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第 2章2.1合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.学习目标 栏目索引 知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自 主 学 习知识点一推理的定义与结构形式1.定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做 .思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？答案不一定完全可靠.(2)推理一般用哪些关联词？答案推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为 所以 ” “根据 可知 ” “如果 那么 ”“若 则 ” . 答案 前提结论 知识点二归纳推理与类比推理 答案 定义特征一般模式思维过程归纳推理从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理归纳推理是由 、由_的推理S1具有性质PS2具有性质P S n具有性质P ( S 1，S2，Sn是A类事物对象)所以A类事物具有性质P实验、观察概括、推广猜测一般性结论部分到整体个别到一般 答案 类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同.像这样的推理通常称为类比推理类比推理是由 的推理A类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质a，b，c (a，b，c与a，b，c相似或相同)所以B类事物可能具有性质d观察、比较联想、类推猜测新的结论特殊到特殊 思考归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 答案 知识点三合情推理1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.合情推理的过程思考由合情推理得到的结论可靠吗？答案一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了. 答案返回 题型探究 重 点 突 破 解析答案 题型一归纳推理的应用例1已知数列an的第1项a12，且an1 (n1,2， )，试归纳出这个数列的通项公式.由此发现分母依次为1,3,5,7，分子都是2. 反思与感悟 反思与感悟求数列an的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a1，a2，a3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式. 解析答案 (1)求出S1，S2，S3，S4； 解析答案 (2)猜想该数列的前n项和Sn并证明. 解析答案 题型二类比推理的应用例2在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边AB，BC所成的角分别为，则cos2cos21.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明. 反思与感悟 于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.证明如下：如图(2)， 反思与感悟 反思与感悟类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚. 解析答案 跟踪训练2“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ” .对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R_.解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R . 归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)n2n41，n N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n40验证猜想是否正确.易错易混 合情推理的应用 解析答案返回 解f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)8 2841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.解析答案 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，归纳猜想：当n N*时，f(n)n2n41的值都为质数.验证：当n40时，f(40)402404140(401)414141. f(40)是合数，由上面归纳推理得到的猜想不正确. 返回 当堂检测 解析答案而分母b则为该数的平方减1. 6 35 解析答案类比正切的和角公式， nx xn n 个 nn解析答案 答案 解析答案 5.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a13，an12an1；解由已知可得a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想an2n11 (n N*). 解析答案 解析答案对一切的n N*，an0， a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(n N*). 课堂小结 返回 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).
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