资源描述
第九节函数模型及其应用 【 知 识 梳 理 】1.几 类 常 见 的 函 数 模 型函 数 模 型 函 数 解 析 式一 次 函 数 模 型 f(x)=ax+b(a,b为 常 数 ,a 0)反 比 例 函 数 模 型 f(x)= +b(k,b为 常 数 且 k 0)二 次 函 数 模 型 f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c为 常 数 ,a 0)kx 函 数 模 型 函 数 解 析 式指 数 函 数 模 型 f(x)=bax+c(a,b,c为 常 数 ,b 0,a0且 a 1)对 数 函 数 模 型 f(x)=blogax+c(a,b,c为 常 数 ,b 0, a0且 a 1)幂 函 数 模 型 f(x)=axn+b(a,b为 常 数 ,a 0) 2.三 种 函 数 模 型 的 性 质 函 数性 质 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0)在 (0,+ )上 的 增 减 性 单 调_ 单 调 _ 单 调 递 增增 长 速 度 越 来 越 _ 越 来 越 _ 相 对 平 稳递 增 递 增快 慢 函 数性 质 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0)图 象 的变 化 随 x的 增 大逐 渐 表 现 为与 _平 行 随 x的 增 大 逐 渐表 现 为 与 _平行 随 n值 变 化而 各 有 不同值 的 比 较 存 在 一 个 x0,当 xx0时 ,有 logaxxn0)” 型 函 数 模 型 形 如 f(x)=x+ (a0)的 函 数 模 型 称 为 “ 对 勾 ” 函数 模 型 :(1)该 函 数 在 (- ,- 和 ,+ )上 单 调 递增 ,在 - ,0)和 (0, 上 单 调 递 减 .(2)当 x0时 ,x= 时 取 最 小 值 2 ,当 x0时 ,x=- 时 取 最 大 值 -2 .axax a aa aaa aa 【 小 题 快 练 】链 接 教 材 练 一 练1.(必 修 1P107习 题 3.2A组 T1改 编 )在 某 种 新 型 材 料 的 研制 中 ,实 验 人 员 获 得 了 下 列 一 组 实 验 数 据 .现 准 备 用 下列 四 个 函 数 中 的 一 个 近 似 地 表 示 这 些 数 据 的 规 律 ,其 中最 接 近 的 一 个 是 ( ) A.y=2x B.y=log2xC.y= (x2-1) D.y=2.61cosxx 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.6112 【 解 析 】 选 B.由 表 格 知 当 x=3时 ,y=1.59,而 A中 y=23=8,不 合 要 求 ,B中 y=log23 (1,2),C中 y= (32-1)=4,不 合要 求 ,D中 y=2.61cos30). 写 出 y关 于 x的 函 数 关 系 式 ,并 指 出 这 个 函 数 的 定 义 域 ; 求 羊 群 年 增 长 量 的 最 大 值 ; 当 羊 群 的 年 增 长 量 达 到 最 大 值 时 ,求 k的 取 值 范 围 . 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 图 象 信 息 ,确 定 函 数 解 析 式 .(2)由 于 最 大 蓄 养 量 为 m只 ,实 际 蓄 养 量 为 x只 ,则 蓄 养 率为 ,故 空 闲 率 为 1- .建 立 函 数 模 型 后 ,利 用 函 数 的最 值 求 羊 群 年 增 长 量 的 最 大 值 .xmxm 【 规 范 解 答 】 (1)前 10天 满 足 一 次 函 数 关 系 ,设 为 y=kx+b,将 点 (1,10)和 点 (10,30)代 入 函 数 解 析 式 得 解 得 则 当 x=6时 ,y= .答 案 :10 k b,30 10k b, 20 70 20 70k b y x9 9 9 9 ， ， 所 以 ，19091909 (2) 根 据 题 意 ,由 于 最 大 蓄 养 量 为 m只 ,实 际 蓄 养 量 为 x只 ,则 蓄 养 率 为 ,故 空 闲 率 为 1- ,由 此 可 得 y= kx (0 xm); 对 原 二 次 函 数 配 方 ,得 y=- (x2-mx) 即 当 x= 时 ,y取 得 最 大 值 ;xm xmx1 m( ) km2k m kmx .m 2 4 ( )m2 km4 由 题 意 知 为 给 羊 群 留 有 一 定 的 生 长 空 间 ,则 有 实 际 蓄养 量 与 年 增 长 量 的 和 小 于 最 大 蓄 养 量 ,即 0 x+ym.因 为 当 x= 时 ,ymax= ,所 以 0 + m,解 得 -2k0,所 以 0k2.m2 km4km4m2 【 母 题 变 式 】1.若 将 本 例 (2)“ 与 空 闲 率 的 乘 积 成 正 比 ” 改 为 “ 与 空闲 率 的 乘 积 成 反 比 ” ,又 如 何 表 示 出 y关 于 x的 函 数 解 析式 ? 【 解 析 】 根 据 题 意 ,由 于 最 大 蓄 养 量 为 m只 ,实 际 蓄 养 量为 x只 ,则 蓄 养 率 为 ,故 空 闲 率 为 1- ,因 为 羊 群 的 年增 长 量 y只 和 实 际 蓄 养 量 x只 与 空 闲 率 的 乘 积 成 反 比 ,由此 可 得 xm xmky .xx1 m ( ) 2.若 本 例 (2)牧 场 中 羊 群 的 最 大 蓄 养 量 为 10000只 ,实 际蓄 养 量 为 8000只 ,比 例 系 数 为 k=1,则 此 时 的 年 增 长 量 为多 少 ? 【 解 析 】 由 题 意 ,可 知 y=kx (0 xm),此 时m=10000,x=8000,k=1,代 入 计 算 可 得 y=1 8000 =1600.故 此 时 羊 群 的 年 增 长 量 为 1600只 .x1 m( )8 0001 10 000( ) 【 规 律 方 法 】 一 次 函 数 、 二 次 函 数 模 型 问 题 的 常 见 类型 及 解 题 策 略(1)单 一 考 查 一 次 函 数 或 二 次 函 数 模 型 .解 决 此 类 问 题应 注 意 三 点 : 二 次 函 数 的 最 值 一 般 利 用 配 方 法 与 函 数 的 单 调 性 解决 ,但 一 定 要 密 切 注 意 函 数 的 定 义 域 ,否 则 极 易 出 错 ; 确 定 一 次 函 数 模 型 时 ,一 般 是 借 助 两 个 点 来 确 定 ,常用 待 定 系 数 法 ; 解 决 函 数 应 用 问 题 时 ,最 后 要 还 原 到 实 际 问 题 . (2)以 分 段 函 数 的 形 式 考 查 .解 决 此 类 问 题 应 关 注 以 下三 点 : 实 际 问 题 中 有 些 变 量 间 的 关 系 不 能 用 同 一 个 关 系 式给 出 ,而 是 由 几 个 不 同 的 关 系 式 构 成 ,如 出 租 车 票 价 与路 程 之 间 的 关 系 ,应 构 建 分 段 函 数 模 型 求 解 ; 构 造 分 段 函 数 时 ,要 力 求 准 确 、 简 洁 ,做 到 分 段 合 理 、不 重 不 漏 ; 分 段 函 数 的 最 值 是 各 段 的 最 大 (或 最 小 )值 中 的 最 大(或 最 小 )值 .易 错 提 醒 :1.构 建 函 数 模 型 时 不 要 忘 记 考 虑 函 数 的 定 义域 . 2.对 构 建 的 较 复 杂 的 函 数 模 型 ,要 适 时 地 用 换 元 法 转 化为 熟 悉 的 函 数 问 题 求 解 . 【 变 式 训 练 】 (2016 漳 州 模 拟 )“ 活 水 围 网 ” 养 鱼 技术 具 有 养 殖 密 度 高 、 经 济 效 益 好 的 特 点 .研 究 表 明 : “ 活 水 围 网 ” 养 鱼 时 ,某 种 鱼 在 一 定 的 条 件 下 ,每 尾 鱼的 平 均 生 长 速 度 v(单 位 :千 克 /年 )是 养 殖 密 度 x(单 位 :尾 /立 方 米 )的 函 数 .当 x不 超 过 4尾 /立 方 米 时 ,v的 值 为 2千 克 /年 ;当 4x 20时 ,v是 x的 一 次 函 数 ,当 x达 到 20尾 /立 方 米 时 ,因 缺 氧 等 原 因 ,v的 值 为 0千 克 /年 . (1)当 0 x 20时 ,求 函 数 v关 于 x的 函 数 解 析 式 .(2)当 养 殖 密 度 x为 多 大 时 ,鱼 的 年 生 长 量 (单 位 :千 克 /立 方 米 )可 以 达 到 最 大 ?并 求 出 最 大 值 . 【 解 析 】 (1)由 题 意 得 当 0 x 4时 ,v=2;当 4x 20时 ,设 v=ax+b,显 然 v=ax+b在 (4,20内 是 减 函 数 ,由 已 知 得 所 以 故 函 数 1a ,20a b 0, 84a b 2, 5b ,2 解 得1 5v x8 2 ，2 0 x 4,v 1 5x ,4 x 20.8 2 ， (2)设 年 生 长 量 为 f(x)千 克 /立 方 米 ,依 题 意 并 由 (1)可得 当 0 x 4时 ,f(x)为 增 函 数 ,故 f(x)max=f(4)=4 2=8;当 4x 20时 ,f(x)= f(x)max=f(10)=12.5. 22x,0 x 4,f x 1 5x x,4 x 208 2 ， 22 21 5 1 1 25x x x 20 x x 108 2 8 8 2 ， 所 以 当 0 x 20时 ,f(x)的 最 大 值 为 12.5.即 当 养 殖 密 度 为 10尾 /立 方 米 时 ,鱼 的 年 生 长 量 可 以 达到 最 大 ,最 大 值 为 12.5千 克 /立 方 米 . 【 加 固 训 练 】1.(2016 石 家 庄 模 拟 )某 种 新 药 服 用 x小 时 后 血 液 中 的残 留 量 为 y毫 克 ,如 图 所 示 为 函 数 y=f(x)的 图 象 ,当 血 液中 药 物 残 留 量 不 小 于 240毫 克 时 ,治 疗 有 效 .设 某 人 上 午8:00第 一 次 服 药 ,为 保 证 疗 效 ,则 第 二 次 服 药 最 迟 的 时间 应 为 ( ) A.上 午 10:00 B.中 午 12:00C.下 午 4:00 D.下 午 6:00 【 解 析 】 选 C.当 x 0,4时 ,设 y=k1x,把 (4,320)代 入 ,得 k1=80,所 以 y=80 x.当 x 4,20时 ,设 y=k2x+b.把 (4,320),(20,0)分 别 代入可 得 所 以 y=400-20 x.所 以 y=f(x)= 由 y 240,2k 20,b 400. 80 x,0 x 4,400 20 x,4 x 20. 得 解 得 3 x 4或 40),当 x=25时 ,有 30 25-500-k =0 k=50,故 y=30 x-500-50 (0100时 ,y=30 x-500-50 -200=30 x-50 -700,所 以 x25x x x*30 x 50 x 500(0 x 100,x N ),y 30 x 50 x 700(x 100,x N ). (2)设 每 张 门 票 至 少 需 要 a元 ,则 有 20a-50 -500 0 20a 50 2 +500 a5 +25 5 2.24+25=36.2,又 a取 整 数 ,故 取 a=37.所 以 每 张 门 票 至 少 需 要 37元 .20 55 4.(2016 吉 林 模 拟 )某 个 体 经 营 者 把 开 始 6个 月 试 销A,B两 种 商 品 的 逐 月 投 资 金 额 与 所 获 纯 利 润 列 成 下 表 :投 资 A种 商 品金 额 (万 元 ) 1 2 3 4 5 6获 纯 利 润(万 元 ) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.4 该 经 营 者 准 备 第 7个 月 投 入 12万 元 经 营 这 两 种 商 品 ,但不 知 投 入 A,B两 种 商 品 各 多 少 万 元 才 合 算 .请 你 帮 助 制定 一 个 资 金 投 入 方 案 ,使 得 该 经 营 者 能 获 得 最 大 纯 利 润 ,并 按 你 的 方 案 求 出 该 经 营 者 第 7个 月 可 获 得 的 最 大 纯 利润 (结 果 保 留 两 位 有 效 数 字 ).投 资 B种 商 品金 额 (万 元 ) 1 2 3 4 5 6获 纯 利 润(万 元 ) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 【 解 析 】 以 投 资 额 为 横 坐 标 ,纯 利 润 为 纵 坐 标 ,在 平 面直 角 坐 标 系 中 画 出 散 点 图 ,如 图 所 示 . 观 察 散 点 图 可 以 看 出 ,A种 商 品 所 获 纯 利 润 与 投 资 额 之间 的 变 化 规 律 可 以 用 二 次 函 数 模 型 进 行 模 拟 .由 于 (4,2)为 最 高 点 ,则 可 设 yA=a(x-4)2+2,再 把 点(1,0.65)代 入 ,得 0.65=a(1-4)2+2,解 得 a=-0.15,所 以yA=-0.15(x-4)2+2. B种 商 品 所 获 纯 利 润 与 投 资 额 之 间 的 变 化 规 律 是 纯 线 性的 ,可 以 用 一 次 函 数 模 型 进 行 模 拟 .设 yB=kx+b,取 点 (1,0.25)和 (4,1)代 入 ,得0.25=k+b,1=4k+b,解 得 k=0.25,b=0,所 以 yB=0.25x. 设 第 7个 月 投 入 A,B两 种 商 品 的 资 金 分 别 为 xA万 元 ,xB万元 ,总 利 润 为 p万 元 ,那 么 xA+xB=12,p=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,所 以 p=-0.15(xA-4)2+2+0.25(12-xA)=-0.15xA2+0.95xA+2.6 2 2A 19 190.15x 0.15 2.6.6 6 ( ) ( ) 当 xA= 3.2(万 元 )时 ,p取 最 大 值 ,约 为 4.1万 元 ,此时 xB=8.8(万 元 ).即 该 经 营 者 第 7个 月 把 12万 元 中 的 3.2万 元 投 资 A种 商品 ,8.8万 元 投 资 B种 商 品 ,可 获 得 最 大 利 润 约 为 4.1万 元 .196 考 向 二 函 数 y=x+ 模 型 的 应 用【 典 例 2】 (2016 商 丘 模 拟 )某 养 殖 场 需 定 期 购 买 饲 料 ,已 知 该 场 每 天 需 要 饲 料 200千 克 ,每 千 克 饲 料 的 价 格 为1.8元 ,饲 料 的 保 管 费 与 其 他 费 用 平 均 每 千 克 每 天 0.03元 ,购 买 饲 料 每 次 支 付 运 费 300元 .ax (1)求 该 场 多 少 天 购 买 一 次 饲 料 才 能 使 平 均 每 天 支 付 的总 费 用 最 少 .(2)若 提 供 饲 料 的 公 司 规 定 ,当 一 次 购 买 饲 料 不 少 于 5吨时 ,其 价 格 可 享 受 八 五 折 优 惠 (即 原 价 的 85%).问 :该 场是 否 应 考 虑 利 用 此 优 惠 条 件 ?请 说 明 理 由 . 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 条 件 设 x天 购 买 一 次 饲 料 可 使 平均 每 天 支 付 的 总 费 用 最 少 ,构 造 “ 对 勾 函 数 ” 求 解 .(2)根 据 题 意 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解 . 【 规 范 解 答 】 (1)设 该 场 x(x N*)天 购 买 一 次 饲 料 可使 平 均 每 天 支 付 的 总 费 用 最 少 ,平 均 每 天 支 付 的 总 费用 为 y1.因 为 饲 料 的 保 管 费 与 其 他 费 用 每 天 比 前 一 天 少200 0.03=6(元 ),所 以 x天 饲 料 的 保 管 费 与 其 他 费 用共 是 6(x-1)+6(x-2)+ +6=(3x2-3x)(元 ). 从 而 有 y1= (3x2-3x+300)+200 1.8= +3x+357417,当 且 仅 当 =3x,即 x=10时 ,y1有 最 小 值 .故 该 场10天 购 买 一 次 饲 料 才 能 使 平 均 每 天 支 付 的 总 费 用 最 少 .1x 300 x300 x (2)设 该 场 利 用 此 优 惠 条 件 ,每 隔 x天 (x 25)购 买 一 次饲 料 ,平 均 每 天 支 付 的 总 费 用 为 y2,则 y2= (3x2-3x+300)+200 1.8 0.85= +3x+303(x 25).令 f(x)= +3x(x 25),1x300 x 300 x 因 为 f (x)=- +3,所 以 当 x 25时 ,f (x)0,即 函 数 f(x)与 y2在 x 25时 是 增 函 数 .所 以 当 x=25时 ,y2取 得 最 小 值 ,最 小 值 为 390.因 为 390417,所 以 该 场 应 考 虑 利 用 此 优 惠 条 件 .2300 x 【 规 律 方 法 】 应 用 函 数 y=x+ 模 型 的 关 键 点(1)明 确 对 勾 函 数 是 正 比 例 函 数 f(x)=ax与 反 比 例 函 数f(x)= 叠 加 而 成 的 .(2)解 决 实 际 问 题 时 一 般 可 以 直 接 建 立 f(x)=ax+ 的 模型 ,有 时 可 以 将 所 列 函 数 解 析 式 转 化 为 f(x)=ax+ 的 形式 . axbx bxbx 易 错 提 醒 :(1)解 决 此 类 问 题 时 一 定 要 关 注 函 数 的 定 义域 .(2)利 用 模 型 f(x)=ax+ 求 解 最 值 时 ,注 意 取 得 最 值 时等 号 成 立 的 条 件 . bx 【 变 式 训 练 】 (2016 黄 冈 模 拟 )近 年 来 ,某 企 业 每 年 消耗 电 费 约 24万 元 ,为 了 节 能 减 排 ,决 定 安 装 一 个 可 使 用15年 的 太 阳 能 供 电 设 备 接 入 本 企 业 电 网 ,安 装 这 种 供 电设 备 的 工 本 费 (单 位 :万 元 )与 太 阳 能 电 池 板 的 面 积 (单位 :平 方 米 )成 正 比 ,比 例 系 数 约 为 0.5.为 了 保 证 正 常 用电 ,安 装 后 采 用 太 阳 能 和 电 能 互 补 供 电 的 模 式 .假 设 在 此 模 式 下 ,安 装 后 该 企 业 每 年 消 耗 的 电 费 C(单 位 :万元 )与 安 装 的 这 种 太 阳 能 电 池 板 的 面 积 x(单 位 :平 方 米 )之 间 的 函 数 关 系 是 C(x)= (x 0,k为 常 数 ).记 y为 该 企 业 安 装 这 种 太 阳 能 供 电 设 备 的 费 用 与 该 企 业 15年 共 将 消 耗 的 电 费 之 和 . k20 x 100 (1)试 解 释 C(0)的 实 际 意 义 ,并 建 立 y关 于 x的 函 数 关 系式 .(2)当 x为 多 少 平 方 米 时 ,y取 得 最 小 值 ?最 小 值 是 多 少 万元 ? 【 解 析 】 (1)C(0)的 实 际 意 义 是 安 装 这 种 太 阳 能 电 池 板的 面 积 为 0时 的 用 电 费 用 ,即 未 安 装 太 阳 能 供 电 设 备 时 ,该 企 业 每 年 消 耗 的 电 费 .由 C(0)= =24,得 k=2400,所 以 k100 2 400 1 800y 15 0.5x 0.5x x 0.20 x 100 x 5 ， (2)因 为 当 且 仅 当 =0.5(x+5),即 x=55时 取 等 号 ,所 以 当 x为 55平 方 米 时 ,y取 得 最 小 值 ,为 57.5万 元 . 1 800y 0.5 x 5 2.5 2 1 800 0.5 2.5 57.5x 5 ，1 800 x 5 【 加 固 训 练 】1.(2016 绵 阳 模 拟 )利 民 工 厂 某 产 品 的 年 产 量 在 150吨至 250吨 之 间 ,年 生 产 的 总 成 本 y(万 元 )与 年 产 量 x(吨 )之 间 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 y= -30 x+4000,则 每 吨 的成 本 最 低 时 的 年 产 量 为 ( )A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨2x10 【 解 析 】 选 B.依 题 意 ,得 每 吨 的 成 本 为 则 当 且 仅 当 即 x=200时 取 等 号 ,因 此 ,当 每 吨 成 本 最 低 时 ,年 产 量 为 200吨 .y x 4 000 30 x 10 x ，y x 4 0002 30 10 x 10 x ，x 4 00010 x ， 2.(2016 秦 皇 岛 模 拟 )某 地 区 要 建 造 一 条 防 洪 堤 ,其 横断 面 为 等 腰 梯 形 ,腰 与 底 边 夹 角 为 60 (如 图 ),考 虑 防洪 堤 坚 固 性 及 石 块 用 料 等 因 素 ,设 计 其 横 断 面 要 求 面 积为 9 平 方 米 ,且 高 度 不 低 于 米 .记 防 洪 堤 横 断 面 的腰 长 为 x米 ,外 周 长 (梯 形 的 上 底 线 段 BC与 两 腰 长 的 和 )为 y米 .要 使 防 洪 堤 横 断 面 的 外 周 长 不 超 过 10.5米 ,则 其33 腰 长 x的 范 围 为 ( )A.2,4 B.3,4C.2,5 D.3,5 【 解 析 】 选 B.根 据 题 意 知 , 其 中 所 以 得 BC= 由 得 2 x6. 19 3 AD BC h2 ，x 3AD BC 2 BC x h x2 2 ， ， 1 39 3 2BC x x2 2 ，18 xx 2 ，3h x 3,218 xBC 0,x 2 所 以 y=BC+2x= (2 x6),由 y= 10.5,解 得 3 x 4.因 为 3,4 2,6),所 以 腰 长 x的 范 围 是 3,4.18 3xx 218 3xx 2 3.(2016 安 庆 模 拟 )为 响 应 中 央 号 召 .某 市 2016年 计 划投 入 600万 元 加 强 民 族 文 化 基 础 设 施 改 造 .据 调 查 ,改 造后 预 计 该 市 在 一 个 月 内 (以 30天 计 ),民 族 文 化 旅 游 人 数f(x)(万 人 )与 时 间 x(天 )的 函 数 关 系 近 似 满 足 f(x)= ,人 均 消 费 g(x)(元 )与 时 间 x(天 )的 函 数 关 系 近似 满 足 g(x)=104-|x-23|.141 x( ) (1)求 该 市 旅 游 日 收 益 p(x)(万 元 )与 时 间 x(1 x 30, x N*)的 函 数 解 析 式 .(2)若 以 最 低 日 收 益 的 15%为 纯 收 入 ,该 市 对 纯 收 入 按1.5%的 税 率 来 收 回 投 资 ,按 此 预 计 两 年 内 能 否 收 回 全 部投 资 . 【 解 析 】 (1)由 题 意 知 p(x)=f(x)g(x)= (104-|x-23|)(1 x 30,x N*).(2)p(x)= 当 1 x 23时 ,p(x)= (81+x) 141 x( ) * *141 81 x (1 x 23,x N ),x141 127 x (23 x 30,x N ).x ( )( ) 141 x( )81 81482 x 482 2 x 400 x x ( ) ( ) ， 当 且 仅 当 x= ,即 x=9时 ,p(x)取 得 最 小 值 400. 当 23600,所 以 600万 元 的 投 资 可 以 在 两 年 内 收 回 . 考 向 三 指 数 函 数 与 对 数 函 数 模 型【 典 例 3】 (1)(2015 四 川 高 考 )某 食 品 的 保 鲜 时 间y(单 位 :小 时 )与 储 藏 温 度 x(单 位 : )满 足 函 数 关 系y=ekx+b(e=2.718 为 自 然 对 数 的 底 数 ,k,b为 常 数 ).若该 食 品 在 0 的 保 鲜 时 间 是 192小 时 ,在 22 的 保 鲜 时 间是 48小 时 ,则 该 食 品 在 33 的 保 鲜 时 间 是 小 时 .(本 题 源 自 A版 必 修 1P103例 4) (2)燕 子 每 年 秋 天 都 要 从 北 方 飞 向 南 方 过 冬 ,研 究 燕 子的 科 学 家 发 现 ,两 岁 燕 子 的 飞 行 速 度 可 以 表 示 为 函 数v=5log2 ,单 位 是 m/s,其 中 Q表 示 燕 子 的 耗 氧 量 . 试 计 算 :燕 子 静 止 时 的 耗 氧 量 是 多 少 个 单 位 ? 当 一 只 燕 子 的 耗 氧 量 是 80个 单 位 时 ,它 的 飞 行 速 度 是多 少 ? Q10 【 解 题 导 引 】 (1)把 题 设 中 两 组 时 间 与 温 度 的 值 代 入 函数 解 析 式 ,利 用 方 程 思 想 解 题 .(2) 令 0=5log2 ,求 出 Q; 将 Q=80代 入 公 式 求 解 .Q10 【 规 范 解 答 】 (1)由 题 意 得 当 x=33时 ,y=e33k+b=(e11k)3eb= 192=24.答 案 :24 bb 11k22k b e 192,192 e , 1e ,48 e , 2 解 得312( ) (2) 由 题 意 知 ,当 燕 子 静 止 时 ,它 的 速 度 为 0,代 入 题 目所 给 公 式 可 得 0=5log2 ,解 得 Q=10,即 燕 子 静 止 时 的 耗 氧 量 为 10个 单 位 .Q10 将 耗 氧 量 Q=80代 入 公 式 得 v=5log2 =5log28=15(m/s),即 当 一 只 燕 子 的 耗 氧 量 为 80个 单 位 时 ,它 的 飞 行 速 度 为15m/s. 8010 【 规 律 方 法 】 应 用 指 数 函 数 模 型 的 关 注 点(1)指 数 函 数 模 型 的 应 用 类 型 .常 与 增 长 率 相 结 合 进 行考 查 ,在 实 际 问 题 中 有 人 口 增 长 、 银 行 利 率 、 细 胞 分 裂等 增 长 问 题 可 以 利 用 指 数 函 数 模 型 来 解 决 . (2)应 用 指 数 函 数 模 型 时 的 关 键 .关 键 是 对 模 型 的 判 断 ,先 设 定 模 型 ,再 将 已 知 有 关 数 据 代 入 验 证 ,确 定 参 数 ,从而 确 定 函 数 模 型 .(3)y=a(1+x)n通 常 利 用 指 数 运 算 与 对 数 函 数 的 性 质 求解 . 【 变 式 训 练 】 某 种 病 毒 经 30分 钟 繁 殖 为 原 来 的 2倍 ,且知 病 毒 的 繁 殖 规 律 为 y=ekt(其 中 k为 常 数 ,t表 示 时 间 ,单 位 :小 时 ,y表 示 病 毒 个 数 ),则 经 过 5小 时 ,1个 病 毒 能繁 殖 为 个 . 【 解 析 】 当 t=0.5时 ,y=2,所 以 2= ,所 以 k=2ln2,所 以 y=e2tln2,当 t=5时 ,y=e10ln2=210=1024.答 案 :1024 1k2e 【 加 固 训 练 】1.(2016 湛 江 模 拟 )一 个 容 器 装 有 细 沙 acm3,细 沙 从 容器 底 下 一 个 细 微 的 小 孔 慢 慢 地 匀 速 漏 出 ,tmin后 剩 余 的细 沙 量 为 y=ae-b t(cm3),经 过 8min后 发 现 容 器 内 还 有 一半 的 沙 子 ,则 再 经 过 min,容 器 中 的 沙 子 只 有 开始 时 的 八 分 之 一 . 【 解 析 】 当 t=0时 ,y=a;当 t=8时 ,y=ae-8b= a,故 e-8b= .当 容 器 中 的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八 分 之 一 时 ,即 y=ae-bt= a,e-bt= =(e-8b)3=e-24b,则 t=24,所 以 再 经 过 16min容 器 中 的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八 分 之 一 .答 案 :16 12 1218 18 2.(2016 唐 山 模 拟 )某 人 计 划 购 买 一 辆 A型 轿 车 ,售 价为 14.4万 元 ,购 买 后 轿 车 一 年 的 保 险 费 、 汽 油 费 、 年 检费 、 停 车 费 等 约 需 2.4万 元 ,同 时 汽 车 年 折 旧 率 约 为10%(即 这 辆 车 每 年 减 少 它 的 价 值 的 10%),试 问 :大 约 使用 多 少 年 后 ,花 费 在 该 车 上 的 费 用 (含 折 旧 费 )达 到 14.4万 元 ? 【 解 析 】 设 使 用 x年 后 花 费 在 该 车 上 的 费 用 达 到 14.4万元 ,依 题 意 可 得 ,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化 简 得 :x-6 0.9x=0,令 f(x)=x-6 0.9x.因 为 f(3)=-1.3740,所 以 函 数 f(x)在 (3,4)上 应 有 一 个 零 点 .故 大 约 使 用 4年 后 ,花 费 在 该 车 上 的 费 用 达 到 14.4万 元 . 3.某 地 政 府 鉴 于 某 种 日 常 食 品 价 格 增 长 过 快 ,欲 将 这 种食 品 价 格 控 制 在 适 当 范 围 内 ,决 定 给 这 种 食 品 生 产 厂 家提 供 政 府 补 贴 ,设 这 种 食 品 的 市 场 价 格 为 x元 /千 克 ,政府 补 贴 为 t元 /千 克 ,根 据 市 场 调 查 ,当 16 x 24时 ,这种 食 品 日 供 应 量 p万 千 克 、 日 需 量 q万 千 克 近 似 地 满 足关 系 :p=2(x+4t-14)(t0),q=24+8ln .当 p=q时 的 市场 价 格 称 为 市 场 平 衡 价 格 . 20 x (1)将 政 府 补 贴 表 示 为 市 场 平 衡 价 格 的 函 数 ,并 求 出 函数 的 值 域 .(2)为 使 市 场 平 衡 价 格 不 高 于 20元 /千 克 ,政 府 补 贴 至 少为 多 少 元 /千 克 ? 【 解 析 】 (1)由 p=q得 2(x+4t-14)=24+8ln (16 x 24,t0),即 因 为 t = 0,所 以 t是 x的 减 函 数 .所 以 tmin= 20 x13 1 20t x ln (16 x 24).2 4 x 1 14 x 13 1 20 1 20 1 524 ln ln ln ;2 4 24 2 24 2 6 tmax= 所 以 值 域 为 13 1 20 5 516 ln ln ,2 4 16 2 4 1 5 5 5 ln , ln .2 6 2 4 (2)由 (1)知 t= (16 x 24).而 当 x=20时 ,t= =1.5(元 /千 克 ),因 为 t是 x的 减 函 数 ,所 以 欲 使 x 20,必 须 t 1.5(元 /千克 ).要 使 市 场 平 衡 价 格 不 高 于 20元 /千 克 ,政 府 补 贴 至 少 为1.5元 /千 克 . 13 1 20 x ln2 4 x 13 1 2020 ln 2 4 20
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