高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab 都在 S 内，那么称 S 是一个数环。 定义 2 设 F 是一个数环。如果 (i)F 是一个不等于零的数； a (ii)如果a、be F,，并且b丰0， - e F，那么就称F是一个数域。 b 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义 1 数环 R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 (1) a + a x + a x2 h f a xn， 0 1 2 n 是非负整数而a ,a ,a，…a都是R中的数。 0 1 2 n 项式(1)中，a叫作零次项或常数项，axi叫作一次项，一般，a叫作i次项的系数。 0ii 定义2若是数环R上两个一元多项式f (x)和g (x)有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说f (x)和g (x)就说是相等 f (x)= g (x) 定义3 a xn叫作多项式a + ax + a x 2 f f a xn，a丰0的最高次项，非负整数n叫作 n 0 1 2 n n 多项式a + a x + a x2 f f a xn， a 丰0的次数。 0 1 2 n n 定理2.1.1设f (x)和g (x)是数环R上两个多项式，并且f (x)H 0，g (x)H 0，那么 (i) 当 f (x)+ g (x)H 0时， d 0(f(x)+ g (x ))< max (0 (f (x )), d 0 (g (x))); (ii) 6 0 (f (x) g (x))= 6 0 (f (x))+ 6 0 (g (x)) o 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1 ) 加法交换律： f (x)+ g (x)= g (x)+f (x)； 2) 3) 4) 5) 加法结合律： (f (x)+ g (x))+ h (x)= f (x)+ (g (x)+ h (x))； 乘法交换律： f (x ) g (x )= g (x ) f (x)； 乘法结合律： (f (x) g (x))h (x)= f (x)(g (x)h (x))； 乘法对加法的分配律： f (x)(g (x)+ h (x))= f (x) g (x)+ f (x)h (x)。 推论2.1.1 f (x)g (x) = 0当且仅当f (x)和g (x)中至少有一个是零多项式 推论 2.1.2 若 f (x)g (x)= f (x)h(x)，且 f (x0，那么 g (x)= h(x) 2.2 多项式的整除性 设F是一个数域。f L］是F上一元多项式环 定义令f (x)和g (x)是数域F上多项式环f L］的两个多项式。如果存在f L］的多项式 h(x)，使g(x)= f (x)h(x)，我们说，f (x)整除(能除尽)g(x)。 多项式整除的一些基本性质： 1)女口果 f (x)| g (x)，g (x)| h(x)，那么 f (x)| h(x) 2) 如果 h (x)| f (x)， h (x)| g (x)，那么 h (x)|(f (x)土 g (x)) 3)如果h(x)| f (x)，那么对于f 口中的任意多项式g (x)来说，h(x)| f (x)g (x) 4) 果h(x)| f (x),i = 1,2,3,…,t,那么对于 f Ex］中任意 g (x)，i = 1,2,3,…,t, i i h(x)|(f (x) g (x)±f (x) g (x)±・・・±f (x) g (x)) 1 1 2 2 i i 5) 次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。 6) 每一个多项式f (x)都能被f (x)整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。 7)如果f (x)| g (x)，g (x)| f (x)，那么f (x)二cg(x)，这里c是F中的一个不等于 零的数 设f (x)， g (x)是两个任意的多项式，并且g (x0。那么 f(x) 可以写成以下形式 f (x )= g (x )q (x)+ r (x)， 这里r (x)= 0，或者r (x) 的次数小于 g (x) 的次数。 定理221设f (x)和g (x)是f ［x］的任意两个多项式，并且g (x)H 0。那么在f ［%］中 可以找到多项式q (x)和r (x)，使 定义1令设f (x)和g (x)是f ［x］的任意两个多项式，若是f ［x］的一个多项式h (x ) 同时整除f (x)和g (x)，那么h (x) 叫作f (x)与g (x)的一个公因式。 3) f (x)= g (x)q (x)+ r (x) 这里或者r (x) = 0，或者 r(x) 的次数小于 g(x) 的次数，满足以上条件的多项式 q (x )和厂(x )只有一对。 设数域F含有数域F而f (x)和g (x)是f ［x］的两个多项式，如果在f L］里g (x)不能 整除 f (x)， 那么在F ［x］里g (x)也不能整除f (x)。 1) 定义1假定h(x)是f (x)和g (x)的任一公因式，那么由 2) 3) r (x)= r (x)q (x)+ r (x), 厂(x)= ktx)+ r (x1), 厂(x)= tx) k k-i k+i 中的第一个等式， h(x) 也一定能整除r (x)。 同理，由第二个等式， h(x) 也一定能整 1 除r2(x)。如此逐步推下去，最后得出h (x )能整除rk (x )，这样，rk(x)的确是f (x ) 和g (x)的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 4) 定 义 2 设 以 g (x) = x - a 除 f (x) =a xn + a xn-1 +•・・+ax + a 时，所得的商 ~ 1 0 n n -1 q (x ) = b xn-1 + b xn - 2 +•・・ + bx + b 及 n-1 n 一 2 1 0 比较 f (x) = g (x)q (x)+ r (x) 两 端 同次 幂的 系数 得 b b = a + ab ， c = a + ab ， 这种计算 可 以 排 成 以 下 格 式 0 1 1 00 0 a a a … a a a n n-1 n—2 1 0 +) ab n一1 +)ab n一2— …+) ab 1 +) ab 0- b (= a ) b b … b | c n -1 n n-2 n-3 0 0 5) 用这种方法求商和余式(的系数)称为综合除法。 b = a + ab n-2 n-1 n -1 =a n -1 n 6)2.3 多项式的最大公因式 7)设F是一个数域。f L］是F上一元多项式环 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 定义2设d (x)是多项式f (x)与g (x)的一个公因式。若是d (x)能被f (x)与g (x) 的每一个公因式整除，那么d (x) 叫作f (x)与g (x)的一个最大公因式。 定理2.3.1 f 的任意两个多项式f (x)与g (x)—定有最大公因式。除一个零次因 式外，f (x)与g (x)的最大公因式是唯一确定的，这就说，若d (x)是f (x)与g (x) 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与d (x)的乘积cd (x)也是 f (x)与g (x)的一个最大公因式；而且当f (x)与g (x)不完全为零时，只有这样的乘 积才是f (x)与g (x)的最大公因式。 从数域F过度渡到数域F时，f (x)与g (x)的最大公因式本质上没有改变。 定理2.3.2若d (x)是f Lx］的多项式f (x)与g (x)的最大公因式，那么在f Lx］里可 以求得多项式u (x)和v (x)，使以下等式成立： 2) f (x )u (x )+ g (x)v (x )=d (x )。 注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令f(x)= x, g (x)=x+l，那么以下等式成 立：x(x + 2)+(x+l)(x-l)= 2x2 + 2x一 1 但2x2 + 2x-1 显然不是f (x)与 g (x)的最 大公因。 定义3如果f Lx］的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这 两个多项式互素。 定理2.3.3 f Lx］的两个多项式f (x)与g (x)互素的充要条件是：在f Lx］中可以求 得多项式u (x(x)，使 (4) f (x )u (x )+ g (x )v (x)=1 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实： 若多项式f (x)与g (x)都与多项式h(x)互素，那么乘积f (x)g (x)也与h (x) 互素。 若多项式h (x) 整除多项式f (x)与g (x)的乘积，而h (x) 与f (x)互素，那么h(x) 一 定整除g (x)。 21)若 多 项 式 g (x) 与h (x) 都整除多项式 f (x) ， 而g (x) 与h (x) 互素，那么乘积 g (x )h (x ) 也整除 f (x) 最大公因式的定义可以推广到n(n > 2)个多项式的情形： 若是多项式h (x) 整除多多项式f (x),f (x),…,f (x)中的每一个，那么h (x) 叫作这n 1 2 n 个多项式的一个公因式。若是f (x),f (x),•••,/ (x)的公因式d(x)能被这n个多项式的 1 2 n 每一个公因式整除，那么d (x)叫作f (x),f (x),…,f (x)的一个最大公因式。 1 2 n 若d (x) 是多项式f (x), f (x)，…,f (x)的一个最大公因式，那么d (x) 是多项式 012 n-1 0 f(x) 的最大公因式也是多项式f (x),f (x),・・・,f (x)的最大公因式。 n 1 2 n-1 若多项式f (x),f (x),・・・,f (x)除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多 1 2 n 项式互素。 2.4 多项式的分解 定义1 f ［x］的任何一个多项式f (x)，那么F的任何不为零的元素c都是f (x)的因式， 另一方面， c 与 f (x) 的乘积c f (x)也总是f (x)的因式。我们把f (x)这样的因式 叫作它的平凡因式， 定义2令f (x)是f Lx］的一个次数大于零的多项式。若是f (x)在f ［x］只有平凡因式， f (x)说是在数域F上(或在f ［x］中)不可约。若f (x)除平凡因式外，在f ［x］中 还有其他因式，f (x)就说是在F上(或在f L］中)可约。 如果f Lx］的一个n (n>0)次多项式能够分解成f Lx］中两个次数小于n的多项式 g (x)与力(x)的乘积： (1) f (x)= g (x)h (x)， 那么f (x)在F上可约。 若是f (x)在f L］中的任一个形如(1)的分解式总含有一个零次因式，那么f (x)在F 上不可约。 不可约多项式的一些重要性质： 1) 如果多项式p(X)不可约，那么F中任一不为零的元素c与p(X)的乘积c p (x)也不可 约。 2) 设p(x)是一个不可约多项式而f (x)是一个任意多项式，那么或者p(x)与f (x)互 素，或者p (x )整除f (x )。 3) 如果多项式f (x)与g (x)的乘积能被不可约多项式p(x)整除，那么至少有一个因式 被整除。 4) 如果多项式f (x),f (x),•••,/(x)(s > 2)的乘积能被不可约多项式p(x)整除，那么 1 2 s 至少有一个因式被p (x)整除。 定理2.4.1 f ［x］的每一个n(n>0)次多项式f (x)都可以分解成f Lx］的不可约多项式的乘 积。 定理2.4.2令f (x)是f Lx］的一个次数大于零的多项式，并且 f (x)= p (x)p (x)・・・ p (x)=q (x)q (x)…q (x) 1 2 r 1 2 s 此处c.与q (x)(i = 1,2,…,r, j = 1,2,…,s)都是f 口的不可约多项式，那么 i j r = s，并且适当调换q (x)的次序后可使q (x)= c (x)p (x),i = 1,2,…,r, j j i i 此处c (x)是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多 i 项式f (x )分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。 形如 f (x)二ap (x)k1 p (x)k2・・・p (x)kt的多项式叫作多项f (x)的典型分解式，每一个 1 2 t 典型分解式都是唯一确定的。 2.5 重因式 定义f L］的多项式 f(x) =a + ax + a x +•・・+a xn 0 1 2 2 n 的导数或一阶导数指的是f ［x］的多项式f(x)=叮2a2x +…+ nanxn一1 一阶导数f (x) 的导数叫作 f (x) 的二阶导数，记作f"(x)，f"(x)的导数叫作f (x )的 三阶导数，记作f'〃(x)，等等。f (x)的k阶导数也记作f(k)(x)。 关于和与积的导数公式仍然成立： [f (x )+ g (x )]' = f (x ) + g (x ) 1) 2) [f (x ) g (x )] = f (x ) g (x)' + g (x ) f (x)' 定理 2.5.1 [f (x)k ] = f (x)kT f (x) 设p (x)是多项式f (x)的一个k (k > 1)重因式。那么p (x)是f (x)的导数的 一个 k-1 重因式。 定理2.5.2多项式f (x)没有重因式的充要条件是f (x)与它的导数f'(x)互素。 2.6 多项式函数 多项式的根 设给定了 1 eR的一个多项式 f(x) =a + ax + a x2 +•・・+a xn 0 1 2 n 和一个数ce R,那么在f (x)的表示式里，把x用c来代替，就得到R的一个数 a + a c + a c2 + ••• + a cn 0 1 2 n 这个数叫作当x = c时，f (x)的值，并且用f (c)来表示。对于R上的每一个数C,就有 R中唯一确定的数f (c)与它对应。就得到R与R的一个影射。这个影射是由多项式f (x) 所确定的，叫作R上的一个多项式函数。 定理2.6.1设f (x)e R 口,c e R，用x — c除f (x)所得的余式等于当x = c时f (x)的值 定义 令f (x)是RLx]的一个多项式而c是R中的一个数，若是当x = c时f (x) 的值 f (C) = 0，那么c叫作f (x)在数环R中的一个根。 定理 2.6.2 数C是f (x)的根的充要条件是f (x)能被x - c整除。 定理 2.6.3 设x-c是R中一个n > 0次多项式。那么f (x)在R中至多有n个不同的根。 定理 2.6.4 设f (x)与g (x)是R的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中 n+1个或更多不同的数来代替x时，每次所得f (x)与g (x)的值都相等，那么 f (x)二g (x)。 定理2.6.5 R［x］的两个多项式f (x)与& (x)相等，当且仅当她们所定义的R上多项式函 数相等。 ()n+1 b (x — a )・・・(x — a )(x — a f (x丿二工于 )( 亠 a — a a —a n+1 —a i=1 i 1 i i—1 i i+1 a - a a 一 a i i+1 n+1 这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。 2.7 复数和实数域上多项式 定理2.7.1 (代数基本定理)任何n(n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根。 定理2.7.2任何n(n > 0)次多项式在复数域中有n个根(按重根重数计算)。 复数域C上任一n(n > 0)次多项式可以在C里分解为一次因式的乘积。负数域上任一 次大于 1 的多项式都是可约的。 定理2.7.6若实数多项式f (x)有一个非实的复数根Q ,那么的共轭数'也是f (x)的根， 并且a与&有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两 成对。 定理 2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式 定理 2.7.5 每一个次数大于 0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因 式的乘积。 2.8 有理数域上多项式 令f (x)是整数环Z上的一个n(> 0)次多项式。如果存在g (x),h(x)g Z［(x)］，它们 的次数都小于n，使得f (x)= g (x)h(x)， (1) 那么f (x)、g(x)、h(x)自然可以看成有理数域Q上的多项式。等式(1)表明，f (x)在 Q L］中是可约的。 定义 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素，那么f (x)叫作一个原本多项式。 引理 2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。 定理2.8.1若是一个整系数n(> 0)次多项式f (x)在有理数域上可约，那么f (x)总可以 分解成次数都小于 n 的两个整系数多项式的乘积。 定理2.8.2 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设 f(x) =a + a x + a x2 + •・・+a xn 0 1 2 n 是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p,使得 (i) 最高次项系数a不能被p整除； n (ii) 其余各项都能被p整除； (iii) 常数项a不能被p2整除， 0 那么多项式f (x)在有理数域上不可约。 有理数域上任意次的不可约多项式都存在。 定理 2.8.3 设 f (x) -a是一个整系数多项式。若是有理数一是f (x) 0 1 n v 的一个根，这里u和v是互素的整数，那么 (i) v整除f (x)的最高次项系数a，而u整除f (x)的常数项a ； 0n (ii) f (x)= x-- q(x)，这里q (x) 是一个整系数多项式。 I v丿 2.9 多元多项式 在这一节里，R总表示一个数环，且lw R 令x ,x ,x ,…，x是n个文字，形如axk1 x k2…x^的表示式。其中a w R,k ,k，…k是 1 2 3 n 1 2 n 1 2 n 非负整数，叫作R上x ,x ,x的一个单项式。数a叫作这个单项式的系数，如果某一 1 2 n k = 0，那么 xki 可以不写，约定 axk l.・.xki-1 x 0 xki+1 .・.x kn = axk l・.・xki-1 xki+1 .・・x kn i i " 1 . “ i … n 1 . * … n i -1 i+1 i -1 i+1 因此，m (m < n)个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式。特别，当 k = k = k =・・・k = 0时，我们有ax0xo・・・xo = a w R o 12 3 n 1 2 n 形式表达式 a x k 11 xk 12 •••xk 1n + a x k 21 xk 22 …xk 2 n + + a xks1 xks 2 …xksn , a 1 1 2 n 2 1 2 n s 1 2 n i j 非负整数(i = 1,2,3,…,s; j = 1,2,…,n)，叫作R上n个文字x ,x ,x ,x的一个多项式, 1 2 3 n 或简称R上一个n元多项式。 我们通常用符号f (x, x,…,x )， g (x , x,…,x )等来表示R上n个文字 1 2 n 1 2 n x ,x ,x，…，x的多项式。 1 2 3 n 定理2.9.1数环R上的两个n元多项式f (x , x ,x )与g (x ,x ,x )的乘积是首项 1 2 n 1 2 n 等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。 定理2.9.2数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。 定理2.9.3设f (x ,x，…,x )是数环R上的一个n元多项式，如果对于任意 1 2 n (c ,c，…c )e Rn 都有f (c ,c，…c )= 0，那么 f (x ,x ,x )= 0 1 2 n 1 2 n 1 2 n 推论2.9.1设f (x ,x ,…,x )与g (x ,x ,…,x )是数环R上n元多项式，如果对于任意 1 2 n 1 2 n (c ,c，…c )e Rn 都 有 f (c ,c，…c )= g (c ,c，…c )， 那 么 1 2 n 1 2 n 1 2 n f (x , x ,…,x )= g (c , c，…c ).换句话说，如果由f (x , x ,…,x )与 1 2 n 1 2 n 1 2 n g (x ,x ,…,x )确定的多项式函数f与g相等，那么这两个多项式相等。 1 2 n 2.10 对称多项式 定义1设f (x ,x,・・・,x )是数环R上的一个n元多项式，如果对于这 n个文字 1 2 n x , x , x,…,x的指标集｛1,2，…,n｝施行任意一个置换后，f (x , x,…,x ) 1 2 3 n 1 2 n 都不改变，那么就称f (x ,x ,•…,x )是R上一个n元对称多项式。 1 2 n 定义 2 Q = xx (1) n-1 1 2 •••x + xx ・・・x x +••• + xx ・・・x ,cy = xx ・・・x 、、 n-1 1 2 n 一 2 n 2 3 n n 1 2 n，；这里 C ^表 k 示x1, x2, J'…,xn中k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然 都是n元对称多项式。我们称这n个多项式叮c2<-C为n元对等对称多项 式。 引理 2.10.1 定理 2.10.1 推论 2.10.1 设f (x ,x ,…,x )=工a x：1 x—.x.是数环R上一个n元对称多项式，以 1 2 n 也 L 1 2 n c代替x ， 1 2时，n个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为-个。 3.3 n 阶行列式 我们用符号工（j丄…j）来表示排列j丄…j的逆序数。 定义 1 用符号 a 11 a 21 a 12 a 22 a 1n a 2 n a n1 a n2 a nn 表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能取自 aa 11 12 aa 21 22 • • aa n1 n 2 … a 1n … a 2 n … a nn 的 不同的 行与 不同的 列 上的 n 个元素的 乘积。项巴j a2j；- -njn的符号为 （- 1）T（ j1 j2…jn），也就是说，当j；丿;…jn是偶排列时，这一项的符号为正，当j； j；…< 是奇排列时，这一项的符号为负。 定义 2 n 阶行列式 a a … a 11 12 1n a a … a D — 21 ■ ■ ■ 22 ■ ■ ■ 2 n ■ ■ ■ a a … a n1 n2 nn 如果把 D 的行变为列， 就得到一个新的行列式 a a … a 11 21 n1 Dl a a … a - 12 ■ ■ ■ 22 ■ ■ ■ n 2 ■ ■ ■ a a … a 1n 2n nn D叫作D的转置行列式。 引理3.3.1 从n阶行列式的第i1,1『…,ln行和 j厶，…，j列取出的元素作积 丄 Z n 1 2 n a a・・・a ，这里l,l，…,l和j , j，…，j都是1, 2,…，n这n个数码 l1 j1 l2 j2 lnjn 的 排 列 ， 1 2 n 1 2 n 那 么 这 一 项 在 行 列 式 中 的 符 号 是 (-1)s+1,s =T (ll ・・・l ),t =T (j j ・・・j ) 1 2 n 1 2 n 命题 3.3.1 行列式与它的转置行列式相等。 命题 3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 推论 3.3.1 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。 命题3.3.3把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘以这 个行列式。 推论 3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。 推论 3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。 推论 3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 命题 3.3.4 设行列式 的第 i 行的所有元素都可以 表示成两项的 和 ： a 11 a 12 a 1n b + c l1 l1 … b + c ln ln a n1 a n2 a nn 那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行的元素是 q，b2，…b , D的第i行元素是S，c2，…，c ,而D与D的其他各行都 l1 12 in 2 l1 12 in 12 和 D 的一样。 命题 3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上 行列式不变。 3.4 子式和代数余子式行列式的依行列展开 定义1 定义 2 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列。位于这些行列式的相交处的元素所构 成的k阶行列式叫作行列式D的一个k阶子式。 n (n > 1)阶行列式 a a 11 i j • • a a n1 nj … a 1n • … a in … a nn 的某一元素a的余子式M指的是在D中划去a所在的行和列后所余下的n-1阶子式。 ij ij ij 定义3 n阶行列式D的元素a的余子式M附以符号(-1)+j后，叫作元素a的代数余子 ij ij ij 式。元素a的代数余子式用符号A来表示：A = (-"+jM 。 ij ij i + j 定理3.4.1若在一个n阶行列式 a … a - 11 • • • 1 j • • • D = a … a - i1 • • • ij • • • a … a - n1 nj ij 中，第i行(或第j列)的元素除a都是零, ij -a 1n • -a in -a nn 那么这个行列式等于a与它的代数余子式A ij ij 定理 3.4.2 的乘积： D = a A ij i j 行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。 换 句 话 说 ， 行 列 式 有 依 行 或 依 列 展 开 式 ： D =a A +a A i1 i1 i 2 i 2 + • • •+a in A (i = 1,2,…,n) in D = a A + a A +••• + a A (j = n) j1 j1 j2 j2 jn jn 定理 3.4.3 行列式 D= a 11 a j1 a 12 a i 2 • a j 2 a a n1 n 2 … a 1n • … a in ■ … a jn … a nn 的某一行（或列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于 零。换句话说， a A + a A i1 i1 i2 i 2 + ・・・+a A = 0(i丰 in in j), Is It 2 s 2t ns nt A = 0 (s 丰 t) 3.5 克拉默法则 设给定了一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x + + a x = b n1 1 n 2 2 nn n n 利用（1）的系数可以构成一个n阶行列式 a 1n a 2 n ■ ■ ■ … a nn a a 11 12 a a D = 21 22 • ・ a a n1 n 2 这个行列式叫作方程组（1）的行列式。 定理3.5.1 （克拉默Cramer）法则）一个含有n个未知量的n个方程的线性方程组（1）当它 一 小 c D D D 的行列式D主0时，有且仅有一个解x1 =万,x2 =盲，…,= D，此处的 D是把行列式的第j列的元素换以方程组的常数项b ,b，…,b而得到的n阶 j 1 2 n 行列式。 第四章 线性方程组 4.1 消元法 定义 我们对线性方程组施行这三个初等变换： （i） 交换两个方程的位置； （ii） 用一个不等于零的数乘以某个方程； （iii） 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程； 叫作线性方程组的初等变换。 定理 4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。 定义1由st个数C排成的一个S行和t列的表 ij c c • • • c 11 12 In c c • • • c 21 22 2n c c c n1 n2 nn 叫作一个s行t列（或s X t）矩阵。c..叫作这个矩阵的元素。 ij 定义 2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： G）交换矩阵的两行（或列） （ii） 用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘以矩 阵的某一行（列）的每一个元素； （iii） 用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）即用某一数乘以矩 阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。 定理4.1.2设A是一个m行n列的矩阵: ra 11 a 12 … a In A 二 a 21 ■ ■ ■ a 22 ■ ■ ■ … a 2 n ■ ■ ■ .a m1 a m2 … a 丿 mn / 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式: 进而化为以下形式： r1 0 0 …0 c 、 … c 1,r+1 1n 0 1 0 …0 c … c ■ ■ 2, r+1 2 n ■ ■ 0 0 0 … 1 c … c r, r+1 rn 0 • 0 • 0 • …0 • 0 • … 0 • ■ <0 0 0 …0 0 ■ … 0丿 这里r > 0, r < m, r < n,*表示矩阵的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必 相同。 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 定义1在一个s行t列的矩阵中，任意取k行k列(k < s,k < t)。位于这些行列式的交点 处的元素(不改变元素的相对位置)所构成的 k 阶行列式叫作这个矩阵的一个 k 阶子式。 定义 2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于 领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。 定理 4.2.1 初等变换不改变矩镇的秩。 定理 4.2.2 (线性方程组可解的判别法)线性方程组(1)有解的充要条件是：它的系数矩阵 和增广矩阵有相同的秩。 定理423设线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r，那么r等于方程组所含 有未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r < n时，方程组有无穷多个解。 4.3 线性方程组的公解 定理431设方程组(1)有解，它的系数矩阵A和增广矩阵A共同秩是丫丰0。那么可以在 (1)的m个方程中选出r个方程，使得剩下的m - r个方程中的每一个都是这r 个方程的结果，因而解方程组(1)可以归结为解这 r 个方程所组成的线性方程 组。 定义 3 若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。 定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未 知量的个数 n。 推论4.3.1含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组 的系数行列式等于零。 4.3.2若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组 一定有非零解。 4.4 结式和判别式 f (x) (m > 0), 定理 4.4.1 如果多项式 =a xm + a xm-1 + •・・+a 0 1 m (x) = b xn + bxn-1 01 + ••+b (n > 0) n 有公共根，或者a =b =0，那么它们的结式等于零。 00 定理 4.4.2 设 f (x) = a xm + a xm-1 + •・・+a (m > 0) 0 1 m g (x) = b xn + bxn-i +•・・+b (n > 0) 0 1 n 是复数域C上多项式。R(f,g)是它们的结式。 (i )如果a丰0 ,而a ,a，…,a g C是 f(x) 的 全 部 根 ， 那 么 0 1 2 m R (f, g )= a 0 g (a) g (a )…g (a )； (1) n 1 2 m (")如果b丰0 ,而卩，卩，…，卩g C是g (x)的全部根，那么 0 1 2 n R (f, g )=(—l'mbmf (卩)f (卩)・・・f (卩)。C) 0 1 2 n 定理443如果多项式f (x)与& (x)的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于 零，或者这两个多项式有公共根。 第五章 矩阵 定义 5.1 令 F 是 一个数 域 。 用 F a 11 a 21 矩阵的运算 的 元 素 a 作 成 的 一 个 m 行 n 列 的 矩 阵 ij a ' 1n a 2 n a 12 a 22 a … m 2 叫作一个F上的矩阵。A也简记作C ), ij I am1 a 丿 mn 为了指明A的行数和列数，有时也把它 记作A或a。 mn mn 定义1 数域F上的一个m x n矩阵A = a的乘积aA指的是m x n矩阵Ca )。求数与矩阵 ij ij 的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个mx n矩阵A = a，B = b的和A+B指的是mx n矩阵C + b )。求两个矩 ij ij ij ij 阵的和的运算叫作矩阵的加法。 注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要的特例是 数列的运算 厂a ) 1 a 2 我们把由F的n个数所组成的数列a1，行…,an叫作F上的一个n元数列。这样的一个n元 素列可以理解为一个一行n列矩阵(a1，3，…,a )，也可以理解为一个n行一列矩阵 W丿 n 这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得到F的数与n元数列的乘法以及两个n元数列的加法： a (a , a，…,a ) = (aa , aa，…,aa ), 1 2 N 1 2 N (a ,a，…,a )+(B ,b，…,b )=(a ,a，…,a + b ,b，…,b ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 N 由定义1 和定义2，得出以下运算规律： A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); 0+A=A; A+(-)A=0 a(A+B)= aA+Bb； (a+b)A= aA+Ab; A(Ba)=(ab)A; 这里A, B,和C表示任意MX N矩阵，而a和b表示F中的任意数。 利用负矩阵我们定义矩阵的减法： A-B=A+(-B), 于是有 A + B = C o A = C - B。 定义3数域F上m x n的矩阵A = C.)与n x p矩阵B二(b )的乘积AB指的是这样的一 ij ij 个mx n矩阵,这个矩阵的第I行和第列C = 1,2，…,m, J = 1,2，…,p)的元素c等于 ij A 的 第 i 行 的 元 素 与 B 的 第 j 列 的 对 应 元 素 的 乘 积 的 和 ： c - a b + a b + + a b j 11 1 j i 2 2 j IN Nj 这个乘法可以图示如下： A A • • • A —H r2 In A 11 A i 2 • • • A —In 矩阵乘法满足结合律： (AB)C=A(BC) 定义 我们把主对角线(从左上脚到右下脚的对角线)上元素都是1,而其他元素都是0的 n阶方阵 "1 0 …0、 0 1 0 • • • • • • • • • j0 0… 1丿 叫作n阶单位矩阵，记作S'有时简记作I。 I 有以下性质： I A = A , A I = A n np np mn n mn 矩阵的乘法和加法满足分配律： A(B + C) = AB + AC , (B + C)A = BA + CA 。 矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下运算规律 a( AB) = (aA) B = A (aB)。 定义4设m x n矩阵 a ii a 21 a 12 a 22 a、 in a 2 n a m2 把A的行变为列所得到的mx n矩阵 AT 厂a ii a 21 a 12 a 22 a、 mi a m 2 a 1n a 2n a丿 mn 叫作矩阵 A 的转置。 矩阵的转置满足以下规律： (A + B )t = At + Bt , (AB )t = BtAt , (aA )t 二 aAT. 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 定义令A是数域F上的一个n阶矩阵，若是存在F上的一个n阶矩阵B,使得 AB = BA = I,那么叫作一个可逆矩阵(或非奇异矩阵)，而B叫作A的逆矩阵。 定义 我们把以下三种矩阵叫作初等矩阵： (1 P = ij 1丿 D (k )= i 第i行（k丰0）; (1 D (k) = i 第i行（k丰0）; (1 T (k) = ij 1丿 初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩仍然是初等矩阵。 引理521设对矩阵A施行一个初等变换后，得到矩阵A ,那么A可逆的充要条件是A可 逆。 定理5.2.1 一个mx n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵： -(I O ) I0 O丿 m—r,r m—r,n—r 这里I是r的单位矩阵，0表示s x t的零矩阵，r等于A的秩。 r st 当A等于单位矩阵I时，A可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当A不等于I时，A至少有 一个元素全是零的行，因而用任意一个n阶矩阵B右乘A时，所得的乘积AB中也至少有 一个元素全是零的行，所以A不可逆。 定理522 n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。 定理5.2.3 n阶矩阵A可逆，当且仅当A的秩等于n。 定义我们把n阶矩阵 a ii a 21 ■ a 1n a 12 a 22 ■ I a a n1 n 2 a nn 的唯一的n阶子式 a a 11 12 a a 21 22 ・ ・ a a 1n 2 n … a m1 … a m 2 ■ ■ ■ … a mn 叫作矩阵A的行列式，记作det A。 定理5.2.4 n阶矩阵A可逆，当且仅当它的行列式det A主0。 求逆矩阵的方法： 1)通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换, 就得到A的逆矩阵A-1。 2) 从行的性质的来的。 设n (> 1)阶矩阵 (a a … a \ 11 12 1n A 二 a a ••- a 21 ■ ■ ■ 22 2n • • • • • • i a n1 a ••- a 丿 n 2 nn / 定义 我们把 引理 5.2.2 定理 5.2.5 定理 5.2.6 A* = a 11 a 12 a 21 a 22 、 a In a 2 n a … 2 n 矩阵A *叫作矩阵A的伴随矩阵。 一个 n 阶矩阵 A 总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵 并且 det A = det A = d d …d 。 1 2 n a丿 nn 设A, B是任意两个n阶矩阵。那么det（AB ）= dd d det B = det A det B。 1 2 n 两个矩阵乘积的秩不大于每一因式的秩。特别,当有有一个因子是可逆矩阵说 乘积的秩等于另一个因子的秩。 矩阵的分块 5.3 定义设A是一个4x3矩阵 ra ii a 21 a 31 Ia 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a、 13 a 23 a 33 a ) 43 我们可以如下地把它分成四块 a a a 11 12 13 a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 a a a 41 42 43 丿 用这种方法被分成若干小的矩阵叫作一个分块矩阵。 根据矩阵的加法，和数与矩阵的乘法的定义，如果A，B是两个mx n矩阵，并且对A,B都 用同样的方法来分块： rA 11 A ) 1q rB 11 B ) iq A p1 I Bpi 而a是一个数，那么, r a + b … A B 、 r aA … aA ' 11 11 1q 1q 11 Jq A + B = ■ ■ ■ ■ ，aA = • ■ ■ ■ ■ A + B •…A + B aA •… aA p1 p1 pq pq 丿 J p1 pq丿 两个同类型的矩阵A, B,如果按同一种分法进行分块，那么A与B相加时只需把对应 位置的小块相加。 定义 分块乘法就是在计算 AB 时,把各个小块看成矩阵的元素,然后按照通常矩阵的 乘法把它们相乘。用式子表示如下： (A AB = ii IA 2i A 12 A 22 (B ) 11 人B丿 21 (AB + AB ) 11 11 12 21 (AB + AB 丿 21 11 22 21 (C 11 IC 21 注意：上面A的列的分法和B的行的分法是一致的，所以A11B11，A12B21有意义，都是 2 x 2矩阵, 因而，A B + A B是一个2x 2矩阵，同样A B + A B也是 11 11 12 21 21 11 22 21 2 x 2矩阵, 这样结果 (c ) 11 〔C21 丿 是一个4 x 2矩阵。 个m x n矩阵，B = C..）是一个nx p矩阵。把A和B如下分块, ij 使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致 n 2 A 12 A 22 一般的说,设 A 是 n 1 (A 11 A 21 n s A \ 1s A 2 s m 1 m 2 I £ r1 p 1 (B 11 B 21 A r2 p 2 B 12 B 22 A丿 rs p B ) 1t B 2t 5 n 1 n 2 B s1 B s2 Bt丿 这里矩阵右面的数m1，代m和々n 分别表示它们的左边的小块矩阵的行数, 而矩阵上面的数n1，-nt和p1，行…,pt分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而 m + m H b m = m 1 2 r n + n b b n = n 那么就有 1 2 t p p … p 1 2 s (C c … c ) m 11 12 1t 1 c c … c m AB = 21 • ■ ■ 22 • ■ ■ 2t • ■ ■ 2 ■ ■ ■ J C c … ct丿 m r1 r 2 r 1 2 s P + p b b p = p