大学物理质点运动学

华 中 师 范 大 学 物 理 学 院 大 学 物 理 学 电 子 教 案配 合 张 三 慧 编 著 大 学 物 理 学 B版 (第 三 版 ) 使 用 微 观 物 质 宏 观 物 质低 速 运 动高 速 运 动物 理 学 按 研 究 物 体 的 尺 度 及 运 动 速 度 划 分 力 学 是 研 究 机 械 运 动 及 其 规 律 的 学 科机 械 运 动 是 一 个 物 体 相 对 于 另 一 个 物 体 的 位 置 ， 或一 个 物 体 内 部 的 一 部 分 相 对 于 其 他 部 分 的 位 置 随 时 间的 变 化 过 程 。经 典 力 学 （ 牛 顿 力 学 ） ： 低 速 ， 宏 观 物 体运 动 学 描 述 物 体 的 运 动 ；动 力 学 物 体 运 动 与 物 体 相 互 作 用 的 关 系 。静 力 学 物 体 在 相 互 作 用 下 的 平 衡 问 题 。相 对 论 力 学 ： 以 高 速 运 动 物 体 为 研 究 对 象 。 本 章 学 习 时 的 困 难 ：内 容 在 中 学 物 理 中 已 有 涉 及 ， 学 习 时 似 懂 非 懂 。解 决 办 法 ：思 考 这 样 一 个 问 题 ： 究 竟 有 什 么 新 东 西 ？矢 量 描 述 微 积 分 计 算 一 、 质 点质 点 没 有 大 小 和 形 状 ， 只 具 有 全 部 质 量 的 一 点 。可 以 将 物 体 简 化 为 质 点 的 两 种 情 况 ：u物 体 不 变 形 ， 不 作 转 动 (此 时 物 体 上 各 点 的 速 度 及加 速 度 都 相 同 ， 物 体 上 任 一 点 可 以 代 表 所 有 点 的运 动 )。u物 体 本 身 线 度 和 它 活 动 范 围 相 比 小 得 很 多 (此 时 物体 的 变 形 及 转 动 显 得 并 不 重 要 )。 为 了 定 量 地 描 述 质 点 的 位 置 或 运 动 ， 须 在 参 考 物 上 建立 固 定 的 坐 标 系 。二 、 坐 标 系选 择 合 适 的 参 考 系 ， 以 方 便 确 定 物 体 的 运 动 性 质 ；建 立 恰 当 的 坐 标 系 ， 以 定 量 描 述 物 体 的 运 动 ；提 出 准 确 的 物 理 模 型 ， 以 突 出 问 题 中 最 基 本 的 运 动 规 律 。运 动 的 绝 对 性 和 相 对 性1、 运 动 的 绝 对 性 ： 任 何 物 体 任 何 时 刻 都 在 不 停 地 运 动 着2、 运 动 的 相 对 性 ： 物 体 运 动 的 形 式 随 参 考 物 的 不 同 而 不 同任 何 物 体 的 位 置 总 是 相 对 于 其 他 物 体 或 物 体 系 来 决 定 的 。 参 考 物 补 充 ： 坐 标 的 发 展 历 史1.笛 卡 儿 直 角 坐 标 用 三 个 变 量 来 描 述 物 体 在 空 间 任 一 点 的 位 置 ， 坐 标 轴 的 方 向 不 随 物 体 的 运 动 而 改 变 ， 用 来 表 示 三 个 坐 标 轴 方 向 的 单 位 矢 量 。2.曲 线 坐 标 ： 极 坐 标 、 柱 坐 标 、 球 坐 标 和 自 然 坐 标 用 两 个或 三 个 变 量 来 反 映 物 体 在 平 面 或 空 间 的 位 置 。 其 代 表 坐 标轴 方 向 的 单 位 矢 量 为 变 矢 量 坐 标 历 史 上 的 第 一 次 飞 跃 。 123 2 sin cossin sincos sinsinrx x rx y rx z rd dr rd r ddV r drd d r e e e 球 坐 标 柱 坐 标 123 cossinzx xx yx zd d dz ddV d d dz r e e e ( , , )r ( , , )z 3. 广 义 坐 标 反 映 力 学 体 系 在 空 间 位 形 的 独 立 变 量 被 称 为 广 义 坐 标 。它 是 拉 格 朗 日 方 程 建 立 的 基 础 和 优 越 性 所 在 ， 也 是 分 析力 学 的 基 础 。广 义 坐 标 不 仅 拓 宽 了 坐 标 的 概 念 ， 而 且 由 它 所 列 出 的 动力 学 方 程 不 含 非 独 立 变 量 ， 使 方 程 的 求 解 过 程 得 到 了 简化 。 另 外 我 们 在 研 究 体 系 的 微 振 动 时 引 入 了 简 正 坐 标 (分析 力 学 第 4章 ） ， 使 微 振 动 方 程 的 求 解 过 程 非 常 简 单坐 标 概 念 的 第 二 次 飞 跃4. 正 则 共 轭 坐 标 （ 分 析 力 学 第 6章 ） 坐 标 概 念 的 第 三 次 飞 跃 一 个 固 定 在 参 考 物 上 的 坐 标 系 和 相 应 的 一 套 同 步 的 钟组 成 一 个 参 考 系 。三 、 参 考 系同 一 质 点 的 运 动 ， 若 选 择 的 参 考 系 不 同 ， 对 质 点 运动 的 描 述 就 会 不 同 。太 阳 参 考 系 ZX Y地 心 参 考 系o 地 面 参 考 系实 验 室 参 考 系 ： 固 定 在 实 验 室 的 参 考 系 rP点 的 位 置 矢 量 （ 位 矢 ） ： PO tr在 直 角 坐 标 系 中 ， P点 坐 标 (x,y,z) r xy z X i jk O YZ Pkzjyixr P点 矢 径 方 向rP点 矢 径 大 小 r 222 zyxrr rxcos rycos rzcos 1.2、 质 点 的 位 矢 、 位 移 和 速 度 运 动 方 程 )(trr 轨 道 ： 质 点 运 动 时 所 经 过 的 路 线路 程 ： 质 点 在 一 段 时 间 内 沿 轨 道 经 过 的 距 离质 点 相 对 参 考 系 的 运 动 ， 可 用 位 矢 随 时 间 的 变 化 来描 述 。 位 矢 r随 时 间 t的 变 化 的 函 数 关 系称 为 质 点 的 运 动 函 数 的 矢 量 表 示 式 。位 置 坐 标 x, y, z 随 时 间 变 化 的 函 数 关 系x=x(t), y=y(t), z=z(t)称 为 质 点 运 动 方 程 的 分 量 式 五 、 位 移 位 置 的 改 变kzjyix kzzjyyixxr )()()( 121212直 角 坐 标 系 中 O ( )r t P 1P( )r t tr s s 与 r的 区 别 ： 1、 s 为 路 程 (轨 道 长 度 )， 是 标 量 0t dsrd 元 位 移 的 大 小 元 路 程2、 一 般 情 况 下 ， |r|s。 质 点 做 单 方 向 直 线 运 动时 ， 才 有 |r| s， 或位 移 是 矢 量 ， 有 大 小 和 方 向( ) ( )r r t t r t 思 考 题 ： r 与 r的 区 别 b)r为 标 量 ， r 为 矢 量 1212)a rrrrrr o1r 2r r r trv 平 均 速 度瞬 时 速 度六 、 速 度 （ 单 位 ： 米 /秒 ）速 度 （ 质 点 在 某 时 刻 ） 是 该 时 刻 位 矢 对 时 间 的 一 阶 导 数速 度 的 大 小 ： 速 率速 度 方 向 ： t0时 ， r的 极 限 方 向在 P 点 的 切 线 并 指 向 质 点 前 进 的 运 动 方 向 P1 O r rr r )(tv v tdrdtrt trttrv tt limlim 00 P 动 画 01位 矢 与 速 度 kvjviv kdtdzjdtdyidtdxdtrdv zyx 速 度 大 小 222 zyx vvvvv kvjviv ktzjtyitxtrv zyx 直 角 坐 标 系 中瞬 时 速 度平 均 速 度平 均 速 率 t sv瞬 时 速 率 dtdstsv t 0lim 速 度 是 矢 量 ，速 率 是 标 量 。 kzjyixr 例 1已 知 质 点 的 运 动 学 方 程 分 量式 为 ： x=2ty =6-2t2式 中 x、 y 的 单 位 是 m， t的 单 位是 s， 试 求 ：(1)轨 道 方 程 ， 并 画 出 轨 迹 图 ；(2)t=1s到 t=2s之 内 的 位 移 r和 平 均 速 度 (3)t=1s到 t=2s两 时 刻 的 瞬 时 速度 v 1和 v2。 1r 2r r 1v 2vv 例 2一 质 点 沿 x 轴 作 直 线 运 动 ， 其 位 置 坐 标 与 时 间 的 关 系 为 x =10+8t -4t2 ,求 ：（ 1） 质 点 在 第 一 秒 、 第 二 秒 内 的 平 均 速 度 。（ 2） 质 点 在 t =0、 1、 2秒 时 的 速 度 。解 ： 01 0 10mt x （ ） 2 1 1 10 8 1 4 1 14mt x 1 2t t xv t 1 2 4(m s) v x 方 向 与 轴 正 向 相 反0 1 4(m s)v x 方 向 与 轴 正 向 相 同 22 2 10 8 2 4 2 10mt x 轴 正 向 相 反与 xv m/s82 tdtdxvt 88 2 ）（ 轴 正 向 相 同与 xv m/s80 此 时 转 向 0 1 v代 入 t = 0 , 1 , 2 得 ： 例 2一 质 点 沿 x轴 作 直 线 运 动 ， 其 位 置 坐 标 与 时 间 的 关 系 为 x =10+8t -4t2,求 ：（ 1） 质 点 在 第 一 秒 第 二 秒 内 的 平 均 速 度 。（ 2） 质 点 在 t =0、 1、 2秒 时 的 速 度 。 解 ：例 3用 矢 量 表 示 二 维 运 动 ， 设求 t =0秒 及 t =2秒 时 质 点 的 速 度 ， 并 求 后 者 的 大 小和 方 向 。 jtitr )2(2 2方 向 ： 轴 的 夹 角与为 xv 2 626324arctan smv /47.442 222 大 小 ： jtitdrdv 22 ivt 20 0 jivt 422 2 加 速 度 是 速 度 对 时 间 的 一 阶 导 数 或 位 矢 对 时 间 的 二 阶 导 数 1.3 加 速 度 （ 单 位 ： 米 /秒 2） （ 描 述 速 度 改 变 的 快 慢 和 方 向 ）平 均 加 速 度瞬 时 加 速 度 220lim)( dtrddtvdtvta t vV(t)V(t+ t)P1 P o V(t) V(t+ t) ( )r t ( )r t tvr 、 描 述 质 点 运 动 状 态 的 物 理 量描 述 质 点 运 动 状 态 变 化 的 物 理 量a v t t v t va t t kajaia kdtdvjdtdvidtdvdtvda zyx zyx 加 速 度 大 小 222 zyx aaaaa 直 角 坐 标 系 中加 速 度例 1.1 例 1.2 已 知 质 点 的 运 动 学 方 程 为 r=Rcoswt i +Rsinwtj ,式 中 R、 w为 常 量 。 试 求 ： (1)轨 道 方 程 ；(2)任 一 时 刻 质 点 的 速 度 和 加 速 度 。 XYO yaxaa twXYO yvxv twR 注意 矢 量 性 ： 四 个 量 都 是 矢 量 ， 有 大 小 和 方 向加 减 运 算 遵 循 平 行 四 边 形 法 则r ar v 某 一 时 刻 的 瞬 时 量不 同 时 刻 不 同过 程 量瞬 时 性 ：相 对 性 ： 不 同 参 考 系 中 ， 同 一 质 点 运 动 描 述 不 同不 同 坐 标 系 中 ， 具 体 表 达 形 式 不 同加 速 度 a位 矢 r 位 移 r 速 度 v 一 、 运 动 学 中 的 两 类 问 题 ：1、 已 知 运 动 学 方 程 ， 求 速 度 、 加 速 度求 导 数例 1.1、 1.22、 已 知 加 速 度 和 初 始 条 件 ， 求 速 度 和 运 动 方 程运 用 积 分 方 法结 合 一 维 运 动 来 讨 论 （ 二 维 三 维 略 复 杂 些 ）dtrdv 22dtrda 0 00 0v tt v v vdva dv adt dv a dtdt 时0v v at 0 0 00 00 ( )( )r tt r r rdrv dr vdt dr v at dtdt dr v at dt 时 20 0 12r r vt at 匀 加 速 运 动 （ 为 常 数 ）初 始 条 件 :求 速 度 和 位 矢 公 式 0 00 ,t v v r r 时 匀 加 速 运 动 的 速 度 公 式匀 加 速 运 动 的 位 矢 公 式a 00 xxt 时 ， atvv 0adtvdtdxdtdxv 0 200 21attvxx 特 殊 情 况 ： 匀 变 速 直 线 运 动 （ a 为 常 数 ）设 质 点 沿 X轴 做 匀 变 速 直 线 运 动 ， t=0时 ， v =v0， x =x0）求 v和 x 。 adtdvdtdva vv tadtdv 0 0 xx t dtatvdx 0 0 0 )(00 vvt 时 ， adxvdvdxdvvdtdxdxdvdtdva )(2 0202 xxavv 00 xxt 时 ， vv xx adxvdv0 0 上 面 求 出 了 v和 x与 a的 关 系 。现 在 求 v和 x 之 间 的 关 系 ： 更 特 殊 情 况 ： 自 由 落 体 运 动atvv 0 200 21attvxx 2 2v gxv gt 212x gt0 00, 0,v x a g 例 1.3 )(2 0202 xxavv 例 一 质 点 沿 X 轴 做 直 线 运 动 ， 加 速 度 a =2t(ms-2)，t =0时 ， 质 点 的 位 置 坐 标 x0=0， 速 度 v0=0， 试 求 t=2s时质 点 的 速 度 和 位 置 。 dtdvta 2解 ： 已 知 v t tvtdtdvtadtdv 0 0 222 x t txdttdxtvdtdx 0 0 322 31)(38(m/s)42 mxvt 时 有 任 意 运 动 都 可 以 视 为 几 个 各 自 独 立 进 行 的 直 线 运 动 的 叠 加（ 矢 量 加 法 ） 。 (物 理 学 中 的 重 要 原 理 之 一 ， 是 研 究 运 动 的 合成 与 分 解 的 理 论 依 据 ) 运 动 的 独 立 性 原 理 或 运 动 叠 加原 理一 、 运 动 叠 加 原 理二 、 抛 体 运 动在 地 面 附 近 ， 忽 略 空 气 阻 力 ， 物 体 以 某 初 速 度 抛 出 后 ，在 竖 直 平 面 内 的 运 动 叫 做 抛 体 运 动 斜 抛 体 运 动 中 被 抛 物 体 同 时 参 加 水 平 方 向 的 匀 速 运动 和 竖 直 方 向 的 自 由 落 体 运 动 ， 其 轨 道 为 抛 物 线 。当 抛 射 角 为 90 o时 ， 称 为 竖 直 上 抛 运 动 。 问 题 ： 设 物 体 以 初 速 度 v0 与 水 平 方 向 成 角 度 抛 出 ， 忽略 空 气 阻 力 。 分 析 其 运 动 。 0v XYO 分 析 一 ： 将 物 体 抛 出 后 ， 选 择 一 参 考 点 ， 分 析 相 应 的矢 量 来 确 定 物 体 的 运 动 。 0 00 0v tt v v vdva g dv gdt dv g dtdt 时 0v v gt r trt dttgvrd dttgvrddtvrddtrdv 0 0 000 0)( )(时 20 12r vt gt 物 体 在 空 中 仅 有 重 力 加 速 度 g， 故 分 析 二 ： 采 用 直 角 坐 标 系 ， 将 相 应 的 矢 量 分 解 ， 由 运动 叠 加 原 理 来 确 定 物 体 的 运 动 。设 物 体 以 初 速 度 v0 与 水 平 方 向 角 度 抛 出 ， 则gaa yx 0 0v XYOX轴 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 Y轴 方 向 的 匀 变 速 直 线 运 动初 始 状 态 t=0 时 ：0 0 0 0cos sinx yv v v v 0 0 20 0( cos ) ( sin )1( cos ) ( sin )2v v i v gt jr vt i vt gt j 匀 变 速 直 线 运 动 ， 叠 加 。 0 0 0 00 cos sin 0 0 x yt v v v v x y 时初 始 条 件 ： ， ， ， ，0 ) x ya g j a a g 加 速 度 ： ( ，（ 斜 抛 运 动 可 视 为 匀 速 直 线 运 动 与 竖 直 上 抛 运 动 的 合 运 动 ）速 度 公 式 ： 0 0cos , sinx yv v v v gt 运 动 方 程 ： 20 0 1cos sin 2x v t y v t gt (1) (2)轨 迹 ： 由 （ 1） 、 （ 2） 消 去 t， 得抛 物 线 22 202 cosgy xtg xv sin sin sinsin ( ) 2 220 0 00 12 2v v vY v gg g g 最 大 高 度 ： sin sincos ( 020 00 2 2 45v vX v g g 射 程 ： 射 程 最 大 ）从 抛 出 到 回 落 到 抛 出 点 高 度 所 用 的 时 间 为 sin02vT g 炮 弹 ： 路 径 偏 离 抛 物 线 ， 射 程 R减 小洲 际 弹 道 导 弹 ： 路 径 为 椭 圆 的 一 段 。例 1.4 一 、 自 然 坐 标 系 （ 当 质 点 做 曲 线 运 动 ， 且 运 动 的 轨 道 已 知 ）方 向 描 述 ：作 相 互 垂 直 的 单 位 矢 量 nn ： 与 切 向 正 交 ， 指 向 轨 道 的 凹 侧 ， 称 为 法 向 单 位 矢 量： 沿 轨 道 切 向 ， 指 向 物 体 运 动 方 向 ， 称 为 切 向 单 位 矢 量)(tss顺 着 已 知 轨 道 而 建 立 的 坐 标 系 平 面 自 然 坐 标 系设 质 点 沿 平 面 曲 线 轨 道 运 动 。 选 定 轨 道 上 任 意 一 点 O为 坐标 原 点 ， 以 原 点 与 质 点 间 的 轨 道 长 度 s来 确 定 质 点 的 位 置 ，s称 为 自 然 坐 标大 小 恒 等 于 1， 其 方 向 随 质 点 在 轨 道 上 的 位 置 不 同 而 改 变 n 分 析 加 速 度 之 前 ， 先 介 绍 曲 率 和曲 率 半 径轨 道 的 曲 率 dsdsK s 0lim表 示 曲 线 在 某 点 弯 曲 的 程 度 11)( RddsdsdK 若 某 一 圆 的 曲 率 与 轨 道 在 该 点 的 曲 率 相 等 ， 则 此 圆 与 轨 道 在 该点 相 切 ， 称 之 为 该 点 的 曲 率 圆 ， 其 圆 心 C和 半 径 称 为 轨 道 在该 点 的 曲 率 中 心 和 曲 率 半 径半 径 为 R的 圆 弧 ， 任 一 点 的 曲 率 dtdsvv 速 度 只 有 切 向 分 量 ， 没 有 法 向 分 量 求 导 vv dtdvdtdvvdtddtvda )( ?)()( ttt )( tt )( ttn 1P 2P)(t)(tn )(t )( tt 大 小 ？ ddt ,0 ddd 方 向 ？ ndd 趋 向 于 P1点 的 方 向n nvndtdsdsdndtddtd 1 dtdvdtdvvdtddtvda )(ndd dds v在 自 然 坐 标 系 中 ， 质 点 的 加 速 度 为 ： nvdtdvvdtddtvda 2)( nvdtdvvdtddtvda 2)( a a nvan 2切 向 加 速 度 反 映 速 度 大 小 变 化 法 向 加 速 度 反 映 速 度 方 向 变 化 ana a 222 22 vdtdv aaaa n naatg 加 速 度 总 是 指 向 曲 线 的 凹 侧大 小 方 向 一 般 曲 线 运 动 （ 多 个 圆 弧 运 动 的 连 接 ）nvdtdva 2 22dtsddtdva 2van 例 以 速 度 v0 平 抛 一 小 球 ， 不 计 空 气 阻 力 ， 求 t 时 刻 小球 的 切 向 加 速 度 量 值 a、 法 向 加 速 度 量 值 an和 轨 道 的 曲率 半 径 .解 ： 由 图 可 知 sina g xggtg g t 2 2 20 ygcosna g g g t 02 2 20g tg t 22 2 20 /( )x yn nv v g tva a gv 2 2 2 2 2 3 22 0 0 二 、 圆 周 运 动匀 速 圆 周 运 动 质 点 以 恒 速 率 v 做 半 径 为 R 的 圆 周 运 动0a nRva 2 向 心 加 速 度变 速 圆 周 运 动 质 点 做 半 径 为 R的 圆 周 运 动 时 ，速 率 v 随 时 间 而 变 化nRvdtdva 2 nRvdtdvaaa n 2 反 映 速 度 大 小 的 变 化 反 应 速 度 方 向 的 变 化 在 讨 论 圆 周 运 动 的 加 速 度 时 ， 使 用 自 然 坐标 系 比 用 直 角 坐 标 系 更 方 便 。例 ， 已 知 轨 道 方 程 为 x2+y2=R2已 知 圆 周 运 动 的 半 径 为 R， 任 一 时 候 的 速 率 为v=Rw， 则 有 222 220 ww Raaa RRvadtdva nn 加 速 度 大 小 为加 速 度 方 向 为 法 线 方 向 v圆 周 运 动 的 角 量 描 述 沿 逆 时 针 转 动 ， 角 坐 标 取 正 值沿 顺 时 针 转 动 ， 角 坐 标 取 负 值t时 刻 ， 质 点 的 位 置 可 用 r 描 述 ，也 可 用 描 述 。 角 坐 标 (角 位 置 )瞬 时 角 速 度 ，简 称 角 速 度 dtdtt w 0lim 单 位 ：rad/s角 速 度 等 于 质 点 的 角 坐 标 对 时 间 的 一 阶 导 数O XR 1v2v s t 质 点 的 运 动 学 方 程平 均 角 速 度 t w ,ttt 角 位 移 角 加 速 度 220limt d dt dt dtw w 单 位 ： rad/s2角 加 速 度 等 于 质 点 的 角 速 度 对 时 间 的 一 阶 导 数质 点 的 角 坐 标 对 时 间 的 二 阶 导 数ddtw 加 速 转 动 w 方 向 一 致 减 速 转 动 w 方 向 相 反考 虑 矢 量 性角 速 度 是 矢 量 ， 其 方 向 通 常用 右 手 螺 旋 法 则 来 确 定规 定 ， 质 点 逆 时 针 转 动 时 ， w取 正 值质 点 顺 时 针 转 动 时 ， w取 负 值 匀 速 圆 周 运 动 w 是 恒 量dtd w t dtd 00 w tw 0匀 角 变 速 圆 周 运 动 是 恒 量 0 tw w 20 0 12t t w 2 20 02 ( )w w v 角 量 之 间 的 关 系 ： 类比匀变速直线运动 atvv 0 200 21attvxx )(2 0202 xxavv 运 动 情 况 的 讨 论 :(1) 质 点 作 匀 速 直 线 运 动质 点 作 匀 速 率 平 面 曲 线 运 动质 点 作 变 速 直 线 运 动质 点 作 变 速 率 平 面 曲 线 运 动(2)(3)(4) 00naa 00 naa 00naa 00naa v 角 量 (, ,)与 线 量 (r, v, a)的 关 系 ：0 0lim limt tsv R Rt t s R 速 率 (线 速 度 )和 角 速 度 之 间 的 关 系 v Rw 矢 量 矢 积 ： ds Rd方 向O XR 1v2v s 线 量 (速 度 、 加 速 度 ) 角 量 (角 速 度 、 角 加 速 度 )v Rw 2 2n ds dv R Rdt dtdv da R Rdt dtva RR ww w 解 :重 物 按 运 动 学 方 程 运 动 对 重 物 建 立 一个 一 维 直 角 坐 标 系相 应 的 M点 做 圆 周 运 动 对 M点 建 立 自然 坐 标 系 bdd tva nRtnRvan 222 b 例 一 半 径 为 R 的 滑 轮 ， 可 以 绕 水 平 轴 O1转 动 ， 轮 边 缘 有 绳 ，绳 的 一 端 系 一 重 物 ， 如 图 所 示 ， 已 知 重 物 的 运 动 学 方 程 为 y =bt 2/2， b为 常 数 ， 求 轮 边 缘 上 任 一 点 M在 时 刻 t的 速 度 和 加 速度 。 M O Y1O vR a相 同 的 t 内 ， y s bttv dtdydds方 向 如 图 所 示nRtba 22b 例 一 质 点 从 静 止 出 发 ， 沿 半 径 R 3 的 圆 周 运 动 ， 切 向 加 速 度 a 3 /s2， 求 ： （ 1） t 1s时 质 点 的 速 度 和 加 速 度 大 小 ； （ 2）第 2秒 内 质 点 所 通 过 的 路 程 ； （ 3） 当 总 加 速 度 与 切 向 加 速 度 成 45角 时 ， 所 经 历 的 时 间 为 多 少 ？ 其 间 质 点 所 经 过 的 路 程 S是 多少 ？解 ： 建 立 自 然 坐 标 系 ， 取 t=0时 ， 位 置 o为 坐 标 原 点 ， 则 任 意时 刻 质 点 速 率 为 v， 自 然 坐 标 为 s O OR stavdtadvdtadvdtdva tv 00)1( RtaRvan 222 24.418)( 222222 Rtaaaaa n )/(3 smtav s t tdtadsvdtdsdtdsv 0 0)2( 由 速 率 大 小221 tas )(5.4)12(321 22 ms 2 22 2 0(3) 3(m/s ) 1(rad/s )45 3(m/s ) 1(rad/s)1(s)a Ratg a Rat t www w ， 例 一 质 点 从 静 止 出 发 ， 沿 半 径 R 3 的 圆 周 运 动 ， 切 向 加 速 度 a 3 /s2， 求 ： （ 1） t 1s时 质 点 的 速 度 和 加 速 度 大 小 ； （ 2） 第 2秒 内 质点 所 通 过 的 路 程 ； （ 3） 当 总 加 速 度 与 切 向 加 速 度 成 45角 时 ， 所 经 历的 时 间 为 多 少 ？ 其 间 质 点 所 经 过 的 路 程 S是 多 少 ？ 2 20 0 1 1t t 0 1 1 0.5( )2 2 1.5( ) rads R m w 一 、 相 对 运 动车 上 的 人 观 察 地 面 上 的 人 观 察运 动 的 描 述 是 相 对 的 ， 选 择 不 同 的 参 考 系 对同 一 质 点 运 动 的 描 述 就 不 同 位 矢 变 换 关 系 ZSX Y YX S ZPr rRO OavrSavrS 系 中 ：系 中 ： r R r 速 度 变 换 关 系 dtrddtRddtrd v u v 加 速 度 变 换 关 系 dtvddtuddtvd dua adt 有 相 对 运 动 的 两 个 参 考 系 中 ， 同 一 运 动 质 点 的 位矢 、 速 度 、 加 速 度 之 间 的 关 系S O S OR（ 表 示 系 原 点 对 系 原 点 的 位 矢 ）质 点 相 对 于 S系 的 速 度 等 于 质 点 相 对 于 S系的 速 度 和 S 系 相 对 于 S系 的 速 度 的 矢 量 和 1、 空 间 任 意 两 点 之 间 的 距 离 对 于任 何 的 坐 标 系 而 言 都 是 相 同 的 ； 与坐 标 系 的 选 择 无 关 。 即 ： 长 度 是“ 绝 对 的 ” ， 或 称 之 为 “ 绝 对 空间 ” 。2、 时 间 间 隔 也 与 坐 标 系 的 选 择 无 关 ，在 不 同 的 坐 标 系 中 时 间 的 量 度 或 间 隔都 是 相 同 的 。 即 ： “ 绝 对 时 间 ”“绝 对 空 间 ” 、 “ 绝 对 时 间 ” 构 成 了 经 典 力 学 的 所 谓“ 绝 对 时 空 观 ” ， 这 种 观 点 同 大 量 的 日 常 经 验 相 符合 。 3、 空 间 与 时 间 不 相 联 系r R r v u v dua adt 二 、 伽 利 略 变 换 tt zz yy utxx 或 Z XYO ut u伽 利 略速 度 变 换 式 zz yy xx vv vv uvv zz yy xx vv vv uvv或 S和 S 两 坐 标 系 的 X 轴 和 X 轴 方向 相 同 且 重 合 。 S系 相 对 S 系 的速 度 u为 常 数 且 沿 着 X轴 正 方 向 ，O 与 O 相 重 合 的 时 刻 t = t =0 tt zz yy utxx伽 利 略坐 标 变 换 式 uP XSOZ YS在 相 对 论 中 ， 伽 利 略 变 换 将 被 洛 伦 兹 变 换 所 代 替 解 ： 取 风 为 研 究 对 象 ， 地 面 为 参 考 系S， 骑 车 人 为 参 考 系 S。 在 S系 中 风速 为 v(待 求 )。在 S系 中 ： 在 速 率 为 u1=10m/s时 ，觉 得 有 南 风 v1（ 速 度 矢 量 为 北 ） ；在 速 率 为 u2=15m/s时 ， 觉 得 有 东 南风 v2（ 速 度 矢 量 为 西 北 ） ；根 据 速 度 变 换 公 式 得 到 ： 1 1 2 2 v u v u v 例 一 人 骑 自 行 车 向 东 而 行 。 在 速 率 为 10m/s时 ， 觉 得有 南 风 ； 速 率 增 至 15m/s时 ， 觉 得 有 东 南 风 。 求 风 的速 度 。 v10m/s 15m/s45o X 东 Y 北 由 图 中 的 几 何 关 系 ， 知 ：1 10(m/s)x xv u 2 1( )tan4515 10 5 m/sy x xv u u 风 速 的 大 小 ： 风 速 的 方 向 ：为 东 偏 北 2634。 为 西 南 风 。 2 210 511.2 m/sv 5arctan 26 3410 v10m/s 15m/s45o X 东 Y 北 2 215 u i S v bi bj 时 ， 风 在 系 中 速 度 为 。1 12 2v u vv u v 10 5v i j 解 ： 以 地 面 为 S系 ， 运 动 的 自 行 车 为 S系 。 建 立 坐 标 系 。在 S系 中 ， 风 的 速 度 始 终 为 （ 待 求 ）v 1 110 , u i S v aj 在 风 在 系 中 速 度 为10 155i aj i bi bja b 由 相 对 运 动 的 速 度 变 换 公 式 ， 得 ： 2 210 5 11.2v 速 度 矢 量 指 向 东 偏 北 （ 是 西 偏 南 风 ） Y(北 ) X(东 )SY(北 ) X(东 )S系 arctan(5/10) 26 34 角 度 ： 例 一 人 骑 自 行 车 向 东 而 行 。 在 速 率 为 10m/s时 ， 觉 得 有 南 风 ； 速率 增 至 15m/s时 ， 觉 得 有 东 南 风 。 求 风 的 速 度 。