状态重构与状态观测器的设计

5.4 状 态 重 构 与 状态 观 测 器 的 设 计 5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 v一 .状 态 重 构 1.问 题 ： 为 了 实 现 状 态 反 馈 ， 必 须 获 取 系 统 的 全 部 状 态 的 信息 。 但 在 实 际 的 工 程 系 统 中 并 不 是 所 有 的 状 态 信 息 都 能 检测 到 。x 2.重 构 ： 重 新 构 造 一 个 新 的 系 统 。 新 系 统 是 以 控 制 u和 原 系 统中 能 直 接 量 测 到 的 信 号 y作 为 输 入 ， 而 它 的 输 出 是 系 统 状 态 x的 估 计 ， 用 表 示 。 在 一 定 条 件 下 能 与 原 系 统 的 状 态 x保 持 相 等 。 通 常 称 为 x的 重 构 状 态 ， 而 称 这 个 用 以 实 现 重 构 状态 的 新 系 统 为 状 态 观 测 器 。x x 5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 v 二 .全 维 状 态 观 测 器 设 计 1.全 维 状 态 观 测 器 ： 若 系 统 的 全 部 状 态 都 是 通 过 观 测 器 重 构 的 ， 则 称 这 种 观 测 器为 全 维 状 态 观 测 器 。 0, (0) , 0t x Ax Bu x x2.结 构 与 数 学 描 述 ： n维 完 全 能 观 测 的 受 控 系 统 x不 能 直 接 量 测 ， 输 入 u和 输 出 y均 可 直 接 量 测y Cx 图 5-5 开 环 全 维 状 态 观 测 器 0 , (0) , 0 t x Ax Bu x xy Cx(1) 开 环 观 测 器 问 题 ： 由 于 两 系 统 的 初 始 状 态 的 差 异 ， 外 界 或 内部 的 噪 声 干 扰 影 响 等 因 素 ， 都 无 法 使 估 计 的 状 态 准 确 ， 必 然 会 存 在 估 计 误 差 x x x5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 (2)闭 环 观 测 器 ： 利 用 反 馈 控 制 原 理 ， 利 用 误 差 反 馈 ， 对 观 测 器 校 正 ， 构 成 一 个 闭 环 状 态 观 测 器 。 y y y状 态 方 程 ： ( ) ( ) x Ax Bu Gy Ax Bu GC x x A GC x Bu Gy特 征 多 项 式 ： ( ) det ( )f I A GC 5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 y y y v3.误 差 分 析v 误 差 方 程 上 式 齐 次 线 性 微 分 方 程 式 的 解 ： ( ) ( ) ( )( ) ( ) x x x Ax GCx Bu GCx Ax BuA x x GC x x A GC x x A GC x5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 ( ) 0 0 0 0 0, , 0te t A GCx x x x x 0 0 x 0 x x xlimt 0 x ( )tx ( )tx表 明 : 1初 始 状 态 相 同 时 ， 即 时 ， 状 态 估 计 误 差 ， 2初 始 状 态 不 同 时 ， 只 要 (A GC)是 稳 定 矩 阵 ， 一 定 可 以 做 到 使 , 即 将 收 敛 到 。 3若 (A GC)的 特 征 值 可 以 任 意 配 置 ， 状 态 估 计 误 差 趋 于 零 的 速 度 也 就 可 以 任 意 选 择 . v3. 全 维 状 态 观 测 器 极 点 任 意 配 置 条 件定 理 5-4 可 用 图 5-6所 示 的 结 构 ， 设 计 全 维 状 态 观 测器 ， 重 构 出 系 统 所 有 的 状 态 ， 并 且 观 测 器 的 极 点 可以 任 意 配 置 的 充 分 必 要 条 件 是 系 统 完 全 能 观 测 。5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 4. 设 计 反 馈 矩 阵 G（ 1） 按 照 极 点 配 置 的 方 法（ 2） 极 点 选 取 ： 若 是 选 得 离 虚 轴 愈 远 ， 状 态 误 差 趋于 零 的 速 度 就 愈 快 。 过 于 远 离 虚 轴 则 状 态 观 测 器 的频 带 过 宽 ， 将 降 低 状 态 观 测 器 抗 高 频 干 扰 的 性 能 。5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 v 例 5-3 已 知 线 性 定 常 系 统 的 状 态 方 程 及 输 出 方 程 为 其 中 试 确 定 反 馈 矩 阵 G， 将 观 测 器 的 极 点 配 置 在 上 。 x Ax Buy Cx 1 0 0 10 2 1 , 0 , 1 1 00 0 2 1 A B C 1 2 33, 4, 5s s s 5.4 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 解 根 据 给 定 的 受 控 系 统 ， 求 得 能 观 测 性 矩 阵 及 能 控 性 矩 阵 的 秩 为 可 见 ， 系 统 即 完 全 能 控 、 又 完 全 能 观 测 。 因 此 ， 可 通 过 反 馈 矩 阵 G的 适 当 选 择 ， 满 足 状 态 观 测 器 的 极 点 配 置 要 求 。2 1 1 01 2 1 31 4 4rank rank CCACA 2 1 1 10 1 4 31 2 4rank rank B AB A B 设 ； 则 观 测 器 的 系 统 矩 阵 321ggg G 3 3 32 2 21 1 11 0 0 1 00 2 1 1 1 0 2 10 0 2 2g g gg g gg g g A GC 3 2( ) ( 3)( 4)( 5) 12 47 60 0s s s s s s s I A GC根 据 极 点 配 置 要 求 ， 状 态 观 测 器 应 具 有 的 期 望 特 征 方 程 为3 32 21 13 23 2 3 2 1 3 2 1(1 ) 0( ) (2 ) 12( 5) ( 4 3 8) (4 2 4) 0s g gs g s gg g ss g g s g g g s g g g I A GC 根 据 系 统 矩 阵 求 出 状 态 观 测 器 的 特 征 方 程 为 所 以解 之 ， 求 出 3 23 2 13 2 15 124 3 8 474 2 4 60g gg g gg g g 120103210 G 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计 例 已 知 （ 1） 设 计 一 个 具 有 特 征 值 为 -3， -4， -5的 全维 状 态 观 测 器 （ 2） 状 态 观 测 器 的 状 态 方 程. 1 2 3 20 1 1 01 0 1 1x ux 解 （ 1） 能 观 2c ccAcA 3crank 1 2 3 TG g g g 1 22 23 31 2 3( ) 1 11 1g gf I A Gc g gg g 3 21 2 1 3 1 2 3( 3) (2 2 6) (2 2 4 6)g g g g g g g （ 2） 设 反 馈 阵 （ 4） 状 态 观 测 器 的 状 态 方 程. ( )A Gc Bu Gyx x 25 27 2332 2 225 3 51 02 2 2110 9 1 9u yx 11 21 3 21 2 3 3 23 232 23 12 5 52 2 6 47 2 22 2 4 6 60 9 9gg gg g g Gg g g g * 3 2( ) ( 3)( 4)( 5) 12 47 60f s s s s s s （ 3） 期 望 三 分 离 定 理 1.问 题 ： 能 控 、 能 观 测 性 的 受 控 系 统 ， 若 状 态 不 可 量 测 ，观 测 器 引 入 后 ， 是 否 会 影 响 状 态 反 馈 矩 阵 的 设 计 ？ 状 态反 馈 是 否 会 影 响 观 测 器 的 极 点 ？2.分 析 带 状 态 观 测 器的 状 态 反 馈 系 统（ 1） 观 测 器 ( ) x A GC x Bu Gyy Cx （ 2） 反 馈 控 制 律 u v Kx ( ) x A GC x（ 4） 同 时 , 观 测 器 的 状 态 误 差 方 程( ) ( ) ( )t t t x x x( ) + + x A BK x BKx Bv 定 义 误 差 ： ,上 式 变 为 ： = =( ) ( ) x Ax BKx Bv A BK x BK x x Bv（ 3） 闭 环 系 统 的 状 态 方 程 ： （ 7） 闭 环 极 点 ： (A-BK)的 极 点 和 (A-GC)的 极 点 之 和 ， 两 者 相 互 独 立 ， 互 不 影 响 ， 可 分 别 进 行 设 计 。 0 I A BK I A GC 0 0I A BK BKI A GC（ 6） 特 征 方 程（ 5） 上 两 式 合 并 0 x A BK BK x B vx A GC x 0- v定 理 5-5 分 离 定 理 若 受 控 系 统 能 控 能 观 测 ， 用 状 态 观 测 器重 构 状 态 形 成 状 态 反 馈 时 ， 其 系 统 的 极 点 配 置 和 观测 器 的 设 计 可 分 别 独 立 进 行 。2.性 能 指 标 要 求 设 计 （ 1） 按 系 统 的 性 能 指 标 要 求 ， 由 状 态 反 馈 选 择 产 生的 期 望 闭 环 极 点 。 （ 2） 观 测 器 的 极 点 选 择 ： 观 测 器 的 响 应 比 系 统 的 响应 快 得 多 。 一 个 经 验 法 则 是 观 测 器 的 响 应 速 度 比 系统 响 应 速 度 快 25倍 。 v例 5-4 设 受 控 系 统 的 传 递 为 ，v 用 状 态 反 馈 将 闭 环 极 点 配 置 为 4 j6， 并 设 计 实现 上 述 反 馈 的 全 维 状 态 观 测 器 。 设 观 测 器 极 点 为 10， 10 1( ) ( 6)G s s s 解 由 传 递 函 数 可 知 ， 系 统 具 有 能 控 能 观 测 性 ， 因 而 存 在状 态 反 馈 控 制 器 及 状 态 观 测 器 ， 根 据 分 离 定 理 可 分 别 进 行 设计 。 求 状 态 反 馈 阵 K。 为 方 便 观 测 器 设 计 ， 可 直 接 将 系 统的 状 态 空 间 描 述 写 为 能 观 测 标 准 形 。 令 ， 得 闭 环 系 统 矩 阵0 0 11 6 0 x x u 0 1y x 2 1k kK 2 12 10 0 11 6 0 1 6k kk k A bK * 2( ) ( 4 6 )( 4 6 ) 8 52f j j 22 16 86 52kk k 2 40K解 之期 望 2 122 1 2 2 1( ) det ( ) det 1 6( )( 6) (6 ) 6k kf k k k k k I A bK闭 环 系 统 的 特 征 多 项 式 求 全 维 状 态 观 测 器 : 21gg G 2 21 100 0 0 1 1 61 6 g gg g A GC 2 12 1 2det ( ) det 1 6(6 ) g gg g I A GC* 2 2( ) ( 10) 20 100f 10014 G 令 带 状 态 观 测 器 的 状 态 反 馈 系 统 设 计例 6-10： 给 定 系 统（ 1） 确 定 一 个 状 态 反 馈 增 益 阵 K， 使 闭 环 极 点 为 -3，（ 2） 确 定 一 个 全 维 状 态 观 测 器 ， 使 观 测 器 的 特 征 值 均 为 -5（ 3） 画 出 闭 环 系 统 的 结 构 图 （ 带 观 测 器 的 状 态 反 馈 闭 环 系 统 ）（ 4） 求 闭 环 函 数 1( ) ( 1)( 2)G S s s s 1 32 2j 解 ： f(s)=s(s+1)(s+2)= 系 统 按 能 控 标 准 形 实 现 ， 得 系 统 能 控3 23 2s s s . 0 1 0 00 0 1 00 2 3 1x ux 1 0 0y x * 3 21 3 1 3( ) ( 3)( )( ) 4 4 32 2 2 2f s s s j s j s s s 1 2 3K k k k 3 23 2 1( ) (3 ) (2 )f s s k s k s k 123 32 4 3 2 13 4kk Kk （ 2） 期 望（ 3） 引 入 状 态 反 馈 则 应 有 状 态 重 构 与 状 态 观 测 器 的 设 计（ 二 ） 设 计 状 态 观 测 器 （ 1）（ 2） * 3 3 2( ) ( 5) 15 75 125f s s s s s 1 2 3 TG g g g 1 23 1 0( ) ( ) 12 2s gf s SI A Gc g sg s 3 21 1 2 1 2 3( 3) (3 2) (2 3 )s g s g g s g g g 11 21 2 33 15 123 2 75 372 3 125 10gg g Gg g g （ 3） 比 较 系 数 得 （ 三 ） 闭 环 传 函 ： 1( ) ( )G s C sI A BK B 组 合 系 统 传 函 不 变 性 ： 观 测 器 不 改 变 原 闭 环 系 统 的 传 函 1 3 2( ) ( )1 =s +4s +4s+3G s c sI A bK b