厦门大学《应用多元统计分析》第07章因子分析

第 七 章 因 子 分 析第 一 节 引 言 第 二 节 因 子 分 析 模 型 第 三 节 因 子 载 荷 矩 阵 求 解 第 四 节 公 因 子 重 要 性 的 分 析 第 五 节 实 例 分 析 与 计 算 机 实 现 第 一 节 引 言n 一 般 认 为 因 子 分 析 是 从 Charles Spearman在 1904年 发 表 的 文章 对 智 力 测 验 得 分 进 行 统 计 分 析 开 始 ， 他 提 出 这 种 方 法用 来 解 决 智 力 测 验 得 分 的 统 计 方 法 。 目 前 因 子 分 析 在 心 理 学 、社 会 学 、 经 济 学 等 学 科 中 都 取 得 了 成 功 的 应 用 ， 是 多 元 统 计分 析 中 典 型 方 法 之 一 。 n 因 子 分 析 (factor analysis)也 是 一 种 降 维 、 简 化 数 据 的 技 术 。它 通 过 研 究 众 多 变 量 之 间 的 内 部 依 赖 关 系 ， 探 求 观 测 数 据 中的 基 本 结 构 ， 并 用 少 数 几 个 “ 抽 象 ” 的 变 量 来 表 示 其 基 本 的数 据 结 构 。 这 几 个 抽 象 的 变 量 被 称 作 “ 因 子 ” ， 能 反 映 原 来众 多 变 量 的 主 要 信 息 。 原 始 的 变 量 是 可 观 测 的 显 在 变 量 ， 而因 子 一 般 是 不 可 观 测 的 潜 在 变 量 。 n 例 如 ， 在 商 业 企 业 的 形 象 评 价 中 ， 消 费 者 可 以 通 过 一 系 列 指标 构 成 的 一 个 评 价 指 标 体 系 ， 评 价 百 货 商 场 的 各 个 方 面 的 优劣 。 但 消 费 者 真 正 关 心 的 只 是 三 个 方 面 ： 商 店 的 环 境 、 商 店的 服 务 和 商 品 的 价 格 。 这 三 个 方 面 除 了 价 格 外 ， 商 店 的 环 境和 服 务 质 量 ， 都 是 客 观 存 在 的 、 抽 象 的 影 响 因 素 ， 都 不 便 于直 接 测 量 ， 只 能 通 过 其 它 具 体 指 标 进 行 间 接 反 映 。 因 子 分 析就 是 一 种 通 过 显 在 变 量 测 评 潜 在 变 量 ， 通 过 具 体 指 标 测 评 抽象 因 子 的 统 计 分 析 方 法 。 又 比 如 ， 在 研 究 区 域 社 会 经 济 发 展中 ， 描 述 社 会 与 经 济 现 象 的 指 标 很 多 ， 过 多 的 指 标 容 易 导 致分 析 过 程 复 杂 化 。 一 个 合 适 的 做 法 就 是 从 这 些 关 系 错 综 复 杂的 社 会 经 济 指 标 中 提 取 少 数 几 个 主 要 因 子 ， 每 一 个 主 要 因 子都 能 反 映 相 互 依 赖 的 社 会 经 济 指 标 间 共 同 作 用 ， 抓 住 这 些 主要 因 素 就 可 以 帮 助 我 们 对 复 杂 的 社 会 经 济 发 展 问 题 进 行 深 入分 析 、 合 理 解 释 和 正 确 评 价 。 n 因 子 分 析 的 内 容 非 常 丰 富 ， 常 用 的 因 子 分 析 类 型 是 R型 因 子分 析 和 Q型 因 子 分 析 。 R型 的 因 子 分 析 是 对 变 量 作 因 子 分 析 ，Q型 因 子 分 析 是 对 样 品 作 因 子 分 析 。 本 章 侧 重 讨 论 R型 因 子分 析 。 第 二 节 因 子 分 析 模 型一 因 子 分 析 的 数 学 模 型 二 因 子 载 荷 阵 的 统 计 意 义 一 、 因 子 分 析 的 数 学 模 型 n 无 论 是 R型 或 Q型 因 子 分 析 ， 都 用 公 共 因 子 F代 替 X， 一 般 要求 mp， m2时 ， 我 们 可 以 逐 次 对 每 两 个 公 共 因 子 和 进 行 上 述 旋 转 。对 公 因 子 Fl和 Fk进 行 旋 转 ， 就 是 对 A的 第 l和 k两 列 进 行 正 交变 换 ， 使 这 两 列 元 素 平 方 的 相 对 方 差 之 和 达 到 最 大 ， 而 其 余各 列 不 变 ， 其 正 交 变 换 矩 阵 为 二 、 因 子 得 分n n 第 五 节 实 例 分 析 与 计 算 机 实 现一 利 用 SPSS进 行 因 子 分 析 二 因 子 分 析 在 市 场 研 究 中 的 应 用 一 、 利 用 SPSS进 行 因 子 分 析n （ 一 ） 操 作 步 骤1. 在 SPSS窗 口 中 选 择 AnalyzeData ReductionFactor， 调出 因 子 分 析 主 界 面 图 (7.1)， 并 将 变 量 X1X13移 入 Variables框 中 。 图 7.1 因 子 分 析 主 界 面 2. 点 击 Descriptives按 钮 ， 展 开 相 应 对 话 框 ， 见 图 7.2。 选 择Initial solution复 选 项 。 这 个 选 项 给 出 各 因 子 的 特 征 值 、 各因 子 特 征 值 占 总 方 差 的 百 分 比 以 及 累 计 百 分 比 。 单 击Continue按 钮 ， 返 回 主 界 面 。 图 7.2 Descriptives子 对 话 框 3. 点 击 Extraction按 钮 ， 设 置 因 子 提 取 的 选 项 ， 见 图 7.3。 在Method下 拉 列 表 中 选 择 因 子 提 取 的 方 法 ， SPSS提 供 了 七 种提 取 方 法 可 供 选 择 ， 一 般 选 择 默 认 选 项 ， 即 “ 主 成 分 法 ” 。在 Analyze栏 中 指 定 用 于 提 取 因 子 的 分 析 矩 阵 ， 分 别 为 相 关矩 阵 和 协 方 差 矩 阵 。 在 Display栏 中 指 定 与 因 子 提 取 有 关 的输 出 项 ， 如 未 旋 转 的 因 子 载 荷 阵 和 因 子 的 碎 石 图 。 在Extract栏 中 指 定 因 子 提 取 的 数 目 ， 有 两 种 设 置 方 法 ： 一 种是 在 Eigenvalues over后 的 框 中 设 置 提 取 的 因 子 对 应 的 特 征值 的 范 围 ， 系 统 默 认 值 为 1， 即 要 求 提 取 那 些 特 征 值 大 于 1的因 子 ； 第 二 种 设 置 方 法 是 直 接 在 Number of factors后 的 矩 形框 中 输 入 要 求 提 取 的 公 因 子 的 数 目 。 这 里 我 们 均 选 择 系 统 默认 选 项 ， 单 击 Continue按 钮 ， 返 回 主 界 面 。 图 7.3 Extraction子 对 话 框 4.点 击 Rotation按 钮 ， 设 置 因 子 旋 转 的 方 法 。 这 里 选 择Varimax(方 差 最 大 旋 转 )， 并 选 择 Display栏 中 的 Rotated solution复 选 框 ， 在 输 出 窗 口 中 显 示 旋 转 后 的 因 子 载 荷 阵 。单 击 Continue按 钮 ， 返 回 主 界 面 。 图 7.4 Rotation子 对 话 框 5.点 击 Scores按 钮 ， 设 置 因 子 得 分 的 选 项 。 选 中 Save as variables复 选 框 ， 将 因 子 得 分 作 为 新 变 量 保 存 在 数 据 文 件 中 。选 中 Display factor score coefficient matrix复 选 框 ， 这 样 在 结果 输 出 窗 口 中 会 给 出 因 子 得 分 系 数 矩 阵 。 单 击 Continue按 钮返 回 主 界 面 。 6. 单 击 OK按 钮 ， 运 行 因 子 分 析 过 程 。 图 7.5 Scores子 对 话 框 （ 二 ） 主 要 运 行 结 果 解 释1. Communalities（ 给 出 变 量 共 同 度 ）变 量 共 同 度 反 映 每 个 变 量 对 所 提 取 的 所 有 公 共 因 子 的 依 赖 程 度 ，此 数 值 是 因 子 载 荷 阵 中 每 一 行 的 因 子 载 荷 量 的 平 方 和 ， 提 取 的因 子 个 数 不 同 ， 变 量 共 同 度 也 不 同 。2. Total Variance Explained（ 给 出 各 公 因 子 方 差 贡 献 表 ）Initial Eigenvalues给 出 初 始 相 关 矩 阵 或 协 差 阵 矩 阵 的 特 征 值 ，用 于 确 定 哪 些 因 子 应 该 被 提 取 ， 共 有 三 项 ： Total列 为 各 因 子对 应 的 特 征 值 ， 本 例 中 共 有 四 个 因 子 对 应 的 特 征 值 大 于 1， 因此 应 提 取 相 应 的 四 个 公 因 子 ； % of Variance列 为 各 因 子 的 方 差贡 献 率 ； Cumulative %列 为 各 因 子 的 累 积 方 差 贡 献 率 ， 由 表7.1可 以 看 出 ， 前 四 个 因 子 已 经 可 以 解 释 89.651%的 方 差 。Rotation Sums of Squared Loadings给 出 提 取 出 的 公 因 子 经 过旋 转 后 的 方 差 贡 献 情 况 。 表 7.1 特 征 根 与 方 差 贡 献 率 表 表 7.2 旋 转 前 因 子 载 荷 阵 表 7.3 旋 转 后 因 子 载 荷 阵 Rotated Component Matrix 4.714E-02 .925 -.130 5.040E-02 .221 .950 5.080E-02 .104 .183 1.323E-02 .895 .152 .176 -4.567E-02 .880 .134 .174 .909 .109 .101 .724 .150 .470 .350 .236 .104 .166 .938 .232 .110 .157 .943 .843 3.187E-02 -.267 4.853E-02 .845 .157 .255 6.884E-02 .848 .214 .235 .254 .782 .163 .431 .387 .793 .193 .445 .302 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 1 2 3 4 Component 注 意 ： 在 因 子 表 达 式 中 的 各 变 量 为 进 行 标 准 化 变 换 后 的 标 准 变量 ， 均 值 为 0， 标 准 差 为 1。7. 由 于 我 们 已 经 在 Scores子 对 话 框 中 选 择 了 Save as variables复 选 框 ， 因 此 ， 因 子 得 分 已 经 作 为 新 的 变 量 保 存 在 数 据 文 件中 ， 变 量 名 分 别 为 fac1_1、 fac2_1、 fac3_1和 fac4_1。 此 后 ，我 们 还 可 以 利 用 因 子 得 分 进 行 其 他 的 统 计 分 析 。 表 7.4 因 子 得 分 系 数 矩 阵 二 、 因 子 分 析 在 市 场 研 究 中 的 应 用n 表 7.5是 研 究 消 费 者 对 购 买 牙 膏 偏 好 的 调 查 数 据 。 通 过 市 场的 拦 截 访 问 ， 用 7级 量 表 询 问 受 访 者 对 以 下 陈 述 的 认 同 程 度（ 1表 示 非 常 不 同 意 ， 7表 示 非 常 同 意 ） 。V1： 购 买 预 防 蛀 牙 的 牙 膏 是 重 要 的 ；V2： 我 喜 欢 使 牙 齿 亮 泽 的 牙 膏 ；V3： 牙 膏 应 当 保 护 牙 龈 ；V4： 我 喜 欢 使 口 气 清 新 的 牙 膏 ；V 5： 预 防 坏 牙 不 是 牙 膏 提 供 的 一 项 重 要 利 益 ；V6： 购 买 牙 膏 时 最 重 要 的 考 虑 是 富 有 魅 力 的 牙 齿 。 表 7.5 牙 膏 属 性 评 分 得 分 表 n 将 表 7.5中 的 数 据 通 过 SPSS进 行 因 子 分 析 ， 得 到 相 关 结 果 是 ：1. 特 征 根 和 累 计 贡 献 率 表 7.6 方 差 贡 献 率 表 从 表 7.6可 以 看 出 ， 提 取 两 个 因 子 累 计 方 差 贡 献 率 就 达 到 82%，第 三 个 特 征 根 相 比 下 降 较 快 ， 因 此 我 们 选 取 两 个 公 共 因 子 。2.因 子 的 含 义为 了 得 到 意 义 明 确 的 因 子 含 义 ， 我 们 将 因 子 载 荷 阵 进 行 方 差 最大 法 旋 转 ， 得 到 旋 转 后 的 因 子 载 荷 矩 阵 如 下 表 7.7。 表 7.7 旋 转 后 因 子 载 荷 矩 阵 n 从 因 子 载 荷 阵 可 以 看 出 ： 因 子 1与 V1（ 预 防 蛀 牙 ） ， V3（ 保护 牙 龈 ） ， V5（ 预 防 坏 牙 ） 相 关 性 强 ， 其 中 V5的 载 荷 是 负 数 ，是 由 于 这 个 陈 述 是 反 向 询 问 的 ； 因 子 2与 V2（ 牙 齿 亮 泽 ） ，V4（ 口 气 清 新 ） ， V6（ 富 有 魅 力 ） 的 相 关 系 数 相 对 较 高 。 因此 ， 我 们 命 名 因 子 1为 “ 护 牙 因 子 ” ， 是 人 们 对 牙 齿 的 保 健态 度 ； 因 子 2是 “ 美 牙 因 子 ” ， 说 明 人 们 “ 通 过 牙 膏 美 化牙 齿 影 响 社 交 活 动 ” 的 重 视 。 从 这 两 方 面 分 析 ， 对 牙 膏 生产 企 业 开 发 新 产 品 都 富 有 启 发 意 义 。 本 章 结 束