《差分方程》PPT课件

NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用主 要 内 容差 分 方 程 建 模 实 例一 、 差 分 方 程 的 概 念二 、 差 分 方 程 的 建 立三 、 差 分 方 程 的 求 解五 、 一 阶 非 线 性 方 程四 、 发 生 函 数 方 法 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理和研究。( 1) ( ( ), 0,1, 2,x t f x t t 1 ( ), 0,1, 2,k kx f x k 1 1 1 2 2 2 1 21 2( 1) ( ( ), ( ), , ( )( 1) ( ( ), ( ), , ( ) 0,1, 2,( 1) ( ( ), ( ), , ( )nnn n nx t f x t x t x tx t f x t x t x t tx t f x t x t x t 一阶差分方程n 阶差分方程 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用修正模型差 分 方 程 建 模 实 例例 1 种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考虑象蚕、蝉这种类型的昆虫数目（即“虫口”）的变化，注意这种虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。nP 第n 年的虫口数c成虫平均产卵数1 , 0,1, 2,n nP c P n 21 , 0,1, 2,n n nP c P bP n b阻滞系数1 (1 ) , 0, 0,1, 2,n n nx x x n 标准形式（Logistic方程） NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用影 响 虫 口 的 因 素周围环境提供的空间和食物有限虫子之间为了生存互相竞争而咬斗传染病及天敌对虫子生存的威胁简 化 规 律咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件 只虫子配对的事件总数 nP1 ( 1)2 n nP P 21 ( 1)2 n nP P 影响虫口的因素量化2nbP NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例 2 鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。1 2,( ) ( )xx n n n 单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量1 2,d d 鲨鱼和小杂鱼的繁殖率（1）不考虑它们相互之间的影响1 1 12 2 2( 1) ( )( 1) ( )x n d x nx n d x n （2）考虑它们相互之间的影响小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为b鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为c 1 1 1 22 1 2 2( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )x n d x n bx nx n cx n d x n NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用用 差 分 方 程 解 决 实 际 问 题 的 步 骤 ：第 一 步 设定好实际问题中的未知函数（数列），按照已知相关领域的物理、力学、经济的学科的规律建立相邻的自变量值（一般就是相邻的时间）的未知函数取值间的依赖关系，建立差分方程模型。第 二 步 对已建立的差分方程模型，若能直接求解的则求出其解，若不能求解或直接求解比较困难的，则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质。第 三 步 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照，然 后给实际问题一个满意的答复。 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用一 、 差 分 方 程 的 概 念1. 差分的概念及简单性质实数序列1 2 : , , , ,n na a a a 二阶差分2 1 ( 1, 2, )n n na a a n 一阶差分1 ( 1, 2, )n n na a a n 差分算子2 1 2 1 1 2 1( ) ( ) 2n n n n n n n n n na a a a a a a a a a 例 求序列 的一阶差分与二阶差分。2 ( 1, 2, )na n n an_:n2 dan_:an1an ddan_:dan1dan MATHEMATICA NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用定 理 1 若序列 的通项公式是 的一次函数，则其一阶差分为常数，二阶差分为零。反之依然。 na n序列图形（点列）与差分间的关系 24681012 -1 -0.5 0.5 11a 2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a 10a11a 12a NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用 24681012 -1 -0.5 0.5 11a 2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a 10a11a 12a 0.382603 0.910195 0.600957 -0.260798 -0.882776 -0.693134 0.133772 0.837689 0.771438 -0.0040682 1a 2 2a 2 3a 2 4a 2 5a 2 6a 2 7a 2 8a 2 9a 2 10a NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较增减性凹凸性0 n na a 增0 n na a 减2 0 n na a 凹2 0 n na a 凸( )y f x函数 na数列( ) 0 ( )f x f x 增( ) 0 ( )f x f x 减( ) 0 ( )f x f x 凹( ) 0 ( )f x f x 凸 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用2. 差分方程由方程的迭代关系可得方程的任意有限项（方程的数值解），特殊情形能得到序列的通项公式。定 义 含有序列的任意项 且含有其差分的方程称为差分方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。na定 义 差分方程的一个解析解是指序列 的一个通项公式，把它代入差分方程，就得到一个恒等式。若解中不含任意常数，称这样的解为方程的特解，若解中含有任意常数，称这样的解为方程的通解。 na NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用二 、 差 分 方 程 的 建 立例 1 某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据： 建立方程1 0.6n n n np p p p NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用1 1.01 200n na a 例 2 某人在银行贷款，打算每月还款200元。假定贷款年利率为12%（月利率为1%），设 为第 个月开始时的欠款，建立还款模型。na n0.01 200n na a （一阶线性常系数非齐次差分方程）MATHEMATICA1n n na a a NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用 51015202530 5000 10000 15000 20000 25000 贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例 3 冰箱冷藏室的温度调节在50C。饮料放在冷藏室后每分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过实验知比例系数约为0.008。设饮料放入冷藏室n分钟后为tn，求其温度变化遵循的差分方程。1 0.008( 5)n n nt t t 0.008( 5)n nt t NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例 4 Fibonaccii问题。考虑家兔的繁殖，假定现有一对幼兔（一雌一雄），在它们成长成一对成兔后每月生一对幼兔，而每对幼兔在一个月后变成成兔。如果一代一代繁殖下去，问在n个月后将有多少对家兔？第0个月第1个月第2个月 第3个月第4个月11235幼兔成兔 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用第n个月家兔的对数( )P n成兔对数|( ) ( )a n b n幼兔对数第n+1个月家兔的对数( 1)P n成兔对数幼兔对数|( ) ( ) ( )a n b n a n( ) ( ) ( )P n a n b n ( ) ( ) ( 1)a n b n a n ( 1) ( )b n a n ( 2) ( 2) ( 2)P n a n b n ( 1) ( 1) ( 1)a n b n a n ( 1) ( )P n P n ( 2) ( 1) ( )P n P n P n (0) (1) 1P P Fibonaccii数列 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例 5 硬币喷泉问题（n个硬币的一种多行排列）。第一行是k个硬币两两相邻，任何更高行的每个硬币恰好与其下面一行的两个硬币接触，称其为（n, k）喷泉。两个（17，8）喷泉喷泉块：每一行的硬币邻接 问 题 有多少个喷泉块它的第一行恰好是k个硬币？喷 泉 块 非 喷 泉 块(1), (2), (3), , ( ),f f f f k ? NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用(1) 1f (2) 2f (3) 5f k个硬币j个硬币( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1 ( 2,3, )f k k f k f f k k ( ) (0 1)f j j k ( )f k ？k j种可能递推公式一般情形 NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用三 、 差 分 方 程 的 求 解一 阶 线 性 方 程一阶线性差分方程1 (1)n n nx kx C 对应齐次方程1 (2)n nx kx 齐次方程（2）的通解为0nnx k x设 为常数，nC C方程（1）有常值解nx B, 1CB kB C B k ，则此时，方程（1）有通解1 nn Cx Ak k 0( )1 1nn C Cx x kk k （特解） NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用二 阶 线 性 方 程二阶线性齐次差分方程2 1 0 (3)n n nx ax bx 设 满足方程（3），nnx t则2 0 (4)t at b （特征方程）则得通解1 1 2 2n nnx C t C t 1）若方程（4）有两个不同的实根 和 ，1t 2t（ 其中 为任意常数） 1 2,C C2）若方程（4）有两相同的实根 ，t 1 2n nnx C t C nt 则得通解（ 其中 为任意常数）1 2,C C3）若方程（4）有两复数根 ，1,2 (cos sin )t R i 则得通解1 2cos sinn nnx C R C R （ 其中 为任意常数）1 2,C C NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例1 求解1 1 .n n n nx kx cx x 1 1n n n nx kx cx x 1 1 nn nkxx cx （一阶非线性差分方程）11n nk cx x 1n ny x 1n ny ky c 1 1n n cy yk k 解得0( )1 1nn c cy y kk k 01 11( )1 1n nnx c cy kx k k （原方程的解） NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用例2 求解Fibonaccii方程2 1 0 1, 1.n n nF F F F F 对应的特征方程为 ，2 1 0t t 解得1 21 5 1 5,2 2t t 因此方程的通解为1 5 1 5( ) ( )2 2n nnF A B 试用Mathematica求出在所给初始条件下的 和 ， 并利用该公式求A B( 1,2, ,100) .nF n NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用四 、 发 生 函 数 方 法( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1(0) (1) 0, ( 2,3, )f k k f k f f kf f k 硬币喷泉问题0( ) ( ) kkF x f k x发生函数或母函数（generating function）因此，只要求出发生函数 ，通过求该函数的幂级数展开，便可得到( )F x( ) ( 0,1, 2, )f k k NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1(0) (1) 0, ( 1, 2,3, )f k k f k f f kf f k 1 1 2 2 1 11 1 2 ( )k k kk k k k kk k ka x b x a b a b ab x 法 则( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1)k k kf k x k f k f f k x x 2 2 2( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1)k k kk k kf k x k f k f f k x x ( ) 1F x x 2 ( ) 1(1 )x F xx 21x x22( ) 1 ( ) 1(1 ) 1x xF x x F xx x 21 2( ) 1 3 xF x x x 1 1 ( )k kk kkx f k x NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用五 、 一 阶 非 线 性 方 程没有求非线性差分方程解析解的一般理论，可以就合理的n，用迭代产生数值解和图形解，由此分析非线性差分方程解的长期性态。1 ( )0,1,n nx f xn xyO ( )y f x 0 x y x1 1( , )x x1 2( , )x x 2 3( , )x x. . .0 1( , )x x NUDT 差 分 方 程 及 其 应 用当代计算机科学的发展，特别是图象显示系统的发展，赋予差分方程这个传统数学分支以新的内容和方法，使之在科学的各个部门、在人类活动的各个领域、也在数学自身得到广泛和卓有成效的应用。例 就不同的初值 和参数 ，讨论方程 的解的性态. 0 x r 21 (1 )n n nx r x rx 0 0.1, 1.8, 2.25, 2.52, 2.56, 2.80 x r r r r r