。在 受 力 物 体内 任 取 一 点（ 单 元 体 ） 为研 究 对 象 。 弹 塑 性 力 学 研 究 问 题 的 基 本 方 法 弹 性 力 学 的 基 本 假 设（ 1） 连 续 性 假 设 ： 假 定 物 质 充 满 了 物 体 所 占 据 的 全 部 空 间 ， 不 留 下 任 何 空 隙 。 这 是 连 续 介 质 力 学 （ 包 括 弹 塑 性 力 学 ） 的 一 条 基 本 假 设 。 （ 2） 均 匀 性 假 设 ： 假 定 物 体 内 各 点 处 材 料 均 相 同 。 （ 3） 各 向 同 性 假 设 ： 假 定 物 体 内 各 点 处 各 个 方 向 上 的 物 理 性 质 相 同 。 (4)完 全 弹 性 假 设 :胡 可 定 律 （ 5） 几 何 假 设 小 变 形 假 设 ： 变 形 产 生 的 位 移 与 物 体 的 尺寸 相 比 ,是 微 小 的 。 关 于 外 力 、 应 力 、 应 变 和 位 移 的 定 义 分 为 体 积 力 （ 体 力 ） 和 表 面 力 （ 面 力 ） 两 类 。有 限 元 分 析 也 使 用 集 中 力 这 一 概 念 。 1.外 力 （ 定 义 ） 分 布 在 物 体 体 积 内 的 力 ， 如 重 力 、 惯 性 力 等 。 （ 表 示 ） 以 单 位 体 积 内 所 受 的 力 来 量 度 ， Px， Py， Pz（ 单 位 ） 力 长 度 -3（ 符 号 ） 坐 标 正 向 为 正 。（ 定 义 ） 分 布 于 物 体 表 面 上 的 力 ， 如 接 触 力 ， 压 力 容 器所 受 内 压 等 。 （ 表 示 ） 以 单 位 面 积 所 受 的 力 来 量 度 ， q x qy qz （ 单 位 ） 力 长 度 -2 , Pa 、 MPa（ 符 号 ） 坐 标 正 向 为 正 。面 力 体 力 2 . 应 力假 想 切 开 物 体 ， 截 面 两 边 互相 作 用 的 力 （ 合 力 和 合 力 矩 )，称 为 内 力 。 应 力 ： 受 力 物 体 内 某 点 某 微截 面 上 内 力 的 分 布 集 度 。 SAF lim A0 （ 量 纲 ） 力 长 度 -2 ,(表 示 ） x x面 上 沿 x向 正 应 力 ， xy x面 上 沿 y向 切 应 力 。 （ 符 号 ） 应 力 成 对 出 现 ， 坐 标 面 上 的 应力 的 方 向 以 正 面 正 向 ， 负 面 负 向 为 正 。根 据 剪 应 力 互 等 定 理 知 共 计 六 个 独 立 的 应 力 分 量 。 Tzxyzxyzyx 应 力 列 阵一 点 的 应 力 状 态围 绕 一 点 p做 出 正 六 面 体六 个 面 ： 正 面 ， 负 面 物 体 形 状 的 改 变 可 以 用 它 各 部 分 的 长 度 改 变 和 角 度 改 变 来 表 示 。 切 应 变 xy,yz ,zx 以 直 角 减 小 为 正 ,用 弧 度 表 示 。 3.应 变 正 应 变 和 切 应 变 都 是 无 因 次 的 量 Tzxyzxyzyx 应 变 列 阵正 应 变 x， y， z以 伸 长 为 正 。 在 P点 沿 x、 y、 z三 个 正 方 向 取 微 线 段 PA、 PB、 PC。 变 形 后 ，这 三 条 线 段 的 长 度 和 它 们 之 间 的 直 角 都 会 有 所 改 变 。以 通 过 一 点 的 沿 坐 标 正 向 微 分 线 段 的正 应 变 和 切 （ 剪 ） 应 变 来 表 示 。 4.位 移 刚 性 位 移 ： 反 映 物 体 整 体 位 置 的 变 动 ；变 形 位 移 ： 反 映 物 体 的 形 状 和 尺 寸 发 生 变 化 。 研 究 物 体 在 外 力 作 用 下 的 变 形 规 律 ， 只 需 研 究 物 体内 各 点 的 相 对 位 置 变 动 情 况 ， 即 研 究 变 形 位 移 。位 移 列 阵 Twvu zuxwzw ywzvyv xvyuxu zxz yzy xyx ,一 、 几 何 方 程 2 .2 弹 性 力 学 基 本 方 程应 变 分 量 和 位 移 分 量 的 关 系 二 、 物 理 方 程若 弹 性 体 只 有 单 向 拉 伸 或 压 缩 时 ,根 据 材 料力 学 胡 克 定 律 : Exx / X方 向 拉 伸 时 ,y和 z方 向 必 然 伴 随 横 向 收 缩 ,则E xxzy / 剪 应 力 与 对 应 的 剪 应 变 之 比/GG、 E和 的 关 系 : )1(2 EG 在 三 维 情 况 下 ,由 应 变 求 应 力的 方 程 : 写 成 矩 阵 形 式 := 简 写 为 : =D 其 中 :D称 为 弹 性 矩 阵 zxzxyxzz yzyzxzyy xyxyzyxx EE EE EE )1(2),(1 )1(2),(1 )1(2),(1 由 应 力 求 应 变 的 弹 性 方 程 : 写 成 矩 阵 形 式 := =显 然 :=D -1 三 、 平 衡 方 程弹 性 体 中 任 一 点 满 足 平 衡 方 程 ,在 给 定 边 界 上 满足 应 力 边 界 条 件 。 由 微 分 体 的 平 衡 条 件 ， 建 立 平 衡 微 分 方 程 ；由 微 分 线 段 上 应 变 与 位 移 的 几 何 关 系 ， 建 立 几 何 方 程 ； 由 应 力 与 形 变 之 间 的 物 理 关 系 ,建 立 物 理 方 程 ； 在 给 定 面 力 的 边 界 S上 ， 建 立 应 力 边 界 条 件 ;在 给 定 约 束 的 边 界 Su上 ， 建 立 位 移 边 界 条 件 。 弹 力 的 研 究 方 法在 边 界 S面 上在 边 界 条 件 下 求 解 上 述 方 程 ， 15个 未 知 量 ， 15个 方 程 ， 得 出应 力 、 应 变 和 位 移 。在 体 积 V内 2 .3 弹 性 力 学 的 平 面 问 题弹 性 力 学 可 分 为 空 间 问 题 和 平 面 问 题 。当 弹 性 体 具 有 某 种 特 殊 形 状 ， 并 且 承 受 的 是 某 种 特 殊 外力 时 ， 空 间 问 题 可 能 会 近 似 地 简 化 为 平 面 问 题 。这 样 处 理 ， 分 析 和 计 算 的 工 作 量 会 大 大 减 少 。平 面 问 题 可 分 为 平 面 应 力 问 题 和 平 面 应 变 问 题 。 一 、 平 面 应 力 问 题厚 度 远 小 于 其 他 两 方 向 尺 寸 的 一 等 厚 薄 平 板 。取 平 分 厚 度 的 平 面 （ 称 为 中 面 ） 作 为 xOy坐 标 面 。设 在 板 面 上 不 受 任 何 外 力 ， 全 部 面 力 和 体 力 都 平 行 于 中 面 ， 且 沿 厚 度 不 变 。在 平 面 应 力 问 题 中 ， 虽 有 ，但 0 。Txyyx )( 0 zxyzz 二 、 平 面 应 变 问 题设 有 一 等 截 面 的 无 限 长 柱 体 ， 其 受 力 特 点 是 所 有 面 力 和 体 力 都平 行 于 横 截 面 ， 且 沿 其 长 度 方 向 不 变 。若 其 端 部 因 受 约 束 而 在 z轴 方 向 不 能 移 动 ， 则 每 个 横 截 面 上 各点 Z向 位 移 分 量 W均 为 零 ， 且 位 移 分 量 u与 v仅 是 坐 标 x、 y的 函 数 。 Txyyx )( 0 zxyzz 物 理 方 程 : FEM中 应 用 的 方 程 ： 几 何 方 程 :其 中 D为 弹 性 矩 阵 ， 对 于 平 面 应 力 问 题 是 : xvyu yvxuxyyx D )1(2 2100 01-1 0-112-11 -1 ） （ ）（ED对 于 平 面 应 变 问 题 ： 将 上 式 弹 性 矩 阵 中 的 E换 成 换 成 )1( 2E)1( 00 yxyy xyxx Pxy Pyx 平 衡 方 程8个 未 知 量 ， 8个 方 程 。 第 3 章 平 面 问 题 的 有 限 元 法3 .1 结 构 的 离 散 化3 .2 三 角 形 常 应 变 单 元 的 位 移 模 式 和 形 函 数3 .5 整 体 分 析3 .6 等 效 节 点 载 荷 计 算3 .8 有 限 元 分 析 的 实 例3 .3 单 元 刚 度 矩 阵3 .4 单 元 位 移 函 数 的 选 择 原 则3 .7 约 束 条 件 的 处 理 v 将 连 续 体 变 换 为 离 散 化 结 构 将 连 续 体 划 分 为 有 限 多 个 、 有 限 大 小 的 单 元 ， 并 使 这 些 单 元 仅 在 节 点 处 连 结 起 来 ， 构 成 所 谓“离 散 化 结 构 ” 。 (c) 深 梁 （ 离 散 化 结 构 ）3 .1 结 构 的 离 散 化 离 散 化 要 注 意 :1.单 元 形 状 的 选 择 : 平 面 问 题 的 单 元 ， 按 其 几 何特 性 可 分 为 两 类 ：以 三 节 点 三 角 形 为 基 础 ；以 任 意 四 边 形 为 基 础 。 较 高 精 度 的 三 角 形 等 参 数 单 元 ； 运 用 非 常 广 泛 的 四 边 形 等 参 数 单 元 。这 两 类 都 可 以 增 加 节 点 也 构 成 一 系 列 单 元 ：首 选 三 角 形 单 元 和 等 参 数 单 元 。 2.对 称 性 的 利 用 利 用 结 构 和 载 荷 的 对 称 性 ： 如 结 构 和 载 荷 都 对 于 某 轴 对 称 ，可 以 取 一 半 来 分 析 ； 若 对 于 x轴 和 y轴 都 对 称 ， 可 以 取 四 分 之一 来 分 析 。3.单 元 的 划 分 原 则 通 常 集 中 载 荷 的 作 用 点 、 分 布 载 荷 强 度 的 突 变 点 、 分 布 载 荷 与 自 由 边 界 的 分 界 点 ， 支 承 点 都 应 取 为 节 点 单 元 的 形 状 和 尺 寸 可 以 根 据 要 求 进 行 调 整 。 对 于 重 要 或 应力 变 化 急 剧 的 部 位 ， 单 元 应 划 分 得 小 些 ； 对 于 次 要 和 应 力 变化 缓 慢 的 部 位 ， 单 元 可 划 分 得 大 些 ； 中 间 地 带 以 大 小 逐 渐 变化 的 单 元 来 过 渡 。单 元 的 划 分 原 则 单 元 数 量 要 根 据 计 算 精 度 和 计 算 机 的 容 量 来 决 定 。 在 保证 精 度 的 前 提 下 ， 尽 可 能 减 少 单 元 数 量 。不 要 把 不 同 厚 度 或 不 同 材 料 的 区 域 划 分 在 一 个 单 元 里 。 单 元 的 划 分 原 则 根 据 误 差 分 析 ， 应 力 及 位 移 的 误 差 都 和 单 元 的 最 小 内 角正 弦 成 反 比 ， 所 以 单 元 的 边 长 力 求 接 近 相 等 。 即 单 元 的 三（ 四 ） 条 边 长 尽 量 不 要 悬 殊 太 大 。 4.节 点 的 编 号应 尽 量 使 同 一 单 元 的 节 点 编 号 相 差 小 些 ， 以 减 少 整 体刚 度 矩 阵 的 半 带 宽 ， 节 约 计 算 机 存 储 。上 图 ， 节 点 顺 短 边 编 号 为 好 。 3 .2 三 角 形 常 应 变 单 元 的 位 移 模 式 和 形 函 数首 先 以 平 面 单 元 中 最 基 本 的 三 节 点 三 角 形 单 元 为 例 ， 介 绍有 限 元 法 。单 元 分 析 的 步 骤 可 表 示 如 下 ：节 点 位 移 内 部 各 点位 移 应 变 应 力 节 点 力 单 元 分 析分 为 四 步 求 出 相 邻 各 量 之 间 的 转 换 关 系 ,综 合 起 来 ,得 出 由节 点 位 移 求 节 点 力 的 转 换 关 系 : eee kF ek 单 元 刚 度 矩 阵 位 移 模 式 1.位 移 模 式 Tiiie wvu .单 元 的 若 干 个 节 点 有 基 本 未 知 量 ， 即位 移 模 式 : 单 元 内 任 一 点 的 位 移 表 达 式 ， 假 定 为 坐 标 的 简单 函 数 。反 映 单 元 的 位 移 分 布 形 态 ， 是 单 元 内 的 插 值 函 数 。在 节 点 处 等 于 该 节 点 位 移 。位 移 模 式 可 表 示 为 ： eNf N为 形 态 矩 阵 （ 形 函 数 矩 阵 ） 平 面 问 题 每 个 节 点 位 移 分 量 有 两 个 ， 所 以 整 个 单 元 有 6个 节 点 位 移 分 量 ， 即 6个 自 由 度 。单 元 节 点 位 移 列 阵 : T mmjjii TmTjTie vuvuvu 三 角 形 单 元 有 6个 自 由 度 ， 内 部 任 一 点 的 位 移 是 由 6个 节 点位 移 分 量 完 全 确 定 的 ， 位 移 模 式 中 应 含 有 6个 待 定 系 数 ，所 以 位 移 模 式 可 取 为 ： ayxv yxu 。654 321 , 位 移 函 数 一 般 用 多 项 式 来 构 造 。位 移 模 式 : 单 元 内 任 一 点 的 位 移 表 达 式 ， 假 定 为 坐 标 的 简 单函 数 。反 映 单 元 的 位 移 分 布 形 态 。 在 弹 性 体 内 ， 位 移 变 化 非 常 复 杂 。 有 限 元 法 将 整 个 弹 性 体分 割 成 许 多 小 单 元 ， 在 每 个 单 元 内 采 用 简 单 的 函 数 来 近 似表 达 单 元 的 真 实 位 移 ， 将 各 单 元 连 接 起 来 ， 便 可 近 似 表 达整 个 弹 性 体 的 真 实 位 移 函 数 。这 种 化 整 为 零 、 化 繁 为 简 的 方 法 ， 正 是 有 限 元 法 的 精 华 。 假 设 节 点 i， j， m 的 坐 标 分 别 为 (xi,yi),(xj,yj),(xm ,ym )2.形 函 数 联 立 求 解 左 边 3个 方 程 ， 得 ： 其 中 A为 三 角 形 单 元 的 面 积注 意 ： 为 了 使 得 出 的 面 积 值 不 为 负 值 ， 节 点 i,j,m的 次 序 必 须 是 逆 时 针 。 至 于 将 那 个 节 点 作 为 起 始 点 i则 没 有 关 系 。 同 理 ， 求 解 右 边 的 三 个 方 程 ， 得 到 a4， a5， a6， 解 得 ： mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv 21 mjimjimm jji xxcyybyx yxa 11,11, 式 中 ： i， j， m 轮 换 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu 21整 理 后 得 ： )m,(A21 轮 换令 jiycxbaN iiii iimmjjii iimjjii vNvNvNvNv uNuNuNuNu m其 中 Ni， Nj， Nm 是 坐 标 的 线 性 函 数 ， 反 应 了 单 元 的 位 移 形 态， 称 为 形 （ 状 ） 函 数 。 eekji NINININ 写 成 矩 阵 形 式式 中 ： I 二 阶 单 位 阵 ， N 形 函 数 矩 阵f 3.三 角 形 面 积 坐 标定 义 ： 在 三 角 形 内 任 一 点 P， 向 三 个角 点 （ 节 点 ） 连 线 ， 将 原 三 角 形 分 割成 三 个 子 三 角 形 ， 设 子 三 角 形 的 面 积分 别 是 ： Ai， Aj， Am， 则 ：AAL ii AAL jj AAL mm 即 面 积 坐 标 定 义 为 子 三 角 形 与 原 三 角 形 面 积 之 比 ；记 为 ： P（ Li， Lj， Lm） 。 面 积 坐 标 的 性 质 ：AAAA mji 1. 1 mji LLLLi， Lj， Lm中 只 有 两 个 是 独 立 的 。2.三 角 形 三 个 角 点 处)0,0,1(i )1,0,0(m)0,1,0(j3.三 条 边 上i-j:L m=0 j-m:Li=0 m-i:Lj=0 形 心 处 ： 31 mji LLL推 论 ： 三 角 形 内 一 条 平 行 于 三 角 形 任 一 边 的 直 线上 的 各 点 ， 具 有 相 同 的 与 该 边 对 应 的 坐 标 值 。iii HhL 面 积 坐 标 与 直 角 坐 标 的 转 换 ：)(2111121 ycxbayx yx yxA iiimm jji （ i,j,m )(21 ycxbaAAAL iiiii (i,j,m )因 此 ： ii NL mm NL jj NL 即 三 角 形 面 积 坐 标 就 是 三 角 形 相 应 的 形 函 数 。mm jj ii yx yx yxA 11121 所 以 ， 位 移 模 式 也 可 以 用 面 积 坐 标 表 示 为 ： iimmjjii iimjjii vLvLvLvLv uLuLuLuLu m )(21 ycxbaAAAL iiiii (i,j,m )将 面 积 坐 标 的 表 达 式 ：写 成 矩 阵 形 式 ： yxcba cba cbaALLL mmm jjj iiimji 121求 逆 得 ： mjimji mji LLLyyy xxxyx 1111第 1行 展 开 为 面 积 坐 标 性 质 1， 第 2行 和 第 3行 展 开 即 为 局 部 的 面 积 坐 标和 整 体 直 角 坐 标 的 关 系 ： iimmjjii iimjjii yLyLyLyLv xLxLxLxLx m 例 题下 图 为 一 平 面 应 力 的 直 角 三 角 形 单 元 ， 直 角 边 长 均 为 a,厚 度 为 t， 弹 性 模 量 为 E,泊 松 比 =0.3,求 形 函 数 。 1.单 元 应 变 emmjjii mji mjixyyx bcbcbc ccc bbbAxvyu yvxu 000 00021 eB ),(0 021 mjibc cbAB ii iii mji BBBB应 变 矩 阵应 变 矩 阵 为 常 量 ， 单 元 内 应 变 是 常 数 3 .3 单 元 刚 度 矩 阵 ee SDBD mjimji SSSBBBDDBS 2.单 元 应 力 S称 为 应 力 转 换 矩 阵 )(),(2121)1(2 2 fmjibc cb cbAE ii ii ii 。 ii DBS应 用 平 面 应 力 问 题 的 弹 性 矩 阵 ： 2100 01 011 2 ED 阵 ：平 面 应 力 问 题 ， 弹 性 矩 应 变 矩 阵 为 常 量 ， 单 元 内 应 力 也 是 常 数 ， 相 邻 单元 的 应 变 与 应 力 将 产 生 突 变 ， 但 位 移 是 连 续 的 。 )1(2 2100 01-1 0-112-11 -1 ） （ ）（ 阵 ：平 面 应 变 问 题 ， 弹 性 矩ED 能 量 转 换 与 守 恒 定 律 ， 是 自 然 界 基 本 的 运 动 规 律 之 一 。实 功 原 理 ： 处 于 平 衡 状 态 的 可 变 形 固 体 ， 在 受 外 力 作 用而 变 形 时 外 力 对 其 相 应 的 位 移 所 做 的 功 （ 实 功 ） ， 等 于积 蓄 在 物 体 中 的 应 变 能 （ 实 应 变 能 ） 。能 量 法 的 优 点 ： 与 坐 标 系 的 选 择 无 关 ， 因 而 应 用 极 为 广 泛 。能 量 法 与 数 学 工 具 变 分 法 的 结 合 ， 导 出 虚 位 移 （ 虚 功） 原 理 ， 使 得 用 数 学 分 析 的 方 法 解 决 力 学 问 题 的 理 论 得到 发 展 而 更 趋 完 善 。3.虚 位 移 （ 功 ） 原 理 Tmmjjiie vuvuvu Tymxmyjxjyixie FFFFFFF 单 元 节 点 力 列 阵 ：单 元 节 点 虚 位 移 列 阵 ：节 点 力 在 虚 位 移 所 做 的 功 ： ymmyjjxjjyiixii FuFvFuFvFuW eTe FW 简 写 为 ： 4.单 元 刚 度 矩 阵 eB 单 元 虚 应 变 ：单 元 内 应 力 在 虚 应 变 上 所 做 的 功 （ 虚 应 变 能 ） ：tdxdyU xyxyyyA xx )( 其 中 ： t为 单 元 厚 度 ee SDBD 单 元 应 力 ： eTATeTA tdxdyDBBtdxdy UW 虚 功 原 理 eeeeTe kFtdxdyDBBF tdxdyDBBk Te 为 单 元 面 积A单 元 刚 度 矩 阵 ke取 决 于 单 元 的 大 小 、 方 向 和 弹 性 常 数 ， 而与 单 元 的 位 置 无 关 ， 即 不 随 单 元 或 坐 标 轴 的 平 行 移 动 而 改变 。对 于 三 角 形 常 应 变 单 元 ： tADBBk Te 单 元 刚 度 矩 阵 为 对 称 矩 阵 。 mmmjmi jmjjji imijiimjiTmTjTie kkk kkk kkkBBBDBBBk srsrsrsr srsrsrsrrs bbcccbbc bccbccbbAEtk 2121 2121)1(4 2 对 于 平 面 应 力 问 题 ： mjismjir ,;, 其 中例 题下 图 为 一 平 面 应 力 的 直 角 三 角 形 单 元 ， 直角 边 长 均 为 a,厚 度 为 t， 弹 性 模 量 为 E,泊 松比 =0.3,求 单 元 刚 度 矩 阵 。 理 论 力 学 中 质 点 、 质 点 系 （ 刚 体 ） 的 虚 位 移 原 理 ；材 料 力 学 中 杆 件 的 虚 位 移 原 理 。弹 性 力 学 中 的 虚 位 移 （ 虚 功 ） 原 理 ：在 外 力 作 用 下 处 于 平 衡 状 态 的 变 形 体 ， 当 给 与 该 物 体 微 小位 移 时 ， 外 力 总 虚 功 在 数 值 上 等 于 变 形 体 的 总 虚 应 变 能 。虚 ： 微 小 的 、 任 意 的 、 可 能 的 ， 变 分 的 思 路实 功 是 力 在 自 己 产 生 位 移 上 所 做 的 功 ， 虚 功 是 力 在 别 的（ 人 为 的 ） 因 素 产 生 的 位 移 上 做 的 功 。 所 谓 ” 虚 “ 并 不是 虚 无 ， 而 是 可 能 、 虚 设 的 意 思 。“虚 ” 的 表 达 ： l虚 位 移 （ 虚 功 ） 原 理 ： 3 .4 单 元 位 移 函 数 的 选 择 原 则三 角 形 常 应 变 单 元 简 单 ， 精 度 较 差 ， 要 提 高 精 度 ：1.增 加 单 元 数 目 和 节 点 数 目 ；2.采 用 更 高 精 度 的 单 元 。FEM中 的 一 系 列 工 作 ， 都 是 以 位 移 模 式 为 基 础 的 。 所 以 当 单 元 趋 于 很 小 时 ，即 x, y0 时 ， 为 了 使 FEM之 解 逼 近 于 真 解 ， 即 为 了 保 证 FEM收 敛 性 ,位 移 模式 应 满 足 下 列 条 件 ： 1 . 位 移 模 式 必 须 能 反 映 单 元 的 刚 体 位 移 。单 元 位 移 包 含 两 部 分 ： 本 单 元 的 形 变 引 起 的 位 移 ； 其 他 单 元 的 形 变 引 起的 位 移 ， 即 刚 体 位 移 。 在 位 移 函 数 中 ， 常 数 项 即 提 供 刚 体 位 移 。2 . 位 移 模 式 必 须 能 反 映 单 元 的 常 量 应 变 。单 元 应 变 包 含 两 部 分 ： 变 量 应 变 和 常 量 应 变 。 位 移 函 数 的 一 次 项 提 供 常 量 应 变 。当 单 元 0 时 ， 单 元 中 的 位 移 和 应 变 都 趋 近 于 基 本 量 刚 体 位 移 和 常 量 位 移。 3 . 位 移 模 式 应 尽 可 能 反 映 位 移 的 连 续 性l 使 相 邻 单 元 之 间 的 位 移 保 持 连 续 ， 即 受 力 后 ， 相 邻 单 元 在公 共 边 界 上 ， 即 既 不 互 相 脱 离 ， 也 不 互 相 嵌 入 。使 相 邻 单 元 在 公 共 节 点 处 具 有 相 同 的 位 移 。l使 单 元 内 部 的 位 移 保 持 连 续 。 位 移 函数 取 坐 标 的 单 值 连 续 函 数 。满 足 条 件 1、 2的 单 元 ， 称 为 完 备 单 元 ； 满 足 条 件 3的 单 元 ，称 为 协 调 单 元 。 常 采 用 “ 帕 斯 卡 三 角 形 ” 来 选 取 位 移 模 式 代 数 多 项 式 的 形 式 。 按 照 帕 斯 卡 三 角 形 选 择 位 移 模 式 的 原 则 ：1.多 项 式 的 阶 次 及 项 数 ， 由 单 元 的 节 点 数 目 和 自 由 度 数 目来 决 定 。 保 证 多 项 式 中 的 待 定 系 数 同 单 元 的 自 由 度 数 目 相一 致 ， 以 避 免 在 确 定 待 定 系 数 时 增 加 困 难 。2.当 高 次 多 项 式 只 选 取 一 部 分 项 时 ， 应 遵 循 “ 对 称 性 ” 原则 ， 即 取 其 最 高 次 中 的 位 置 对 称 的 相 应 项 ， 以 保 证 在 各 坐标 轴 方 向 上 具 有 相 同 的 精 度 。3.应 满 足 完 备 性 和 协 调性 要 求 。 3节 点 三 角 形 单 元 ： yaxaav yaxaau 654 321 6节 点 三 角 形 单 元 ： 21211210987 26524321 yaxyaxayaxaav yaxyaxayaxaau 4节 点 四 边 形 单 元 ： xyayaxaav xyayaxaau 8765 4321 3 .5 整 体 分 析 结 构 的 整 体 分 析 是 将 离 散 后 的 所 有 单 元 通 过 节 点 连接 成 原 结 构 ， 进 行 分 析 。 分 析 过 程 是 将 所 有 单 元 平 衡 方 程 组 集 成 整 体 平 衡 方程 ， 引 进 边 界 条 件 后 求 解 整 体 节 点 位 移 向 量 。整 体 平 衡 方 程 ： F=KK为 整 体 刚 度 矩 阵 TTnTTn TTnTTn FFFF 2112 2112 设 弹 性 体 被 划 分 为 N个 三 角 形 单 元 和 n个 节 点 ， 则 结 构 就有 2n个 自 由 度 。 K2n 2n 整 体 刚 度 矩 阵 的 组 装 ：例 ： 求 下 面 结 构 的 整 体 刚 度 矩 阵解 ： 1） 结 构 离 散 ， 单 元 和 节 点 编 码用 三 角 形 单 元 把 该 结 构 分 成 4个 单 元 ， 6个 节 点节 点 两 种 编 码 ： 一 是 节 点 总 码 ； 二 是 节 点 局 部 码 ， 每 个 三 角形 单 元 的 三 个 节 点 按 逆 时 针 方 向 的 顺 序 各 自 编 码 为 i， j,m。单 元 1： 节 点 号 码 1， 2， 3单 元 2： 节 点 号 码 2， 5， 3单 元 3： 节 点 号 码 5， 6， 3单 元 4： 节 点 号 码 2， 4， 5 2） 分 别 写 出 各 个 单 元 的 分 块 刚 度 矩 阵 ： 111 11221 11311211 333231 232111 kkk kkk kkkk 22232 22552 2232252222 3335 5352 kkk kkk kkkk单 元 1： 节 点 号 码 1， 2， 3 单 元 2： 节 点 号 码 2， 5， 3单 元 3： 节 点 号 码 5， 6， 3 单 元 4： 节 点 号 码 2， 4， 5 333 3366365 3533563553 333635 63kkk kkk kkkk 4454452 4444442 4254244224 5545kkk kkk kkkk3） 组 装 整 体 刚 度 矩 阵利 用 单 元 分 块 矩 阵 中 ， 各 子 块 的 节 点和 单 元 信 息 ， 直 接 把 单 元 刚 度 的 各 元素 送 入 总 体 刚 度 矩 阵 的 相 应 行 列 上 ，并 同 总 体 刚 度 矩 阵 该 元 素 的 已 有 值 相加 。 “ 对 号 入 座 ” 组 装 一 般 规 则 ：1)当 Krs中 r=s时 ， 该 点 被 哪 几 个 单 元 所 共 有， 则 整 体 刚 度 矩 阵 中 的 子 矩 阵 Krs就 是 这 几个 单 元 的 刚 度 矩 阵 中 的 子 矩 阵 Krse的 相 加 。2)当 Krs中 r s时 ， 若 rs边 是 组 合 体 的 内 边 ， 则整 体 刚 度 矩 阵 中 的 子 矩 阵 Krs就 是 共 用 该 边 的 两相 邻 单 元 刚 度 矩 阵 中 的 子 矩 阵 Krse的 相 加 。3)当 Krs中 r和 s不 同 属 于 任 何 单 元 时 ， 整 体 刚 度 矩 阵 中的 子 矩 阵 Krs=0 。 366365363 356455355255454353253452252 445444442 336335235333233133232132131 425225424223123422222122121 113112111 0000 000 0 0000 kkk kkkkkkkkk kkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkK 整 体 刚 度 矩 阵 的 性 质 ：1） 整 体 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 。2） 整 体 刚 度 矩 阵 每 一 个 元 素 的 物 理 意 义 ：3） 整 体 刚 度 矩 阵 的 主 对 角 线 上 的 元 素 总 是 正 的 。4） 整 体 刚 度 矩 阵 是 一 个 奇 异 阵 。 只 有 排 除 刚 体 位 移 后， K才 是 正 定 的 ， 其 逆 矩 阵 才 存 在 。在 F=K 中 ， 令 节 点 1在 x方 向 的 位 移 u1=1， 而 其 余节 点 位 移 均 为 0， 则 ： 1)2(1)12(41312111 2211 nnynxnyxyx KKKKKK FFFFFF 5） 整 体 刚 度 矩 阵 是 一 个 稀 疏 阵 。离 散 后 结 构 的 任 一 节 点 ， 只 和 与 它 相 连 的 元 素 发 生 联系 ， 所 以 K存 在 大 量 的 零 元 素 ， 而 非 零 元 素 往 往 分 布 在主 对 角 线 的 附 近 。带 形 矩 阵半 带 宽 ： 在 半 个 斜 带 形 区 域 内 ， 每行 具 有 的 元 素 个 数 ， 用 d表 示 。半 带 宽 d=（ 相 邻 节 点 码 的 最 大 差 值 +1） 2 半 带 存 储 ： 利 用 带 形 矩 阵 的 特 点 和 矩 阵 的 对 称 性 ， 计 算机 中 可 以 只 存 储 上 半 带 的 元 素 。在 同 一 网 格 中 ， 如 果 采 用 不 同 的 编 码 方 式 ， 则 相 应 的 半带 宽 也 可 能 不 同 。应 采 取 合 理 的 节 点 编 码 方 式 （ 使 相 邻 节 点 码 尽 可 能 小 ）， 以 便 得 到 最 小 的 半 带 宽 ， 从 而 节 约 计 算 机 存 储 容 量 。不 同 的 编 码 方 式 ， 相 邻节 点 的 最 大 差 值 分 别 为 4， 6， 8， 半 带 宽 分 别 为10， 14， 18。 3 .6 等 效 节 点 载 荷 计 算根 据 有 限 元 法 的 思 想 ， 所 有 有 关 的 量 都 要 转 换 为 节 点 的 量 。结 构 所 受 的 载 荷 也 必 须 转 换 为 等 效 的 节 点 载 荷 。整 体 刚 度 方 程 中 的 载 荷 列 阵 F， 是 由 弹 性 体 全 部 单 元 等效 节 点 力 集 合 而 成 ， 而 单 元 的 等 效 节 点 力 ， 是 由 作 用 在单 元 上 的 集 中 力 、 表 面 力 和 体 积 力 分 别 移 植 到 节 点 上 ，再 逐 点 加 以 合 成 求 得 。 ptdxdyfqtdlfGfF TTTeTe eeee PQRF 做 虚 功 。虚 功 等 于 单 元 上 外 力 所单 元 等 效 节 点 力 所 做 的 eNf 单 元 内 虚 位 移 ptdxdyNqtdlNGNF TTTTeeTe ptdxdyNP qtdlNQ GNR Te Te Te体 积 力 等 效 节 点 力表 面 力 等 效 节 点 力集 中 力 等 效 节 点 力 1.单 元 自 重 ：下 面 用 上 述 公 式 计 算 几 种 常 用 载 荷 作 用 下 的 等 效 节 点 力 。三 角 形 单 元 i,j,m的 厚 度 为 t， 重 度 为 ， 面 积 为 A， 则体 积 力 ： 0Vp节 点 力 为 ： dxdyNNNNNtP Tmmjjie V 00 00 00 0Ni由 形 函 数 的 性 质 得 ：3NA Adxdyi 则 ： TTAAA AAAe tAtPV 10101031 0000 000 333 333 受 自 重 载 荷 作 用 下 的 等 效 节点 力 为 单 元 重 量 的 1/3。 ptdxdyNP Te 2.均 布 面 力 ：三 角 形 单 元 i,j,m的 ij边 上 作 用 有 均 匀 的 分 布 力 ， 集 度 为 ： sysxs qqq单 元 节 点 力 为 ： dlqqNNN NNNt sysxTmji mjies 000 000Q由 形 函 数 性 质 ： T002Q sysxsysxe qqqqtls 把 作 用 于 ij边 上 的 均 布 面 力 按 静 力 等 效 平 均 分 配 到 该 边两 端 的 节 点 上 。 qtdlNQ TeijdlNij i 21 3.线 性 分 布 面 力 ：三 角 形 单 元 i,j,m的 ij边 上 作 用 有 三 角 形 分 布 表 面 力设 j点 表 面 力 为 0， i点 集 度 为 ： sysxqq T31313232 002Q sysxsysxe qqqqtl s 4.集 中 力 ：集 中 力 G作 用 与 ij边 上 作 用 Te 00R 2211 yllxllyllxll PPPP总 载 荷 的 2/3分 配 给 i点 ，1/3分 配 给 j点 。 整 体 刚 度 矩 阵 的 奇 异 性 ， 可 以 通 过 引 入 边 界 约 束 条 件 来 排 除 弹 性 体 的 刚体 位 移 ， 以 达 到 求 解 的 目 的 。 引 用 边 界 条 件 后 ， 待 求 节 点 未 知 量 的 数 目和 方 程 的 数 目 可 相 应 的 减 少 。3 .7 约 束 条 件 的 处 理引 入 节 点 位 移 最 常 用 的 方 法 有 以 下 两 种 ：计 算 机 常 用 的 方 法 是 ， 以 某 种 方 法 引 入 已 知 的 节 点 位 移 （ 包括 零 约 束 位 移 ） ， 而 保 持 非 常 原 有 的 数 目 不 变 ， 只 是 修 正 K和 F中 的 某 些 元 素 ， 以 避 免 计 算 机 存 储 做 大 的 变 动 。 22112