资源描述
上 节 回 顾 ：（ 1） 3D自 由 振 动 的 波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 3D泊 松 公 式 ） : 2tt xx yy zzu a u u u 0 0( , , ), ( , , )tt tu x y z u x y z 解 为 2 2( , ) ( , )1 1( , , , ) d d .4 4S M at S M atu x y z t S St a t a t （ 2） 2D波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 2D泊 松 公 式 ） :2 2 2( , )1 ( , )( , , ) d d2 ( ) ( ) ( )M atu x y t t a at x y 2 2 2( , )1 ( , ) d d .2 ( ) ( ) ( )M ata at x y （ 3） 3D受 迫 振 动 的 波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 3D泊 松 公 式 ） : 2 ( , , , )tt xx yy zzv a v v v f x y z t 0 0( , , ), ( , , )tt tu x y z u x y z 0( , , , ) ( , , , ; )dtv x y z t w x y z t 0 00, 0tt tv v 2 ( , , , )tt xx yy zzu a u u u f x y z t 2tt xx yy zzw a w w w 0, ( , , , ) tt tw w f x y z 2( , ( ) ( , , , )( , , , ; ) d4 ( )S Ma t fwx y zt Sa t 齐 次 化 原 理 线 性 叠 加 1.5 波 的 传 播 与 衰 减3 波 动 方 程 解 的 衰 减1 依 赖 区 域 、 决 定 区 域 和 影 响 区 域2 惠 更 斯 原 理 、 波 的 弥 散 1 依 赖 区 域 、 决 定 区 域 和 影 响 区 域（ 1） 2D波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 2D泊 松 公 式 ）依 赖 区 域 :决 定 区 域 ：影 响 区 域 ： 2 2 2 20 0 0( ) ( )x x y y a t 圆 盘 称 为 点0 0 0( , , )x y t 的 依 赖 区 域 。2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y a t t 锥 体 称 为 圆 盘的 决 定 区 域 。2 2 2 20 0 0( ) ( )x x y y a t 0t t2 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y a t 无 限 锥 体 称 为 点0 0( , ,0)x y 的 影 响 区 域 。 0 00 0 0 2 2 2( , )0 0 0 01 ( , )( , , ) d d2 ( ) ( ) ( )M atu x y t t a at x y 0 0 2 2 2( , ) 0 0 01 ( , ) d d2 ( ) ( ) ( )M ata at x y 省 略 了 “ 其上 函 数 值 ” （ 2） 3D波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 3D泊 松 公 式 ）依 赖 区 域 :决 定 区 域 ：影 响 区 域 ： 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z a t 球 面称 为 点 0 0 0 0( , , , )x y z t 的 依 赖 区 域 。2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x x y y z y a t t 锥 体称 为 球 的 决 定 区 域 。0t t2 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z a t 无 限 锥 面称 为 点 0 0 0( , , ,0)x y z 的 影 响 区 域 。 0 0 0 00 0 0 0 2 2( , ) ( , )0 0 01 1( , , , ) d d4 4S M at S M atu x y z t S St a t a t 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z a t （ 2） 2D波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 2D泊 松 公 式 ）2 惠 更 斯 原 理 、 波 的 弥 散（ 1） 3D波 动 方 程 柯 西 问 题 解 （ 3D泊 松 公 式 ）2 2( , ) ( , )1 1( , , , ) d d4 4S M at S M atu x y z t S St a t a t *初 始 扰 动 将 以 波 速 a向 四 周 扩 大*惠 更 斯 原 理 （ 前 阵 面 、 后 阵 面 ， 可 以 球 区 域 为 例 ）*初 始 扰 动 将 以 波 速 a向 四 周 扩 大*弥 散 （ 后 效 现 象 ） 2 2 2( , )1 ( , )( , , ) d d2 ( ) ( ) ( )M atu x y t t a at x y 2 2 2( , )1 ( , ) d d2 ( ) ( ) ( )M ata at x y 3 波 动 方 程 解 的 衰 减2 2( , ) ( , )1 1( , , , ) d d .4 4S M at S M atu x y z t S St a t a t *3D泊 松 公 式 衰 减 2 ( , ) (0,1)1 d ( )d4 4S M at StS x att a t t *设 1, C C ,并 且 具 有 紧 支 集 。推 导 ： （ 1） 等 价 变 形(0,1) (0,1)1 ( )d ( ) d4 4 i iS Stx at a x at 2 2 ( , )1 ( ) ( ) d4 MS M at M M MM Sa t 2 22 2 (0,1)1 ( ) d4 i iS x at at a ta t 2 2 ( , )1( , , , ) ( ) ( ) ( ) d4 MS M atu x y z t t M M M MM Sa t （ 2） 估 计 , 由 于 有 紧 支 集 ， 故 存 在 一 个 球 (0, )B ， 使 得1 | |, | |, ,i Cx 1,2,3i 故 2 3,( ) ( ) ( )t M M M MM C t C 又 2( , ) 4 ,OB M at B 综 上 可 得2 2 ( , )1( , , , ) ( ) ( ) ( ) d4 MB M atu x y z t t M M M MM Sa t 1Ct 22 32 21 44 C t Ca t 0 as .t
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