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机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 高 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 第 七 节 二 、 线 性 齐 次 方 程 解 的 结 构 三 、 线 性 非 齐 次 方 程 解 的 结 构 *四 、 常 数 变 易 法 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 举 例 第 十 二 章 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 举 例 当 重 力 与 弹 性 力 抵 消 时 , 物 体 处 于 平 衡 状 态 , 例 1. 质 量 为 m的 物 体 自 由 悬 挂 在 一 端 固 定 的 弹 簧 上 ,力 作 用 下 作 往 复 运 动 , xx o解 : 阻 力 的 大 小 与 运 动 速 度下 拉 物 体 使 它 离 开 平 衡 位 置 后 放 开 , 若 用 手 向物 体 在 弹 性 力 与 阻取 平 衡 时 物 体 的 位 置 为 坐 标 原 点 ,建 立 坐 标 系 如 图 . 设 时 刻 t 物 位 移 为 x(t).(1) 自 由 振 动 情 况 .弹 性 恢 复 力 物 体 所 受 的 力 有 :(虎 克 定 律 )xcf 成 正 比 , 方 向 相 反 .建 立 位 移 满 足 的 微 分 方 程 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 据 牛 顿 第 二 定 律 得 txxctxm dddd 22 ,2 mck ,2 mn 令 则 得 有 阻 尼 自 由 振 动 方 程 :0dd2dd 222 xktxntx阻 力 txR dd(2) 强 迫 振 动 情 况 .若 物 体 在 运 动 过 程 中 还 受 铅 直 外 力作 用 ，tpHF sin ，令 mh H 则 得 强 迫 振 动 方 程 :tphxktxntx sindd2dd 222 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 求 电 容 器 两 两 极 板 间 电 压 0dd iRCqtiLE例 2. 联 组 成 的 电 路 , 其 中 R , L , C 为 常 数 , ,sin tEE m 所 满 足 的 微 分 方 程 .cu提 示 : 设 电 路 中 电 流 为 i(t), L ER KCq q i上 的 电 量 为 q(t) , 自 感 电 动 势 为 ,LE由 电 学 知 ,ddtqi ,CquC tiLEL dd根 据 回 路 电 压 定 律 :设 有 一 个 电 阻 R , 自 感 L ,电 容 C 和 电 源 E 串极 板 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 闭 合 回 路 中 , 所 有 支 路 上 的 电 压 降 为 0 LCLR 1,2 0 令 tLCEututu mCCC sindd2dd 2022 串 联 电 路 的 振 荡 方 程 :如 果 电 容 器 充 电 后 撤 去 电 源 ( E = 0 ) , 则 得0dd2dd 2022 CCC ututu L ER KCq q i22dd tuCL C tuCR Cdd Cu tEm sin 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 化 为 关 于 cu 的 方 程 : ,dd tuCi C注 意 故 有 n 阶 线 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为方 程 的 共 性 为 二 阶 线 性 微 分 方 程 . 例 1 例 2 ,)()()( xfyxqyxpy 可 归 结 为 同 一 形 式 : )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn 时 , 称 为 非 齐 次 方 程 ; 0)( xf 时 , 称 为 齐 次 方 程 .复 习 : 一 阶 线 性 方 程 )()( xQyxPy 通 解 : xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)( 非 齐 次 方 程 特 解齐 次 方 程 通 解 Y y0)( xf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( 11 yCxP )( 11 yCxQ 0 证 毕二 、 线 性 齐 次 方 程 解 的 结 构)(),( 21 xyxy若 函 数 是 二 阶 线 性 齐 次 方 程0)()( yxQyxPy的 两 个 解 ,也 是 该 方 程 的 解 .证 : )()( 2211 xyCxyCy 将 代 入 方 程 左 边 , 得 11 yC 22yC 22yC 22yC)()( 1111 yxQyxPyC )()( 2222 yxQyxPyC (叠 加 原 理 ) )()( 2211 xyCxyCy 则 ),( 21 为 任 意 常 数CC定 理 1. 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 不 一 定 是 所 给 二 阶 方 程 的 通 解 .例 如 , )(1 xy 是 某 二 阶 齐 次 方 程 的 解 ,)(2)( 12 xyxy 也 是 齐 次 方 程 的 解 )()2()()( 1212211 xyCCxyCxyC 并 不 是 通 解但 是 )()( 2211 xyCxyCy 则为 解 决 通 解 的 判 别 问 题 , 下 面 引 入 函 数 的 线 性 相 关 与 线 性 无 关 概 念 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 义 : )(,),(),( 21 xyxyxy n设 是 定 义 在 区 间 I 上 的 n 个 函 数 , , 21 nkkk 使 得Ixxykxykxyk nn ,0)()()( 2211 则 称 这 n个 函 数 在 I 上 线 性 相 关 , 否 则 称 为 线 性 无 关 .例 如 ， ,sin,cos,1 22 xx 在 ( , )上 都 有0sincos1 22 xx故 它 们 在 任 何 区 间 I 上 都 线 性 相 关 ;又 如 ， ,1 2xx 若 在 某 区 间 I 上 ,02321 xkxkk则 根 据 二 次 多 项 式 至 多 只 有 两 个 零 点 , 321 , kkk必 需 全 为 0 , 可 见2,1 xx故 在 任 何 区 间 I 上 都 线 性 无 关 .若 存 在 不 全 为 0 的 常 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 两 个 函 数 在 区 间 I 上 线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 充 要 条 件 :)(),( 21 xyxy 线 性 相 关 存 在 不 全 为 0 的 21,kk 使0)()( 2211 xykxyk 1221 )( )( kkxy xy ( 无 妨 设 )01 k)(),( 21 xyxy 线 性 无 关 )( )(21 xy xy 常 数思 考 : )(),( 21 xyxy若 中 有 一 个 恒 为 0, 则 )(),( 21 xyxy必 线 性 相 关 0)()( )()( 21 21 xyxy xyxy (证 明 略 )21, yy可 微 函 数 线 性 无 关 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 2. )(),( 21 xyxy若 是 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 两 个 线性 无 关 特 解 , 则 )()( 2211 xyCxyCy 数 ) 是 该 方 程 的 通 解 .例 如 , 方 程 0 yy 有 特 解 ,cos1 xy ,sin2 xy 且常 数 , 故 方 程 的 通 解 为xCxCy sincos 21 (自 证 ) 推 论 . nyyy , 21 若 是 n 阶 齐 次 方 程 0)()()( 1)1(1)( yxayxayxay nnnn 的 n 个 线 性 无 关 解 , 则 方 程 的 通 解 为 )(11 为 任 意 常 数knn CyCyCy xy tan2 1y 为 任 意 常21,( CC 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 线 性 非 齐 次 方 程 解 的 结 构 )(* xy设 是 二 阶 非 齐 次 方 程的 一 个 特 解 , )(*)( xyxYy Y (x) 是 相 应 齐 次 方 程 的 通 解 ,定 理 3. )()()( xfyxQyxPy 则是 非 齐 次 方 程 的 通 解 .证 : 将 )(*)( xyxYy 代 入 方 程 左 端 , 得)*( yY )*()( yYxP )*)(*)(*( yxQyxPy )()( YxQYxPY )(0)( xfxf )*()( yYxQ 复 习 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(*)( xyxYy 故 是 非 齐 次 方 程 的 解 , 又 Y 中 含 有两 个 独 立 任 意 常 数 ,例 如 , 方 程 xyy 有 特 解 xy *xCxCY sincos 21 对 应 齐 次 方 程 0 yy 有 通 解因 此 该 方 程 的 通 解 为 xxCxCy sincos 21 证 毕因 而 也 是 通 解 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 4. ),2,1()( nkxyk 设 分 别 是 方 程的 特 解 , 是 方 程 ),2,1()()()( nkxfyxQyxPy k nk kyy 1则 )()()( 1 xfyxQyxPy nk k的 特 解 . (非 齐 次 方 程 之 解 的 叠 加 原 理 ) 定 理 3, 定 理 4 均 可 推 广 到 n 阶 线 性 非 齐 次 方 程 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 5. )(,),(),( 21 xyxyxy n设 是 对 应 齐 次 方 程 的 n 个 线 性)(*)()()( 2211 xyxyCxyCxyCy nn 无 关 特 解 , 给 定 n 阶 非 齐 次 线 性 方 程 )()()( )1(1)( xfyxayxay nnn )()( xyxY )(* xy 是 非 齐 次 方 程 的 特 解 , 则 非 齐 次 方 程的 通 解 为齐 次 方 程 通 解 非 齐 次 方 程 特 解 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 常 数 , 则 该 方 程 的 通 解 是 ( ). 321 , yyy设 线 性 无 关 函 数 都 是 二 阶 非 齐 次 线性 方 程 )()()( xfyxQyxPy 的 解 , 21,CC 是 任 意;)( 32211 yyCyCA ;)()( 3212211 yCCyCyCB ;)1()( 3212211 yCCyCyCC .)1()( 3212211 yCCyCyCD D例 3.提 示 : 3231 , yyyy 都 是 对 应 齐 次 方 程 的 解 ,二 者 线 性 无 关 . (反 证 法 可 证 ) 3322311 )()()( yyyCyyCC (89 考 研 )3322311 )()()( yyyCyyCD 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 已 知 微 分 方 程 )()()( xfyxqyxpy 个 解 , 2321 xx eyeyxy 求 此 方 程 满 足 初 始 条 件3)0(,1)0( yy 的 特 解 .解 : 1312 yyyy 与 是 对 应 齐 次 方 程 的 解 , 且 xe xeyy yy xx213 12 常 数因 而 线 性 无 关 , 故 原 方 程 通 解 为 )()( 221 xeCxeCy xx x代 入 初 始 条 件 ,3)0(,1)0( yy ,2,1 21 CC得.2 2 xx eey 故 所 求 特 解 为 有 三 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 *四 、 常 数 变 易 法复 习 : 常 数 变 易 法 : )()( xfyxpy 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 : )(1 xyCy xxpexy d)(1 )(设 非 齐 次 方 程 的 解 为 )(1 xyy 代 入 原 方 程 确 定 ).(xu对 二 阶 非 齐 次 方 程 )()()( xfyxQyxPy 情 形 1. 已 知 对 应 齐 次 方 程 通 解 : )()( 2211 xyCxyCy 设 的 解 为 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv )(),( 21 待 定xvxv由 于 有 两 个 待 定 函 数 , 所 以 要 建 立 两 个 方 程 : )(xu 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2211 vyvyy 2211 vyvy , 21 vvy 中 不 含为 使 令 02211 vyvy于 是 22112211 vyvyvyvyy 将 以 上 结 果 代 入 方 程 : 2211 vyvy 1111 )( vyQyPy )()( 2222 xfvyQyPy 得 )(2211 xfvyvy 故 , 的 系 数 行 列 式021 21 yy yyW 21,yy 是 对 应齐 次 方 程 的 解, 21 线 性 无 关因 yy P10 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 fyWvfyWv 1221 1,1 积 分 得 : )(),( 222111 xgCvxgCv 代 入 即 得 非 齐 次 方 程 的 通 解 : )()( 22112211 xgyxgyyCyCy 于 是 得 说 明 : 将 的 解 设 为 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv只 有 一 个 必 须 满 足 的 条 件 即 方 程 , 因 此 必 需 再 附 加 一 个 条 件 , 方 程 的 引 入 是 为 了 简 化 计 算 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 情 形 2. ).(1 xy仅 知 的 齐 次 方 程 的 一 个 非 零 特 解 ,)()( 1 xyxuy 令 代 入 化 简 得 uyPyuy )2( 111 uyQyPy )( 111 fuz 令 fzyPyzy )2( 111设 其 通 解 为 )()(2 xzxZCz 积 分 得 )()(21 xuxUCCu (一 阶 线 性 方 程 )由 此 得 原 方 程 的 通 解 : )()()()()( 11211 xyxuxyxUCxyCy 代 入 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 0)1( yyxyx 的 通 解 为,21 xeCxCY 的 通 解 .解 : 将 所 给 方 程 化 为 : 1111 xyxyxxy已 知 齐 次 方 程求 2)1()1( xyyxyx ),()( 21 xvexvxy x令 利 用 , 建 立 方 程 组 : 021 vevx x 121 xvev x ,1 21 xexvv 解 得 积 分 得 xexCvxCv )1(, 2211故 所 求 通 解 为 )1( 221 xxeCxCy x )1( 221 xeCxC x , 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 6. 42 )()2( xyyxxyx 求 方 程 的 通 解 .解 : 对 应 齐 次 方 程 为 0)()2(2 yyxxyx由 观 察 可 知 它 有 特 解 : ,1 xy 令 ,)(xuxy 代 入 非 齐 次 方 程 后 化 简 得xuu 此 题 不 需 再 作 变 换 . 特 征 根 : ,1,0 rr设 的 特 解 为 )( BAxxu 于 是 得 的 通 解 : )( 22121 xxeCCu x 故 原 方 程 通 解 为 (二 阶 常 系 数 非 齐 次 方 程 ) 代 入 可 得 : 1,21 BA )( 232121 xxexCxCuxy x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习 P300 题 1, 3, 4(2), (5) 作 业 P 301 *6, *8 第 八 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束