金融工程7-维纳过程与伊藤引理.ppt

1 第 12章 维纳过程和伊藤引理 2 教学目的与要求 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点， 掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程 的特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值 和标准差。掌握 Ito过程的特征。 3 教学重点及难点 一 、 马尔科夫过程与效率市场的关系 。 二 、 维纳过程 、 一般维纳过程与此同时 Ito过程的 特征 ， 漂移率和方差率 ， 变量的均值与方差 。 以 及这几种过程的内在联系和变化 。 三、 Ito定理及其运用。 4 期权的估值 欧式期权的到期收益 Max (ST X, 0) ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。 期权当期的价值？ 风险中性估值 期权当期的价值未来收益折现后的期望值 c E Max (ST X, 0) 问题 ST的分布是怎样的？ 只有确定 ST的分布才能确定 c的价值 5 12.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程 效率市场假说 1965年，法玛 (Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完 全反应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与新信息相应的价格变动是相互独立的。 效率市场分类 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测 证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。 6 半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准 确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往 的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本 面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。 强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息， 而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中， 因此任何信息 (包括 “ 内幕信息 ” )对挑选证券都没 有用处。 效率市场假说提出后 ， 许多学者运用各种数据对 此进行了实证分析 。 结果发现 ， 发达国家的证券 市场大体符合弱式效率市场假说 。 7 马尔可夫过程 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 (Markov Stochastic Process)来表述。 马尔科夫过程 (Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式不相关。 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (the weak form of market efficiency)相一致： 一种股票的现价已经包含了所有信息 ， 当然包括了所有过去的价 格记录 。 如果弱型市场有效性正确的话 ， 技术分析师可通过分析股价的过 去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的 。 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立 。 8 12.2 维纳过程 （ Wiener Process ） 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气 体中的小粒子运动的描述 ， 以发现这种现象的英 国植物学家 Robert Brown命名 。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 (wiener)给 出的 ， 因此布朗运动又称维纳过程 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。 9 维纳过程（ Wiener Process ） 维纳过程（ Wiener Process） 性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 （ 服从标准正态分布） 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立 从性质一，我们知道 z服从正态分布，性质 2则隐含 z 遵循马尔科夫过程。 维纳过程 /布朗运动的特征 股票价格在任意时段变动的均值都为 0。 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度 tz 0),( 21 zzC o r r 10 程序：维纳过程的模拟 假定股票价格服从普通布朗运动 ， 即 dS=dt+dz， 其中 和 均为常 数 ， dz遵循标准布朗运动 ， 也就是说 ， 在短时间 t后 ， S值的变化值 S为 假定股票价格服从几何布朗运动 ， 即 dS=dt+dz,其中 和 均为常数 ， dz遵循标准布朗运动 ， 也就是说 ， 在短时间 t后 ， ln(S)值的变化值 ln(S)为 S t t 0 , TS S N T T 0 , TS N S T T 20l n l n ( / 2 ) , TS S N T T 20l n l n ( / 2 ) , TS N S T T 当股票价格服从普通布朗运动时的走势图 11 42 4 2 . 5 43 4 3 . 5 st 0 .5 1 1 . 5 2 t 当股票价格服从几何布朗运动时的走势图 12 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 g _ st 0 .5 1 1 . 5 2 t 13 股票价格的一般变动 一般化的维纳过程 变量本身随着时间的推移会有定量的增长 a t 除了时间价值之外的变动为布朗运动 zbtax 14 12.3 股票价格的一般变动 股票价格的变动 股票价格有随时间推移增长的稳定趋势 股票“实际”价格变动为布朗运动 zStSS 布朗运动股票价格 0 200 400 600 800 1,000 1,200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tWS tt 指数布朗运动股票价格 0 100 200 300 400 500 600 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 )e x p ( tWS tt 上证指数 0 500 1000 1500 2000 2500 19901219 19920929 19940804 19960709 19980629 20000626 20020628 18 12.4 Itos Lemma Itos Lemma 假设存在一个伊藤过程： 如果 G是 x和 t的函数，即： G=G(x,t) 那么： 期权及其他衍生证券的价格变动 股票价格服从维纳过程： 那么： ztxbttxax ),(),( zbxGtbx GtGaxGG 2 2 2 2 1 zStSS zSSftSS ftfSSff 22 2 2 2 1 19 证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从： 其中 利用泰勒展开，忽略高阶项， G(x,t)可以展开为 tz ztxbttxax ),(),( ),( 2 1 2 1 2 1 ),( 2 2 2 2 2 2 2 txotx tx G x x G t t G x x G t t G txG 20 3 2 2 00 l im l im 0 tt x t a t b t 因此，上式可以改写为 2 2 20 1l im 2t f f ff t x x t x x 保留 1阶项，忽略 1阶以上的高阶项 21 22 00 3 2 2 2 2 2 0 22 l im l im l im 2 tt t x a t b t a t b t ab t bt 其中（忽略高阶项）： 22 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )E x E b t b t E 因此，可得 22 ( 0 , 1 ) , ( ) ( 0) ( ) 1 N D E E 由 于 则 22()E x b t 由此得到 代入前述公式可得到伊藤引理。 23 12.5 股票价格的对数正态特性 对数正态分布 股票价格服从维纳过程 股票价格的分布为对数正态分布 公式 ttSS ),( ttSS tTtTSS T ),)(2(lnln 2 0 24 关于对数正态分布 定义 G=lnS，由于： 所以有： 即： 显然 G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ， 波动率为常数 。 因此， lnS的变化服从正态分布，不难知道： 0,11 22 2 tGSS GSSG ， dzdtdG )2( 2 )2( 2 2 22l n l n ( / 2 ) , , , 0 , Ts N S T t t T dzdtSd )2(ln 2 25 对数正态分布 几何布朗运动的深入分析 在很短的时间 t后， 证券价格比率的变化值 为： 可见，在短时间内， 具有正态分布特征 其均值为 ，标准差为 ，方差为 。 S S ttSS ( , )S ttS t t 2 t 几何布朗运动的深入分析（ 2） 但是，在一个较长的时间 T后， 不再具有正态 分布的性质： 多期收益率的乘积问题，服从正态分布的变量的乘 积并不服从正态分布。而由于总的连续复利收益率 等于各期收益率的加和，因此仍为正态分布。 因此，尽管 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度 T后，这个收益率的标准 差却不再是 。股票价格的年波动率并不是一 年内股票价格百分比收益率变化的标准差。 S S T 几何布朗运动的深入分析（ 3） 如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数 lnS所遵循的随 机过程： 这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意时间长度 T之后， G的变化仍然服从正态分布 ，均值为 ，方差为 。标准差仍然 可以表示为 ，和时间长度平方根成正比。 从自然对数 lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个 结论 : 2() 2d G d t d z 2( / 2 )( )Tt 2()Tt tT 22 ( ) ( ) , G T t T t （ 1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。 令 t时刻 G的值为 lnS， T时刻 G的值为 lnST，其中 S表示 t 时刻（当前时刻）的证券价格， ST表示 T时刻（将来时 刻）的证券价格，则在 T t期间 G的变化为： 这意味着： 进一步从正态分布的性质可以得到 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量 的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态 分布。这表明 ST服从对数正态分布。 这正好与 作为预期收益率的定义相符。 ln lnTSS 22l n l n ( ) ( ) , TS S T t T t 2 2l n l n ( ) ( ) , TS S T t T t ()() TtTE S S e 22 2 ( ) ( )v a r ( ) 1 T t T t TS S e e （ 2） 股票价格对数收益率服从正态分布 由于 dG实际上就是连续复利的对数收益率。因 此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循 普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分 布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比 例。 将 t与 T之间的连续复利年收益率定义为 ，则 2 2 t 2 2 l n l n ( ) ( 1 e ) , ( n, , l t ) T T T S SS S S T t T S t Tt （T - ） ， 可得 T- 由 结论 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程 。 32 12.6 随机过程的蒙特卡罗模拟 有关蒙特卡罗方法的由来 取名于摩纳哥的著名赌城 掷色子是一个随机事件 蒙特卡罗方法 任何涉及随机采样的数值方法 不仅仅用于有关随机的问题 估计 圆周率 优化问题 40年代美国 Los Alamos 实验室的科学家用于核武器的研 究 代表人物：冯诺依曼 经济和金融中的模拟方法 Monte Carlo 方法 在计量经济学里 ， 如果我们对某种估计方法 的统计性质不是很了解 ， 而又要用到该种方 法时 ， 可以用 Monte Carlo 方法来解决 . 在计量经济学中的例子 : 1.对联立方程偏误的定量研究 . 2.确定 Dickey-Fuller 检验的临界值 . 3.确定在自相关检验中样本大小对检验功效 的影响 . 经济和金融中的模拟方法 Monte Carlo 方法 在金融中的例子 : 1.奇异期权的定价 . 2.确定宏观环境对金融市场的影响 . 3.风险管理建模 : 压力测试 ， 例如 ， 确定最小 资本要求 . 模拟中的“随机数” 进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统。而设 定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数。例 如模拟样本为 100的随机趋势过程的 DF统计量的分 布，若试验 1万次，则需要生成 200万个随机数。 计量经济学中蒙特卡罗模拟和自举模拟所用到的随 机数一般是服从 N(0,1)分布的随机数。 计算机所生成的随机数并不是 “ 纯随机数 ” ，而是 具有某种相同统计性质的随机数，即某种 “ 伪随机 数 ” （ pseudo-random number）。生成随机数的 程序称作 “ 伪随机数生成系统 ” 。实际上计算机不 可能生成纯随机数。 模拟的计算机实现 蒙特卡罗模拟和自举模拟的实现要通过计算机编 程来实现。 常用的软件有 Mathematica， Gauss， Ox， EViews， Stata等。其原理基本一样。 若干例子见图。 图 1 随机游走序列 图 2 带趋势项的随机游走序列 0 50 100 150 200 -10 -5 0 5 0 50 100 150 200 0 10 20 30 40 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 0 2 -2 0 2 -1 -0.5 0 0.5 1 图 3 三维图圆环 图 4 空间曲面 图 5 投币 1000次的概率值模拟 图 6 生长曲线 图 7 二元正态分布 图 8 蒲丰问题 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 0.25 0.5 0.75 1 0 200 400 600 800 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 39 12.7 蒙特卡罗模拟的实现 我们从几个例子来看 例 1：两个 I(1)变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟 未达到 N 图 11 蒙特卡罗模拟过程示意图 生成 xt, ytI(1) 估计相关 系数 r 分析 r的 分布 设定循环 次数 N 设定 xt,yt I(1) EViews程序如下： workfile corr u 1 500 series result for !i=1 to 500 smpl 1 100 series x=nrnd series y=nrnd series xx series yy scalar sum1=0 scalar sum2=0 for !counter=1 to 100 sum1=sum1+x(!cou nter) sum2=sum2+y(!cou nter) xx(!counter)=sum1 yy(!counter)=sum2 next scalar r=cor(xx,yy) result(!i)=r next result.hist 定义一个非时间序列（ u）工作文件， corr，容量为 500。 定义一个空序列 result，用来存储相关系数的计算结果。 !i为控制变量，通过一个 for循环语句使计算进行 500次。 把样本范围设置成 100。 生成两个互不相关的白噪声序列 x、 y，样本容量 100。 定义两个空的序列 xx和 yy，样本容量也是 100。 定义两个标量 sum1和 sum2，初始值为 0。 !counter为控制变量，在这个 for循环中，分别对序列 x和 y进行 一次累加生成两个一阶单整的序列，将结果分别放到序列 xx和 yy 中。 累加一次。 计算序列 xx和 yy的相关系数，并将结果放到标量 r中。 将相关系数计算结果放到序列 result中，在这个 for循环中，这个 操作要进行 500次。 显示序列 result的直方图以及有关统计量。 图 13 两个非相关 I(1) 序列的相关系数的分布 例 2： DW统计量分布的蒙特卡罗模拟 生成 T=50的相互独立的 IN(0,1)序列 ut 和 vt 用 ut 和 vt分别生成两个相互独立的 I(1)序列 yt = yt-1 + ut , y0 = 0, xt = xt-1 + vt , x0 = 0, 估计模型 yt = 0 + 1xt + wt 并计算残差 用残差计算 DW统计量的值 存储 2000个 DW值 画 DW频数分布直方图 。 记录 T=50条件下 DW分 布的均值 、 标准差和第 90、 95、 99百分位数 。 分别估计 DW均值 、 标准差和第 90、 95、 99百分 位数值对 (1/T )的响应面函数 例 3（利用模拟方法对欧式期权进行定价） 设股票价格 St服从风险中性测度下的几何 Brown运动： t t t td S r S d t S d B 其离散化形式为 1 ( 1 ) (0 , 1 ) ( 1 )i i i i iS r S S B B N 根据金融工程理论，设现在股票价格为 S0， T时 刻到期（单位天），敲定价为 K的欧式看涨期权 的价格为 rT TC e E S K MC方案：按照（ 1）递推产生 n条风险中性测度下的 轨道，提取出 ST (n)；（ 2） 1 1 n irT T i C e S Kn 44 对一个大众型欧式看涨期权的定价 . 具体步骤如 下 : 确定标的资产的数据产生过程 . 通常假设该过程为具 有漂移的随机游走，即要确定漂移和波动参数 . 同时 要确定行权价格 K 及到期日 T. 产生 T 个标准正态分布的数据 ， 作为误差项 , ut N(0,1). 构造 T 个标的资产的观测值 . 例 3:利用模拟方法对欧式期权进行定价 45 记录在时刻 T 时标的资产的价格 ST. 对一个看涨期权 如果 ST K, 则价值为 ST - K, 然后用无风险利率贴现 . 重复 1到 4步 N 次 , 取 N 重复的平均值，这个平均值 就是该欧式看涨期权的价格 . 对于更加复杂期权的定价可以按同样思路进行 . 例 :利用模拟方法对欧式期权进行定价 (续 ) 有关随机数发生器 随机数产生器 能够产生在区间 0,1上均匀分布的随机数 Excel中 在 excel中可以采用 RAND（）产生一个 0和 1之间的随机数， 累积正态分布分布的反函数为 NORMSINV。 所以， EXCEL中从标准正态分布中随机抽样的方法是： NORMSINV （ RAND（） STATA中 生成（ 0， 1）之间伪随机数的命令为 uniform 每运行 ”di uniform()”命令一次，就可以得到一个随机数 . simulate exp_list , reps(#) saving(filename , replace) seed(#) : command 例 simulate max=r(max), reps(10000) nodots:seq3，效果就是重复一万次， 取平均数 有关随机数发生器 例：虚假回归。随机生成两个随机游走序列（ 100个样本）， 进行回归， 计算估计量和 t统计量；如此反复 10000次。 （ 1）利用均匀分布或正态分布随机数生成器生成随机游走过 程。 （ 2）通过如下命令进行模拟。 . simulate beta=(r(b1) se=(r(se1), reps(200) : rdwalk, diff( 1 1) （ 3）观察其分布，并与标准正态分布相比较。 . gen t=beta/se . histogram t . twoway histogram t | function y=normalden(x,0,1), range(-3 3)