实际问题与二次函数

实 际 问 题 与 二 次 函 数 2.顶 点 式 y=a(x-h)2+k （ a0）1.一 般 式 y=ax2+bx+c （ a0）3.交 点 式 y=a(x-x1)(x-x2) （ a0）二 次 函 数 的 三 种 解 析 式 已 知 抛 物 线 的 对 称 轴 为 y轴 ， 且 过（ 2， 0） ， （ 0， 2） ， 求 抛 物 线 的 解 析 式解 ： 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+c(a0)因 为 抛 物 线 过 （ 2， 0） ， （ 0， 2）所 以 c=2 a=-0.5 4a+c=0 c=2解 析 式 为 ： y=-0.5x 2+2 活 动 一 ： 做 一 做 一 座 拱 桥 为 抛 物 线 型 ， 其 函 数 解 析 式 为 当 水 位 线 在 AB位 置 时 ， 水 面 宽 4米 ， 这 时 水 面离 桥 顶 的 高 度 为 米 ； 当 桥 拱 顶 点 到 水 面距 离 为 2米 时 ， 水 面 宽 为 米 221 xy xyA BO 2 4 如 图 的 抛 物 线 形 拱 桥 ,当 水 面 在 时 ,拱 桥 顶 离 水 面 2 m,水 面 宽 4 m,水 面 下 降 1 m, 此 时 水 面 宽 度 为 多少 ？ 水 面 宽 度 增 加 多 少 ? l活 动 二 ： 探 究 抛 物 线 形 拱 桥 ， 当 水 面 在 时 ，拱 顶 离 水 面 2m， 水 面 宽 度 4m， 水面 下 降 1m， 水 面 宽 度 为 多 少 ？ 水面 宽 度 增 加 多 少 ？ l xy0 (2,-2)(-2,-2) 当 时 ，所 以 ， 水 面 下 降 1m， 水 面 的 宽度 为 m.3y 6x62 462 水 面 的 宽 度 增 加 了 m探 究 ： 2axy 解 ： 设 这 条 抛 物 线 表 示 的 二 次 函 数 为21a由 抛 物 线 经 过 点 （ 2， -2） ， 可 得221 xy 所 以 ， 这 条 抛 物 线 的 二 次 函 数 为 ：3y当 水 面 下 降 1m时 ， 水 面 的 纵 坐 标 为A BC D 抛 物 线 形 拱 桥 ， 当 水 面 在 时 ，拱 顶 离 水 面 2m， 水 面 宽 度 4m，水 面 下 降 1m， 水 面 宽 度 为 多 少 ？水 面 宽 度 增 加 多 少 ？ l xy0 (4, 0)(0,0) 462 水 面 的 宽 度 增 加 了 m(2,2) 2( 2) 2y a x 解 ： 设 这 条 抛 物 线 表 示 的 二 次 函 数 为21a由 抛 物 线 经 过 点 （ 0， 0） ， 可 得21 ( 2) 22y x 所 以 ， 这 条 抛 物 线 的 二 次 函 数 为 ：当 时 ，所 以 ， 水 面 下 降 1m， 水 面 的宽 度 为 m.1y 62 6 2x 1y 当 水 面 下 降 1m时 ， 水 面 的 纵 坐 标 为C DBE 一 座 拱 桥 的 示 意 图 如 图 ， 当 水 面 宽 4m时 ， 桥 洞 顶 部 离 水面 2m。 已 知 桥 洞 的 拱 形 是 抛 物 线 ， （ 1） 求 该 抛 物 线 的函 数 解 析 式 。 （ 2） 若 水 面 下 降 1米 ， 水 面 宽 增 加 多 少 米 ？ 探 究 活 动 : M 2m首 先 要 建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 A BM xyo 解 法 一 ： （ 1） 以 水 面 AB所 在 的 直 线 为 x轴 ， 以 AB的 垂 直 平 分 线 为 y轴 建 立 平 面 直角 坐 标 系 。设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=ax 2+c(a0)抛 物 线 过 （ 2， 0） ， （ 0， 2） 点4a+c=0 a=-0.5 即 解 析 式 为 ： y=-0.5x2+2c=2 c=2 （ 2） 水 面 下 降 1米 ， 即 当 y=-1时 -0.5x2+2=-1 解 得 x1=-6 x2=6CD= x1-x2 =26水 面 宽 增 加 CD-AB=（ 26-4） 米 C D1m(-2,0) (2,0)(0,2)y x X y xy0 0 X y0 X y0(1) (2)(3) (4) 活 动 三 ： 想 一 想 通 过 刚 才 的 学 习 ， 你 知 道 了 用 二 次 函数 知 识 解 决 抛 物 线 形 建 筑 问 题 的 一 些经 验 吗 ？ 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系审 题 ， 弄 清 已 知 和 未 知合 理 的 设 出 二 次 函 数 解 析 式 求 出 二 次 函 数 解 析 式 利 用 解 析 式 求 解得 出 实 际 问 题 的 答 案 有 一 抛 物 线 型 的 立 交 桥 拱 ， 这 个 拱 的 最 大高 度 为 16米 ， 跨 度 为 40米 ， 若 跨 度 中 心 M左 ， 右 5米 处 各 垂 直 竖 立 一 铁 柱 支 撑 拱 顶 ，求 铁 柱 有 多 高 ？活 动 四 ： 练 一 练 一 抛 物 线 型 拱 桥 ， 建 立 了 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系后 ， 抛 物 线 的 表 达 式 为 ：y=-1/25x2+16(1)拱 桥 的 跨 度 是 多 少 ？(2) 拱 桥 最 高 点 离 水 面 几 米 ？(3) 一 货 船 高 为 12米 ， 货 船 宽 至 少 小 于 多 少 米 时 ，才 能 安 全 通 过 ？ xyoA BC解 ： （ 1） 令 -1/25x2+16=0， 解 得 X1=20,X2=-20,A（ -20， 0） B（ 20， 0） AB =40， 即 拱 桥 的 跨度 为 40米 。（ 2） 令 x=0， 得 y=16，即 拱 桥 最 高 点 离 地 面 16米（ 3） 令 -1/25x2+16=12,解 得 X1=-10， X2 =10, x1-x2 =20.即 货 船 宽 应 小 于 20米 时 ， 货 船 才 能 安 全通 过 。 -10 10 实 际 问 题 抽 象转 化 数 学 问 题 运 用数 学 知 识 问 题 的 解 决谈 谈 你 的 学 习 体 会解 题 步 骤 ：1、 分 析 题 意 ， 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 ， 画 出 图 形 。2、 根 据 已 知 条 件 建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 。3、 选 用 适 当 的 解 析 式 求 解 。4、 根 据 二 次 函 数 的 解 析 式 解 决 具 体 的 实 际 问 题 。 1 近 年 来 ， “ 宝 胜 ” 集 团 根 据 市 场 变 化 情 况 ， 采 用 灵 活 多 样的 营 销 策 略 ， 产 值 、 利 税 逐 年 大 幅 度 增 长 第 六 销 售 公 司2004年 销 售 某 型 号 电 缆 线 达 数 万 米 ， 这 得 益 于 他 们 较 好地 把 握 了 电 缆 售 价 与 销 售 数 量 之 间 的 关 系 经 市 场 调 研 ，他 们 发 现 ： 这 种 电 缆 线 一 天 的 销 量 y（ 米 ） 与 售 价 x（ 元 /米 ） 之 间 存 在 着 如 图 所 示 的 一 次 函 数 关 系 ， 且 40 x70 (1) 根 据 图 象 ， 求 与 之 间 的 函 数 解 析 式 ； (2) 设 该 销 售 公 司 一 天 销 售 这 种 型 号 电 缆 线 的 收 入 为 元 试 用 含 x的 代 数 式 表 示 ； 试 问 当 售 价 定 为 每 米 多 少 元 时 ， 该 销 售 公 司 一 天 销 售该 型 号 电 缆 的 收 入 最 高 ？ 最 高 是 多 少 元 ？ 2 （ 08南 宁 ） 随 着 绿 城 南 宁 近 几 年 城 市 建 设 的 快 速 发 展 ，对 花 木 的 需 求 量 逐 年 提 高 .某 园 林 专 业 户 计 划 投 资 种 植 花卉 及 树 木 ， 根 据 市 场 调 查 与 预 测 ， 种 植 树 木 的 利 润 与 投 资量 成 正 比 例 关 系 ， 如 图 （ 1） 所 示 ； 种 植 花 卉 的 利 润 与 投资 量 成 二 次 函 数 关 系 ， 如 图 （ 2） 所 示 （ 注 ： 利 润 与 投 资量 的 单 位 ： 万 元 ） 分 别 求 出 利 润 与 关 于 投 资 量 的 函 数 关 系 式 ； 如 果 这 位 专 业 户 以 8万 元 资 金 投 入 种 植 花 卉 和 树 木 ， 他至 少 获 得 多 少 利 润 ？ 他 能 获 取 的 最 大 利 润 是 多 少 ？ 3. (06沈 阳 ) 某 企 业 信 息 部 进 行 市 场 调 研 发 现 ： 信 息 一 ： 如 果 单 独 投 资 A种 产 品 ， 则 所 获 利 润 (万 元 )与 投 资金 额 (万 元 )之 间 存 在 正 比 例 函 数 关 系 ： ， 并 且 当 投 资 5万元 时 ， 可 获 利 润 2万 元 ； 信 息 二 ： 如 果 单 独 投 资 B种 产 品 ， 则 所 获 利 润 (万 元 )与 投 资金 额 (万 元 )之 间 存 在 二 次 函 数 关 系 ： ， 并 且 当 投 资 2万 元时 ， 可 获 利 润 2.4万 元 ； 当 投 资 4万 元 ， 可 获 利 润 3.2万 元 . (1) 请 分 别 求 出 上 述 的 正 比 例 函 数 表 达 式 与 二 次 函 数 表 达式 ； (2) 如 果 企 业 同 时 对 A、 B两 种 产 品 共 投 资 10万 元 ， 请 你 设计 一 个 能 获 得 最 大 利 润 的 投 资 方 案 ， 并 求 出 按 此 方 案 能 获得 的 最 大 利 润 是 多 少 . 教 与 学 ： 第 32面 第 7题