资源描述
1 在 z 轴 上 求 与 两 点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2)等 距 离 的 点 .设 该 点 为 M(0, 0, z) ,由 题 设 |MA| = |MB| ,即 222 222 )2()05()03( )7()01()04( zz 解 得 ，914z 即 所 求 点 为 .)914,0,0(M 例 1解 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 2 求 平 行 于 z轴 且 过 ， 两 点的 平 面 方 程 .显 然 D0,消 去 D并 整 理 可 得 所 求 的 平 面 方 程 为例 2 1(1,0,0)M 2(0,1,0)M1(1,0,0),M 2(0,1,0)MA B D 1 0 x y 解 因 所 求 平 面 平 行 于 z轴 ， 故 可 设 其 方 程 为0Ax By D 又 点 都 在 平 面 上代 入 方 程 得 0Dx Dy D 即 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 3 例 3解 2642222 zyxzyx ,0214)3()2()1( 222 zyx即 ,16)3()2()1( 222 zyx因 此 ， 该 方 程 表 示 球 心 为 (1,-2,3)， 半 径 为 R = 4的 球 面 . 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 3 已 知 函 数 2 22 2( , ) x yf x y x y x y ,求 ( , )f x y .解 2 22 2 2 22( )( )( , ) ( ) ( )x y x y x yf x y x y x y x y x y 所 以 2 22( , ) xyf x y x y .注 :该 方 法 主 要 是 把 右 边 的 式 子 都 凑 成 里 面 的两 个 量 . f 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 5 证 明 不 存 在 26 300lim yx yxyx 证 取 ,3kxy 26 300lim yx yxyx 626 3303lim xkx kxxkxyx ,1 2kk其 值 随 k的 不 同 而 变 化 ， 故 极 限 不 存 在 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 6 讨 论 点 是 否 为 函 数的 连 续 点 . 2 2 2 22 2 2 21( )sin 0( , ) 0 0 x y x yx yf x y x y ， ， 0,0O解 由 于 2 2 2 20 00 0 1lim ( , ) lim( )sin 0 x xy yf x y x y x y 且 (0,0) 0f ,故 ( , )f x y 在 0,0 处 连 续 .上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 7. 求 2 201lim .1xxy yex y 解 因 初 等 函 数 在 (0,1)处 连 续 , 故 有 2 2( , ) 1xyef x y x y 0 2 2 201 1 1lim .32 0 1 2xxy ye ex y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 8 求 ( , ) (0, 0) 1 1limx y xyxy 解 ( , ) (0, 0) ( , ) (0, 0)1 1 ( 1 1)( 1 1)lim lim ( 1 1)x y x yxy xy xyxy xy xy ( , ) (0, 0) 1 1lim 21 1x y xy 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 1 求 22 3 yxyxz 在 点 )2,1( 处 的 偏 导 数 解 xz ;32 yx yz .23 yx 21yxxz ,82312 21yxyz .72213 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 3 求 arctan 3 3( , ) ln( )xyf x y e x y 的 偏 导 数 .注 意 到 对 y求 偏 导 数 的 时 候 ,x始 终 不 变 ,所 以 我 们 可以 先 把 x的 值 代 入 ,简 化 运 算 . (0,1)yf解 3(0, ) ln 3lnf y y y 1 13(0,1) (3ln ) 3y x xf y y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 证 xz ,1yyx yz ,lnxxyyzxxzyx ln1 xxxyxyx yy lnln11 yy xx .2z 原 结 论 成 立 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 5 求 2 2 2r x y z 的 偏 导 数 .解 2 2 2 ,r x xx rx y z 由 对 称 性 可 知, .yr r zy r z r 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 证 VRTp ;2VRTVp pRTV ;pRTV RpVT ;RVpT pTTVVp 2VRT pR RV .1pVRT 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 .),( )0,0(),(0 )0,0(),(),( 22的 偏 导 数求 设 yxf yx yxyx xyyxf 例 7解 ,)0,0(),( 时当 yx 222 22 )( 2)(),( yx xyxyxyyxfx ,)( )( 222 22 yx xyy 222 22 )( 2)(),( yx xyyyxxyxfy ,)( )( 222 22 yx yxx 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 ,)0,0(),( 时当 yx 按 定 义 可 知 ：x fxff xx )0,0()0,(lim)0,0( 0 ,00lim0 xxy fyff yy )0,0(),0(lim)0,0( 0 ,00lim0 yy ,)0,0(),(0 )0,0(),()( )(),( 222 22 yx yxyx xyyyxfx .)0,0(),(0 )0,0(),()( )(),( 222 22 yx yxyx yxxyxfy 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 xz ,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx 22xz ,6 2xy 22yz ;182 3 xyx 33xz ,6 2y xy z2 .196 22 yyxyx z2 ,196 22 yyx 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 9 设 cos2 ,xz e y 求 二 阶 偏 导 数 . zx解 cos2xe y zy 2 sin2 ;xe y2 2zx cos2xe y 2 2zy 4 cos2 ;xe y2zx y 2 sin2 ,xe y 2zy x 2 sin2xe y, .上 一 页目 录 下 一 页 退 出 定 理 如 果 函 数 ),( yxfz 的 两 个 二 阶 混 合 偏 导 数xy z2 及 yx z2 在 区 域 D 内 连 续 ， 那 末 在 该 区 域 内 这 两 个 二 阶 混 合 偏 导 数 必 相 等 例 9 验 证 函 数 22ln),( yxyxu 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 .02222 yuxu 问 题 ： 具 备 怎 样 的 条 件 才 能 使 混 合 偏 导 数 相 等 ？解 ),ln(21ln 2222 yxyx 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 ,22 yx xxu ,22 yx yyu ,)()( 2)( 222 22222 2222 yx xyyx xxyxxu .)()( 2)( 222 22222 2222 yx yxyx yyyxyu 2222 yuxu .0222 22222 22 )()( yx yxyx xy 证 毕 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 边 际 的 经 济 含 义 是 :在 点 处 ,当 y保 持不 变 而 x多 生 产 一 个 单 位 ,z=f(x,y)近 似 地 改 变 个 单 位 . 0 0( , )xf x y 0 0( , )x y 0 0( , )xf x y例 10 某 汽 车 生 产 商 生 产 A,B两 种 型 号 的 小 车 ， 其 日产 量 分 别 用 x,y(单 位 ： 百 辆 )表 示 ， 总 成 本 (单 位 ： 百万 元 )为 2 2, 10 5 2C x y x xy y 求 当 x=5,y=3时 ， 两 种 型 号 的 小 车 的 边 际 成 本 ， 并解 释 其 经 济 含 义 . 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 总 成 本 函 数 的 偏 导 数 , 10 , , 4 .x yC x y x y C x y x y 当 x=5,y=3时 ， A型 的 小 车 边 际 成 本 为 5,3 10 5 3 53xC B型 的 小 车 边 际 成 本 为 5,3 5 4 3 17 yC 其 经 济 含 义 是 ： 当 A型 小 车 日 产 量 为 5百 辆 ， B型 小车 日 产 量 为 3百 辆 的 条 件 下 . 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 (1) 如 果 B型 小 车 日 产 量 不 变 而 A型 小 车 日 产 量 增 加 1百 辆 ， 则 总 成 本 大 约 增 加 53百 万 元 ；(2) 如 果 A型 小 车 日 产 量 不 变 而 B型 小 车 日 产 量 增 加 1百 辆 ， 则 总 成 本 大 约 增 加 17百 万 元 .2. 偏 弹 性 分 析设 函 数 z=f(x,y)在 点 的 偏 导 数 存 在 ， z=f(x,y)对 x的 偏改 变 量 记 为称 的 相 对 改 变 量 与 自 变 量 x的 相 对 改 变 量之 比 0 0 0 0, ,xz f x x y f x y xz 0 x zz 0 xx上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 11 设 某 城 市 计 划 建 设 一 批 经 济 住 房 ， 如 果 价 格(单 位 ： 百 元 /平 方 米 )为 p， 需 求 量 (单 位 ： 百 间 )为 Q，当 地 居 民 年 均 收 入 (单 位 ： 万 元 )为 y， 根 据 分 析 调 研 ，得 到 需 求 函 数 为 210 10ppy Q求 当 p=30,y=3时 ， 需 求 Q对 价 格 p和 收 入 y的 偏 弹 性 ，并 解 释 其 经 济 含 义 . 解 2 10pQ yp , Q py 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 (30,3) 2 303 310Qp (30,3) 30Qy ,又 230(30,3) 10 30 3 1010 Q因 此 ， 需 求 Q对 价 格 p和 收 入 y的 偏 弹 性 分 别 为 303 910 pE 330 =910yE ,其 经 济 含 义 是 ： 当 价 格 定 在 每 平 方 米 3000元 ， 人 均年 收 入 3万 元 的 条 件 下 ， 若 价 格 每 平 方 米 提 高 1%而人 均 年 收 入 不 变 ， 则 需 求 量 将 减 少 9%； 若 价 格 不 变而 人 均 年 收 入 增 加 1%， 则 需 求 量 将 增 加 9%. 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 2 求 函 数 的 全 微 分 . 3 2 62z xy x y 解 3 6 2 2 52 2 , 6 12 ,z zy xy xy x yx y 故 3 3 2 3 z 2 (1 )d 6 (1 )d .d y xy x xy xy y 例 3 计 算 函 数 在 点 (1， 2)处 的 全 微 分 .exyz 解 xyz yex xyz xey ,212 2xyz ex 212xyz ey ,故 2 2d 2e d e d .z x y 三 、 全 微 分 的 计 算 解 ,1xu ,2cos21 yzzeyyu ,yzyezu 所 求 全 微 分 .)2cos21( dzyedyzeydxdu yzyz 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 5 计 算 02.2)04.1( 的 近 似 值 .解 .),( yxyxf 设 函 数 .02.0,04.0,2,1 yxyx取 ,1)2,1( f ,),( 1 yx yxyxf ,ln),( xxyxf yy ,2)2,1( xf ,0)2,1( yf由 公 式 得 02.0004.021)04.1( 02.2 .08.1 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 28 设 vuz 2 , xvxu e ,sin ,求 x zdd . 解例 1 xvvzxuuzxz dddddd xxu ecos2 .e2sin xx 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 29 设 tuvz sin ， 而 tu e ， tv cos ， 解 tztvvztuuztz dddddd ttuv t cossine ttt tt cossinecose .cos)sin(cose tttt 例 2 .ddtz求 全 导 数 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 30 设 vz u sine ， 而 xyu ， yxv ， 解 1cosesine vyv uu ,)cos()sin(e yxyxyxy 1cosesine vxv uu .)cos()sin(e yxyxxxy 例 3 求 x z 和 y z . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 注 ： 如 果 函 数 的 自 变 量 只 有 一 个 ， 则 求 导 时 要 用 微分 符 号 d； 否 则 ， 就 要 用 符 号 . 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 31 解例 4 设 22 , yxuxyuz ,求 yzxz , . xfxuufxz yuxxy 2 ，323 yyx yuufyfyz yxyxu 2 .3 23 xyx 令 xyuuyxfz ),( , 或 用 求 导 法 则 ， )( xuxuyxz 等，)3( 22 yxy 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 32 例 6 求 的 偏 导 数 . cos22 23 yz x y 解 设 , ,则2 23u x y cos2v y vz u .1,vz v uu ln ,vz u uv 6 ,u xx 2 ,u yy d 2sin2dv yy 则 zx z uu x 1 6vv u x 2 2 cos2 16 (3 ) cos2yx x y y ddz z u z vy u y v y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 33 1 2 ln ( 2sin2 )v vv u y u u y 2 2 cos2 12 (3 ) cos2yy x y y 2 2 cos2 2 22(3 ) sin2 ln(3 ).yx y y x y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 34 解例 7 求 下 列 函 数 的 偏 导 数 和 全 微 分 . xyyxz e)( )1( e)(dd xyyxz )(dede)( yxyx xyxy )d(de)dd(e)( yxyxxyyx xyxy ,d)1(ed)1(e 22 yxyxxyxy xyxy 所 以 ,)1(e 2 yxyxz xy .)1(e 2 xyxyz xy 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 35 例 8解 由 方 程 1543 zxzyz 确 定 隐 函 数 ),( yxzz ， 视 z 为 yx, 的 二 元 函 数 ),( yxzz , 方 程 两 边 关 于 x 求 偏 导 数 , ，0543 4342 xzzxzzxzxzzy 4 22 3 4 2 ;3 4 5 3 4 5z z zx yz xz z y xz z 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 36 设 04222 zzyx ， 求 2 2xz . 例 9 视 z 为 yx, 的 二 元 函 数 ),( yxzz ,方 程 两 边 关 于 x 求 偏 导 ,得 z xxz 2 , 解 0422 xzxzzx22xz 2)2( )2( z xzxz 2)2( 2)2( z zxxz .)2( )2( 3 22z xz 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 4 2 2 2( , ) 2 ( 1) , ( , ) .f x y y x x x y R 求 的 极 值 点解 由 (3 1)( 1) 0,4 0f x xxf yy 1( ,0) (1,0), .3可 得 出 驻 点 和 它 们 可 能 是 极 值 点因 为 2 2 22 24 6 , 0, 4f f fx x yx y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 21 1( ,0) , 2, 8, ( ,0)3 3A AC B 在 点 所 以 是 极 小 值 .2(1,0) 2, 8, (1,0) .A AC B 在 点 故 不 是 极 值 点 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般 步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 . 第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ),( 00 yx ， 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A、 B、 C.20 0 0 0 00, ( , )0, ( , )AC BA f x yA f x y 在 处 取 极 小 值在 处 取 极 大 值 2 0AC B 02 ACB不 能 判 定处 不 取 极 值 点在 ),( 00 yxf 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 2 2 22 25 ( , ) 2 ( , )| 1 .f x y x x y yD x y x y 例 求 在 圆 域内 的 最 大 值 与 最 小 值 22 (1 2 ) 02( ) 0 xyf x yf x y :(1) ,D f解 先 在 内 求 的 驻 点1 2 32 1 2 1(0,0), ( , ), ( , )2 2 2 2M M M 得 驻 点 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 1 2 3 1( ) 0, ( ) ( ) 4f M f M f M 且 有 2 2(2) 1 ,;x y f 在 边 界 上 化 简 为 一 元 函 数 g可 求 其 最 值 2 3 1 2(1 ) 1 2 2 ( 1 1)g y y y y y 由 22 6 0dg ydy 得 33y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 (3) ,.比 较 函 数 在 所 有 驻 点 和 端 点 处 的 函 数 值可 得 最 大 值 与 最 小 值3 4 3 3 4 3( 1) (1) 1, ( ) 1 , ( ) 13 9 3 9g g g g 比 较可 知 1 2 3 1( ) 0, ( ) ( ) 4f M f M f M 以 及( , ) ( , ) 4 3min ( , ) 0, max ( , ) 1 .9x y D x y Df x y f x y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 7 某 工 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 ， 甲 种 产 品 的 售 价为 每 吨 900元 ， 乙 种 产 品 的 售 价 为 每 吨 1000元 ， 已 知生 产 x吨 甲 种 产 品 和 y吨 乙 种 产 品 的 总 成 本 为2 2( , ) 30000 300 200 3 3 ( ),C x y x y x xy y 元问 甲 、 乙 两 种 产 品 的 产 量 为 多 少 时 ， 利 润 最 大 ？解 设 L(x,y)为 生 产 x吨 甲 种 产 品 和 y吨 乙 种 产 品 所 获得 的 总 利 润 ， 则 2 2( , ) 900 1000 ( , )3 3 600 800 30000.L x y x y C x yx xy y x y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 方 程 组 ( , ) 6 600 0,( , ) 6 800 0,xyL x y x yL x y x y 得 x=80,y=120， 得 唯 一 驻 点 (80,120).于 是 可 以 断 定 ， 当 生 产 80吨 甲 种 产 品 和 120吨 乙 种 产品 时 ， 利 润 最 大 ， 且 最 大 利 润 值 为 L(80,120)=42000(元 ). 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 下 的 极 值 。 在 约 束 条 件： 讨 论 目 标 函 数问 题 0),( ),(1 yx yxfz 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 012002 03 233 22 zyxL yxL yzxL zyxL zyx 解 得 唯 一 驻 点 )2,4,6( ， .6912246 23max u则 故 最 大 值 为 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 二 . 二 重 积 分 的 性 质性 质 1 若 ,为 常 数 ， 则( , ) ( , )d ( , )d ( , )dD D D f x y g x y f x y g x y 性 质 2 若 积 分 区 域 D由 D1， D2组 成 (其 中 D1与 D2除边 界 外 无 公 共 点 )， 则 1 2( , )d ( , )d ( , )dD D Df x y f x y f x y 性 质 3 若 区 域 D的 面 积 为 ,则 d d .D x y 性 质 4 如 果 在 区 域 D上 总 有 ， 则 ( , )d ( , )dD Df x y g x y ( , ) ( , )f x y g x y 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 特 别 有 ( , )d ( , )dD Df x y f x y 性 质 5 设 ),(min),(max yxfmyxfM DD D 的 面 积 为 , Myxfm D d),(则 有性 质 6.(二 重 积 分 的 中 值 定 理 ) ( , )f x y设 函 数 ,),( D ),(),( fdyxfD 为 D 的 面 积 , 则 至 少 存 在 一 点 使 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 计 算 ， 其 中 D是 由 直 线 y=x,x=1及 y=0围 成 的 区 域 2d dD xy x y 区 域 D如 下 图 所 示 若 将 D表 示 为 X-型 区 域 D= (x,y) 0 x1,0yx ,则 由 公 式 (1)得 1 12 20d d d dyD xy x y y xy x 2 421 12 10 0 1d ( )d2 2 2 15y y yxy y y 解 1 例 1 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 将 D表 示 成 Y-型 区 域D= (x,y) 0y1,yx1 1 12 20d d d dyD xy x y y xy x 2 1 2 10 d2 yxy y 2 410( )d2 2y y y 115 解 2 练 习 计 算 2 2d ,1DI x y 其 中 D 为 圆 域 : 2 2 1.x y 解 由 于 原 点 为 D 的 内 点 , 有 2 10 02 2 2d d d1 1D r rx y r 12 220 001 d d 2.r 例 3 求 2 2( )dD x y y ， 其 中 D是 由 圆 x2+ y2=4所 围 成 的 平 面 区 域 1)1( 22 yx解 注 意 到 区 域 D关 于 x轴 对 称 ， y是 奇 函 数d D y =0设 大 圆 所 围 区 域 为 D1， 小 圆 所 围 区 域 为 D2， 则2 2 2 2( )d dD Dx y y x y 1 22 2 2 2d dD Dx y x y 32 2 2cos2 220 0 02 16 32d d d d 3 9 r r r r 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 例 4 计 算 二 重 积 分 dD y x2 2 , )1 2 .D x y x y x （ 解 4( , ) ,1 2cos 3 3D r r ，d D yx 4 2 2cos32 13 1tan ( )d2r ， 其 中 积 分 区 域tan d d D r r 4 2cos32 13 d tan dr r 4 2323 1tan (2cos )d2 432 31 1( cos2 ln cos )2 2 0 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 为 了 简 化 计 算 ， 常 常 选 取 一 些 特 殊 的 趋 于 区 域 D 设 D为 全 平 面 ， 已 知 收 敛 ， 求 其 值 2 2e dx yD 设 为 中 心 在 原 点 ， 半 径 为 R的 圆 域 ， 则RD 2 2( )e dR x yD 2 2)e dx yD （ D例 1解 220 0d e dR r r r 2 012 e2 r R 21 e R 2 2( )lim e dR x yR D 2lim 1 e RR 当 R 时 ， 有 RD D 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 证 明 e d20 2x x 证 如 右 图 所 示 ， , 0 ,0 ,D x y x a y a 2 2 2 , , 0, 0,D x y x y a x y 2 2 22 , 2 , 0, 0,D x y x y a x y 则 有 e d d e d d e d d2 2 2 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )x y x y x yD D Dx y x y x y 例 2 令 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 e d d e d e d e d2 2 2 2 2( ) 20 0 0( )a a ax y x y xD x y x y x 由 例 1知 e d d e2 2 21 ( ) (1 )4x y aD x y e d d e2 2 2 2 ( ) 2(1 )4x y aD x y 从 而 得 e e d e2 2 22 20(1 ) ( ) (1 )4 4aa x ax 令 得a 20 e d .2x x 例 2 判 别 无 穷 级 数 1 12 32n nn 的 收 敛 性 . 解 nnnu 12 32 ,344 1 n已 知 级 数 为 等 比 级 数 ， ,34q公 比,1| q .原 级 数 发 散 例 3 判 别 无 穷 级 数 )12()12( 1531311 nn 的 收 敛 性 . 解 )12)(12( 1 nnun ),12 112 1(21 nn )12()12( 1531311 nnsn )12 112 1(21)5131(21)311(21 nn )12 11(21limlim ns nnn ),12 11(21 n,21 .21, 和 为级 数 收 敛 二 、 基 本 性 质性 质 1 如 果 级 数 1n nu 收 敛 ,则 1n nku 亦 收 敛 . 性 质 2 设 两 收 敛 级 数 1n nus , 1n nv , 则 级 数 1 )(n nn vu 收 敛 ,其 和 为 s . 结 论 : 级 数 的 每 一 项 同 乘 一 个 不 为 零 的 常 数 ,敛 散 性 不 变 .结 论 : 收 敛 级 数 可 以 逐 项 相 加 与 逐 项 相 减 . 例 5 求 级 数 1 21)1( 5n nnn 的 和 . 解 1 21)1( 5n nnn 1 )1( 5n nn 121n n 11 1115)1( 5 nn nnnn nkn kkg 1 1115令 ),111(5 n ,5)111(lim5lim ng nnn ,211 是 等 比 级 数n n ，首 项 是公 比 21,121qnnn n h lim211 .61521)1( 51 n nnn故 ,121121 且 ),2,1( nvu nn ,若 1n nv 收 敛 ,则 1n nu 收 敛 ； 反 之 ， 若 1n nu 发 散 ， 则 1n nv 发 散 .证 明 nn uuus 21且 1)1( n nv设 ,nn vu ,即 部 分 和 数 列 有 界 .1 收 敛 n nu 均 为 正 项 级 数 ，和设 11 n nn n vu3.比 较 审 敛 法 nvvv 21 大收则小收，小散则大散。 一 、 交 错 级 数 及 其 审 敛 法定 义 : 正 、 负 项 相 间 的 级 数 称 为 交 错 级 数 .nn nnn n uu 11 1 )1()1( 或 莱 布 尼 茨 定 理 如 果 交 错 级 数 满 足 条 件 :( ) ),3,2,1(1 nuu nn ;( ) 0lim nn u , 则 级 数 收 敛 ,且 其 和 1us ,其 余 项 nr 的 绝 对 值1 nn ur . )0( nu其 中 例 2 判 定 级 数 的 敛 散 性 .11( 1) 2n nn n 解(1) ,2n nnu lim lim 02 n nn n nu (2) 易 见 ， 这 是 个 交 错 级 数 ， 应 用 莱 布 尼 茨 定 理如 何 判断 单 调性 ？1 1 11 1 0,2 2 2n n n n nn n nu u 原 级 数 收 敛 .1n nu u 即 二 、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 定 义 :若 1n nu 收 敛 , 则 称 1n nu 为 绝 对 收 敛 ; 解 ,1sin 22 nn n ,11 2 收 敛而 n n,sin1 2 n n n 收 敛故 由 定 理 知 原 级 数 绝 对 收 敛 .练 习 ： 1 sin(2 ) .!nn xn 判 断 敛 散 性 NOTE： （ 灰 常 重 要 ）1 1(1) .n nn nu u 若 收 敛 ， 则 一 定 收 敛1(2) nn u若 发 散 （ 比 值 法判 别 法 选 取 或 根 值 法 ） ， 1 nn u则 一 定 发 散 . 1, nnIn fact u 发 散1lim 1nn nuu lim 0nn u lim 0nn u 1 nn u 发 散 . NOTE： （ 灰 常 重 要 ）1 1(1) .n nn nu u 若 收 敛 ， 则 一 定 收 敛1(2) nn u若 发 散 （ 比 值 法判 别 法 选 取 或 根 值 法 ） ， 1 nn u则 一 定 发 散 . 1, nnIn fact u 发 散1lim 1nn nuu lim 0nn u lim 0nn u 1 nn u 发 散 . (3) 1x 时 1 1 1( 1)nnn nu n 调 和 级 数 收 敛思 考 题 设 正 项 级 数 1n nu 收 敛 , 能 否 推 得 1 2n nu 收 敛 ?反 之 是 否 成 立 ? 例 1 试 求 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 .0 nn x解 因 为sn(x)=1+x+x2+xn= 11 nxx所 以 ， 当 |x| 1时 ，lim ( ) nn s x 1 1=lim 1 1nn xx x 易 知 ， 当 |x|1时 ， 级 数 发 散 故 级 数 的 收 敛 域为 (-1， 1) 例 2 求 级 数 nn n xn )11()1(1 的 收 敛 域 . 解 由 达 朗 贝 尔 判 别 法)( )(1 xu xu nn xnn 1 11 )(1 1 nx,11 1)1( x当 ,20 时或即 xx 原 级 数 绝 对 收 敛 .,11 x ,11 1)2( x当 ,11 x,02 时即 x 原 级 数 发 散 .,0时当 x 1 )1(n nn级 数 收 敛 ;,2时当 x 11n n级 数 发 散 ; ).,0)2,( 故 级 数 的 收 敛 域 为,1|1|)3( x当 ,20 xx 或 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 令,xyu ,xuy 则代入原方程得,dddd xuxuxy )(dd uxuxu xxuu u d)(d 两边积分, 得 xxuu u d)(d解法:分离变量: 积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解. 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 .cos2 xey x 求解解: 12 cos Cxdxey x 12 sin21 Cxe x xey 241 xey 281 11 21CC 此处xsin 21xC 32 CxC xcos 21 CxC 例1 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 相 继 积 分 三 次 得 出 : ),(xpy 设,py 则代入方程得 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 .02 yyy解: ),(ypy 设xpy dd则dd dd yyp x yppdd例5 求解代入方程得,0dd 2 pyppy yypp dd 即两端积分得,lnlnln 1Cyp ,1yCp 即yCy 1 (一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy 12 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 内 容 小 结可降阶微分方程的解法 降阶法)(.1 )( xfy n 逐次积分),(.2 yxfy 令,)(xpy xpy dd则),(.3 yyfy 令,)(ypy yppy dd则 2 0r p r q 第 二 步 求 出 特 征 根 .第 三 步 根 据 特 征 根 的 情 况 按 下 表写 出 对 应 微 分 方 程 的 通 解 上 一 页目 录 下 一 页 退 出xrxr eCeCy 21 21 21 rr 实 根 221 prr xrexCCy 1)( 21 ir , 21 )sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 通 解 第 一 步 写 出 微 分 方 程 的 特 征 方 程求 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 的 步 骤 如 下 例 2 求 方 程 5 6 0y y y 的 通 解 .解 方 程 5 6 0y y y 的 特 征 方 程 为2 5 6 0r r 1 26, 1r r 61 2e ex xy C C 其 特 征 根 为 且 互 异 ， 所 以 方 程 的 通 解 为 . 上 一 页目 录 下 一 页 退 出032 yyy求方程的 通 解 .解 : 特 征 方 程 ,0322 rr 特 征 根 : ,3,1 21 rr因 此 原 方 程 的 通 解 为 xx eCeCy 321 练 习 解 特 征 方 程 为2 4 4 0r r 故 所 求 微 分 方 程 的 通 解 为 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 特 征 方 程 为2 4 13 0r r 故 所 求 微 分 方 程 的 通 解 为 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 10.5.4 三 种 特 殊 形 式 的 非 齐 次 方 程 的 解 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 1332 xyyy求方程的一个特解.解: 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,* 10 bxby 代入方程 :13233 010 xbbxb比较系数, 得 33 0 b 132 10 bb 31,1 10 bb于是所求特解为.31* xy0 ,0例5（补充题）（自行练习课本例5） 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 上 一 页目 录 下 一 页 退 出 解 上 一 页目 录 下 一 页 退 出
展开阅读全文