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第8课时 抛物线一、填空题1(苏州市高三教学调研)抛物线y24x的焦点到准线的距离为_ 答案：22(扬州市高三期末调研)已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_ 解析：抛物线y22px的准线方程为x，双曲线的左准线x1，则1，p2，抛物线的焦点坐标为F(1,0) 答案：(1,0)3(江苏省高考命题研究专家原创卷)设双曲线1(a0，b0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y24x的准线重合，则此双曲线的方程为_ 解析：抛物线y24x的准线为x1，由题意，得 ，解得，a23，b26，c29，故得所求双曲线的方程为1. 答案：14已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_解析：由抛物线yax21的焦点坐标为(0，1)为坐标原点得，a，则yx21与坐标轴的交点为(0，1)，(2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为412. 答案：25 已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是_ 解析：由y28x知2p8，p4， 设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F知8yB16，则yB2，xB. 线段AB中点到准线的距离为2. 答案： 6(江苏南通模拟)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足0，|6，则抛物线的方程为_ 解析：由题意可设抛物线的方程为：y22px(p0)，则F( ，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y2)，(x1，y1)，(x2，y2)，(x3， y3)， 0，(x1)(x2)(x3)0，即x1x2x3 又|6， 由抛物线的定义知：x1x2x36 由得p2，y24x. 答案：y24x7(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知点M为抛物线x22py(p0)上一点，若点M到抛物线的焦点F的距离为2p，则直线MF的斜率为_ 解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线MN，过点F向MN作垂线FQ，由抛物线的定义得MN=MF=2p，MQ=p，MFQ=30，直线MF的倾斜角为150，直线MF的斜率为，再根据抛物线的对称性可知，直线MF的斜率还可以是，直线MF的斜率是.答案： 二、解答题8一个正三角形的顶点都在抛物线上(抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴)，其中一个顶点在原点，三角形的面积是48，求抛物线的方程 解：若抛物线的焦点在x轴正半轴上，如上图，A点与B点关于x轴对称，设正三角形的边长为a，则SAOB=a2sin 60=48，解得a=8，A(12,4) 设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)， 则(4)2=2p12，解得p=2.抛物线的标准方程为y2=4x. 同理可知，抛物线的标准方程还可以是y2=-4x，x2=4y，x2=-4y.9求抛物线y22x上任意一点P到A(a,0)点的最短距离 解：设抛物线y22x上任意一点P的坐标为(x0，y0)，则y2x0. PA， 又x00，当a10，即a1时，若x00，PA取得最小值，最小值为|a|； 当a10，即a1时，若x0a1，PA取到最小值，最小值为.10(江苏省高考名校联考信息优化卷) 如上图，已知Q过定点A(0，p)(p0)，圆心Q在抛物线C：x2=2py上运动，MN为圆Q在x轴上所截得的弦 (1)当Q点运动时，MN的长度是否有变化？并证明你的结论； (2)当OA是OM与ON的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆Q的位置关系，并说明理由 解：(1)设Q(x0，y0)，则x2=2py0(y00)，则Q的半径QA=， Q的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2， 令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0， 解得x1=x0-p，x2=x0+p，MN=|x1-x2|=2p，MN不变化，为定值2p. (2)不妨设M(x0-p,0)，N(x0+p,0)，由题意知2OA=OM+ON， 得2p=|x0-p|+|x0+p|，-px0p.Q到抛物线C的准线y= 的距离 d=y0+ =，Q的半径r=QA=， r2-d2=，又x02p20)，故rd，即Q与抛物线的准线总相交1动点P在抛物线y26x上运动，定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是_ 解析：设PA中点E为(x，y)，P点为(x0，y0)，则： 将x0，y0代入y26x，得：(2y1)212x. 答案：(2y1)212x2(2010高三大联考江苏卷)已知直线l：yx1与圆O(O为坐标原点)相切，双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为，虚半轴长等于圆O的半径 (1)求双曲线C1的方程； (2)抛物线C2的顶点为原点，焦点为双曲线C1的右焦点，点R、S是抛物线C2上不同的两点(R、S不为原点)，且满足0，求点S的纵坐标的取值范围 解：(1)e，c23a2，b22a2.直线l：x2y20与圆x2y2b2相切， b，b2，a2，双曲线C1的方程是3x2y21. (2)设抛物线C2的方程为y22px(p0)，双曲线C1的右焦点为F(1,0)，1， p2，抛物线C2的方程为y24x.设R，S， ，0， y1(y2y1)0.y1y2，y10，化简得y2， yy3223264， 当且仅当y，y16，y14时等号成立，y28或y28.
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