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学习必备 欢迎下载 第一章 随机事件与概率 1贯穿本章的基本概念可总结为三个方面：1）随机试验，随机事件及基本事件，样本空间及样本点；2）事件关系及其运算，对偶法则与互不相容分解（BAABA）；3）概率的概念及性质，古典概型。2关于概率计算，首先要熟练运用古典概率计算公式基本事件总数包含的基本事数AAP)(及排列组合公式直接解题，其次要紧扣题设条件、选择适当公式、正确完成计算.计算公式汇集如下：1)逆事件概率公式：)(1)(APAP。注 1：当直接计算 A时问题较为复杂，难以计算，可考虑用逆事件概率公式进行简化。注 2：题目中出现“至少”，首先考虑是否可用逆事件概率进行计算；如果不可行，再利用加法公式。2）加法公式：为独立事件、为独立事件、为任意事件、，为互斥事件、，BA),(1)(1(1BA),()()()(BA)()()(BA )()()(BPAPBPAPBPAPABPBPAPBPAPBAP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP。若 A1，A2，An是相互独立事件，则)(1)(2121nnAAAPAAAP)()()(121nAPAPAP )(1)(1)(1 121nAPAPAP.3）减法公式：)()()(ABPBPABP。强调：利用概率的性质进行计算时，首先画出事件的文氏图，把概率的计算当做是图形面积的计算，可以得到正确的结果。学习必备 欢迎下载 第二章 条件概率与独立性 1贯穿本章的基本概念可总结为两个方面：1）条件概率及其三个应用；2）事件的独立性。2关于条件概率，首先要熟练掌握定义：)()()|(BPABPBAP。注：题目出现条件概率，首先考虑按照定义展开。3.对于条件概率，用三个重要的应用：1）乘法公式：)|()()(BAPBPABP；一般情形：)|()|()|()()(2121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP。注：应用场合：n 个事件的发生有着明显的先后顺序，考虑 n 个事件同时发生的概率时可使用乘法公式。但一般情形的乘法公式不是经常用到。2）全概率公式：设 B1,B2,Bn为样本空间的一个划分，如果 P(Bi)0,i1,2,n,则对中的任一事件 A,有niiiBAPBPAP1)|()()(。注：应用场合：问题有明显的时间先后顺序，考虑后一步发生的概率，应考虑使用全概率公式，划分的选取由前一步决定。3）贝叶斯公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(。注：应用场合：贝叶斯公式是全概率公式的后续问题，它求解的是已知结果出现，考虑原因的条件概率，做题时应注意。强调：这些公式有特定的应用场合，做题时先分析清楚是否需要使用，应该如何使用！4关于事件的独立性，掌握两个事件和三个事件独立性的定义。注 1：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念，要注意区分。注 2：做题时一定要看清楚 A和 B 是否相互独立。本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 第三章 一维随机变量及其分布 1本章概念多，抽象性强.从应用需要看，要理解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布列、分布密度、分布函数、随机变量函数的概念，特别要掌握描述随机变量取值概率规律的分布.2.关于分布函数：1）定义：RxxXPxF),()(。注：分布函数的定义域为全体实数。2）性质：单调不减；0)(,1)(FF；右连续性。3）利用分布函数计算事件的概率：)()()(aFbFbXaP。4）特殊情形下的分布函数：若 X 为离散型随机变量，则 X 的分布函数 F(x)是分段阶梯函数,在 X的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk；若 X为连续型随机变量，则xdttfxF)()(，要能正确地确定积分上下限进行计算。3关于离散型随机变量，一切问题的处理都依赖于分布律，内容相对简单。4关于连续型随机变量，一切问题的处理都依赖于概率密度 f(x)。注：重要的计算公式：1)(dttf（用于求未知参数的值）；AxdxxfAXP)()(。5熟练掌握常用的三种离散型随机变量和三种连续型随机变量：1）两点分布：2）二项分布：在 n 次独立重复试验中，X表示 n 次试验中事件 A发生的次数，knkknppCkXP)1()(，（k0，1，2，n），记为 B(n，p).注：要注意二项分布的应用背景，题目中出现“发生的次数”，应联想到二项分布。3）泊松分布：ekkXPk!)(，（k1，2，），简记为 P().注：题目中出现“k!”，应联想到泊松分布。X 0 1 P 1-p p 本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 4）均匀分布：在区间a,b上随机地取一个数，X表示数的坐标，则 X的概率密度为 ,0,1)(otherbxaabxf 简记为 Ua,b.5）指数分布:,0,0,0,)(xxexfx 简记为 EP()。注：题目中出现“e-x”，应联想到指数分布。6）正态分布：222)(221)(xexf，简记为),(2N.特别地，标准正态分布 N(0,1)，密度函数用 (x)表示，分布函数用 (x)表示。注 1：题目中出现“e-ax2+bx+c”，应联想到正态分布。注 2：正态分布的密度函数关于“x=”对称，有些题目可以根据对称性求解。注 3：正态分布相关事件概率的计算：“标准化”)()()()(abbXaPbXaP。注 4：重要结论：),(22abaNbaXY。6关于随机变量函数的分布，方法比较固定，大家可以看课件或者作业题，这里不再详述。第四章 多维随机变量及其分布 1.多维随机变量是由两个以上随机变量构成，其概率特性不仅决定于各个分量，同时也与这些随机变量的联合特征有关，这是处理多维随机变量在方法上要更为复杂的原因.2.本章很多定义是一维情形的推广，所以在这一章的学习中，要掌握相应的计算公式并能正确地进行计算。重要计算公式总结如下：3.关于离散型随机变量，掌握住联合分布律的表格：本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 4 4-4141概率论与数理统计x1xi 11pjp11ipijpXY y1yjY X 11iip 1iijp 11jjp 1jijp1 注：判断离散型随机变量 X和 Y的独立性，即验证联合分布律是否为边缘分布律的乘积。4.关于连续型随机变量，重要计算公式：1),(dxdyyxf(用于求未知参数的值)；dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(（一定要能正确确定积分上下限）；)()(),(yfxfyxfYX（是否成立用于判断 X和 Y是否相互独立）。5.两个常见分布：二维均匀分布：.,0,),(,1),(othersDyxSyxfD 二维正态分布),(),(222121NYX的常见性质：1）),(211NX，),(222NY；2）X与 Y的相关系数为，且 X与 Y独立当且仅当不相关。6关于离散型随机变量函数的分布，方法比较固定，大家可以看课件，这里不再详述。关于连续型随机变量函数的分布，要掌握 X+Y，max(X,Y)和 min(X,Y)的相关计算。第五章 随机变量的数字特征 1随机变量的数学期望是一个实数，它形式上是以概率为权的加权平均，实质上它体现了随机变量取值的集中位置或平均水平.熟练掌握其计算公式：1）离散型 1iiipxEX，1)()(iiipxgXEgEY，本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 11),(),(jiijjipyxgYXEgEZ；2）连续型 dxxxfEX)(，dxxfxgXEgEY)()()(，dxdyyxfyxgYXEgEZ),(),(),(。2熟练掌握数学期望的性质：1）baEXbaXE)(；2）bEXaEXabXaXaEnnnn1111)(；3）若 X和 Y相互独立，则EYEXXYE)(。3方差是衡量随机变量取值集中（分散）程度的重要数字指标.熟练掌握方差的计算公式：22)()(EXXEDX。4熟练掌握方差的性质：1）DXabaXD2)(；2）),cov(2)(YXDYDXYXD；3）若 X1,Xn相互独立，则nnnnDXaDXabXaXaD212111)(；注：一定要注意系数的平方！注：若 X1,Xn相互独立且满足 Xi 服从 N(i,i2)，则),(2221211111nnnnnnaabaaNbXaXa.5.熟练掌握常见分布的期望和方差结果。6.协方差可理解为协助计算随机变量和的方差，熟练掌握协方差的计算公式：EYEXXYEYX)(),cov(。7.相关系数用于刻画随机变量之间的线性关系，熟练掌握相关系数的计算公式：DYDXYX),cov(。注：如果你在做题时求出的相关系数为 0，记得检查一下你的计算是否正确，你是否把 X和Y错误的认为是相互独立的。8.熟练掌握相关系数的性质：1）|=1 的充要条件是 P(Y=aX+b)=1；本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 2）X 和 Y不相关等价于 =0；等价于 cov(X,Y)=0；等价于 E(XY)=EXEY；等价于 D(X Y)=DX+DY。第六章 大数定律和中心极限定理 1掌握切比雪夫不等式的结论：22)|(|XP。2简单了解一下大数定律的结论：iniiEXXn 11。3掌握中心极限定理的结论：),(21nnNXnii近似。会利用中心极限定理做近似计算。第七章 数理统计的一些基本概念 1.涉及本章的概念，除样本观测值以及与此有关的概念外，都要充分揭示它们的随机性内涵.否则，概念的实质无法理解，思想方法更难把握.总体 X 体现某种特征的数量指标随机变量.简单随机样本(X1，X2，Xn）独立同分布的随机变量.统计量 g(X1，X2，Xn）且不含任何未知参数随机变量.样本矩样本均值、样本方差、样本修正方差随机变量.2.常用统计量有：niiXnX11 样本均值.niinXXnS122)(1 样本方差.niiXXnS122)(11 样本修正方差.nirriXnA11 样本 r 阶原点矩.重要结论：XE，nXD2，221nnESn，22ES。3.掌握三大抽样分布：2分布、t 分布、F 分布的构造性定义，对于给定的问题，要能够本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序学习必备 欢迎下载 判断出其所属的类型，参考课件上的相关例题。4.掌握上分位点的定义，会画图表示。5.掌握正态总体下统计量的重要结论：),(2NX；)1()(221222nXXnSniin；X与2nS相互独立。这是利用频率很高的三个结论。第八章 参数估计和假设检验 1.熟练掌握两种点估计方法：矩估计法和最大似然估计法的计算步骤。矩估计法的步骤：第一步：分析总体中含有未知参数的个数（至多两个，大多数题目只有一个参数）；第二步：计算总体 X的矩（若一个参数只需计算 EX，若有两个参数则需计算 EX和 EX2）；第三步：令样本矩等于总体矩（这时矩估计方法的核心），建立关于参数的方程或方程组；第四步：解方程，得到参数的矩估计。最大似然估计的步骤：第一步：计算似然函数niinxfxxLL11);();,.,()(；（对于离散型随机变量计算分布律，对于连续型随机变量计算概率密度）；第二步：计算对数似然函数 lnL()；第三步：令0)(lndLd建立方程；第四步：解方程，得到参数的最大似然估计。4.掌握估计无偏性的定义：),.,(1nXXE。做题时需求出统计量),.,(1nXX的数学期望进行验证。5.掌握正态总体下参数区间估计的各种形式，会计算相关的区间估计问题.6.掌握正态总体下参数假设检验的各种形式（见课本 204 页），会计算相关的假设检验问题.本空间及样本点事件关系及其运算对偶法则与互不相容分解概率的概念及性质古典概型关于概率计算首先要熟练运用古典概率计算公式包含的基本事数基本事件总数及排列组合公式直接解题其次要紧扣题设条件选择适当公式正确完化注题目中出现至首先考虑是否可用逆事件概率进行计算如果不可行再利用加法公式加法公式为互斥事件为任意事件为独立事件为独立事件若是相互独立事件则减法公式强调利用概率的性质进行计算时首先画出事件的文氏图把概率念可总结为两个方面条件概率及其三个应用事件的独立性关于条件概率首先要熟练掌握定义注题目出现条件概率首先考虑按照定义展开对于条件概率用三个重要的应用乘法公式一般情形注应用场合个事件的发生有着明显的先后顺序
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