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第8课时 抛物线一、填空题1(苏州市高三教学调研)抛物线y24x的焦点到准线的距离为_ 答案:22(扬州市高三期末调研)已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合,则抛物线的焦点坐标为_ 解析:抛物线y22px的准线方程为x,双曲线的左准线x1,则1,p2,抛物线的焦点坐标为F(1,0) 答案:(1,0)3(江苏省高考命题研究专家原创卷)设双曲线1(a0,b0)的离心率为,且它的一条准线与抛物线y24x的准线重合,则此双曲线的方程为_ 解析:抛物线y24x的准线为x1,由题意,得 ,解得,a23,b26,c29,故得所求双曲线的方程为1. 答案:14已知抛物线yax21的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_解析:由抛物线yax21的焦点坐标为(0,1)为坐标原点得,a,则yx21与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0),则以这三点围成的三角形的面积为412. 答案:25 已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是_ 解析:由y28x知2p8,p4, 设B点坐标为(xB,yB),由AB直线过焦点F知8yB16,则yB2,xB. 线段AB中点到准线的距离为2. 答案: 6(江苏南通模拟)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足0,|6,则抛物线的方程为_ 解析:由题意可设抛物线的方程为:y22px(p0),则F( ,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,y2),(x1,y1),(x2,y2),(x3, y3), 0,(x1)(x2)(x3)0,即x1x2x3 又|6, 由抛物线的定义知:x1x2x36 由得p2,y24x. 答案:y24x7(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知点M为抛物线x22py(p0)上一点,若点M到抛物线的焦点F的距离为2p,则直线MF的斜率为_ 解析:如图,过点M向抛物线的准线作垂线MN,过点F向MN作垂线FQ,由抛物线的定义得MN=MF=2p,MQ=p,MFQ=30,直线MF的倾斜角为150,直线MF的斜率为,再根据抛物线的对称性可知,直线MF的斜率还可以是,直线MF的斜率是.答案: 二、解答题8一个正三角形的顶点都在抛物线上(抛物线的顶点是原点,对称轴是坐标轴),其中一个顶点在原点,三角形的面积是48,求抛物线的方程 解:若抛物线的焦点在x轴正半轴上,如上图,A点与B点关于x轴对称,设正三角形的边长为a,则SAOB=a2sin 60=48,解得a=8,A(12,4) 设抛物线的标准方程为y2=2px(p0), 则(4)2=2p12,解得p=2.抛物线的标准方程为y2=4x. 同理可知,抛物线的标准方程还可以是y2=-4x,x2=4y,x2=-4y.9求抛物线y22x上任意一点P到A(a,0)点的最短距离 解:设抛物线y22x上任意一点P的坐标为(x0,y0),则y2x0. PA, 又x00,当a10,即a1时,若x00,PA取得最小值,最小值为|a|; 当a10,即a1时,若x0a1,PA取到最小值,最小值为.10(江苏省高考名校联考信息优化卷) 如上图,已知Q过定点A(0,p)(p0),圆心Q在抛物线C:x2=2py上运动,MN为圆Q在x轴上所截得的弦 (1)当Q点运动时,MN的长度是否有变化?并证明你的结论; (2)当OA是OM与ON的等差中项时,试判断抛物线C的准线与圆Q的位置关系,并说明理由 解:(1)设Q(x0,y0),则x2=2py0(y00),则Q的半径QA=, Q的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2, 令y=0,并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0, 解得x1=x0-p,x2=x0+p,MN=|x1-x2|=2p,MN不变化,为定值2p. (2)不妨设M(x0-p,0),N(x0+p,0),由题意知2OA=OM+ON, 得2p=|x0-p|+|x0+p|,-px0p.Q到抛物线C的准线y= 的距离 d=y0+ =,Q的半径r=QA=, r2-d2=,又x02p20),故rd,即Q与抛物线的准线总相交1动点P在抛物线y26x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是_ 解析:设PA中点E为(x,y),P点为(x0,y0),则: 将x0,y0代入y26x,得:(2y1)212x. 答案:(2y1)212x2(2010高三大联考江苏卷)已知直线l:yx1与圆O(O为坐标原点)相切,双曲线C1:1(a0,b0)的离心率为,虚半轴长等于圆O的半径 (1)求双曲线C1的方程; (2)抛物线C2的顶点为原点,焦点为双曲线C1的右焦点,点R、S是抛物线C2上不同的两点(R、S不为原点),且满足0,求点S的纵坐标的取值范围 解:(1)e,c23a2,b22a2.直线l:x2y20与圆x2y2b2相切, b,b2,a2,双曲线C1的方程是3x2y21. (2)设抛物线C2的方程为y22px(p0),双曲线C1的右焦点为F(1,0),1, p2,抛物线C2的方程为y24x.设R,S, ,0, y1(y2y1)0.y1y2,y10,化简得y2, yy3223264, 当且仅当y,y16,y14时等号成立,y28或y28.
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