桥梁结构理论与计算方法 第十一章 薄壁箱梁扭转理论

11 薄 壁 箱 梁 的 扭 转 理 论n 薄 壁 箱 梁 的 自 由 扭 转 简 介n 薄 壁 箱 梁 的 约 束 扭 转n 扭 转 中 心 位 置n 等 截 面 连 续 梁 扭 转 的 三 翘 曲 双 力 矩 方 程n 有 限 差 分 方 程 建 立 及 分 析n 小 结n 本 章 参 考 文 献 承 受 偏 心 荷 载 的 薄 壁 箱 梁 ， 将 产 生 扭 矩 ， 此 扭 矩 可 分 解 为 刚 性 扭转 和 畸 变 力薄 壁 箱 梁 的 自 由 扭 转 简 介(1)单 箱 单 室 箱 梁众 所 周 知 ， 在 剪 应 力 沿 箱 壁 均 匀 分 布 的 假 定 下 ， 单 室 箱 梁 自 由 扭转 时 下 列 两 式 成 立 kMq dkGIM称 为 Bredt第 一 公 式 ， 即 箱梁 薄 壁 中 线 所 包 围 的 面 积的 两 倍 ds 扭率 扭 转 刚 度 ， 称 为 Bredt第 二公 式 ， 自 由 扭 转 惯 矩 ds/2dI扭 率 与 剪 切 变 形 的 关 系 为 ss d)( (2) 单 箱 多 室 箱 梁 对 于 单 箱 多 室 截 面 中 的 某 箱 室 有 ii Gsq d而 相 邻 室 之 间 的 关 系 可 写 为 GAsqsqsq oiiii 2ddd 1ii,11ii,1 第 室 周 边 中 线所 包 围 的 面 积 i 2/ioiA 第 室 左 、 右 腹 板 范 围 内 积 分 1ii, 1ii, i总 扭 矩 与 各 室 剪 力 流 的 关 系 为 ni kii Mq1 或 ni dii GIq1 整 个 截 面 的总 抗 扭 惯 矩 ni iid GqI 1 / 箱 室 总 数 (3) 分 离 式 多 室 箱若 多 室 箱 型 梁 的 截 面 有 连 续 上 部 翼 板 ， 但 无 公 共 肋 板 和 公 共 下 翼 板 ，则 称 为 分 离 式 的 多 室 箱 ， 如 上 图 所 示 。 现 忽 略 上 部 联 系 板 的 扭 转 剪 应 力 ， 剪 应 力 的 分 布 同 单 箱 多 室 截 面 ， 但 没 有 共 同 肋 板 的 剪 力 流 ： 分 离 式 多 室 箱 在 室 或 i GAsq ii 02d GAq ii ds2 0 ni ni iii GsAq1 1 20d4 ni ini id ssAI 1 21 20 dd4 由 于 一 个 室 的 抗 扭 惯 矩从 上 式 可 知 截 面 总 抗 扭 惯 矩 等 于各 个 分 离 室 的 抗 扭 惯 矩 之 和 ， 即 sAI idi d/4 20 ni did II 1 （ 4） 纵 向 位 移箱 梁 自 由 扭 转 的 纵 向 位 移 为 )()()0,(),(),( 00 zszuszuszu 称 广 义 扇 性 坐标 ， 其 意 义 见后 s s ssss 0 0 d/dd)( 处 的 纵 向 位 移0s且均 沿 梁 纵 向 是 常 数 ， 梁 纵 向 纤 维 无 伸 缩 应 变 ， 不 产 生 正 应 力)(),0,(0 zzu ),( szu薄 壁 箱 梁 的 约 束 扭 转（ 1） 基 本 假 定 众 所 周 知 ， 乌 曼 斯 基 闭 口 薄 壁 直 杆 约 束 扭 转 理 论 应 用 以 下 三 个 基本 假 定 ： 横 截 面 的 周 边 不 变 形 ； 横 截 面 上 法 向 应 力 和 剪 应 力 沿 壁 厚 是 均 匀 分 布 的 ； 横 截 面 上 纵 向 位 移 沿 本 截 面 的 分 布 规 律 与 自 由 扭 转 时 是 相 同 的 令 纵 向 位 移 为 ， 表 示 沿 跨 径 ， 表 示 沿 横 截 面 周 边 。当 闭 口 截 面 只 发 生 自 由 扭 转 时 ， 有),( szu z s )()()0,(),( 0 zszuszu 根 据 基 本 假 定 ， 闭 口 截 面 约 束 扭 转 轴 向 位 移 为 )()()0,(),( 0 zszuszu 表 示 截 面 的 翘 曲 程 度 ， 它 与扭 转 角 有 一 定 的 关 系)(z（ 2） 约 束 扭 转 翘 曲 应 力现 将 上 式 对 微 分 一 次 ， 则 有z )()(),()( szozuz 约 束 扭 转 翘 曲 应 力 为 )()(),( 0 szozuE 薄 壁 杆 件 的 坐 标 系 由 于 翘 曲 应 力 是 自 相 平 衡 的 ， 根 据 力 的 平 衡 ， 可 列 出 的 三 个 方 程 ，即 0d ,0 0yd ,0 0d ,0 sxM sM sN yxz 得 到 0d)()(d),( 0d)()(d),( 0d)()(d),(000 sxszsxozu syszsyozu sszsozu 对 截 面 的 扭 转 中 心 而 言 ， 广 义 扇 性 惯 性 矩 应 该 为 零 ， 即 0d)( sxsI x 0d)( sysI y 当 选 择 适 当 的 积 分 起 始 点 （ 扇 性 零 点 ） 时 ， 使 广 义 扇 性 静 矩 也 等 于零 ， 则 0dssS )(当 截 面 对 称 ， 扇 性 零 点 为 对 称 轴 上 周 边 的 交 点 ， 则常 数0)0,( zu )0,(zu )()( zsE 不 难 看 出 ， 截 面 上 约 束 扭 转 正 应 力 的 分 布 是 和 广 义 扇 性 坐 标： 成 正 比 的 。 扇 性 零 点 的 物 理 意 义 是 ： 该 点 上 广 义 扇 性 坐 标 为 零 ，或 者 说 正 应 力 为 零 ， 因 而 在 该 点 上 的 积 分 起 始 值 也 是 零 ， 故 )(s广 义 扇 性 惯 矩 ： ssI s d)(2)( 约 束 扭 转 双 力 矩 ： ssB d)( )(d)()( )( zEIsszEB s 故 而 约 束 扭 转 翘 曲 应 力 的 表 达 式 为 I sB )( 平 面 弯 曲 应 力 IMy 相 似 如 上 图 所 示 ， 取 箱 壁 上 点 的 微 分 单 元 体 进 行 分 析 （ 下 图 ） ， 根据 力 的 平 衡 条 件 ， 则 有 A 箱梁承受外扭矩 kM （ 3） 约 束 扭 转 剪 应 力 ds . dz e e s dz . dss e e 0zN 0dddd sssszz 0 sz s sz0 0d 积 分 常 数 ， 它表 示 截 面 上 的初 始 剪 应 力 微 分 单 元 现 将 代 入 得 到 s szsE00 d)()( s sszE 00 d)()( SzE )(0 s ssS 0 d)( 为 了 决 定 初 始 剪 力 流 ， 从 内 外 力 矩 平 衡 条 件 得 到 0 dd d d00 sSzEs sISzEsM K )( )( dsSdszEdsM K )(0 由 于 （ 为 封 闭 截 面 中 线 围 绕 的 面 积 ）02Ads sSzEMK d)(0 得 到 d d SzEM sSSzEM SzEsSzEMKKK )( )( )()( sSSS d 故 约 束 扭 转 剪 应 力 为 SzEMK )(可 见 ， 约 束 扭 转 在 截 面 上 的 剪 应 力 为 两 项 剪 应 力 之 和 。第 一 项 是 自 由 扭 转 剪 应 力第 二 项 是 由 于 约 束 正 应 力 的 变 化 而 引 起 的 剪 应 力约 束 扭 转 剪 应 力 也 可 以 用 扭 转 双 力 矩 表 示 Kk M SzE )( I SB平 面 弯 曲 剪 应 力 类 似 IbQS 类 似 （ 4） 函 数 的 确 定约 束 扭 转 翘 曲 应 力 及 剪 应 力 均 是 函 数 的 函 数 ， 要 求 扭 转 应 力 ，则 应 先 确 定 函 数 )(z )(z之 值 。 因 此 ， 列 出 约 束 扭 转 微 分 方 程 式)(z Gzvsu 当 截 面 周 边 不 变 形 时 ， 切 线 位 移 为 )(zv 微 分 一 次 ， 则 有 ， 则)(zzv zvGsu )()( zSG zEGMsu K 积 分 得 s ssK szsSG zEsGMuu 0 000 d)(d)(d 为 满 足 周 期 条 件 （ 沿 周 边 积 分 一 圈 后 ） 故 有0uu 0d)(d)(d szsSG zEsGM K 对 再 微 分 一 次 ， 并 将 各 项 除 以 ， 而 且 将 代 入后 得 到z /ds sd0d)(dd)(dd 2 szGsSszEzM K )(dd )(d dd 22 称 为 扇 性 惯 矩称 为 自 由 扭 转 惯 矩令 IsSsI IsI zMm dd Kt 则 td mzGIzEI )()( 此 式 不 可 能 同 时 解 出 和 两 个 未 知 量 ， 需 要 另 外 寻 求 和 之间 的 关 系 式 。 )(z)(z将 广 义 扇 性 坐 标 sdsss sIsssss 0000 ddddd)( 代 入 约 束 扭 转 轴 向 位 移 中 并 略 去 坐 标 标 记 ， 则 有s s sd ssIzzuzu 0 00 dd)()()( 沿 微 分 一 次 ， 并 注 意 到 是 常 量 ， 得 到s )(0 zu 1)()( dIzszu由 于 则)(zzv )(1)( zIzG zvsuG d 又 知约 束 扭 转 剪 应 力 不 引 起 外 扭 矩 sM K d d1 )()( )()( IzIIzG szIzGM d dK IIzzGIM dK 1)()( )()( zzGIMK 扭 转 中 心 距 剪 力流 的 垂 直 距 离 截 面 的 极惯 性 矩 dsI 2 截 面 约 束 系 数 （ 或 称 翘 曲 系 数 ） 的 大 小 反 映 了 截 面 受 约 束 的 程 度对 于 圆 形 截 面 故 ， 即 杆 件 上 只 有 自 由 扭 转 发 生 IId1IId 0对 于 箱 形 截 面 ， 当 箱 的 高 宽 比 较 大 时 ， 与 差 别 也 愈 大 ， 值就 大 ， 截 面 上 约 束 扭 转 应 力 也 相 应 要 大 一 些 dII （ 5） 闭 口 箱 梁 约 束 扭 转 微 分 方 程对求 导 一 次 )()( zzGIMK GImzz t )()(代 入 td mzGIzEI )()( 得 到 tmEIzkz )()( 2 EIGIk d2对 固 端 梁 ： 当 当 0,0,0 z 0,0, lz 扭 转 中 心 位 置设 以 扭 转 中 心 为 极 点 的 扇 性 坐 标 为 ， 形 心 为 极 点 的扇 形 坐 标 为 则 有A A BB 0d 0d 0d Ay AxABBB可 由 求 ， 具 体 公 式 如 下 B A Byx xyBA 约 束 扭 转 微 分 方 程 A xBxBxx A yByByy I AxsII I AysII d)( d)( 由 于 箱 梁 形 心 总 在 对 称 轴 上 ， 则 0B 分 别 为 沿 形 心 对 轴 的 惯 性矩 yx,分 别 为 沿 形心 对 轴的 扭 转 惯 性矩 yx,等 截 面 连 续 梁 扭 转 的 三 翘 曲 双 力 矩 方 程 前 面 求 解 了 等 截 面 简 支 梁 或 悬 臂 梁 的 扭 转 问 题 。 若 将 简 支 梁 的解 看 作 是 基 本 结 构 的 解 答 ， 应 用 力 法 的 概 念 ， 可 建 立 连 续 梁 扭 转 的三 翘 曲 双 力 矩 方 程 如 下 图 所 示 ， 现 将 各 支 承 处 的 翘 曲 双 力 矩 作 为 赘 余 未 知 力 ， 把图 a） 中 各 支 承 处 的 翘 曲 变 形 放 松 ， 分 别 用 赘 余 双 力 矩 代 之 ， 如 图 b）所 示 ， 取 简 支 梁 为 基 本 体 系 ， （ 若 遇 自 由 端 可 取 一 端 铰 支 一 端 自 由的 悬 臂 体 系 ） 连 续 梁 扭 转 基 本 体 系a)原 结 构 ； b)基 本 体 系对 于 箱 梁 翘 曲 变 形 ， 以 作 为 未 知 量 ， 因 为 纵 向 刚 性 移 动 对 翘 曲变 形 没 有 影 响 ， 而 扇 性 坐 标 系 表 示 翘 曲 位 移 在 截 面 中 分 布 规 律 ， 则 表 示 翘 曲 沿 梁 纵 向 变 化 的 大 小 程 度 ， 因 此 在 连 续 箱 梁 分 析 中 只把 它 作 为 未 知 量 ， 而 且 有 了 它 ， 通 过 基 本 体 系 及 其 边 界 条 件 ， 所 有内 力 与 变 形 均 可 获 解 。 现 将 单 位 双 力 矩 引 起 的 翘 曲 变 形 用 系 数表 示 。 则 某 支 座 左 右 两 侧 梁 跨 在 支 座 处 的 翘 曲 变 形 为 0u 第 跨 对 支 座 的 翘 曲 变 形 ii 11, iiiiiiipi BB 右右右 第 跨 对 支 座 的 翘 曲 的 变 形 1ii 11, iiiiiiipi BB 左左左根 据 相 邻 两 跨 在 支 座 处 的 相 对 翘 曲 为 零 的 变 形 协 调 条 件 ， 有 0)()( 11,11, 右左右左 ipipiiiiiiiiiii BBB 或 0 11,11, ipiiiiiiiii BBB 式 中 ： 端 单 位 双 力 矩 对 端 产 生 的 翘 曲)1,1(, iiijji j i 点 左 右 单 位 双 力 矩 引 起 的 翘 曲 之 和ii i 右左 iiiiii 为 左 右 跨 外 扭 矩 引 起 的 翘 曲 之 和 ip 右左 ipipip 式 中 最 多 含 三 个 未 知 双 力 矩 ， 因 此 把 它 叫 做 三 翘 曲 双 力 矩 方 程 。对 于 连 续 梁 每 一 个 支 座 都 可 以 列 出 这 样 一 个 方 程 ， 因 而 可 以 解 出 全部 赘 余 双 力 矩 。 可 按 力 法 原 理 用 叠 加 方 法 求 得 最 后 解 答 有 限 差 分 方 程 建 立 及 分 析 对 于 变 截 面 T型 刚 构 桥 ， 可 以 看 作 是 两 端 固 结 的 梁 来 进 行 扭 转分 析 。 这 时 ， 采 用 差 分 法 较 为 方 便（ 1） 差 分 方 程将 约 束 扭 转 微 分 方 程 改 写 为 tmEIkzEI 2)(由 于 双 力 矩故 有 EIB tmBkB 2是 以 双 力 矩 表 示 的 约 束 扭 转 微 分 方 程 式 。 若 将 固 端 梁 分 成 6段 ，如 下 图 所 示 ， 根 据 边 界 条 件 写 出 的 差 分 方 程 如 下B 差 分 格 式 )7()1(2)7()1()7(22)1()6( 2)6()2()7()6(22 )2()5( 2)5()3()6()5(22 )3()4( 2)4()4()5()4(22 )4()3( 2)3()3()4()3(22 )3()2( 2)2()2()3()2(22 )2()1( )1()1( 2)1()1()2()1(22)1( 221 )2( )2( )2( )2( )2( 221 MmBkB mBBKB mBBKB mBBKB mBBKB mBBKB MmBBK t ttt ttt 式 中 ： 点 上 的 约 束 扭 转 双 力 矩)(iB i 7,6,5,4,3,2,1i )mKN( 2 计 算 参 数 ， ， ， 此 处 认 为 梁 为 对 称 的)(iK iidii EIGIK idii II 1 点 上 的 分 布 外 扭 矩 ，)(imt i 7,2,1, i )m /mKN( 两 端 点 上 的 外 扭 矩)(iM m )KN( 差 分 间 隔 )m( （ 2） 荷 载 布 置 及 扭 矩 计 算 如 图 a为 某 等 级 汽 车 荷 载 的 横 向 布 置 （ 两 列 车 队 为 例 ） 。 图 b为 其 纵向 布 置 则 A 汽 车 荷 载 横 向 布 置 b 汽 车 荷 载 纵 向 布 置 rj jrj jit il ep il epm 11)( )7,1( 12/2 )6,5,4,3,2,1( 6/2汽 )2/()( rrit bbbqm 人人 人汽 )()()( ititit mmm )7,6,5,4,3,2,1( i在 第 段 内 的汽 车 轴 数i 第 个 汽 车 轴 重 （ KN）i 22 1 )()1( lmllePM nk itKK 人 221 )()7( lmlllePM nk itKK 人车 队 数 小 结 （ 1） 简 介 闭 口 截 面 自 由 扭 转 的 计 算 公 式 根 据 乌 曼 斯 基 薄 壁 杆 件 弯 曲 扭 转 理 论 ， 将 梁 视 为 理 想匀 质 体 ， 推 导 出 约 束 扭 转 微 分 方 程 ， （ 2） 有 限 差 分 方 程 解 出 约 束 扭 转 的 近 似 值 （ 3） 给 出 了 连 续 梁 约 束 扭 转 的 三 翘 曲 双 力 矩 方 程 （ 4） 在 扭 转 理 论 中 还 有 瑞 斯 纳 （ Reissner） 引 进 翘 曲系 数 利 用 泛 函 推 导 的 理 论 ， 该 理 论 比 乌 氏 理 论 精 确 。 （ 5） 乌 氏 理 论 计 算 结 果 偏 大 。 但 工 程 计 算 中 多 采 用 传统 的 乌 氏 理 论 本 章 参 考 文 献n 1捷克.V.克里斯特克著，何福照，吴德心译.箱梁理论。北京：人民交通出版社，1988.n 2郭金琼.箱梁设计理论.北京：人民交通出版社,1991.n 3李明昭等.桥梁结构力学.北京：人民交通出版社,1990.n 4CP.汉斯.薄壁杆件的弯曲与扭转.北京：人民交通出版社,1980. n 5项海帆.高等桥梁结构理论.北京：人民交通出版社，2001.