中考数学总复习 专题三 解答题重难点题型突破 题型二 几何图形探究题 类型1 与三角形、四边形有关的探究题课件.ppt

专题三 解答题重难点题型突破 辽宁专用 题型二 几何图形探究题 类型 1 与三角形、四边形有关的探究题 【 例 1】 (2016抚顺 )如图 ， 在 ABC中 ， BC AC， 点 E在 BC上 ， CE CA， 点 D在 AB上 ， 连接 DE， ACB ADE 180 ， 作 CH AB， 垂足为 H. (1)如图 ， 当 ACB 90 时 ， 连接 CD， 过点 C作 CF CD交 BA的延长线于点 F. 求证： FA DE； 请猜想三条线段 DE、 AD、 CH之间的数量关系 ， 直接写出结论； (2)如图 ， 当 ACB 120 时 ， 三条线段 DE、 AD、 CH之间存在怎样的数量关 系？请证明你的结论 【 分析 】 (1) 要证明 AF DE， 需证明 CAF CED， 结合 CE CA， 再证 明 F CDE， ACF ECD即可；由得到 AF DE， 从而只需判断 FD 和 CH的数量关系 ， 再根据 CF CD， CF CD， CH DF， 即可得出结论； (2)通过构造顶角为 120 的等腰三角形 ， 确定其底边上的高与底边的数量关系 ， 即可得出结论 (1) 证明： ACB ADE 180 ， CAD CED 360 180 180 ， CAD CAF 180 ， CAF CED， CF CD， ACB 90 ， ACB DCF 90 ， ACF DCE 90 ACD， CA CE ， AFC EDC(ASA)， FA DE； DE AD 2CH； (2) 解：三角线段 DE 、 AD 、 CH 之间的数量关系 是： DE AD 2 3 CH. 证明：如图 ， 延长 BA 到点 F ， 使 AF DE ， 连接 CF 、 CD. ACB ADE 180 ， CA D CED 360 180 180 ， CAD CAF 180 ， CAF CED . AC CE ， AF DE ， AFC EDC ( SAS ) ， CF CD ， ACF ECD ， FCD ACF ACD ECD ACD ACB 120 ， CF CD ， CH DF ， FH DH 1 2 DF 1 2 (DE AD) ， HCD 1 2 FCD 60 ， tan HCD DH CH 3 ， DH 3 CH ， DE AD 2DH 2 3 CH. 【 方法指导 】 辽宁中考中关于三角形、四边形的探究题常涉及线段的数量关系的探究 ， 方法如下： 1 探究两条线段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系 ， 则考虑利用特殊 三角形、全等三角形、特殊四边形的性质进行求解； 2 探究三条线段的数量关系： (1)一般将其中两条线段的和 (或差 )转化为另一条 线段的长 ， 即通过证明三角形全等得出两条线段相等 ， 将要求得三条线段的数量关 系转化为两条线段的数量关系； (2)找线段所在三角形是否是特殊三角形 ， 进而根据 特殊三角形的性质找到一条线段与另一条线段之间的关系；或所涉及的线段在特殊 四边形中 ， 考虑利用特殊四边形的性质进行求解 对应训练 1 (2016杭州 )在线段 AB的同侧作射线 AM和 BN， 若 MAB与 NBA的平分线 分别交射线 BN， AM于点 E， F， AE和 BF交于点 P.如图 ， 点点同学发现当射线 AM ， BN交于点 C；且 ACB 60 时 ， 有以下两个结论： APB 120 ； AF BE AB.那么 ， 当 AM BN时： (1)点点发现的结论还成立吗？若成立 ， 请给予证明；若不成立 ， 请求出 APB 的度数 ， 写出 AF， BE， AB长度之间的等量关系 ， 并给予证明； (2)设点 Q为线段 AE上一点 ， QB 5， 若 AF BE 16， 四边形 ABEF的面积为 32 ， 求 AQ的长 解： (1) 原命题不成立 ， 新结论为： APB 90 ， AF BE 2A B( 或 AF BE AB) ， 证明： AM BN ， MAB NBA 180 ， AE ， BF 分别平分 MAB ， NBA ， EAB 1 2 MAB ， FBA 1 2 NBA ， EAB FBA 1 2 ( MAB NBA) 90 ， APB 90 ， AE 平分 MAB ， MAE BAE ， AM BN ， MAE BAE ， BAE BEA ， AB BE ， 同理： AF AB ， AF BE 2AB( 或 AF BE AB) ； (2) 如图 ， 过点 F 作 FG AB 于 G ， 连接 FE. AF BE ， AF BE ， 四边形 AB EF 是平行四边形 ， AF BE 16 ， AB AF BE 8 ， 32 3 8 FG ， FG 4 3 ， 在 Rt F AG 中 ， AF 8 ， F AG 60 ， 当点 G 在 线段 AB 上时 ， F AB 60 ， 当点 G 在线段 BA 延长线时 ， F AB 120 ， 如图 ， 当 F AB 60 时 ， P AB 30 ， PB 4 ， PA 4 3 ， BQ 5 ， BP A 90 ， PQ 3 ， AQ 4 3 3 或 AQ 4 3 3. 如图 ， 当 F AB 1 20 时 ， P AB 60 ， FBG 30 ， PB 4 3 ， PB 4 3 5 ， 线段 AE 上不存在符合条件的点 Q ， 当 F AB 60 时 ， AQ 4 3 3 或 4 3 3. 2.(2016临沂 )如图 ， 在正方形 ABCD中 ， 点 E， F分别是边 BC， AB上的点 ， 且 CE BF.连接 DE， 过点 E作 EG DE， 使 EG DE， 连接 FG， FC. (1)请判断： FG与 CE的数量关系是 ， 位置关系是 ； (2)如图 ， 若点 E， F分别是边 CB， BA延长线上的点 ， 其他条件不变 ， (1)中结 论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图 ， 若点 E， F分别是边 BC， AB延长线上的点 ， 其他条件不变 ， (1)中结 论是否仍然成立？请直接写出你的判断 FG CE FG CE 解： (2) 如图 ， 过点 G 作 GH CB 的延长线于点 H ， EG DE ， GEH DEC 90 ， GEH HGE 90 ， DEC HGE ， 在 HGE 与 CED 中 ， GHE DCE HGE DEC EG DE ， HGE CED ( AAS ) ， GH CE ， HE CD ， CE BF ， GH BF ， GH BF ， 四边形 GH BF 是矩形 ， GF BH ， FG CH FG CE ， 四边形 AB CD 是正方形 ， CD BC ， HE BC HE EB BC EB ， BH EC FG EC ； (3) 成立 四边形 ABCD 是正方形 ， BC CD ， FBC ECD 90 ， 在 CBF 与 DCE 中 ， BF CE FBC ECD BC DC ， CBF DCE ( SAS ) ， BCF CDE ， CF DE ， EG DE ， CF EG ， DE EG ， DEC CEG 90 . CDE DEC 90 CDE CEG ， BCF CEG ， CF EG ， 四边形 CE GF 平行四边形 ， FG CE ， FG CE. 3 (2016南宁 )已知四边形 ABCD是菱形 ， AB 4， ABC 60 ， EAF的两 边分别与射线 CB， DC相交于点 E， F， 且 EAF 60 . (1)如图 ， 当点 E是线段 CB的中点时 ， 直接写出线段 AE， EF， AF之间的数量关 系； (2)如图 ， 当点 E是线段 CB上任意一点时 (点 E不与 B、 C重合 )， 求证： BE CF； (3)如图 ， 当点 E在线段 CB的延长线上 ， 且 EAB 15 时 ， 求点 F到 BC的距离 (1)解：结论 AE EF AF. 理由：如图中 ， 连接 AC， 四边形 ABCD是菱形 ， B 60 ， AB BC CD AD， B D 60 ， ABC， ADC是等边三角形 ， BAC DAC 60 ， BE EC， BAE CAE 30 ， AE BC， EAF 60 ， CAF DAF 30 ， AFD 90 ， AF CD， AE AF(菱形的高相等 )， AEF是等边三角形 ， AE EF AF； ( 2 ) 证明：如图 ， BAC EAF 60 ， BAE CAF ， 在 BA E 和 CAF 中 ， BAE CAF BA AC B ACF ， BAE CAF ， BE CF ； (3) 解：如图 ， 过点 A 作 AG BC 于点 G ， 过点 F 作 FH EC 于点 H ， EAB 15 ， ABC 60 ， AEB 45 ， 在 Rt AGB 中 ， ABC 60 ， AB 4 ， BG 2 ， AG 2 3 ， 在 Rt AEG 中 ， AEG EAG 45 ， AG GE 2 3 ， EB EG BG 2 3 2 ， AEB AFC ， AE AF ， EB CF 2 3 2 ， 在 Rt CHF 中 ， HCF 1 80 BCD 60 ， CF 2 3 2 ， FH CF s in 60 (2 3 2) 3 2 3 3 . 点 F 到 BC 的距离为 3 3 . 4 (2016衢州 )如图 ， 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 (1)概念理解： 如图 ， 在四边形 ABCD中 ， AB AD， CB CD， 问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究： 试探索垂美四边形 ABCD两组对边 AB， CD与 BC， AD之间的数量 关系； 猜想结论： (要求用文字语言叙述 ) 写出证明过程 (先画出图形 ， 写出已知、求证 ) (3)问题解决： 如图 ， 分别以 Rt ACB的直角边 AC和斜边 AB为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE， 连接 CE， BG， GE， 已知 AC 4， AB 5， 求 GE长 (1)证明：四边形 ABCD是垂美四边形 AB AD， 点 A在线段 BD的垂直平分线上 ， CB CD， 点 C在线段 BD的垂直平分线上 ， 直线 AC是线段 BD的垂直平分线 ， AC BD， 即四边形 ABCD是垂美四边形； (2)解：猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等 如图 ， 已知四边形 ABCD中 ， AC BD， 垂足为 E， 求证： AD2 BC2 AB2 CD2 证明： AC BD， AED AEB BEC CED 90 ， 由勾股定理得 ， AD2 BC2 AE2 DE2 BE2 CE2， AB2 CD2 AE2 BE2 CE2 DE2， AD2 BC2 AB2 CD2； (3) 解：如图 ， 连接 CG 、 BE ， AC 与 BG 交于点 N ， BA 与 CE 交于点 M ， CAG BAE 90 ， CAG BAC BAE BAC ， 即 GAB CAE ， 在 GAB 和 CAE 中 ， AG AC GAB CAE AB AE ， GAB CAE ， ABG AEC ， 又 AEC AME 90 ， ABG AME 90 ， 即 CE BG ， 四边形 CG EB 是垂美四边形 ， 由 (2) 得 ， CG 2 BE 2 CB 2 GE 2 ， AC 4 ， AB 5 ， BC 3 ， CG 4 2 ， CE 5 2 ， GE 2 CG 2 BE 2 CB 2 73 ， CE 73 . 5 ( 2015 牡丹江 ) 已知四边形 ABCD 是正方形 ， 等腰直角 AEF 的直角 顶点 E 在直线 BC 上 ( 不与点 B ， C 重合 ) ， FM AD ， 交射线 AD 于点 M. (1) 当点 E 在边 BC 上 ， 点 M 在边 AD 的延长线上时 ， 如图 ， 求证： AB BE AM ； ( 提示：延长 MF ， 交边 BC 的延长线于点 H) (2) 当点 E 在边 CB 的延长线上 ， 点 M 在边 AD 上时 ， 如图 ；当点 E 在 边 BC 的延长线上 ， 点 M 在边 AD 上时 ， 如图 . 请分别写出线段 AB ， BE ， AM 之 间的数量关系 ， 不需要证明； ( 3) 在 (1) ， (2) 的条件下 ， 若 BE 3 ， AFM 15 ， 则 AM 3 3 或 3 1 (1)证明：如图 ， 延长 MF， 交边 BC的延长线于点 H， 四边形 ABCD是正方形 ， FM AD， ABE EHF 90 ， 即四边形 ABHM为矩形 ， AM BH BE EH， AEF为等腰直角三角形 ， AE EF， AEB FEH 90 ， EFH FEH 90 ， AEB EFH， ABE EHF(AAS)， AB EH， AM BH BE EH， AB BE AM； (2)解：如题图 ， 设 FM与 BC相交于点 H， AEB FEH 90 ， AEB EAB 90 ， FEH EAB， 又 ABE EHF， AE EF， ABE EHF(AAS)， AB EH EB AM；如题图 ， 设 FM与 BC相交于点 H， BAE AEB 90 ， AEB HEF 90 ， BAE HEF， 又 ABE EHF， AE EF， ABE EHF(AAS)， AB EH， BE BH EH AM AB； (3) 解：由题图 得 ， AFM 15 ， AFE 45 ， EFM 60 ， EFH 1 20 ， 在 EFH 中 ， FHE 90 ， 此情况不存在；由题图 得 ， AFM 15 ， AFE 45 ， EFH 60 ， ABE EHF ， AEB EFH 60 ， BE 3 ， AB BE tan 60 3 3 3 ， AB EB AM ， AM AB EB 3 3 ；如题图 ， AFM 15 ， AFE 45 ， EFH 45 15 30 ， AEB 30 ， BE 3 ， AB BE tan 30 3 3 3 1 ， BE AM AB ， AM BE AB 3 1 ， 综上可知 ， AM 3 3 或 3 1. 6 ( 2016 大连 ) 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 ， ABC 中 ， AB AC ， 点 D 在 BC 边 上 ， DAB ABD ， BE AD ， 垂足为 E ， 求证： BC 2 AE. 小明经探究发现 ， 过点 A 作 AF BC ， 垂足为 F ， 得到 AFB BEA ， 从而可证 ABF BAE ( 如图 ) ， 使问题得到解决 (1) 根据阅读材料回答： ABF 与 BA E 全等的条件是 ( 填 “ SSS ” 、 “ SAS ” 、 “ AS A ” 、 “ AAS ” 或 “ HL ” 中的一个 ) ； AAS 参考小明思考问题的方法 ， 解答下列问题： (2) 如图 ， ABC 中 ， AB AC ， BAC 90 ， D 为 BC 的中点 ， E 为 DC 的中 点 ， 点 F 在 AC 的延长线上 ， 且 CDF EAC ， 若 CF 2 ， 求 AB 的长； (3) 如图 ， ABC 中 ， AB AC ， BAC 120 ， 点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 边上 ， 且 AD kDB( 其中 0k 3 3 ) ， AED BCD ， 求 AE EC 的值 ( 用含 k 的式子表示 ) 解： (2) 如图 ， 连接 AD ， 作 CG AF ， 在 Rt ABC 中 ， AB AC ， 点 D 是 BC 中点 ， AD CD ， 点 E 是 DC 中点 ， DE 1 2 CD 1 2 AD ， tan DAE DE AD 1 2 AD AD 1 2 ， AB AC ， BAC 90 ， 点 D 为 BC 中点 ， ADC 90 ， ACB DAC 45 ， F CDF ACB 45 ， CDF EAC ， F EAC 45 ， DAE EAC 45 ， F DAE ， tan F t an DAE 1 2 ， CG CF 1 2 ， CG 1 2 2 1 ， ACG 90 ， ACB 45 ， DCG 45 ， CDF EAC ， DCG ACE ， DC AC CG CE ， CD 2 2 AC ， CE 1 2 CD 2 4 AC ， 2 2 AC AC 1 2 4 AC ， AC 4 ， AB 4 ； (3) 如图 ， 过点 D 作 DG BC 于点 G ， 设 DG a ， 在 Rt BGD 中 ， B 30 ， BD 2a ， BG 3 a ， AD kDB ， AD 2ka ， AB BD AD 2a 2ka 2a (k 1 ) ， 过点 A 作 AH BC 于点 H ， 在 Rt ABH 中 ， B 30 . BH 3 a(k 1) ， AB AC ， AH BC ， BC 2B H 2 3 a(k 1) ， CG BC BG 3 a(2k 1) ， 过 D 作 DN AC 交 CA 延长线于点 N ， BAC 1 20 ， DAN 60 ， ADN 30 ， AN ka ， DN 3 ka ， DGC AND 90 ， AED BCD ， NDE GD C. DN DG NE CG ， 3 ka a NE 3 a （ 2k 1 ） ， NE 3ak (2k 1) ， EC AC AE AB AE 2a (k 1 ) 2ak (3k 1) 2a(1 3k 2 ) ， AE EC 2ak （ 3k 1 ） 2a （ 1 3k 2 ） 3k 2 k 1 3k 2 .