统计回归模型数学建模

第 七 章 统 计 回 归 模 型7.1 牙 膏 的 销 售 量7.2 软 件 开 发 人 员 的 薪 金7.3 酶 促 反 应7.4 投 资 额 与 国 民 生 产 总 值 和 物 价 指 数 回 归 模 型 是 用 统 计 分 析 方 法 建 立 的 最 常 用 的 一 类 模 型 数 学 建 模 的 基 本 方 法 机 理 分 析 测 试 分 析通 过 对 数 据 的 统 计 分 析 ， 找 出 与 数 据 拟 合 最 好 的 模 型 不 涉 及 回 归 分 析 的 数 学 原 理 和 方 法 通 过 实 例 讨 论 如 何 选 择 不 同 类 型 的 模 型 对 软 件 得 到 的 结 果 进 行 分 析 ， 对 模 型 进 行 改 进 由 于 客 观 事 物 内 部 规 律 的 复 杂 及 人 们 认 识 程 度 的 限 制 ,无 法 分 析 实 际 对 象 内 在 的 因 果 关 系 ， 建 立 合 乎 机 理 规律 的 数 学 模 型 。 7.1 牙 膏 的 销 售 量 问题 建 立 牙 膏 销 售 量 与 价 格 、 广 告 投 入 之 间 的 模 型 预 测 在 不 同 价 格 和 广 告 费 用 下 的 牙 膏 销 售 量 收 集 了 30个 销 售 周 期 本 公 司 牙 膏 销 售 量 、 价 格 、广 告 费 用 ， 及 同 期 其 它 厂 家 同 类 牙 膏 的 平 均 售 价 9.260.556.804.253.7030 7.930.055.803.853.8029 8.510.256.754.003.752 7.38-0.055.503.803.851 销 售 量(百 万 支 )价 格 差（ 元 ）广 告 费 用(百 万 元 )其 它 厂 家价 格 (元 )本 公 司 价格 (元 )销 售周 期 基 本 模 型y 公 司 牙 膏 销 售 量x1其 它 厂 家 与 本 公 司 价 格 差x2公 司 广 告 费 用 110 xy 222210 xxy 5 5.5 6 6.5 7 7.577.588.599.510 x2y -0.2 0 0.2 0.4 0.677.58 8.5 9 9.5 10 x1y 2 2322110 xxxyx1, x2解 释 变 量 (回 归 变 量 , 自 变 量 ) y被 解 释 变 量 （ 因 变 量 ） 0, 1 , 2 , 3 回 归 系 数 随 机 误 差 （ 均 值 为 零 的正 态 分 布 随 机 变 量 ） MATLAB 统 计 工 具 箱 模 型 求 解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 输 入 x= n4数据 矩 阵 , 第 1列 为 全 1向 量1 2221 xxxalpha(置 信 水 平,0.05) 22322110 xxxyb的 估 计 值 bintb的 置 信 区 间 r 残 差 向 量y-xb rintr的 置 信 区 间 Stats检 验 统 计 量 R 2,F, p yn维 数 据 向 量 输 出 由 数 据 y,x1,x2估 计 参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间17.3244 5.7282 28.92061.3070 0.6829 1.9311 -3.6956 -7.4989 0.1077 0.3486 0.0379 0.6594 R 2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123 结 果 分 析y的 90.54%可 由 模 型 确 定 参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间17.3244 5.7282 28.92061.3070 0.6829 1.9311 -3.6956 -7.4989 0.1077 0.3486 0.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123 22322110 xxxy F远 超 过 F检 验 的 临 界 值 p远 小 于 =0.05 2的 置 信 区 间 包 含 零 点(右 端 点 距 零 点 很 近 ) x2对 因 变 量 y 的影 响 不 太 显 著x22项 显 著 可 将 x2保 留 在 模 型 中 模 型 从 整 体 上 看 成 立 22322110 xxxy 销 售 量 预 测 价 格 差 x1=其 它 厂 家 价 格 x3-本 公 司 价 格 x4估 计 x3 调 整 x4控 制 价 格 差 x1=0.2元 ， 投 入 广 告 费 x2=650万 元销 售 量 预 测 区 间 为 7.8230， 8.7636（ 置 信 度 95%）上 限 用 作 库 存 管 理 的 目 标 值 下 限 用 来 把 握 公 司 的 现 金 流 若 估 计 x 3=3.9， 设 定 x4=3.7， 则 可 以 95%的 把 握知 道 销 售 额 在 7.83203.7 29（ 百 万 元 ） 以 上控 制 x1 通 过 x1, x2预 测 y2933.8 22322110 xxxy (百 万 支 ) 模 型 改 进x1和 x2对 y的 影 响 独 立 22322110 xxxy 21422322110 xxxxxy参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间17.3244 5.7282 28.92061.3070 0.6829 1.9311 -3.6956 -7.4989 0.1077 0.3486 0.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间29.1133 13.7013 44.525211.1342 1.9778 20.2906 -7.6080 -12.6932 -2.5228 0.6712 0.2538 1.0887 -1.4777 -2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.000030124x1和 x2对 y的 影 响 有交 互 作 用 两 模 型 销 售 量 预 测 比 较 21422322110 xxxxxy 22322110 xxxy 2933.8 y (百 万 支 )区 间 7.8230， 8.7636区 间 7.8953， 8.7592 3272.8 y (百 万 支 ) 控 制 价 格 差 x1=0.2元 ， 投 入 广 告 费 x2=6.5百 万 元预 测 区 间 长 度 更 短 略 有 增 加 y x2=6.5x1=0.2 -0.2 0 0.2 0.4 0.67.5 8 8.5 9 x1y -0.2 0 0.2 0.4 0.67.5 8 8.5 9 x1y 5 6 7 87.5 8 8.5 9 9.5 10 x2y 5 6 7 88 8.5 9 9.5 10 10.5 x2y 22322110 xxxy 21422322110 xxxxxy 两 模 型 与 x1,x2关 系 的 比 较y 交 互 作 用 影 响 的 讨 论 2221.0 6712.07558.72267.30 1 xxy x 价 格 差 x1=0.1 价 格 差 x1=0.3 2223.0 6712.00513.84535.32 1 xxy x 21422322110 xxxxxy 5357.72 x加 大 广 告 投 入 使 销 售 量 增 加 （ x 2大 于 6百 万 元 ）价 格 差 较 小 时 增 加的 速 率 更 大 5 6 7 87.588.599.51010.5 x1=0.1x1=0.3 x2y1.03.0 11 xx yy价 格 优 势 会 使 销 售 量 增 加 价 格 差 较 小 时 更 需 要 靠 广 告来 吸 引 顾 客 的 眼 球 完 全 二 次 多 项 式 模 型 22521421322110 xxxxxxy MATLAB中 有 命 令rstool直 接 求 解 0 0.2 0.4 7.5 8 8.5 9 9.5 10 5.5 6 6.5 7x1 x2 y ),( 543210 从 输 出 Export 可 得 7.2 软 件 开 发 人 员 的 薪 金资 历 从 事 专 业 工 作 的 年 数 ； 管 理 1=管 理 人 员 ，0=非 管 理 人 员 ； 教 育 1=中 学 ， 2=大 学 ， 3=更 高 程 度建 立 模 型 研 究 薪 金 与 资 历 、 管 理 责 任 、 教 育 程 度 的 关 系分 析 人 事 策 略 的 合 理 性 ， 作 为 新 聘 用 人 员 薪 金 的 参 考 编号 薪 金 资历 管理 教育01 13876 1 1 102 11608 1 0 303 18701 1 1 304 11283 1 0 2 编号 薪 金 资历 管理 教育42 27837 16 1 243 18838 16 0 244 17483 16 0 145 19207 17 0 246 19346 20 0 146名 软 件 开 发 人 员 的 档 案 资 料 分 析 与 假 设 y 薪 金 ， x1 资 历 （ 年 ）x2 = 1 管 理 人 员 ， x2 = 0 非 管 理 人 员1=中 学2=大 学3=更 高 其 它中 学,x 013 其 它大 学,x 01 4资 历 每 加 一 年 薪 金 的 增 长 是 常 数 ；管 理 、 教 育 、 资 历 之 间 无 交 互 作 用 教育 443322110 xaxaxaxaay线 性 回 归 模 型 a0, a1, , a4是 待 估 计 的 回 归 系 数 ， 是 随 机 误 差 中 学 ： x3=1, x4=0 ；大 学 ： x3=0, x4=1； 更 高 ： x3=0, x4=0 模 型 求 解 443322110 xaxaxaxaay参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间a0 11032 10258 11807 a1 546 484 608 a2 6883 6248 7517 a3 -2994 -3826 -2162 a4 148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R 2,F, p 模 型 整 体 上 可 用 资 历 增 加1年 薪金 增 长 546 管 理 人 员 薪 金 多6883 中 学 程 度 薪 金 比 更高 的 少 2994 大 学 程 度 薪 金 比 更高 的 多 148 a4置 信 区 间 包 含 零 点 ，解 释 不 可 靠 !中 学 ： x3=1, x4=0;大学 ： x3=0, x4=1; 更 高 ：x3=0, x4=0. x2 = 1 管 理 ， x2 = 0 非 管 理x1资 历 (年 ) 残 差 分 析 方 法 结 果 分 析 443322110 xaxaxaxaay 残 差 yye e 与 资 历 x1的 关 系 0 5 10 15 20-2000 -1000 0 1000 2000 e与 管 理 教 育 组 合 的 关 系 1 2 3 4 5 6-2000 -1000 0 1000 2000残 差 全 为 正 ， 或 全 为 负 ， 管理 教 育 组 合 处 理 不 当 残 差 大 概 分 成 3个 水 平 ， 6种 管 理 教 育 组 合 混 在一 起 ， 未 正 确 反 映 。 应 在 模 型 中 增 加 管 理 x2与 教 育x 3, x4的 交 互 项 组 合 1 2 3 4 5 6管 理 0 1 0 1 0 1教 育 1 1 2 2 3 3管 理 与 教 育 的 组 合 426325443322110 xxaxxaxaxaxaxaay进 一 步 的 模 型 增 加 管 理 x2与 教 育 x3, x4的 交 互 项参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间a0 11204 11044 11363a1 497 486 508a2 7048 6841 7255a3 -1727 -1939 -1514a4 -348 -545 152a5 -3071 -3372 -2769a6 1836 1571 2101R 2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有 改 进 ， 所 有 回 归 系 数 置 信区 间 都 不 含 零 点 ， 模 型 完 全 可 用 消 除 了 不 正 常 现 象 异 常 数 据 (33号 )应 去 掉 0 5 10 15 20-1000-5000500 e x1 1 2 3 4 5 6-1000 -500 0 500 e 组 合 去 掉 异 常 数 据 后 的 结 果参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间a0 11200 11139 11261a1 498 494 503a2 7041 6962 7120a3 -1737 -1818 -1656a4 -356 -431 281a5 -3056 -3171 2942a6 1997 1894 2100R 2= 0.9998 F=36701 p=0.0000 0 5 10 15 20-200-1000100200 e x1 1 2 3 4 5 6-200-1000100200 e 组 合R2： 0.957 0.999 0.9998F： 226 554 36701 置 信 区 间 长 度 更 短 残 差 图 十 分 正 常最 终 模 型 的 结 果 可 以 应用 模 型 应 用 制 订 6种 管 理 教 育 组 合 人 员 的 “ 基 础 ” 薪 金 (资 历 为 0）组 合 管 理 教 育 系 数 “基 础 ” 薪 金1 0 1 a0+a3 94632 1 1 a0+a2+a3+a5 134483 0 2 a0+a4 108444 1 2 a 0+a2+a4+a6 198825 0 3 a0 112006 1 3 a0+a2 18241 426325443322110 xxaxxaxaxaxaxaay 中 学 ： x3=1, x4=0 ； 大 学 ： x3=0, x4=1； 更 高 ： x3=0, x4=0 x1= 0； x2 = 1 管 理 ， x2 = 0 非 管 理大 学 程 度 管 理 人 员 比 更 高 程 度 管 理 人 员 的 薪 金 高 大 学 程 度 非 管 理 人 员 比 更 高 程 度 非 管 理 人 员 的 薪 金 略 低 对 定 性 因 素 (如 管 理 、 教 育 )， 可 以 引 入 0-1变 量 处 理 ，0-1变 量 的 个 数 应 比 定 性 因 素 的 水 平 少 1 软 件 开 发 人 员 的 薪 金残 差 分 析 方 法 可 以 发 现 模 型 的 缺 陷 ， 引 入 交 互 作 用 项常 常 能 够 改 善 模 型 剔 除 异 常 数 据 ， 有 助 于 得 到 更 好 的 结 果注 ： 可 以 直 接 对 6种 管 理 教 育 组 合 引 入 5个 0-1变 量 7.3 酶 促 反 应 问题 研 究 酶 促 反 应 （ 酶 催 化 反 应 ） 中 嘌 呤 霉 素 对 反应 速 度 与 底 物 （ 反 应 物 ） 浓 度 之 间 关 系 的 影 响 建 立 数 学 模 型 ， 反 映 该 酶 促 反 应 的 速 度 与 底物 浓 度 以 及 经 嘌 呤 霉 素 处 理 与 否 之 间 的 关 系 设 计 了 两 个 实 验 ： 酶 经 过 嘌 呤 霉 素 处 理 ； 酶 未经 嘌 呤 霉 素 处 理 。 实 验 数 据 见 下 表 : 方案底 物 浓 度 (ppm) 0.02 0.06 0.11 0.22 0.56 1.10 反 应速 度 处 理 76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200未 处 理 67 51 84 86 98 115 131 124 144 158 160 / 基 本 模 型 Michaelis-Menten模 型y 酶 促 反 应 的 速 度 , x 底 物 浓 度 xxxfy 2 1),( 1 , 2 待定 系 数 底 物 浓 度 较 小 时 ， 反 应 速 度 大 致 与 浓 度 成 正 比 ；底 物 浓 度 很 大 、 渐 进 饱 和 时 ， 反 应 速 度 趋 于 固 定 值 。酶 促 反 应 的 基 本 性 质 xy01实 验数 据 0 0.5 1 1.50 50 100 150 200 250 经 嘌 呤 霉素 处 理 xy 0 0.5 1 1.50 50 100 150 200 250 未 经 嘌 呤霉 素 处 理 xy 线 性 化 模 型 经 嘌 呤 霉 素 处 理 后 实 验 数 据 的 估 计 结 果 参 数 参 数 估 计 值 （ 10-3） 置 信 区 间 （ 10-3） 1 5.107 3.539 6.6762 0.247 0.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.00008027.195/1 11 04841.0/ 122 xxy 2 1 xy 111 121 对 1 , 2非 线 性 对 1, 2线 性 x121 线 性 化 模 型 结 果 分 析 x较 大 时 ， y有 较 大 偏 差 1/x较 小 时 有 很 好 的线 性 趋 势 ， 1/x较 大时 出 现 很 大 的 起 落 参 数 估 计 时 ， x较 小（ 1/x很 大 ） 的 数 据 控制 了 回 归 参 数 的 确 定 0 10 20 30 40 500 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 1/y 1/xxy 11 21 0 0.5 1 1.50 50 100 150 200 250 xxy 2 1 x y beta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) beta的 置 信 区 间 MATLAB 统 计 工 具 箱 输 入 x自 变 量 数 据 矩 阵y 因 变 量 数 据 向 量beta 参 数 的 估 计 值R 残 差 ， J 估 计 预测 误 差 的 Jacobi矩 阵 model 模 型 的 函 数 M文 件 名beta0 给 定 的 参 数 初 值 输 出 betaci =nlparci(beta,R,J) 非 线 性 模 型 参 数 估 计 function y=f1(beta, x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);xxy 2 1x= ; y= ;beta0=195.8027 0.04841;beta,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta, betaci beta0线 性 化模 型 估 计 结 果 非 线 性 模 型 结 果 分 析参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间1 212.6819 197.2029 228.16092 0.0641 0.0457 0.0826 画 面 左 下 方 的 Export 输 出 其 它 统 计 结 果 。拖 动 画 面 的 十 字 线 ， 得y的 预 测 值 和 预 测 区 间 剩 余 标 准 差 s= 10.9337x xy 2 1最 终 反 应 速 度 为半 速 度 点 (达 到 最 终 速 度 一 半时 的 x值 )为 6831.2121 0641.0 2 其 它 输 出 命 令 nlintool 给 出 交 互 画 面 0 0.5 1 1.5050100150200250 o 原 始 数 据+ 拟 合 结 果 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50 0 50 100 150 200 250 混 合 反 应 模 型 x1为 底 物 浓 度 ， x2为 一 示 性 变 量 x2=1表 示 经 过 处 理 ， x2=0表 示 未 经 处 理 1是 未 经 处 理 的 最 终 反 应 速 度 1是 经 处 理 后 最 终 反 应 速 度 的 增 长 值 2是 未 经 处 理 的 反 应 的 半 速 度 点 2是 经 处 理 后 反 应 的 半 速 度 点 的 增 长 值 在 同 一 模 型 中 考 虑 嘌 呤 霉 素 处 理 的 影 响xxy 2 1 1222 1211 )( xx xxy ）（ o 原 始 数 据+ 拟 合 结 果 混 合 模 型 求 解 用 nlinfit 和 nlintool命 令,17001 ,6001 ,05.002 01.002 估 计 结 果 和 预 测 剩 余 标 准 差 s= 10.4000 参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间1 160.2802 145.8466 174.71372 0.0477 0.0304 0.0650 1 52.4035 32.4130 72.3941 2 0.0164 -0.0075 0.04032置 信 区 间 包 含 零 点 ， 表 明 2对 因 变 量 y的 影 响 不 显 著1222 1211 )( xx xxy ）（参 数 初 值 (基 于 对 数 据 的 分 析 )经 嘌 呤 霉 素 处 理 的 作 用 不 影 响 半 速 度 点 参 数未 经处 理经 处 理 o 原 始 数 据+ 拟 合 结 果 未 经处 理经 处 理简 化 的 混 合 模 型 简 化 的 混 合 模 型 形 式 简 单 ， 参 数 置 信 区 间 不 含 零 点剩 余 标 准 差 s = 10.5851， 比 一 般 混 合 模 型 略 大 1222 1211 )( xx xxy ）（ 12 1211 x xxy ）（估 计 结 果 和 预 测参数 参 数 估计 值 置 信 区 间1 166.6025 154.4886 178.71642 0.0580 0.0456 0.0703 1 42.0252 28.9419 55.1085 一 般 混 合 模 型 与 简 化 混 合 模 型 预 测 比 较实 际 值 一 般 模 型 预 测 值(一 般 模 型 ） 简 化 模 型 预 测 值(简 化 模 型 ）67 47.3443 9.2078 42.7358 5.444651 47.3443 9.2078 42.7358 5.444684 89.2856 9.5710 84.7356 7.0478 191 190.8329 9.1484 189.0574 8.8438201 190.8329 9.1484 189.0574 8.8438 207 200.9688 11.0447 198.1837 10.1812200 200.9688 11.0447 198.1837 10.1812简 化 混 合 模 型 的 预 测 区 间 较 短 ， 更 为 实 用 、 有 效1222 1211 )( xx xxy ）（ 12 1211 x xxy ）（ 预 测 区 间 为预 测 值 注 ： 非 线 性 模 型 拟 合 程 度 的 评 价 无 法 直 接 利 用线 性 模 型 的 方 法 ， 但 R2 与 s仍 然 有 效 。酶 促 反 应 反 应 速 度 与 底 物 浓 度 的 关 系 非 线 性 关 系求 解 线 性 模 型 求 解 非 线 性 模 型机 理 分 析嘌 呤 霉 素 处 理 对 反 应 速 度 与 底 物 浓 度 关 系 的 影 响混 合 模 型 发 现 问 题 ，得 参 数 初 值引 入 0-1变 量 简 化 模 型 检 查 参 数 置 信 区间 是 否 包 含 零 点 7.4 投 资 额 与 国 民 生 产 总 值 和 物 价 指 数 问题 建 立 投 资 额 模 型 ， 研 究 某 地 区 实 际 投 资 额 与 国民 生 产 总 值 ( G NP ) 及 物 价 指 数 ( PI ) 的 关 系 2.06883073.0424.5201.00001185.9195.010 1.95142954.7474.9190.96011077.6166.49 1.78422631.7401.9180.9145 992.7144.28 1.63422417.8423.0170.8679 944.0149.37 1.50422163.9386.6160.8254 873.4133.36 1.40051918.3324.1150.7906 799.0122.85 1.32341718.0257.9140.7676 756.0125.74 1.25791549.2206.1130.7436 691.1113.53 1.15081434.2228.7120.7277 637.797.42 1.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91 物 价指 数国 民 生产 总 值投 资 额年 份序 号物 价指 数国 民 生 产总 值投 资 额年 份序 号 根 据 对 未 来 G NP及 PI的 估 计 ， 预 测 未 来 投 资 额 该 地 区 连 续 20年 的 统 计 数 据 时 间 序 列 中 同 一 变 量 的 顺 序 观 测 值 之 间 存 在 自 相 关以 时 间 为 序 的 数 据 ， 称 为 时 间 序 列 分析 许 多 经 济 数 据 在 时 间 上 有 一 定 的 滞 后 性 需 要 诊 断 并 消 除 数 据 的 自 相 关 性 ， 建 立 新 的 模 型若 采 用 普 通 回 归 模 型 直 接 处 理 ， 将 会 出 现 不 良 后 果 投 资 额 与 国 民 生 产 总 值 和 物 价 指 数 1.32341718.0257.9140.7676 756.0125.74 1.25791549.2206.1130.7436 691.1113.53 1.15081434.2228.7120.7277 637.797.42 1.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91 物 价指 数国 民 生产 总 值投 资 额年 份序 号物 价指 数国 民 生 产总 值投 资 额年 份序 号 基 本 回 归 模 型投 资 额 与 G NP及 物 价 指 数 间 均 有 很 强 的 线 性 关 系 tttt xxy 22110 t 年 份 ， yt 投 资 额 ， x1t G NP, x2t 物 价 指 数0, 1, 2 回 归 系 数 x1tyt x2tyt t 对 t相 互 独 立 的 零 均 值 正 态 随 机 变 量 基 本 回 归 模 型 的 结 果 与 分 析 ttt xxy 21 479.8596185.0725.322 MATLAB 统 计 工 具 箱 参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间0 322.7250 224.3386 421.11141 0.6185 0.4773 0.75962 -859.4790 -1121.4757 -597.4823 R2= 0.9908 F= 919.8529 p=0.0000剩 余 标 准 差 s=12.7164 没 有 考 虑 时 间 序 列 数 据 的 滞 后 性 影 响R2 0.9908， 拟 合 度 高模 型 优 点模 型 缺 点 可 能 忽 视 了 随 机 误 差 存 在 自 相 关 ； 如 果存 在 自 相 关 性 ， 用 此 模 型 会 有 不 良 后 果 自 相 关 性 的 定 性 诊 断 残 差 诊 断 法ttt yye 模 型 残 差作 残 差 etet-1 散 点 图大 部 分 点 落 在 第 1, 3象 限 t 存 在 正 的 自 相 关 大 部 分 点 落 在 第 2, 4象 限 自 相 关 性 直 观 判 断在 MATLAB工 作 区 中 输 出et为 随 机 误 差 t 的 估 计 值 -30 -20 -10 0 10 20-30 -20 -10 0 10 20 et-1et t 存 在 负 的 自 相 关 基 本 回 归 模 型 的 随 机 误差 项 t 存 在 正 的 自 相 关 自 回 归 性 的 定 量 诊 断自 回 归 模 型 ttttttt uxxy 122110 , 自 相 关 系 数 1| 0, 1, 2 回 归 系 数 = 0 无 自 相 关 性 0 0如 何 估 计 如 何 消 除 自 相 关 性 D-W统 计 量D-W检 验 ut 对 t相 互 独 立 的 零 均 值 正 态 随 机 变 量存 在 负 自 相 关 性存 在 正 自 相 关 性广 义 差 分 法 D-W统 计 量 与 D-W检 验 nt tnt tt eeeDW 2 22 21)(检 验 水 平 ,样 本 容 量 ，回 归 变 量 数 目D-W分 布 表 nt tnt tteee2 22 112 ）（ 12 n较 大 nt tnt tt eee 2 22 1/4011 DW DW4-dU 44-dLdUdL 20 正自相关 负自相关不能确定 不能确定无自相关20 DW 01 DW 41 DW检 验 临 界 值 d L和 dU 由 DW值 的 大 小 确 定 自 相 关 性 广 义 差 分 变 换 )1(0*0 以 *0, 1 , 2 为 回 归 系 数 的 普 通 回 归 模 型原 模 型 DW值 D-W检 验 无 自 相 关 有 自 相 关 广 义差 分 继 续 此过 程原 模 型 新 模 型 新 模 型 tttt uxxy *22*11*0* 步 骤 原 模 型 ttttttt uxxy 122110 , ,1* ttt yyy 2,1,1,* ixxx tiitit 变 换 ）（ 12 DW 21 DW不 能 确 定 增 加 数 据 量 ； 选 用 其 它 方 法 投 资 额 新 模 型 的 建 立 DWold dL 作 变 换 原 模 型残 差 et样 本 容 量 n=20， 回 归变 量 数 目 k=3， =0.05 查 表临 界 值 dL=1.10, dU=1.54DWold=0.8754 原 模 型 有正 自 相 关 1* 5623.0 ttt yyy 2,1,5623.0 1,* ixxx tiitit nt tnt tt eeeDW 2 22 21)( 5623.02/1 DW DW4-d U 44-dLdUdL 20 正自相关 负自相关不能确定 不能确定无自相关 参 数 参 数 估 计 值 置 信 区 间*0 163.4905 1265.4592 2005.21781 0.6990 0.5751 0.82472 -1009.0333 -1235.9392 -782.1274R2= 0.9772 F=342.8988 p=0.0000tttt uxxy *22*11*0* 21*0*2*1* , ，估 计 系 数由 数 据 ttt xxy总 体 效 果 良 好 剩 余 标 准 差 snew= 9.8277 sold=12.7164投 资 额 新 模 型 的 建 立 1* 5623.0 ttt yyy 2,1,5623.0 1,* ixxx tiitit 新 模 型 的 自 相 关 性 检 验 dU DWnew 4-dU 新 模 型残 差 et样 本 容 量 n=19， 回 归变 量 数 目 k=3， =0.05 查 表临 界 值 dL=1.08, dU=1.53DWnew=1.5751 新 模 型 无 自 相 关 性 DW4-dU 44-dLdUdL 20 正自相关 负自相关不能确定 不能确定无自相关 1,2,2 1,1,11 3794.5670333.1009 3930.0699.05623.04905.163 tt tttt xx xxyy *2*1* 033.1009699.04905.163 ttt xxy 新 模 型还 原 为原 始 变 量 一 阶 自 回 归 模 型 一 阶 自 回 归 模 型 残 差 et比 基 本 回 归 模 型 要 小0 5 10 15 20-30-20-1001020新 模 型 et *， 原 模 型 et +残 差 图 比 较 0 5 10 15 200100200300400500 新 模 型 t *， 新 模 型 t +拟 合 图 比 较模 型 结 果 比 较 ttt xxy 21 479.8596185.0725.322 基 本 回 归 模 型一 阶 自 回 归 模 型 1,2,2 1,1,11 3794.5670333.1009 3930.0699.05623.04905.163 tt tttt xx xxyy 投 资 额 预 测对 未 来 投 资 额 yt 作 预 测 ， 需 先 估 计 出 未 来 的 国 民生 产 总 值 x1t 和 物 价 指 数 x2t设 已 知 t=21时 ， x1t =3312， x2t=2.19387638.469 ty一 阶 自 回 归 模 型 2.06883073.0424.520 1.95142954.7474.919 1.78422631.7401.9180.7436 691.1113.53 0.7277 637.7 97.42 0.7167 596.7 90.91 物 价指 数国 民 生产 总 值投 资 额年 份序 号物 价指 数国 民 生 产总 值投 资 额年 份序 号一 阶 自 回 归 模 型 7638.469 ty基 本 回 归 模 型 6720.485 tyt 较 小 是 由 于 yt-1=424.5过 小 所 致