卢正新《随机过程》第二章泊松过程

1 第 二 章 泊 松 过 程v泊 松 过 程 定 义v泊 松 过 程 的 数 字 特 征v时 间 间 隔 分 布 、 等 待 时 间 分 布 及 到 达 时 间 的条 件 分 布v复 合 泊 松 过 程v非 齐 次 泊 松 过 程v更 新 过 程 2 计 数 过 程 ：称 随 机 过 程 N(t),t0为 计 数 过 程 ， 若 N(t)表 示 到 时 刻 t为 止 已 发 生 的 “ 事件 A”的 总 数 ， 且 N(t)满 足 下 列 条 件 ：1. N(t) 0;2. N(t)取 正 整 数 值 ；3. 若 st， 则 N(s) N(t)；4. 当 s0） ， 事 件 A发 生 的 次 数 N(t+s)-N(t)仅 与 时间 差 s有 关 ， 而 与 t无 关 。 3 泊 松 过 程 定 义 1：称 计 数 过 程 X(t),t0为 具 有 参 数 0的 泊 松 过 程 ， 若 它 满 足 下 列 条 件 ：1、 X(0)=0；2、 X(t)是 独 立 增 量 过 程 ；3、 在 任 一 长 度 为 t的 区 间 中 ， 事 件 A发 生 的 次 数 服 从 参 数 0的 泊 松 分 布 ，即 对 任 意 s,t0， 有 ,1,0,!)()()( nntensXstXP nt 泊 松 过 程 同 时 也 是 平 稳 增 量 过 程 t tXE )( 表 示 单 位 时 间 内 事 件 A发 生 的 平 均 个 数 ， 故 称 为 过 程 的 速 率 或强 度 4 泊 松 过 程 定 义 2：称 计 数 过 程 X(t),t0为 具 有 参 数 0的 泊 松 过 程 ， 若 它 满 足 下 列 条 件 ：1. X(0)=0；2. X(t)是 独 立 、 平 稳 增 量 过 程 ；3. X(t)满 足 下 列 两 式 ： )(2)()( )(1)()( hotXhtXP hohtXhtXP 例 如 ：电 话 交 换 机 在 一 段 时 间 内 接 到 的 呼 叫 次 数 ；火 车 站 某 段 时 间 内 购 买 车 票 的 旅 客 数 ；机 器 在 一 段 时 间 内 发 生 故 障 的 次 数 ； 保 险 的 理 赔 5 定 理 ：定 义 1和 定 义 2是 等 价 的 。例 子 ： 设 交 换 机 每 分 钟 接 到 电 话 的 次 数 X(t)是 强 度 为 的 泊 松 过程 。 求(1) 两 分 钟 内 接 到 3次 呼 叫 的 概 率 。(2) 第 二 分 钟 内 接 到 第 3次 呼 叫 的 概 率 。 6 泊 松 过 程 的 数 字 特 征设 X(t),t0是 泊 松 过 程 ， 对 任 意 的 t,s 0, )， 且 ss1+s2|Ss1。即 假 定 最 近 一 次 事 件 A发 生 的 时 间 在 s1时 刻 ， 下 一 次 事 件 A发 生 的时 间 至 少 在 将 来 s2时 刻 的 概 率 。 9 时 间 间 隔 的 分 布 设 N(t),t0是 泊 松 过 程 ， 令 N(t)表 示 t时 刻 事 件 A发 生 的 次 数 ， Tn表 示从 第 （ n-1） 次 事 件 A发 生 到 第 n次 事 件 A发 生 的 时 间 间 隔 。 10 定 理 ：设 X(t),t0为 具 有 参 数 的 泊 松 过 程 ， Tn,n1是 对 应 的 时 间 间 隔 序 列 ，则 随 机 变 量 Tn是 独 立 同 分 布 的 均 值 为 1/的 指 数 分 布 。对 于 任 意 n=1,2, 事 件 A相 继 到 达 的 时 间 间 隔 Tn的 分 布 为 0,0 0,1)( ttetTPtF tnT n 概 率 密 度 为 0,0 0,)( ttetf tT n 11 等 待 时 间 的 分 布等 待 时 间 W n是 指 第 n次 事 件 A到 达 的 时 间 分 布 ni in TW 1因 此 Wn是 n个 相 互 独 立 的 指 数 分 布 随 机 变 量 之 和 。 12 定 理 ：设 Wn,n1是 与 泊 松 过 程 X(t),t0对 应 的 一 个 等 待 时 间 序 列 ， 则Wn服 从 参 数 为 n与 的 分 布 ， 其 概 率 密 度 为 0,0 0,)1( )()( 1 ttntetf ntWn 例 ： 已 知 仪 器 在 0， t内 发 生 振 动 的 次 数 X(t)是 具 有 参 数 的 泊 松过 程 ， 若 仪 器 振 动 k（ k=1） 次 就 会 出 现 故 障 ， 求 仪 器 在 时 刻 t 0正常 工 作 的 概 率 。 13 到 达 时 间 的 条 件 分 布假 设 在 0,t内 时 间 A已 经 发 生 一 次 ， 我 们 要 确 定 这 一 事 件 到 达 时 间 W1的分 布 。 泊 松 过 程 平 稳 独 立 增 量 过 程可 以 认 为 0,t内 长 度 相 等 的 区 间 包 含 这 个 事 件 的 概 率 应 该 相 等 ， 或 者说 ， 这 个 事 件 的 到 达 时 间 应 在 0,t上 服 从 均 匀 分 布 。 对 于 st有?1)(| 1 tXsWP分 布 函 数 ts tsts ssF tXW ,1 0, 0,0)(1)(|1分 布 密 度 其 它,0 0,1)(1)(| 1 tstsf tXW 14 定 理 ：设 X(t),t0是 泊 松 过 程 ， 已 知 在 0,t内 事 件 A发 生 n次 ， 则 这 n次 到 达 时 间W1W2, Wn与 相 应 于 n个 0,t上 均 匀 分 布 的 独 立 随 机 变 量 的 顺 序 统 计量 有 相 同 的 分 布 。例 题设 在 0,t内 事 件 A已 经 发 生 n次 ， 且 0st， 对 于 0kn， 求PX(s)=k|X(t)=n例 题设 在 0,t内 事 件 A已 经 发 生 n次 ， 求 第 k(kn)次 事 件 A发 生 的 时 间 W k的 条件 概 率 密 度 函 数 。 1、 设 X(t),t0是 泊 松 过 程 ， 在 给 定 0,t内 事 件 A发 生 n次 的 条 件 下 ， 这 n次 到 达 时 间 W1， W2, ， Wn ， 每 一 个 都 是 U0,t的 一 个 样 本 ， 且 相 互 独立 。2、 若 不 考 虑 其 大 小 顺 序 ， 其 分 布 就 如 n个 独 立 的 均 匀 随 机 变 量 U0,t， 如到 达 时 间 的 条 件 分 布 的 说 明1 1 , 0, n nn i i ii iS W U U U t 3、 如 果 我 们 有 一 组 n个 独 立 均 匀 分 布 U0,t随 机 变 量 的 观 测 值 ， 将 其 按 大小 排 列 ， 则 可 以 将 其 视 为 给 定 X(t)=n的 齐 次 泊 松 过 程 的 n个 到 达 点 ， 是 一种 产 生 齐 次 泊 松 过 程 的 方 法 16 例 题设 X1 (t),t 0和 X2 (t),t 0是 两 个 相 互 独 立 的 泊 松 过 程 ， 它 们 在 单 位 时 间内 平 均 出 现 的 事 件 数 分 别 为 1和 2， 记 为 过 程 X1(t)的 第 k次 事 件 到 达 时间 ， 为 过 程 X2(t)的 第 1次 事 件 到 达 时 间 ， 求例 题有 线 电 视 公 司 从 客 户 签 约 时 刻 起 开 始 收 费 ， 每 单 位 时 间 收 费 1元 ， 设 签 约客 户 为 参 数 为 的 泊 松 过 程 ， 求 公 司 在 (0， t时 间 段 内 的 平 均 总 收 入 。(1)kW(2)1W (1) (2)1( )kP W W 17 非 齐 次 泊 松 过 程允 许 时 刻 t的 来 到 强 度 是 t的 函 数定 义 ：称 计 数 过 程 X(t),t0为 具 有 跳 跃 强 度 函 数 (t)的 非 齐 次 泊 松 过 程 ， 若它 满 足 下 列 条 件 ：1. X(0)=0；2. X(t)是 独 立 增 量 过 程 ；3. )(2)()( )()(1)()( hotXhtXP hohttXhtXP 非 齐 次 泊 松 过 程 的 均 值 函 数 （ 积 分 强 度 函 数 ） 为 tX dsstm 0 )()( 18 定 理 ：设 X(t),t0为 具 有 均 值 函 数 非 齐 次 泊 松 过 程 ，则 有 tX dsstm 0 )()( 0),()(exp! )()( )()( ntmstmn tmstm ntXstXP XXnXX或 ),(exp!)()( tmntmntXP XnX 19 01 2 111 ( ), 0 ( ) ( ) ( )= ( )! , 0 ,( )( , , | ( ) ) 0 tnn i ninX t t m t t dt X t nn W W Wtn t t tm tf t t X t n 设 为 非 其 次 泊 松 过 程 ， 均 值 函 数 为 ， 则 在的 条 件 下 ， 次 事 件 到 达 时 间 的 条 件 概 率 密 度 为 ：， 其 他到 达 时 间 的 条 件 分 布 ( )= ( ) ,( )( ) X t n n nXm x x tm tF x x t 说 明 在 的 条 件 下 ， 次 事 件 到 达 时 间 的 分 布 是 个 独 立 同 分 布 样本 的 顺 序 统 计 量 ， 其 母 体 的 分 布 函 数 为 ：1， 20 例 题设 X(t),t0是 具 有 跳 跃 强 度 的 非 齐 次 泊松 过 程 （ 0） ， 求 EX(t)和 DX(t)。 )cos1(21)( tt 例 题设 某 路 公 共 汽 车 从 早 上 5时 到 晚 上 9时 有 车 发 出 ， 乘 客 流 量 如 下 ： 5时按 平 均 乘 客 为 200人 /时 计 算 ； 5时 至 8时 乘 客 平 均 到 达 率 按 线 性 增 加 ，8时 到 达 率 为 1400人 /时 ； 8时 至 18时 保 持 平 均 到 达 率 不 变 ； 18时 到21时 从 到 达 率 1400人 /时 按 线 性 下 降 ， 到 21时 为 200人 /时 。 假 定 乘 客数 在 不 相 重 叠 时 间 间 隔 内 是 相 互 独 立 的 。 求 12时 至 14时 有 2000人 来站 乘 车 的 概 率 ， 并 求 这 两 个 小 时 内 来 站 乘 车 人 数 的 数 学 期 望 。 21 复 合 泊 松 过 程定 义 ：设 N(t),t0是 强 度 为 的 泊 松 过 程 ， Yk,k=1,2,是 一 列 独 立 同 分 布随 机 变 量 ， 且 与 N(t),t0独 立 ， 令 0,)( )(1 tYtX tNk k则 称 X(t),t0为 复 合 泊 松 过 程 。N(t)Y kX(t) 在 时 间 段 (0,t内 来 到 商 店 的 顾 客 数第 k个 顾 客 在 商 店 所 花 的 钱 数该 商 店 在 (0,t时 间 段 内 的 营 业 额 22 定 理设 是 复 合 泊 松 过 程 ， 则1. X(t), t0是 独 立 增 量 过 程 ；2. X(t)的 特 征 函 数 ， 其 中 是 随 机变 量 Y1的 特 征 函 数 ， 是 时 间 的 到 达 率 ；3. 若 E(Y12)， 则 0,)( )( 1 tYtX tNk k 1)(exp)()( ugtug YtX )(ugY )(,)( 211 YtEtXDYtEtXE 1 11( ) (1 ) 1,2,( ) ( ) (1 )!-(1 )- y kn t n k n k knkP Y y ytP X t n e Ck ，可 以 求 得 ：结 巴 概 率 ： 产 生 另 一 个 需 求下 一 个 需 求 发 生 的 概 率 （ 经 过 一 个 指 数 时 间 的 逗 留 ）例 题 ： 结 巴 （ stuttering） 泊 松 过 程对 于 一 个 复 合 泊 松 过 程 ， 如 果 Yn服 从 几 何 分 布 ： 24 泊 松 过 程 的 分 解例 题设 到 达 某 商 场 的 顾 客 组 成 强 度 为 的 泊 松 过 程 ， 每 个 顾 客 购 买 商 品 的 概 率为 p， 且 与 其 他 顾 客 是 否 购 买 商 品 无 关 ， 若 X( t )， t0为 购 买 商 品 的 顾 客数 ， 证 明 X( t )， t0是 强 度 为 p的 泊 松 过 程 。泊 松 过 程 的 分 解 ：强 度 为 的 泊 松 过 程 ， 事 件 A在 时 刻 s到 达 ， 则 此 到 达 可 分 解 成 概 率 为 P(s)的type-1到 达 和 概 率 为 1- P(s) 的 type-2到 达 ， 用 Ni ( t ) ， t0， i=1,2， 表 示type-i在 时 间 (0,t的 达 到 次 数 ， 则 有 1 20 ( ) ( )( ) , ( ) ! !1 ( ) 1 n mpt qtt pt qtP N t n N t m e en mp P s ds q pt 其 中 ， ， 25 泊 松 过 程 的 分 解 可 推 广 到 n个 类 型 ， 用 Pi(s)表 示 type-i在 时 刻 s达 到 的 概 率 ，定 义 ：则 Ni ( t ) ， t0为 参 数 pi的 泊 松 分 布 ， 且 Ni ( t )相 互 独 立01 1 ( ) 1,21ti in iip P s ds i ntp 例 ： 某 沙 滩 汽 车 的 到 达 服 从 指 数 为 的 泊 松 过 程 ， 汽 车 在 沙 滩 的 逗 留 时 间分 布 为 G (s)， 假 定 各 汽 车 逗 留 时 间 之 间 ， 以 及 逗 留 时 间 与 到 达 时 间 之 间 相互 独 立 ， 用 N 1 ( t ) 表 示 时 刻 t离 开 沙 滩 的 汽 车 数 量 ， N2 ( t ) 表 示 时 刻 t仍 然在 沙 滩 上 的 汽 车 数 量 ， 则 N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是 一 个 type-1和 type-2的 分 解 。 26 更 新 过 程 ： 设 N(t),t 0为 计 数 过 程 ， xn（ n 1） 表 示 第 n-1次 事 件 和 第 n次 事件 的 时 间 间 隔 ， 并 设 x1,x2, 为 独 立 同 分 布 的 非 负 随 机 变 量 序 列 ，则 称 计 数 过 程 N(t),t0为 更 新 过 程 。 例 ： 某 设 备 的 寿 命 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 ， 每 次 只 有 一 台 设 备 工 作 ，当 设 备 损 坏 后 立 即 更 换 新 的 设 备 ， 则 在 时 间 t内 损 坏 的 设 备 数 就 是 一个 更 新 过 程 。 更 新 过 程 的 参 数 ： N(t)： 0,t内 事 件 A发 生 的 次 数 ； x n： 第 n次 事 件 的 更 新 间 隔 ； Sn=x1+x2+xn： 第 n次 事 件 的 更 新 时 刻 。 27 Sn与 xn的 关 系 ： x1,x2, xn为 独 立 同 分 布 的 非 负 随 机 变 量 序 列 ， 设 其 概 率 密 度 函 数 为f(t)， 分 布 函 数 为 F(t)。 则 根 据 独 立 随 机 变 量 序 列 和 的 性 质 知 ， Sn的概 率 密 度 函 数 fn(t)为 f(t)的 n次 卷 积 ， 分 布 函 数 Fn(t)为 F(t)的 n次 卷积 。N(t)与 Sn的 关 系 ： 注 意 ： Snt N(t) n ， 则 ： PSnt=PN(t) n 若 在 0,t内 ， 发 生 了 n次 更 新 ， 即 S nt， Sn+1 t， 则 ： PN(t)=n=PSnt,Sn+1t=PN(t) n-PN(t) n+1 =PSnt-PSn+1t =Fn(t)-Fn+1(t)更 新 过 程 的 均 值 函 数 ： 1( ) ( )nnm t F t 28 更 新 过 程 的 更 新 强 度 (t)： 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n nd d dt m t F t F t f tdt dt dt 1 ( )( ) ( ) 1 ( )n ll ln lf ss f s f s ( ) ( ) ( ) ( )l l l lf s s s f s 设 (t)的 拉 氏 变 换 为 l(s) ， f(t)的 拉 氏 变 换 为 fl(s)， 则 根 据 拉 氏 变 换 性 质 知 ：对 上 式 两 边 做 拉 氏 变 换 ， 得 ：fn(t)的 拉 氏 变 换 为 fl(s)n 。对 上 式 两 边 做 拉 氏 反 变 换 ， 得 ：0( ) ( ) ( ) ( )tf t t t u f u du 29 更 新 过 程 的 更 新 速 率 ：( ) ( ) 1N t N tS t S ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )N t N t N tS S St N tN t N t N t N t N t Sn是 第 n次 更 新 事 件 发 生 的 时 刻 ；N(t)是 到 时 刻 t， 更 新 事 件 发 生 的 次 数 ， 则 在 时 刻 t， 有对 上 式 做 一 个 变 换 ， 得 ： ( ) 1lim lim( ) t tt N tN t t 或 N(t)是 一 个 计 数 过 程 ， 当 t趋 近 与 无 穷 时 ， N(t)也 趋 于 无 穷 。 N(t)+1/N(t)趋近 于 1， 故 当 t趋 近 与 无 穷 是 时 ， 上 式 会 趋 近 于 一 个 常 数 。 令 ：1/称 为 更 新 过 程 的 速 率 ， 即 单 位 时 间 内 的 更 新 次 数 ； 就 是 平 均 的 更 新间 隔 。 30 泊 松 过 程 和 更 新 过 程 ：1nn iiS x n ， 为 泊 松 过 程 的 第 次 更 新 时 刻 ， 其 概 率 密 度 函 数 为 ：泊 松 过 程 的 事 件 间 隔 x的 分 布 为 负 指 数 分 布 ：, 0( ) 0, 0te tf t t 1( ) , 0( ) ( 1)0, 0 n tn te tf t nt 31 11( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )! ! !n ni i nt t ti n i nP N t n F t F tt t te e ei i n 则 泊 松 作 为 更 新 过 程 的 分 布 函 数 为 ：10 ( ) ( )( ) 1 ! !i in t tn i i nt tF t e ei i Sn的 分 布 函 数 为 ：其 均 值 函 数 为 ： 1( ) ( )nnm t F t t 其 更 新 强 度 为 ： ( ) ( )dt m tdt 结 论 ： 泊 松 过 程 是 更 新 强 度 为 常 数 的 更 新 过 程 。 32 例 2： 某 理 发 店 只 有 一 个 理 发 师 ， 顾 客 的 到 达 为 参 数 为 的 泊 松 过 程 。 顾客 到 达 时 ， 如 果 理 发 师 空 闲 ， 则 进 入 理 发 店 理 发 ； 如 果 理 发 师 忙 ， 则离 去 。 理 发 师 的 服 务 时 间 服 从 某 一 分 布 律 ， 均 值 为 g。 求 顾 客 进 入 理发 店 理 发 的 速 率 。例 1： 设 更 新 过 程 N(t)的 更 新 间 隔 服 从 几 何 分 布 ， 求 N(t)的 分 布 函 数 。 33 v作 业 3.1 3.5 3.7