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2021-4-26 1 微积分期末考试时间：2002年1月5日 下午：2:304:30地点:(1) 二教401 结11、结12、水工13学号279288 (2) 二教402 水工11、水工12、 水工13学号289298 (3) 二教403 结13、结14、文9、 水工13学号299308、其他 2021-4-26 2 期末考试答疑时间: 2002年1月3日下午、 1月4日上、下午 上午：8:30 11:30 下午：2:30 5:30地点：三教 1109 2021-4-26 3 微积分 (一)期末小结 2021-4-26 4 一.函数1.基本初等函数2.初等函数3.非初等函数*分段函数*参数方程表示的函数*变限定积分*隐函数方程4.函数的初等性质 2021-4-26 5 二.极限定义极限的 ,.1 N极限的性质.2极限的有关定理.3求极限的方法.4基本公式等价无穷小替换罗必达法则 泰勒公式 2021-4-26 6 三.连续函数1.连续的基本概念2.闭区间上连续函数的性质有界性零点定理介值定理最值定理 一致连续性 2021-4-26 7 四.导数与微分 0 00 0 )()(lim)( )()(:.1 0 xx xfxfxf xxfxfy xx 点的导数：在，设定义dxxfdy xdxxfy xxf )( )()()( 000 微分为点可微：在 2021-4-26 8 导数与微分的计算.2基本公式四则运算法则复合函数求导法隐函数求导法反函数求导法对数微分法 参数方程求导法 2021-4-26 9 五.导数应用(一)微分学基本定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理(二)函数性态的研究增减性、极值凸性、拐点 渐近线(三)不等式的证明 2021-4-26 10 (五)泰勒公式1.皮亚诺型余项的泰勒公式有时则当阶导数，到存在在点假设函数, 1)(0 0 xx nxxf )()(!1 )(!21)()()( 000)( 200000 nnn xxoxxxfn xxxfxxxfxfxf (四)罗必达法则 2021-4-26 11 2.拉格朗日型余项的泰勒公式 之间的某个点。与是介于其中有数，则 阶导到有在点假设函数 xx xxfn xxxfn xxxfxxxfxfxf bax nbaxxf nn nn0 10)1( 00)( 200000 0 )()!1( 1 )(!1 )(!21)()()( ),( 11),()( 2021-4-26 12 3.常用的麦克劳林公式)(!1!211)1 2 nnx xoxnxxe )()!12()1(!5!3sin)2 212153 kkk xokxxxxx )()!2()1(!4!21cos)3 2242 kkk xokxxxx )0( 0，皮亚诺型余项x 2021-4-26 13 )(! )1()1()1( !2 )1(1)1()5 2 nn xoxn nxxx )(!)1(32)1ln()4 132 nnn xonxxxxx )(11 1)6 2 nn xoxxxx 2021-4-26 144.利用泰勒公式证明不等式5.利用泰勒公式作近似计算 要求1.掌握函数在一点的泰勒公式2.会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式3.能利用泰勒公式求某些函数的极限6.利用泰勒公式进行级数判敛 2021-4-26 15 六.不定积分(一)基本概念1.原函数上的一个原函数。在区间是，则称上若在区间Ixf xFxfxFI)( )()()( 2.不定积分 CxFdxxf xf CCxFxf )()( )( )()(记作在区间上的不定积分，任意常数）称为为，（的全体原函数 2021-4-26 16 (二)基本性质 CxFdxxF )()(.1 )()(.2 xfdxxf dxxfdxxfd )()(.3 0,)()(.4 kdxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf )()()()(.5 2021-4-26 17 (三)基本公式)1(1 1.1 1 Cxdxx Cxdxx ln1.2 Cedxe xx .3 Cxxdx cossin.5 Cxxdx sincos.6 )1,0(ln1.4 aaCaadxa xx 2021-4-26 18 Cxxdx tansec.7 2 Cxxdx cotcsc.8 2 Cxdxx arctan1 1.9 2 Cxdxx arcsin1 1.10 2 Cxxdxx secsectan.11 Cxxdxx csccsccot.12 2021-4-26 19 )0(arctan11.13 22 aCaxadxxa )0(arcsin1.14 22 aCaxdxxa Cxxxdx sectanlnsec.15 Cxxxdx csccotlncsc.16 Cxa xaadxxa ln211.17 22 2021-4-26 20 Cxaxdxxa )ln(1.18 2222 Cchxshxdx .19 Cshxchxdx .20(四)计算方法利用基本公式.1 2021-4-26 21CxFCtF dtttfdxxf tx )()( )()()(.3 1)( 令变量置换法 vduuvudv分部积分法.4 )()()()()(.2 xdxgdxxxgdxxf 凑微分法 2021-4-26 22 七.定积分(一)基本概念1.定义 则称此极存在如果极限令及划分的任意对上有定义在设,)(lim )(max),2,1( ,),2,1(, : ,)( 10 111 2100 knk k knkkkk kkk nnkk xf xnkxxx nkxx bxxxxax babaxf 2021-4-26 23 .,)( )(lim)( ,)( 10上可积在此时称上的定积分，记作在限值为baxf xfdxxf baxf nk kkba 2.定积分的几何意义. ,)()(之间所围面积的代数和轴及直线与表示bx axxxfdxxfba 2021-4-26 24 (二)函数的可积性. ,)(,)(.1上有界在上可积，则在baxfbaxf . ,)(,)(.2可积上在，则若baxfbaCxf .,)(,)(.3上可积在间断点，则上有界，只有有限个在若baxfbaxf 2021-4-26 25 ., )(,)(.4上可积在上单调有界，则在若ba xfbaxf .)(inf,)(sup , ,limlim, ,)(.5 11 11 000 xfmxfM xmsxMS Ssx babaxf kkkk xxxkxxxk nk kknk kk nkk 其中有划分的任意对上可积在 2021-4-26 26 (三)定积分的性质.,)()(1为常数）kdxxfkdxxkf baba bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()(2） abba dxxfdxxf )()(4）0)(3 dxxfaa） bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5） 2021-4-26 27 .)()( )()(,)()( ;)()( ,)()(6 baba baba dxxgdxxf xgxfbaCxgxf dxxgdxxf baxxgxf则、若则）若dxxfdxxf baba )()(7）)()()( ,)(8 abMdxxfabm Mxfm ba 则若）估值定理 2021-4-26 28 ).)()( ,)(9 abfdxxf babaCxf ba 使得则存在若）中值定理.)()()()( , ,)(,)(10 b aba dxxgfdxxgxf ba babaRxgbaCxf 使得则存在上不变号且在若）广义中值定理 2021-4-26 29 (四)变上限定积分称为变上限定积分。设)(, )()(,)( xFbax dxxfxFbaRxf xa ., )()(,)(1上连续在则）若ba dxxfxFbaRxf xa ).()(),( )()(,)(2 xfxFba dxxfxFbaCxf xa 且，内可导在则）若 2021-4-26 30 (五)牛顿-莱布尼兹公式)()()()( )()(,)( aFbFxFdxxf xfxFbaCxf baba 则，原函数的一个是设(六)定积分计算 dtttfdxxf tbtab atxbaCxf ba )()()( )(,)(),( ),()(,)(.1连续，则满足设变量置换法 2021-4-26 31 baba ba xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(.2分部积分法3.特殊函数的积分性质 为奇函数，为偶函数则）设)(0 )(,)(2)( ,)(1 0 xf xfdxxfdxxf baCxf aaa .,)()( ,)(2 0 Radxxfdxxf Txf TTaa 则周期为为连续的周期函数）设 2021-4-26 32 为奇数为偶数）nnnnn nnnnn xdxxdx nn 132231 221231 cossin3 2020 区间上的符号。在积分）要注意被积函数中的 ,4 2021-4-26 33 (七）定积分应用可加性。对区间具有所求量依赖于区间，并 ）积分求结果（）分小取微分（量求出其微分通过分析未知函数的增21微元分析法解决问题的方法：定积分应用问题的特征 2021-4-26 34 应用问题平面图形的面积间体体积平行截面面积已知的空旋转体体积平面曲线的弧长旋转面的面积重心质量 引力转动惯量动能变力作功 2021-4-26 35 (八)广义积分1.无穷区间上的广义积分(1)定义 否则发散。此时称广义积分收敛，记作上的广义积分在则称此极限为存在若设.)(lim)( ,),)( ,)(lim),)( axa BaB dxxfdxxf axf dxxfaCxf 2021-4-26 36 (2)判敛法则比较判敛法比阶判敛法绝对值判敛法柯西判敛准则2.无界函数的广义积分 baba babx dxxfdxxf baxf dxxfxf baCxf )(lim)( ,)( ,)(lim,)(lim ),0(,)(:)1( 0 0记作上的广义积分在此极限为则称存在若设定义 2021-4-26 37 (2)判敛法则比较判敛法比阶判敛法柯西判敛准则绝对值判敛法3.两个重要的例发散。收敛，11),0(1)1( ppadxxa p发散。收敛，11,)( 1)2( ppdxaxba p 2021-4-26 38 要求1.掌握定积分的概念及性质2.了解定积分存在的条件与可积函数类3.能利用定积分性质对问题进行分析 与证明4.掌握变上限积分求导5.掌握牛顿莱布尼兹公式 2021-4-26 39 6.掌握定积分的变量置换法与分部积 分法8.会用定积分解决几何与物理的简单 问题9.掌握广义积分的概念及判敛法则7.掌握弧长的微分与曲率的计算 2021-4-26 40 八.无穷级数(一)数项级数的概念 发散。称级数不收敛若即且和为收敛则称级数存在极限部分和。若数列项称为级数的记设级数 111 11 , .lim, , n nn nnn nn n n nk knn n uS SSuSu SS nuSu 2021-4-26 41 (二)级数的基本性质.0lim.1 1 nnn n uu收敛，则若 12111 21 11 )( ,.2 n nnn nn n nn n vkukvkuk vu n收敛，则设数的敛散性。，不改变级级数去掉或加上有限项.3 2021-4-26 42 且其和不变。组成的新级数仍收敛，收敛，则任意加括号后若1.4 n nu(三)柯西收敛准则 mnnn n uuu NnmNu 211 ,0,0有收敛 2021-4-26 43 2.比阶判敛法3.达朗贝尔判敛法4.柯西根式判敛法5.柯西积分判敛法(四)正项级数的判敛法则1.比较判敛法 2021-4-26 44条件收敛。则称收敛，而发散绝对收敛；若 1 11 ,n n n nn nu uu 2.绝对收敛、条件收敛收敛则称级数若任意项级数 11 , n nn n uu(五)任意项级数的判敛法则1.交错级数的莱布尼兹判敛法 2021-4-26 45 (六)重要级数发散。收敛1,1,.1 1 rrrn n发散。收敛1,1,1.2 1 ppnn p 2021-4-26 46 要求1. 掌握级数的概念和性质2. 掌握正项级数的比较、比阶、 比值和根值判定准则3. 掌握任意项级数的绝对收敛和 条件收敛4. 交错级数的莱布尼茨判定准则
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