大学物理2第二章第一节 牛顿定律

大 学 物 理 第 一 节 牛 顿 定 律第 二 节 功 和 能 机 械 能 守 恒 定 律第 三 节 动 量 和 冲 量 动 量 守 恒 定 律 第 一 节 牛 顿 定 律 牛 顿 运 动 定 律 不 仅 是 研 究 宏 观 低 速 质 点 动力 学 的 基 础 ， 而 且 也 是 描 述 物 体 作 机 械 运 动 的前 提 。 本 节 讨 论 牛 顿 运 动 定 律 及 其 应 用 。 杰 出 的 英 国 物 理 学 家 、 数 学家 、 天 文 学 家 ， 经 典 物 理 学 的 奠基 人 ， 是 科 学 发 展 史 上 举 世 闻 名的 巨 人 。 是 微 积 分 的 创 始 人 之 一 。发 现 了 牛 顿 三 定 律 、 万 有 引 力 定律 、 冷 却 定 律 、 光 的 色 散 、 色 差 ；制 作 出 了 牛 顿 环 装 置 和 反 射 式 望远 镜 ， 创 建 了 光 的 微 粒 学 说 。1687年 发 表 了 具 有 巨 大 影 响 力 的 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 一 书 ，标 志 着 经 典 力 学 体 系 的 建 立 。牛 顿 Issac Newton （ 1643 1727） 任 何 物 体 都 要 保 持 静 止 或 匀 速 直 线 运 动状 态 ， 直 到 外 力 迫 使 它 改 变 运 动 状 态 为 止 。1.牛 顿 第 一 定 律 （ 惯 性 定 律 ）2. 惯 性 和 力 的 概 念时 ， 恒 矢 量v0F3. 惯 性 参 考 系 ： 如 果 物 体 在 一 个 参 考 系 中不 受 其 它 物 体 作 用 而 保 持 静 止 或 匀 速 直 线 运动 ， 这 个 参 考 系 就 称 为 惯 性 参 考 系 。1.一 、 牛 顿 定 律 tmtpF d )(ddd v 2.牛 顿 第 二 定 律作 用 在 物 体 上 的 合 外 力 ， 等 于 物 体 动 量 对 时 间 的 变化 率 。 力 的 方 向 与 物 体 动 量 变 化 的 方 向 一 致 。 当 时 ， 为 常 量 ，cvm amtmF ddv v mp合 外力宏 观 低 速 动 力 学 基 本 方 程 ktmjtmitmF yx dddddd zvvv xx maF yy maF zz maF kmajmaimaF yx z 即 amtmF ddv直 角 坐 标 系 中 注 ： 为 A处 曲 线 的曲 率 半 径 。 22dddd tsmtmF v自 然 坐 标 系 中 nmtmaamamF 2n dd)( vv 2n vmF a n A (1) 牛 顿 第 二 定 律 是 瞬 时 关 系(2) 牛 顿 第 二 定 律 适 用 于 质 点 或 可 看 作 整体 的 质 点 系 321 aaaa 321 FFFF(3) 适 用 于 力 的 叠 加 原 理 2211 amFamF 注 意 两 个 物 体 之 间 的 作 用 力 和 反 作 用 力 ， 沿 同一 直 线 ， 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 ， 分 别 作 用 在 两 个 物体 上 。 F FFF （ 物 体 间 相 互 作 用 规 律 ）3.牛 顿 第 三 定 律 F F作 用 力 与 反 作 用 力 特 点 ： (1)大 小 相 等 、 方 向 相 反 ， 分 别 作 用 在 不 同物 体 上 ， 同 时 产 生 、 同 时 消 失 ， 不 能 相 互 抵 消 。 (2) 性 质 相 同 。 (3) 任 何 参 考 系 都 成 立 。 牛 顿 第 二 定 律 适 用 的 参 考 系火 车 做 匀 速 直 线 运 动以 火 车 为 参 考 系 ： 小 球 受外 力 作 用 的 矢 量 和 为 零 ，小 球 静 止 或 者 做 匀 速 直 线运 动 。以 地 面 为 参 考 系 ： 小 球 受外 力 作 用 的 矢 量 和 为 零 ，小 球 静 止 或 者 做 匀 速 直 线运 动 ； 火 车 做 加 速 直 线 运 动地 面 上 的 观 察 者 ： 观 察 到 小 球做 匀 速 直 线 运 动 ；火 车 上 的 观 察 者 ： 观 察 到 小 球向 后 加 速 运 动 而 不 再 保 持 静 止状 态 。 牛 顿 第 二 定 律 适 用 的 参 考 系想 一 想做 一 做 火 车 做 变 速 运 动 时 牛 顿 第 二 定 律 的表 达 形 式 是 否 会 有 变 化 ？ 为 什 么 会 有 变化 ？ 根 据 运 动 速 度 的 合 成 公 式 ， 试 推 导在 加 速 运 动 参 照 系 中 牛 顿 第 二 定 律 改 变后 的 形 式 。问 题 一 牛 顿 第 二 运 动 定 律 在 一 切 匀 速 直线 运 动 参 考 系 的 表 述 形 式 是 否 相 同 ？ 4.力 学 相 对 性 原 理u vv FamamF xut xx y yz z oo u x Paa 为 常 量tt dddd vv u (2) 对 于 不 同 惯 性 系 ， 牛 顿 力 学 的 规 律 都具 有 相 同 的 形 式 ， 与 惯 性 系 的 运 动 无 关 。 (1) 凡 相 对 于 惯 性 系 作 匀 速 直 线 运 动 的 一切 参 考 系 都 是 惯 性 系 。伽 利 略 相 对 性 原 理注 意 四 种 相 互 作 用 的 力 程 和 强 度 的 比 较注 ： 表 中 强 度 是 以 两 质 子 间 相 距 为 时 的 相 互 作 用 强度 为 1给 出 的 。 m10 15种 类 相 互 作 用 粒 子 强 度力 程 /m引 力 作 用 所 有 粒 子 、 质 点 3910弱 相 互 作 用 带 电 粒 子 1210310电 磁 作 用 核 子 、 介 子 等 强 子 1810强 相 互 作 用 强 子 等 大 多 数 粒 子 1510 110二 、 自 然 界 的 四 种 相 互 作 用 和 常 见 的 力 温 伯 格萨 拉 姆格 拉 肖 弱 相 互 作 用电 磁 相 互 作 用 电 弱 相 互作 用 理 论三 人 于 1979年 荣 获 诺 贝 尔 物 理 学 奖 。 鲁 比 亚 , 范 德 米 尔 实 验 证 明 电 弱 相 互 作 用 ，1984年 获 诺 贝 尔 奖 。电 弱 相 互 作 用强 相 互 作 用万 有 引 力 作 用 “ 大 统 一 ” （ 研 究 之 中 ） 02 21 rrmmGF 1.万 有 引 力引 力 常 数 2211 kgmN1067.6 G m1 m2r 重 力 ,mgP 2rGmg E 2sm80.9 - 2RGmg E地 表 附 近 2.弹 性 力 （ 电 磁 力 ）常 见 弹 性 力 有 ： 正 压 力 、 张 力 、 弹 簧 弹 性 力 等 。xkF 弹 簧 弹 性 力 胡 克 定 律因 为 物 体 形 变 而 产 生 的 力 。3.摩 擦 力 （ 电 磁 力 ） 0 一 般 情 况 Nf FF 滑 动 摩 擦 力 N0f0m FF 最 大 静 摩 擦 力即 滑 动 摩 擦 力 小 于 最 大 摩 擦 力问 题 ： 火 车 启 动 时 为 什 么 先 倒 退 再 前 进 ？ 1.解 题 步 骤 （ 1） 已 知 力 求 运 动 方 程（ 2） 已 知 运 动 方 程 求 力2.两 类 常 见 问 题 Far raF 隔 离 物 体 受 力 分 析 建 立 坐 标 列 方 程 解 方 程 结 果 讨 论三 、 牛 顿 定 律 的 应 用 例 2.2质 量 为 的 跳 水 运 动 员 从 高 的 跳 台 上 由 静 止跳 下 落 入 水 中 。 运 动 员 入 水 后 垂 直 下 沉 ， 水 对 其 阻 力为 ， 为 常 量 。 以 水 面 上 一 点 为 坐 标 原 点 ， 竖 直 向下 为 轴 ， 求 运 动 员 在 水 中 的 速 率 与 的 关 系 。 m h2bv b OOy v y【 解 】 取 向 下 为 正 方 向 ghv 20 dydvmvdtdydydvmdtdvmbvmgfmg 2 vvy bvmgmvdvdy 0 20 v 例 2.3 质 量 为 的 物 体 ， 由 地 面 以 初 速 度 竖 直 向 上 发 射 ， 物 体 受 到 的 空 气 阻 力 为 ，且 。 求 ：（ 1） 物 体 发 射 到 最 大 高 度 所 需 的 时 间 ；（ 2） 最 大 高 度 是 多 少 ？kg0.45 10.60 smkvf 1/03.0 smNk【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 的 知 识 点 是 考 查 牛 顿 第 二定 律 的 应 用 。 物 体 同 时 受 重 力 和 阻 力 作 用 ， 阻 力是 速 率 的 函 数 ， 是 变 力 ， 应 该 用 微 分 方 程 求 解 。 【 解 】 （ 1） 设 向 上 为 正 方 向 dtdvmkvmg 由 初 始 条 件 ， 最 大 高 度 时 ，00 vvt 时 0v 00 0vt kvmgdvmdt smgkvkmt 11.61ln 0 （ 2） 由 速 度 的 定 义 式 可 得dtdyv dydvvdtdydydvdtdv 00 0vy kvmgmvdvdy mkvmgkvmgkmy 1831ln 002 力 学 的基 本 单 位我 国 的 法 定 单 位 制 为 国 际 单 位 制 （ SI） 。物 理 量 长 度 质 量 时 间单 位 名 称 米 千 克 秒符 号 m kg s*四 、 单 位 制国 际 单 位 制 规 定 了 七 个 基 本 单 位 ， 其 中力 学 的 基 本 单 位 有 三 个 。电 流 安 【 培 】 A热 力 学 温 度 T开 【 尔 文 】 K物 质 的 量 n摩 【 尔 】 mol发 光 强 度 I坎 【 德 拉 】 cd 1.1m是 光 在 真 空 中 1s/299 792 458时 间 间 隔 内 所 经过 的 路 程 的 长 度 。2.1s是 铯 的 一 种 同 位 素 133 Cs原 子 发 出 的 一 个 特 征频 率 光 波 周 期 的 9 192 631 770倍 。3.“ 千 克 标 准 原 器 ” 是 用 铂 铱 合 金 制 造 的 一 个 金属 圆 柱 体 ， 保 存 在 巴 黎 度 量 衡 局 中 。其 它 力 学 物 理 量 都 是 导 出 量 ， 如速 率 ts/ddv 1sm -amF 2smkg1N1 -力 rFW dd mN1J1 功 0 实 际 长 度 实 际 质 量可 观 察 宇 宙 半 径 宇 宙地 球 半 径 太 阳说 话 声 波 波 长 地 球可 见 光 波 波 长 宇 宙 飞 船原 子 半 径 最 小 病 毒质 子 半 径 电 子夸 克 半 径 光 子m1026 m104.6 6 m104 1 m106 7 m101 10 m101 15 m101 20 kg1053 kg100.2 30 kg100.6 24kg104 kg109 14 kg101.9 31（ 静 ） 实 际 过 程 的 时 间宇 宙 年 龄 约 (140亿 年 )地 球 公 转 周 期 s102.3 7人 脉 搏 周 期 约 s.90最 短 粒 子 寿 命 s10 25 s102.4 17 力 的 累 积 效 应 EWF pIF ， 对 时 间 积 累对 空 间 积 累动 能 、 功 、 动 能 定 理 、 机 械 能 守 恒动 量 、 冲 量 、 动 量 定 理 、 动 量 守 恒第 二 节 功 和 能 机 械 能 守 恒 定 律 一 、 功 1.恒 力 的 功 SFW cosrFW dcosd Frd *B*A2.变 力 的 功 rFW dd BABA sFrFW dcosd rs dd sFW dcosd AF BFSF 说 明（ 1） 功 是 过 程 量 ， 一 般 与 路 径 有 关 。（ 2） 合 力 的 功 ）（ zdddd zyB A xBA FyFxFrFW zFyFxF BABABA zz zyy yxx x ddd zWWWW yx kFjFiFF zyx kjyixr zdddd BABA sFrFW dcosd 等 于 各 分 力 的 功 的 代 数 和 。 tWP 平 均 功 率瞬 时 功 率 v FtWtWP t ddlim0 cosvFP 功 率 的 单 位 ： 瓦 特 W10kW1 31sJ1W1 3.功 率 例 2.4 设 作 用 在 质 量 为 2kg的 物 体 上 的 力 F=6t(N)。如 果 物 体 由 静 止 出 发 沿 直 线 运 动 ， 问 在 开 始 2s时 间内 ， 这 个 力 对 物 体 所 做 的 功 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 功 的 定义 及 第 一 类 运 动 学 问 题 。 加 速 度 是 运 动 学 和力 的 桥 梁 ， 本 题 可 首 先 求 出 ， 进 而 利 用 加 速度 和 速 度 的 定 义 式 即 可 写 出 位 移 表 达 式 ， 再利 用 功 的 定 义 即 可 求 解 。 【 解 】 根 据 牛 顿 第 二 定 律 可 知 物 体的 加 速 度 为 200 5.13 ttdtdv tv JdttdtttFdxW 3695.16 2 0 32 【 问 题 延 伸 】 对 于 更 复 杂 的 情 况 ， 如 ，仍 然 对 上 述 质 点 做 功 ， 你 还 会 计 算 吗 ？ jxiyF 24 dttdx 25.1 maF ttmFdtdva 326 tdtdv 3 例 2.5一 个 质 点 沿 如 图 所 示 的 路 径 运 行 ， 求 力 (SI)对 该 质 点 所 做 的 功 ， （ 1） 沿 ODC； （ 2） 沿 OBC。B CO D22【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是考 察 力 沿 不 同 路 径 做 功 问 题 。 虽然 同 样 是 从 O点 出 发 C点 终 止 ， 但是 所 经 两 条 路 径 不 同 ， 同 一 个 力所 做 的 功 要 分 别 按 照 功 的 定 义 式计 算 ， 不 能 简 单 认 为 结 果 一 样 。解 ： iyF )24( Fx=4-2y Fy=0 JdxrdFrdFW DCODODC 80)024(20 （ 2） OB段 ： Fy=0， BC段 ： y=2（ 1） OD段 ： y=0， dy=0， DC段 ： x=2， Fy=000)224(20 dxrdFrdFW BCBOOBC 【 问 题 延 伸 】 由 本 题 我 们 可 得 出 结 论 ： 力 做 功 与 路 径有 关 ， 即 同 一 个 力 沿 不 同 的 路 径 所 做 的 功 是 不 同 的 。那 么 是 不 是 所 有 的 力 做 功 都 与 路 径 有 关 呢 ？ 有 没 有 做功 与 路 径 无 关 的 力 呢 ？ rFW d tmmaF ddcos v 2 122 2121 vv mm 二 、 质 点 的 动 能 定 理 vvv v d21 mdsdtdvmW dsF cos 1vA B 2vF rd cosF1k2k2122 2121 EEmmW vv 2vmEk 21dsF cos （ 1） 功 是 过 程 量 ， 动 能 是 状 态 量 ；合 外 力 对 质 点 所 作 的 功 ， 等 于 质 点 动 能 的 增 量 （ 2） 功 和 动 能 依 赖 于 惯 性 系 的 选 取 ， 但 对 不 同 惯 性 系 动 能 定 理 形 式 相 同 。注 意 质 点 的 动 能 定 理 1k2k2122 2121 EEmmW vv 例 2.6 一 质 量 为 m的 小 球 系 在 长 为 l的细 绳 下 端 ， 绳 的 上 端 固 定 在 天 花 板 上 。起 初 把 绳 子 放 在 与 铅 直 线 成 0角 处 ，然 后 放 手 使 小 球 沿 圆 弧 下 落 。 试 求 绳与 铅 直 线 成 角 时 ， 小 球 的 速 率 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 变 力 做 功 和动 能 定 理 的 应 用 。 小 球 下 落 过 程 中 受 拉 力 和 重 力共 同 作 用 ， 但 拉 力 始 终 垂 直 于 位 移 所 以 不 做 功 ，因 此 只 有 重 力 做 功 。 再 利 用 动 能 定 理 即 可 求 得 小球 速 度 。 解 ： 计 算 外 力 所 做 的 功 。 小 球 受 力 如图 。 由 分 析 可 知 为 变 力 做 功 ： rdPrdTrdFW rrrrrr 000 0 0 rdTrr rrrrrr drPdrPrdP 000 sincos lddr 0coscossinsin 00 mgldmgldrmgW rr 由 动 能 定 理 ， 得 ： 22020 212121coscos mvmvmvmglW 故 绳 与 铅 直 线 成 角 时 ， 小 球 的 速 率 为 ： 0coscos2 glv【 问 题 延 伸 】 本 题 中 重 力 做 功 的 结 果 有 一 个 特 点 ： 做 功与 路 径 无 关 。 你 认 为 这 是 巧 合 还 是 规 律 ？ 你 能 再 举 出 几个 例 子 解 一 下 看 看 重 力 做 功 是 否 都 有 相 同 的 特 点 吗 ？ 例 2.7 一 质 量 为 10g、 速 度 为 200m/s的 子 弹 水 平地 射 入 铅 直 的 墙 壁 内 0.04m后 而 停 止 运 动 。 若 墙 壁的 阻 力 是 一 恒 量 ， 求 墙 壁 对 子 弹 的 作 用 力 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 动 能 定 理的 应 用 。 虽 然 本 题 可 以 用 牛 顿 第 二 定 律 求 解 ，但 比 较 复 杂 ， 用 动 能 定 理 比 较 简 单 。 在 许 多 问题 中 动 能 定 理 是 比 牛 顿 定 律 更 实 用 的 处 理 方 法 ，是 我 们 应 优 先 考 虑 的 工 具 。 解 ： 20 21 mvEk 负 号 表 示 力 的 方 向 与 运 动 的 方 向 相 反 。得由 动 能 定 理阻 力 对 子 弹 做 功子 弹 末 态 动 能子 弹 初 态 动 能 0kE 20 210 mvEEW kk Nsmvf 322 10504.02 20001.02 【 问 题 延 伸 】 本 题 中 如 果 阻 力 不 是 恒 力 ， 比如 ， 你 还 能 解 出 结 果 吗 ？0, kkvf fsW 例 2.8 在 一 截 面 积 变 化 的 弯 曲 管 中 ， 稳 定 流 动 着不 可 压 缩 的 密 度 为 的 流 体 ， 如 图 所 示 。 在 图 中 a处 的 压 强 为 p1、 截 面 积 为 A1； 在 点 b处 的 压 强 为 p2、截 面 积 为 A2。 由 于 点 a和 点 b之 间 存 在 压 力 差 ， 流体 在 管 中 移 动 。 在 a和 b处 的 速 率 分 别 为 v1和 v2，求 流 体 的 压 强 和 速 率 之 间 的 关 系 。y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A 【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 通 过 对 伯 努 利 方 程 的 推导 来 考 察 动 能 定 理 的 应 用 。 压 强 体 现 在 压 力 中 ， 速 率 体现 在 动 能 中 ， 压 力 和 重 力 做 功 改 变 流 体 的 动 能 ， 所 以 应用 动 能 定 理 即 可 求 出 流 体 的 压 强 和 速 率 之 间 的 关 系 。解 取 如 图 所 示 坐 标 ， 在 时 间 内 、 处流 体 分 别 移 动 、 。 td a b1dx 2dx 1x 11 dxx 2x 22 dxx y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A VyygyygmWg d)()(dd 1212 21221221 d21d21d)(d)( vv VVVyygVpp 22222111 2121 vv gypgyp =常 量1x 11 dxx 2x 22 dxx y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A222111 ddd xApxApWp VxAxA ddd 2211 VppWp d)(d 21 若 将 流 管 放 在 水 平 面 上 ， 即 21 yy 221 vgyp 常 量伯 努 利 方 程则 有 221 vp 常 量222211 2121 vv pp即 21 pp 21 vv 若 则 1p 2p2v1v 【 问 题 延 伸 】 通 过 本 题 的 结 论 ， 你 能 解 释 以下 情 况 的 危 险 吗 ？1、 被 龙 卷 风 吹 到 ；2、 站 在 快 速 行 驶 的 车 辆 附 近 ；3、 在 下 层 流 速 大 于 表 面 流 速 的 河 里 游 泳 。 三 、 质 点 系 的 动 能 定 理质 点 系 的 动 能 定 理 0kkinex EEWW 0kk0kkinex EEEEWW i ii ii ii i 2.对 质 点 系 ， 有 1.对 第 个 质 点 ， 有i注 意 0kikiiniexi EEWW 内 力 的 功外 力 的 功 exiFiniF 1m2m im内 力 可 以 改 变 质 点 系 的 动 能 ！ 三 、 质 点 系 的 动 能 定 理内 力 可 以 改 变 质 点 系 的 动 能 ！ 0kkinex EEWW 00k E 燃 料火 箭 kkk EEE 0kkinex EEWW 内 力 可 以 改 变 质 点 系 的 动 能 ！v v 2k0 21 vmmE bg 22 2k 212121 bbgg bg vmvm vmmE 一、变力做功二、动能定理 BABA sFrFW dcosd 1k2k2122 2121 EEmmW vv 0kkinex EEWW rer mmGF 21.万 有 引 力 作 功四 、 万 有 引 力 和 弹 性 力 作 功 的 特 点 对 的 万 有 引 力 为m mm移 动 时 ， 作 元 功 为 Frd rFW dd rer mmG r d2 r rr d rdmm A BAr Brre rd BArr rrmmGW d2 rrere rr dcosdd )11( AB rrmmGW BA r rermmGrFW dd 2m从 A到 B的 过 程 中 作 功F r rr d rdmm A BAr Brre rd由 此 我 们 可 得 以 下 结 论 ： 引 力 做 功 只 与 质 点 的 始 末位 置 有 关 ， 而 与 质 点 所 经 过 的 路 径 无 关 。 2.重 力 作 功质 量 为 m的 质 点 ， 在 重力 的 作 用 下 ， 从 点 a沿acb路 径 运 动 到 点 b，点 a和 点 b到 地 面 的 高度 分 别 为 y1和 y2， 我 们来 计 算 重 力 所 做 的 功 。将 质 点 的 运 动 路 径 分 成 许 多 元 位 移 jdyidxrd 则 重 力 所 作 的 元 功 为 mgdyjdyidxjmgrdgmdW 从 点 a沿 acb路 径 运 动 到 点 b， 重 力 所 做 的 功 为 121221 mgymgyyymgmgdyW yy 由 此 我 们 可 得 以 下 结 论 ： 重 力 做 功 只 与 质 点的 始 末 位 置 有 关 ， 而 与 质 点 所 经 过 的 路 径 无关 。 这 个 结 论 和 引 力 做 功 特 点 是 一 样 的 。 xF xo3.弹 性 力 作 功 2121 dd xxxx xkxxFW )2121( 2122 kxkx FP xkxW dd ikxF 弹 性 力 2121 dd xxxx xkxxFW )2121( 2122 kxkx xF dxdW x2x1O做 一 做 根 据 万 有 引 力 、 重 力 、 弹 性 力 做 功特 点 ， 证 明 物 体 沿 闭 合 路 径 绕 行 一 周 ，这 些 力 对 物 体 所 做 的 功 恒 为 零 。 由 此 我 们 可 得 以 下 结 论 ： 弹 性 力 做 功 只 与 质 点 的始 末 位 置 有 关 ， 而 与 质 点 所 经 过 的 路 径 无 关 。 这个 结 论 和 引 力 做 功 、 重 力 做 功 特 点 是 一 样 的 。 4.摩 擦 力 作 功设 一 个 质 点 在 粗 糙 的 平 面 上 运 动 （ 假 设 摩 擦力 为 常 量 ） ， 则 摩 擦 力 做 功 为 SffdSSdfW 可 见 摩 擦 力 做 功 不 仅 与 质 点 运 动 的 始 末 位 置 有关 还 与 质 点 运 动 的 具 体 路 径 有 关 ， 这 与 前 面 所述 三 种 力 的 做 功 特 点 是 不 一 样 的 。 保 守 力 所 作 的 功 与 路 径 无 关 ，仅 决 定 于 始 、 末 位 置 。五 、 保 守 力 与 非 保 守 力 势 能 )2121( 22 AB kxkxW 弹 力 的 功 )()( AB rmmGrmmGW引 力 的 功1.保 守 力 的 功 ADBACB rFrF d d A BCD 质 点 沿 任 意 闭 合 路 径 运 动 一 周 时 ， 保 守 力 对 它所 作 的 功 为 零 。 0d l rFW BDAACBl rFrFrF d d d非 保 守 力 ： 力 所 作 的 功 与 路 径 有 关 。 （ 例 如 摩 擦 力 ） 2.势 能与 质 点 位 置 有 关 的 能 量 。弹 性 势 能 2p 21 kxE 引 力 势 能 rmmGE p )2121( 22 AB kxkxW 弹 力 的 功 )()( AB rmmGrmmGW引 力 的 功 P1p2p )( EEEW 保 守 力 的 功 保 守 力 作 正 功 ， 势 能 减 少 。（ 2） 势 能 具 有 相 对 性 ， 势 能 大 小 与 势 能 零 点 的 选 取 有 关 。 ),(pp zyxEE （ 1） 势 能 是 状 态 的 函 数（ 3） 势 能 是 属 于 系 统 的 。（ 4） 势 能 差 与 势 能 零 点 选 取 无 关 。讨 论想 一 想 保 守 力 场 的 零 势 能 点 如 何 选 择 最 恰 当 ？ pE zO zmgE p3.势 能 曲 线 弹 性 势 能 曲 线 0,0 p Ex重 力 势 能 曲 线 0,0 p Ez 引 力 势 能 曲 线 0, p ErxO pE 2p 21 kxE xO pE rmmGE p )()( 0p0kpkinncex EEEEWW 0kkinex EEWW 非 保 守力 的 功inncincinin WWWW i i inc p p 0 p p0( ) ( )i ii iW E E E E 六 、 质 点 系 的 功 能 原 理 机 械 能 pk EEE 0inncex EEWW 质 点 系 的 机 械 能 的 增 量 等 于 外 力 与 非 保守 内 力 作 功 之 和 质 点 系 的 功 能 原 理 )()( 0p0kpkinncex EEEEWW 机 械 能 守 恒 按 照 功 能 原 理 ， 要 改 变 系 统 的 机 械 能 既 可 以 通过 外 力 对 系 统 做 功 ， 也 可 以 利 用 系 统 内 非 保 守 内 力做 功 。 前 者 是 外 界 同 系 统 间 的 能 量 交 换 ， 后 者 是 系统 内 部 机 械 能 之 间 的 转 换 。 很 多 情 况 下 系 统 的 机 械能 是 可 以 保 持 不 变 的 即 机 械 能 守 恒 。 机 械 能 守 恒 定律 是 能 量 转 换 和 守 恒 定 律 的 重 要 组 成 部 分 ， 是 自 然界 最 基 本 最 普 遍 的 规 律 之 一 。你 能 从 质 点 系 功 能 原 理 指 出机 械 能 守 恒 的 条 件 吗 ？想 一 想 机 械 能 守 恒 定 律当 0inncex WW 0EE 时 ， 有 只 有 保 守 内 力 作 功 的 情 况 下 ， 质 点 系 的 机械 能 保 持 不 变 。 pk EE )( 0pp0kk EEEE pk EEE 守 恒 定 律 的 意 义说 明 例 2.9 如 图 所 示 ， 质 量 为 m2的 板 上 连 接 放 置 一 劲 度 系数 为 k的 轻 质 弹 簧 ， 现 在 弹 簧 上 放 置 并 连 接 一 质 量 为m1的 板 ， 同 时 施 加 一 竖 直 向 下 的 外 力 F。 问 在 m1上 需要 加 多 大 的 压 力 F使 其 停 止 作 用 后 ， 恰 能 使 m1在 跳 起时 m2稍 被 提 起 。 弹 簧 的 质 量 忽 略 不 计 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是考 察 机 械 能 守 恒 定 律 的 理 解 应 用 。把 ， 弹 簧 和 地 球 看 作 一 个 系 统 ，则 从 弹 簧 被 压 缩 到 稍 被 提 起 整 个过 程 中 只 有 重 力 和 弹 性 力 做 功 ，即 只 有 保 守 内 力 做 功 ， 所 以 系 统机 械 能 守 恒 。 解 ： 取 弹 簧 的 原 长 处 O为 重 力 势 能 和 弹 性 势 能 的 零点 ， 并 以 此 点 为 坐 标 轴 的 原 点 ， 如 图 (a)。 当 在 弹簧 上 加 上 m1和 外 力 F后 ， 弹 簧 被 压 缩 到 y1处 ， 如 图(b)； 当 外 力 F撤 去 后 ， 弹 簧 伸 长 至 y2处 ， 如 图 (c)。在 此 过 程 中 ， 只 有 重 力 和 弹 性 力 做 功 ， 故 系 统 的 机械 能 守 恒 。 21221121 2121 gymkygymky (2)(1)由 图 (b)得 gmyyk 121 2)( 2111 kygmgmky gmkyF 11 把 (2)和 (3)代 入 (1)， 得 gmgmkygmF 2121 gmmF )( 21【 问 题 延 伸 】 本 题 如 果 把 和 弹 簧 组 成 系 统 ，把 地 球 排 除 在 外 ， 还 能 应 用 机 械 能 守 恒 吗 ？由 图 (c)可 知 ， 欲 使 跳离 地 面 ， 必 须 满 足 gmky 22 (3) 例 2.9.3 一 轻 弹 簧 ,其 一 端 系在 铅 直 放 置 的 圆 环 的 顶 点 P，另 一 端 系 一 质 量 为 m 的 小 球 ,小 球 穿 过 圆 环 并 在 环 上 运 动( =0)。 开 始 球 静 止 于 点 A，弹 簧 处 于 自 然 状 态 ， 其 长 为 环半 径 R; 30oPB R A当 球 运 动 到 环 的 底 端 点 B 时 ， 球 对 环 没 有 压 力 求弹 簧 的 劲 度 系 数 解 以 弹 簧 、 小 球 和 地 球为 一 系 统BA 只 有 保 守 内 力 做 功系 统 AB EE )30sin2(2121 o22 mgRkRm Bv RmmgkR B2v Rmgk 2取 点 B为 重 力 势 能 零 点 0pE30o PB R A 德 国 物 理 学 家 和 生 理学 家 。 于 1874年 发 表 了 论 力 (现 称 能 量 )守 恒 的 演 讲 ， 首 先 系 统 地 以 数学 方 式 阐 述 了 自 然 界 各 种运 动 形 式 之 间 都 遵 守 能 量守 恒 这 条 规 律 。 是 能 量 守恒 定 律 的 创 立 者 之 一 。亥 姆 霍 兹 (1821 1894) 能 量 守 恒 定 律 ： 对 一 个 与 自 然 界 无 任 何 联 系 的系 统 来 说 ,系 统 内 各 种 形 式 的 能 量 可 以 相 互 转 换 ， 但是 不 论 如 何 转 换 ， 能 量 既 不 能 产 生 ， 也 不 能 消 灭 。 （ 1） 生 产 实 践 和 科 学 实 验 的 经 验 总 结 ； （ 2） 能 量 是 系 统 状 态 的 函 数 ； （ 3） 系 统 能 量 不 变 ， 但 各 种 能 量 形 式 可 以 互 相转 化 ； （ 4） 能 量 的 变 化 常 用 功 来 量 度 。 力 的 累 积 效 应 EWF pIF ， 对 时 间 积 累对 空 间 积 累动 量 、 冲 量 、 动 量 定 理 、 动 量 守 恒动 能 、 功 、 动 能 定 理 、 机 械 能 守 恒第 三 节 动 量 和 冲 量 动 量 守 恒 定 律 一 、 冲 量 质 点 的 动 量 定 理1.动 量 v mp )( ddd v mptF tmtpF d(ddd )v 1212 21 d vv mmpptFtt 2.冲 量 （ 矢 量 ） 21 dtt tFI 做 一 做 试 推 导 冲 量 与 动 量 的 单 位 是 相 同 的 。 1221 d vv mmtFI tt tmtpF d(ddd )v 在 给 定 的 时 间 间 隔 内 ， 外 力 作 用 在 质 点 上 的 冲量 ， 等 于 质 点 在 此 时 间 内 动 量 的 增 量 。 动 量 定 理3.动 量 定 理 （ 1） 分 量表 示 yytt yy mmtFI 1221 d vv zztt zz mmtFI 1221 d vv xxtt xx mmtFI 1221 d vv 注 意（ 2） 冲 量 的 方 向 并 不 是 与 动 量 的 方 向 相 同 ， 而是 与 动 量 增 量 的 方 向 相 同 。 （ 3） 动 量 定 理 说 明 质 点 动 量 的 改 变 是 由 外 力 和 外力 作 用 时 间 两 个 因 素 ， 即 冲 量 决 定 的 。 注 意（ 4） 对 于 不 同 的 惯 性 系 ， 同 一 质 点 的 动 量不 同 ， 但 是 动 量 的 增 量 总 是 相 同 的 。 而 且力 F与 时 间 t都 与 参 考 系 无 关 ， 所 以 在 不同 的 惯 性 系 中 同 一 力 的 冲 量 相 同 。 由 此 可知 动 量 定 理 适 用 于 所 有 惯 性 系 。 而 在 非 惯性 系 中 只 有 添 加 了 惯 性 力 的 冲 量 之 后 动 量定 理 才 成 立 。 例 2.10 一 质 量 m=0.2kg， 速 度 为 v=6m/s的 弹 性 小球 与 墙 壁 碰 撞 后 跳 回 ， 设 跳 回 时 速 度 的 大 小 不 变 ，碰 撞 前 后 的 方 向 与 墙 壁 的 法 线 的 夹 角 都 是 =600，碰 撞 的 时 间 为 t=0.03s。 求 在 碰 撞 时 间 内 ， 球 对墙 壁 的 平 均 作 用 力 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 动 量 定 理的 应 用 。 注 意 在 碰 撞 前 后 动 量 方 向 的 变 化 。解 ： 以 球 为 研 究 对 象 ， 设 墙 壁 对 球 的 作 用 力为 ， 球 在 碰 撞 过 程 前 后 的 速 度 为 和 ，由 动 量 定 理 得 1v 2vF 12 vmvmtF 建 立 如 图 所 示 的 坐标 系 ， 则 上 式 写 成标 量 形 式 为 xxx mvmvtF 12 yyy mvmvtF 12 cos2)cos(cos mvmvmvtFx 即 0sinsin mvmvtFy tmvF x /cos2 因 而 0yF NFx 4003.0/60cos62.02 0 根 据 牛 顿 第 三 定 律 ， 球 对 墙 壁 的 作 用力 为 40N， 方 向 向 左 。【 问 题 延 伸 】 分 析 冲 力 的 方 向 和 小 球 受 力 的 方 向 。 质 点 系4.质 点 系 的 动 量 定 理 1m 2m12F 21F1F 2F 20222212 d)(21 vv mmtFFtt 10111121 d)(21 vv mmtFFtt 对 两 质 点 分 别 应 用 质 点动 量 定 理 ：问 题 二 一 对 内 力 的 冲 量 和 与它 们 做 功 之 和 对 系 统的 影 响 有 什 么 不 同 ？ )()(d)( 20210122112121 vvvv mmmmtFFtt 因 内 力 02112 FF 故 将 两 式 相 加 后 得 ：20222212 d)(21 vv mmtFFtt 10111121 d)(21 vv mmtFFtt ni iiini itt mmtF 1 01ex21 d vv 作 用 于 系 统 的 合 外 力 的 冲 量 等 于 系 统 动 量 的增 量 质 点 系 动 量 定 理 N21ex FFFF 01 01ex21 d ppmmtF ni iiini itt vv 0ppI 下 列 各 物 理 量 中 ， 与 参 照 系 有 关 的 物 理 量是 哪 些 ？ （ 不 考 虑 相 对 论 效 应 。 ） (1) 质 量 (2)动 量 (3) 冲 量 (4) 动 能 (5)势 能 (6)功答 动 量 、 动 能 、 功 。讨 论 （ 1） 区 分 外 力 和 内 力（ 2） 内 力 仅 能 改 变 系 统 内 某 个 物 体 的动 量 ， 但 不 能 改 变 系 统 的 总 动 量 。注 意 （ 3） F 为 恒 力 tFI （ 4） F 为 变 力 )(d 1221 ttFtFI tt F tt1 t2OF t 1 t2 tFO 注 意 1vm 2vmvm12 1212 21 d tt mmtt tFF tt vv 动 量 定 理 常 应 用 于 碰 撞 问 题 F 越 小 ， 则 越 大t F在 一 定 时p注 意 例 2.11 一 柔 软 链 条 长 为 l， 单 位 长 度 的质 量 为 ， 链 条 放 在 有 一 小 孔 的 桌 上 ，链 条 一 端 由 小 孔 稍 伸 下 ， 其 余 部 分 堆在 小 孔 周 围 。 由 于 某 种 扰 动 ,链 条 因 自身 重 量 开 始 下 落 。 m1 m2 Oy y求 链 条 下 落 速 度 v与 y之 间 的 关 系 。 设各 处 摩 擦 均 不 计 ， 且 认 为 链 条 软 得 可以 自 由 伸 开 。【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 动 量 定 理 的 应 用 。 以 下 落部 分 的 链 条 为 研 究 对 象 ， 分 析 其 所 受 合 外 力 及 动 量 变 化 即 可 。 解 以 竖 直 悬 挂 的 链 条 和 桌 面 上的 链 条 为 一 系 统 ， 建 立 坐 标 系由 质 点 系 动 量 定 理 得 ptF ddex yggmF 1ex则 )d(d vytyg tdd vyyg m1 m2 Oy y)d()(dd vv yyp 因 为 tdd vyyg 两 边 同 乘 以 则 yyd vvv yyyyyygy ddddd2 t v vvyy yyyyg 00 2 dd 21 32 gyv 23 2131 vygy m1 m2 Oy y 动 量 守 恒想 一 想 你 能 从 动 量 定 理 指 出 动 量 守 恒 的 条 件 吗 ？ i ii itt i i pptFI 0ex 0 d 质 点 系 动 量 定 理 若 质 点 系 所 受 的 合 外 力 0exex i iFF CpFtpF ,0,dd exex 动 量 守 恒 定 律则 系 统 的 总 动 量 不 变 (1) 系 统 的 总 动 量 不 变 ， 但 系 统 内 任 一 质 点的 动 量 是 可 以 变 化 的 。 (2) 守 恒 条 件 ： 合 外 力 为 零 。 0exex i iFF 当 时 ， 可 近 似 地 认 为 系 统 总 动 量 守 恒 。inex FF 注 意 (3)若 ， 但 满 足0exex i iFF 0 ex xFxi ix Cmp ixv有 xixi ixx CmpF v,0ex(4) 动 量 守 恒 定 律 是 物 理 学 最 普 遍 、 最 基 本 的定 律 之 一 。 yiy i iyy CmpF v,0ex zizi izz CmpF v,0ex 例 1 设 有 一 静 止 的 原 子 核 ， 衰变 辐 射 出 一 个 电 子 和 一 个 中 微 子后 成 为 一 个 新 的 原 子 核 。 已 知 电子 和 中 微 子 的 运 动 方 向 互 相 垂 直 ，且电 子 动 量 为 1.210-22 kg m s-1， 中 微 子 的 动 量为 6.410-23 kg m s-1 问 新 的 原 子 核 的 动 量 的值 和 方 向 如 何 ？ ep Npp(中 微 子 )(电 子 ) 解 0Ne ppp 122e smkg102.1 p 123 smkg104.6 p pp e )( 2122eN ppp 122 smkg1036.1 oe 9.61arctan pp图 中 ooo 1.1189.61180 或 ep Npp(中 微 子 )(电 子 ) xz yo xz ys sov v1m2m例 2 一 枚 返 回 式 火 箭 以 2.5103 m s-1 的 速 率 相对 惯 性 系 S沿 水 平 方 向 飞 行 。 空 气 阻 力 不 计 现 使火 箭 分 离 为 两 部 分 ,前 方 的 仪 器 舱 质 量 为 100 kg，后 方 的 火 箭 容 器 质 量 为 200 kg， 仪 器 舱 相 对 火 箭 容器 的 水 平 速 率 为 1.0103 m s-1。求 仪 器 舱 和 火 箭容 器 相 对 惯 性 系的 速 度 。 已 知 13 sm1052 .v 13 sm1001 .v求 ,1v 2v kg2002 mkg1001 m xz yo xz ys sov v1m2m 解 vvv 21 221121 )( vvv mmmm 131 sm10173 .v 13 sm10172 .mm m vvv 21 12 xz yo xz ys sov v 1m2m CpFF i i inex一 般 情 况 碰 撞1 完 全 弹 性 碰 撞系 统 内 动 量 和 机 械 能 均 守 恒2 非 弹 性 碰 撞系 统 内 动 量 守 恒 ， 机 械 能 不 守 恒3 完 全 非 弹 性 碰 撞系 统 内 动 量 守 恒 ， 机 械 能 不 守 恒 完 全 弹 性 碰 撞（ 五 个 小 球 质 量 全 同 ） 两 个 质 子 发 生 二 维 的 完 全 弹 性 碰 撞 例 1 宇 宙 中 有 密 度 为 的 尘 埃 ， 这 些 尘 埃 相 对惯 性 参 考 系 静 止 。 有 一 质 量 为 的 宇 宙 飞 船 以 初速 穿 过 宇 宙 尘 埃 ， 由 于尘 埃 粘 贴 到 飞 船 上 ， 使 飞 船的 速 度 发 生 改 变 。 求 飞船 的 速 度 与 其 在 尘 埃 中 飞 行时 间 的 关 系 。 (设 想 飞 船 的外 形 是 面 积 为 S 的 圆 柱 体 ）0v 0m vm 解 尘 埃 与 飞 船 作 完 全 非 弹 性 碰 撞vv mm 00 vv v d2 00m tSm dd v t tm S 0003 dd0 vvvvv 02100 0 )2( vvv mtS m vm 例 2 设 有 两 个 质 量 分 别为 和 ， 速 度 分 别 为 和 的 弹 性 小 球 作 对 心 碰 撞 ，两 球 的 速 度 方 向 相 同 。 若 碰 撞是 完 全 弹 性 的 ， 求 碰 撞 后 的 速度 和 。20v 2m1m 10v 1v 2v 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B 碰 前碰 后 解 取 速 度 方 向 为 正 向 , 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 22221122022101 21212121 vvvv mmmm )()( 220222212101 vvvv mm 2211202101 vvvv mmmm 由 动 量 守 恒 定 律 得 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B 碰 前碰 后(2)()( 20221101 vvvv mm (1) 21 20210211 2)( mm mmm vvv 21 10120122 2)( mm mmm vvv 由 （ 1） 、 （ 2） 可 解 得 ：202110 vvvv 122010 vvvv (3)由 （ 1） 、 （ 3） 可 解 得 ： 1v 2vA1 m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后 （ 1） 若 21 mm 则 102201 vvvv ，则 0 2101 vvv ，讨 论 12 mm （ 3） 若 ,且 0 20v 102101 2 vvvv ，则（ 2） 若 0 20v12 mm ,且 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后 三 、 火 箭 运 动 的 微 分 方 程1.火 箭 运 动 方 程 假 设 在 t时 刻 ， 火 箭 燃 料 系 统 （ 简 称 系 统 ）的 质 量 为 M， 它 相 对 于 某 一 选 定 的 惯 性 参 考 系（ 如 地 球 ） 的 速 度 为 v， 在 tt+t时 间 间 隔 内 ，有 质 量 为 m 的 燃 料 变 为 气 体 ， 并 以 速 度 u相 对 火箭 喷 射 出 去 。 在 时 刻 t+t火 箭 相 对 选 定 的 惯 性 参考 系 的 速 度 为 ， 而 燃 烧 气 体 粒 子 相 对 选 定 的 惯 性参 考 系 的 速 度 则 为 v +v+u。 muvMtpttpp 时 刻 t,系 统 的 动 量 为 vMtp 在 时 刻 t+t,系 统 的 动 量 为 uvvmvvmMttp 系 统 动 量 的 增 量 为 dtdMudtvdMdtpdF dtdMuFdtvdM 火 箭 方 程 例 2.12水 平 光 滑 铁 轨 上 有 一 车 ，长 度 为 l， 质 量 为 m2， 车 的 一端 有 一 人 （ 包 括 所 骑 自 行 车 ） ，质 量 为 m1， 人 和 车 原 来 都 静止 不 动 。 当 人 从 车 的 一 端 走 到另 一 端 时 ， 人 、 车 各 移 动 了 多少 距 离 ？【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 动 量 守 恒 。以 人 和 车 为 系 统 ， 在 水 平 方 向 上 不 受 外 力 作 用 ，故 动 量 守 恒 。 解 ： m1v1-m2v2=0 或 v2=m1v1/m2人 相 对 于 车 的 速 度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2设 人 在 时 间 t内 从 车 的 一 端 走 到 另 一 端 ， 则 有 ttt dtvm mmdtvm mmudtl 0 12 210 12 210在 这 段 时 间 内 人 相 对于 地 面 的 位 移 为 lmm mdtvx t 21 20 11 小 车 相 对 于 地 面 的 位 移 为 lmm mxlx 21 112 【 问 题 延 伸 】 本 题 如 果 改 成 人 在 车 上 绕 了 一圈 又 回 到 原 处 ， 会 是 什 么 结 果 ？ 例 2.13 一 长 为 l， 密 度 均 匀 的 柔 软 链 条 ，其 单 位 长 度 的 密 度 为 。 将 其 卷 成 一 堆放 在 地 面 上 。 若 手 握 链 条 的 一 端 ， 以 匀速 v将 其 上 提 。 当 绳 端 提 离 地 面 的 高 度为 x时 ， 求 手 的 提 力 。 【 知 识 点 和 思 路 】 本 题 知 识 点 是 考 察 动 量 定 理 ，是 以 动 量 定 理 微 分 形 式 表 示 牛 顿 第 二 定 律 。 手的 提 力 是 被 提 起 链 条 的 重 力 与 其 动 量 变 化 率 之和 。 解 ： 取 地 面 为 惯 性 参 考 系 ， 地 面 上 一 点 为 坐 标 原 点O， 竖