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河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 第 二 章 导 数 与 微 分 高 等 数 学 （ 上 ） 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 问 题 :变 速 直 线 运 动 的 加 速 度 .),(tfs 设 )()( tftv 则 瞬 时 速 度 为 的 变 化 率对 时 间是 速 度加 速 度 tva .)()()( tftvta定 义 .)()(, )()(lim)( ,)()( 0 处 的 二 阶 导 数在 点为 函 数则 称存 在 即处 可 导在 点的 导 数如 果 函 数 xxfxf x xfxxfxf xxfxf x 第 二 节 3 高 阶 导 数 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 一 、 高 阶 导 数 的 定 义类 似 地 ： 二 阶 导 数 的 导 数 称 为 三 阶 导 数 ； n 1 阶 导 数 的 导 数 称 为 n 阶 导 数 ；分 别 记 为 ： )()4( , nyyyy 定 义 函 数 的 导 函 数 若 仍 然 可导 ， 则 其 导 数 称 为 函 数 的 二 阶 导 数 .记 为 )(xfy )(xf )(xfy)( xf 22)( dx ydxfy 或或 dxdydxddxyd 22 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 nndxyddxyddxyddxyd , 443322 )(xf 0 xxnndxyd 注 (1) 二 阶 或 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 . 若 具 有 n 阶 导 数 ， 则 称 为 n 阶 可 导 . 本 身 称 为 零 阶 导 数 . )(xfy)(xf )(xf或 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 例 1 设 ， 求 .xxy y 解 因 为 ， 所 以 0, 0,22 xx xxy 0lim)0()(lim)0( 00 xx fxff xx 0)(lim)0()(lim)0( 00 xx fxff xx故 0)0(0 fy x 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 0,2 0,0 0,2 xx xxxy因 而又 因 为 2)0()(lim)0( 0 x fxff x 2)0()(lim)0( 0 x fxff x所 以 不 存 在 .)0(0 fy x 故 而 0,2 0,不存在 0,2 xxxy 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 评 述 : 抽 象 函 数 关 于 某 一 点 或 分 段 函 数 在 分 段 点 求 (高 阶 )导 数 ,多 用 定 义 求 导 .注 意 ,不 要 动 不 动 就 左 导 数 ,右 导 数 ,需 要 时 才 用 . 求 具 体 函 数 的 低 阶 导 函 数 ,据 高 阶 导 数 定 义 应 一 阶 一 阶 地 求 ,即 按 照 y,y ,的 次 序 一 步 一 步 地 求 . 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 例 2 设 ， 求 .13 24 xxxy )(ny解 164 3 xxy 612 2 xy xy 24!424)4( y 0)( ny 5n nnnn axaxaxay 1110 .,)43()32)(2( 632 ）（求 yxxxy 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 例 4 .),( )(nyRxy 求设 解 1 xy)( 1 xy 2)1( x 3)2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1()( nxny nn 则为 自 然 数若 ,n )()( )( nnn xy ,!n )!()1( ny n .0则不 是 自 然 数若 ,n 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 评 述 : 求 简 单 函 数 的 高 (n)阶 导 数 ,先 求 若 干 阶 导 数 , 一 般 求 至 3,4阶 ,然 后 ,尽 量 把 它 们 变 换 成 同 一 形 式 ,以 利 于 用 不 完 全 归 纳 法 得 一 般 规 律 ,最 后 指 出 n的 范 围 . 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 例 4 设 ， 求 .xey )(ny解 ,xey ,xey xey 例 5 设 ， 求 .xy sin )(ny解 )2sin(cos xxy )22sin()22sin()2cos( xxxy )23sin()222sin()22cos( xxxy 一 般 地 xn ey )( ?)( nkxe,2,1,0n 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 一 般 地 )2sin()( nxy n类 似 有 )2cos(cos )( nxx n即 )2sin(sin )( nxx n ?sin )( nkx ,2,1,0n ,2,1,0n 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 例 6 设 ， 求 .xy 1 )(ny 32 xy423 xy解 2 xy 21x 32 !2)1( x43 !3)1( x5)4( 234 xy 54 !4)1( x一 般 地 1)( !)1(1 nnn xnx 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 自 己 做 1)( )1( !)1(11 nnn xnx例 7 .,1 1 )5(2 yxy 求设 解 )111 1(211 1 2 xxxy )1( !5)1( !521 66)5( xxy )1( 1)1( 160 66 xx 河 海 大 学 理 学 院 高 等 数 学 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 : 则阶 导 数具 有和设 函 数 , nfvu )()()()()1( nnn vuvu )()()()2( nn CuCu
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