时间序列计量经济学一平稳性及其检验

1-1 计 量 经 济 学 基 础 与 应 用 The Economic School of Jilin UniversityYu Zhen 第 十 四 章 时 间 序 列 的 平 稳 性 及 其 检 验 1-3 时 间 序 列 计 量 经 济 学 基 础 篇第 十 四 章 时 间 序 列 的 平 稳 性 及 其 检 验第 十 五 章 随 机 时 间 序 列 分 析 模 型第 十 六 章 协 整 分 析 与 误 差 修 正 模 型 1-4 第 十 四 章 时 间 序 列 的 平 稳 性 及 其 检 验第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性第 三 节 平 稳 性 的 图 示 判 断第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-5 第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型到 目 前 为 止 ， 经 典 计 量 经 济 模 型 常 用 到 的 数 据 有 ：n时 间 序 列 数 据 （ time-series data)；n截 面 数 据 (cross-sectional data)n平 行 /面 板 数 据 （ panel data) 时 间 序 列 数 据 是 最 常 见 ， 也 是 最 常 用 到 的 数 据 。 1-6 n 经 典 回 归 模 型 与 数 据 的 平 稳 性经 典 回 归 分 析 暗 含 着 一 个 重 要 假 设 ： 数 据 是平 稳 的 。数 据 非 平 稳 ， 大 样 本 下 的 统 计 推 断 基 础 “一 致 性 ” 要 求 被 破 怀 。经 典 回 归 分 析 的 假 设 之 一 ： 解 释 变 量 X是 非随 机 变 量第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型 1-7 nXXi /)( 2 2( ( ) / )lim inP X X n Q 依 概 率 收 敛 ： (2) 放 宽 该 假 设 ： X是 随 机 变 量 ， 则 需 进 一 步 要 求 ： (1)X与 随 机 扰 动 项 u 不 相 关 Cov(X,u)=0 第 （ 2） 条 是 为 了 满 足 统 计 推 断 中 大 样 本 下 的“ 一 致 性 ” 特 性 ： )(limnP第 （ 1） 条 是 OLS估 计 的 需 要 第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型 1-8 nx nuxxux i iii ii / 22 QnxP nuxPP i iin 0/lim /limlim 2 如 果 X是 非 平 稳 数 据 （ 如 表 现 出 向 上 的 趋 势 ） ，则 （ 2） 不 成 立 ， 回 归 估 计 量 不 满 足 “ 一 致 性 ” ，基 于 大 样 本 的 统 计 推 断 也 就 遇 到 麻 烦 。因 此 ：注 意 ： 在 双 变 量 模 型 中 ：第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型 1-9 表 现 在 :两 个 本 来 没 有 任 何 因 果 关 系 的 变 量 ，却 有 很 高 的 相 关 性 （ 有 较 高 的 R2)。例 如 ： 如 果 有 两 列 时 间 序 列 数 据 表 现 出 一 致 的变 化 趋 势 （ 非 平 稳 的 ） ， 即 使 它 们 没 有 任 何 有意 义 的 关 系 ， 但 进 行 回 归 也 可 表 现 出 较 高 的 决定 系 数 。 n数 据 非 平 稳 ， 往 往 导 致 出 现 “ 虚 假 回 归 ”问 题第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型 1-10 n在 现 实 经 济 生 活 中 ， 实 际 的 时 间 序 列 数 据 往 往是 非 平 稳 的 ， 而 且 主 要 的 经 济 变 量 如 消 费 、 收入 、 价 格 往 往 表 现 为 一 致 的 上 升 或 下 降 。 这 样 ，仍 然 通 过 经 典 的 因 果 关 系 模 型 进 行 分 析 ， 一 般不 会 得 到 有 意 义 的 结 果 。第 一 节 非 平 稳 变 量 与 经 典 回 归 模 型n 时 间 序 列 分 析 模 型 方 法 就 是 在 这 样 的 情 况 下 ，以 通 过 揭 示 时 间 序 列 自 身 的 变 化 规 律 为 主 线 而 发展 起 来 的 全 新 的 计 量 经 济 学 方 法 论 。 1-11 第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性n 假 定 某 个 时 间 序 列 是 由 某 一 随 机 过 程 （ stochastic process） 生 成 的 ， 即 假 定 时 间 序 列 Xt（ t=1, 2, ）的 每 一 个 数 值 都 是 从 一 个 概 率 分 布 中 随 机 得 到 ， 如 果满 足 下 列 条 件 ：1） 均 值 E(Xt)=u是 与 时 间 t 无 关 的 常 数 ；2） 方 差 Var(Xt)=2是 与 时 间 t 无 关 的 常 数 ；3） 协 方 差 Cov(X t, Xt+k)= k 是 只 与 时 期 间 隔 k有 关 ， 与 时间 t 无 关 的 常 数 ；则 称 该 随 机 时 间 序 列 是 平 稳 的 （ stationary)， 而 该 随机 过 程 是 一 平 稳 随 机 过 程 （ stationary stochastic process） 。 1-12 例 1 一 个 最 简 单 的 随 机 时 间 序 列 是 一 具 有 零 均 值同 方 差 的 独 立 分 布 序 列 ： Xt=ut ， utN(0,2)该 序 列 常 被 称 为 是 一 个 白 噪 声 （ white noise） 。 由 于 Xt具 有 相 同 的 均 值 与 方 差 ， 且 协 方 差为 零 ， 由 定 义 ， 一 个 白 噪 声 序 列 是 平 稳 的 。第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性 1-13 例 2 另 一 个 简 单 的 随 机 时 间 列 序 被 称 为 随 机游 走 （ random walk） ， 该 序 列 由 如 下 随 机 过 程生 成 ： Xt=Xt-1+ut 这 里 ， ut是 一 个 白 噪 声 。 容 易 知 道 该 序 列 有 相 同 的 均 值 ： E(Xt)=E(Xt-1) 为 了 检 验 该 序 列 是 否 具 有 相 同 的 方 差 ， 可 假 设Xt的 初 值 为 X0， 则 易 知 :第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性 1-14 X1=X0+u1 X2=X1+u2=X0+u1+u2 Xt=X0+u1+u2+ut 由 于 X0为 常 数 ， ut是 一 个 白 噪 声 ， 因 此 : var(Xt)=t2即 Xt的 方 差 与 时 间 t有 关 而 非 常 数 ， 它 是 一 非 平 稳序 列 。第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性 1-15 n然 而 ， 对 X取 一 阶 差 分 （ first difference） :Xt=Xt-Xt-1=ut由 于 ut是 一 个 白 噪 声 ， 则 序 列 Xt 是 平 稳 的 。 后 面 将 会 看 到 :如 果 一 个 时 间 序 列 是 非 平 稳的 ， 它 常 常 可 通 过 取 差 分 的 方 法 而 形 成 平 稳 序列 。第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性 1-16 n事 实 上 ， 随 机 游 走 过 程 是 我 们 称 之 为 1阶 自 回归 AR(1)过 程 的 特 例 :Xt= Xt-1+ut 不 难 验 证 :1)|1时 ， 该 随 机 过 程 生 成 的 时 间 序 列 是 发 散 的 ，表 现 为 持 续 上 升 (1)或 持 续 下 降 (-1)， 因 此是 非 平 稳 的 ； 2)=1时 ， 是 一 个 随 机 游 走 过 程 ， 也 是 非 平 稳 的 。第 二 节 时 间 序 列 数 据 的 平 稳 性 1-17 后 面 将 证 明 :只 有 当 -10， 样 本 自 相 关 系 数 rk近 似地 服 从 以 0为 均 值 ， 1/n 为 方 差 的 正 态 分 布 ， 其中 n为 样 本 数 。 1-24 n 也 可 检 验 对 所 有 k0， 自 相 关 系 数 都 为 0的 联合 假 设 。 这 可 通 过 如 下 QLB统 计 量 进 行 ： mk kLB knrnnQ 1 2)2(第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-25 n 该 统 计 量 近 似 地 服 从 自 由 度 为 m的 2分 布（ m为 滞 后 长 度 ） 。 因 此 ， 如 果 计 算 的 Q值 大 于 显 著 性 水 平 为 的 临 界 值 ， 则 有 1-的 把 握 拒 绝 所 有 k(k0)同时 为 0的 假 设 。n 例 3 表 1序 列 Random1是 通 过 一 随 机 过 程（ 随 机 函 数 ） 生 成 的 有 19个 样 本 的 随 机 时 间 序列 。 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-26 表 1 一 个 纯 随 机 序 列 与 随 机 游 走 序 列 的 检 验 序 号 Random1 自 相 关 系 数 kr (k=0,1,17) LBQ Random2 自 相 关 系 数 kr (k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 1-27 n容 易 验 证 ： 该 样 本 序 列 的 均 值 为 0， 方 差 为0.0789。n 从 图 形 看 ： 它 在 其 样 本 均 值 0附 近 上 下 波 动 ，且 样 本 自 相 关 系 数 迅 速 下 降 到 0， 随 后 在 0附 近波 动 且 逐 渐 收 敛 于 0。第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-28 （ a） （ b） -0.6-0.4-0.2 0.00.20.4 0.6 2 4 6 8 10 12 14 16 18RANDOM1 -0.8-0.40.0 0.40.81.2 2 4 6 8 10 12 14 16 18RANDOM1AC 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-29 n 由 于 该 序 列 由 一 随 机 过 程 生 成 ， 可 以 认 为 不 存在 序 列 相 关 性 ， 因 此 该 序 列 为 白 噪 声 。n 根 据 Bartlett的 理 论 ： kN(0,1/19)， 因 此 任 一rk(k0)的 95%的 置 信 区 间 都 将 是 : 4497.0,4497.019/196.1,19/196.1, 025.0025.0 ZZ 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-30 n可 以 看 出 ： k0时 ， rk的 值 确 实 落 在 了 该 区 间内 ， 因 此 可 以 接 受 k(k0)为 0的 假 设 。n同 样 地 ， 从 QLB统 计 量 的 计 算 值 看 ， 滞 后 17期的 计 算 值 为 26.38， 未 超 过 5%显 著 性 水 平 的 临界 值 27.58， 因 此 ， 可 以 接 受 所 有 的 自 相 关 系 数k(k0)都 为 0的 假 设 。n因 此 ， 该 随 机 过 程 是 一 个 平 稳 过 程 。 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-31 n 序 列 Random2是 由 一 随 机 游 走 过 程 Xt=Xt-1+ut生 成 的 一 随 机 游 走 时 间 序 列 样 本 。 其 中 ， 第 0项取 值 为 0(X0=0)， ut是 由 Random1表 示 的 白 噪 声 。第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-32 （ a） （ b） -1.0-0.8-0.6-0.4 -0.20.00.20.4 2 4 6 8 10 12 14 16 18RANDOM2 -0.8-0.40.0 0.40.81.2 2 4 6 8 10 12 14 16 18RANDOM2AC 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-33 n 从 样 本 自 相 关 图 看 ， 虽 然 自 相 关 系 数 迅 速 下 降到 0， 但 随 着 时 间 的 推 移 ， 则 在 0附 近 波 动 且 呈 发散 趋 势 。 n 样 本 自 相 关 系 数 显 示 ： r1=0.48， 落 在 了 区 间-0.4497, 0.4497之 外 ， 因 此 在 5%的 显 著 性 水 平上 拒 绝 1的 真 值 为 0的 假 设 。 该 随 机 游 走 序 列 是 非 平 稳 的 。第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-34 例 4 检 验 中 国 支 出 法 GDP时 间 序 列 的 平 稳 性 表 2 19782000年 中 国 支 出 法 GDP（ 单 位 ： 亿 元 ）第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-35 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 图 5 1978-2000 年 中 国 GDP时 间 序 列 及 其 样 本 自 相 关 图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22GDPACF02000040000600008000010000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00GDP 1-36 n 图 形 ： 表 现 出 了 一 个 持 续 上 升 的 过 程 ， 可 初步 判 断 是 非 平 稳 的 。n 样 本 自 相 关 系 数 ： 缓 慢 下 降 ， 再 次 表 明 它 的非 平 稳 性 。 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-37 n 从 滞 后 18期 的 QLB统 计 量 看 ： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒 绝 该 时 间 序 列 的 自 相 关 系 数 在 滞 后 1期 之 后 的 值全 部 为 0的 假 设 。 结 论 :19782000年 间 中 国 GDP时 间 序 列 是 非 平 稳 序 列 。第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-38 例 5 人 均 居 民 消 费 与 人 均 国 内 生 产 总 值 这 两 时 间序 列 的 平 稳 性 原 图 样 本 自 相 关 图 图 6 19811996中 国 居 民 人 均 消 费 与 人 均 GDP时 间 序 列 及 其 样 本 自 相 关 图 0100020003000400050006000 82 84 86 88 90 92 94 96GDPPC CPC -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15GDPPC CPC 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-39 n从 图 形 上 看 ： 人 均 居 民 消 费 与 人 均 国 内 生 产总 值 都 是 是 非 平 稳 的 。 n从 滞 后 14期 的 QLB统 计 量 看 ： 人 均 居 民 消 费 与人 均 国 内 生 产 总 值 序 列 的 统 计 量 计 算 值 均 为57.18， 超 过 了 显 著 性 水 平 为 5%时 的 临 界 值23.68。 再 次 表 明 它 们 的 非 平 稳 性 。第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-40 n就 此 来 说 ， 运 用 传 统 的 回 归 方 法 建 立 它 们 的回 归 方 程 是 无 实 际 意 义 的 。n不 过 ， 第 三 节 中 将 看 到 ， 如 果 两 个 非 平 稳 时间 序 列 是 协 整 的 ， 则 传 统 的 回 归 结 果 却 是 有意 义 的 ， 而 这 两 时 间 序 列 恰 是 协 整 的 。 第 三 节 平 稳 性 检 验 的 图 示 判 断 1-41 n对 时 间 序 列 的 平 稳 性 除 了 通 过 图 形 直 观 判 断 外 ，运 用 统 计 量 进 行 统 计 检 验 则 是 更 为 准 确 与 重 要 的 。n单 位 根 检 验 （ unit root test） 是 统 计 检 验 中 普 遍 应用 的 一 种 检 验 方 法 。1、 DF检 验n 随 机 游 走 序 列 : Xt=Xt-1+ut 是 非 平 稳 的其 中 ut是 白 噪 声 。 而 该 序 列 可 看 成 是 随 机 模 型 ： X t=Xt-1+ut 中 参 数 =1时 的 情 形 。 第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-42 （ *） 式 可 变 形 式 成 差 分 形 式 ： Xt=(1-)Xt-1+ ut =Xt-1+ u t (*)检 验 （ *） 式 是 否 存 在 单 位 根 =1， 也 可 通 过 （ *）式 判 断 是 否 有 =0。 对 式 ： Xt=Xt-1+ut （ *） 进 行 回 归 ， 如 果 确 实 发 现 =1， 就 说 随 机 变 量 Xt有 一 个 单 位 根 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-43 一 般 地 :n 检 验 一 个 时 间 序 列 Xt的 平 稳 性 ， 可 通 过 检 验带 有 截 距 项 的 一 阶 自 回 归 模 型 ： Xt=+Xt-1+ut （ *）中 的 参 数 是 否 小 于 1。 或 者 ： 检 验 其 等 价 变 形 式 ： Xt=+Xt-1+ut （ *）中 的 参 数 是 否 小 于 0 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-44 n 后 面 将 证 明 ， （ *） 式 中 的 参 数 1或 =1时 ，时 间 序 列 是 非 平 稳 的 ; 对 应 于 （ *） 式 ， 则 是 0或 =0。 n 因 此 ， 针 对 式 ： Xt=+Xt-1+ut 我 们 关 心 的 检 验 为 ： 零 假 设 H0： =0。 备 择 假 设 H1： 0第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-45 n上 述 检 验 可 通 过 OLS法 下 的 t检 验 完 成 。n然 而 ， 在 零 假 设 （ 序 列 非 平 稳 ） 下 ， 即 使 在 大样 本 下 t统 计 量 也 是 有 偏 误 的 （ 向 下 偏 倚 ） ，通 常 的 t 检 验 无 法 使 用 。n Dicky和 Fuller于 1976年 提 出 了 这 一 情 形 下 t统计 量 服 从 的 分 布 （ 这 时 的 t统 计 量 称 为 统 计量 ） ， 即 DF分 布 。n由 于 t 统 计 量 的 向 下 偏 倚 性 ， 它 呈 现 围 绕 小 于零 值 的 偏 态 分 布 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-46n 因 此 ， 可 通 过 OLS法 估 计 ： Xt=+Xt-1+t 并 计 算 t统 计 量 的 值 ， 与 DF分 布 表 中 给 定 显 著 性水 平 下 的 临 界 值 比 较 ： 表 3 DF分 布 临 界 值 表 样 本 容 量 显 著 性 水 平 25 50 100 500 t分 布 临 界 值 （ n= ） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-47 如 果 ： t临 界 值 ， 则 拒 绝 零 假 设 H0： =0，认 为 时 间 序 列 不 存 在 单 位 根 ， 是 平 稳 的 。n 注 意 ： 在 不 同 的 教 科 书 上 有 不 同 的 描 述 ， 但 是结 果 是 相 同 的 。例 如 不 同 表 述 ： “ 如 果 计 算 得 到 的 t统 计 量 的 绝 对值 大 于 临 界 值 的 绝 对 值 ， 则 拒 绝 =0”的 假 设 ， 原序 列 不 存 在 单 位 根 ， 为 平 稳 序 列 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-48 n 问 题 的 提 出 ： 在 利 用 Xt=+Xt-1+ut对 时 间 序 列 进 行 平 稳 性检 验 中 ， 实 际 上 假 定 了 时 间 序 列 是 由 具 有 白 噪 声 随机 误 差 项 的 一 阶 自 回 归 过 程 AR(1)生 成 的 。 但 在 实 际 检 验 中 ， 时 间 序 列 可 能 由 更 高 阶 的 自回 归 过 程 生 成 的 ， 或 者 随 机 误 差 项 并 非 是 白 噪 声 ，这 样 用 OLS法 进 行 估 计 均 会 表 现 出 随 机 误 差 项 出 现自 相 关 （ autocorrelation） ， 导 致 DF检 验 无 效 。 2、 ADF检 验第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-49 另 外 ， 如 果 时 间 序 列 包 含 有 明 显 的 随 时间 变 化 的 某 种 趋 势 （ 如 上 升 或 下 降 ） ， 则 也容 易 导 致 上 述 检 验 中 的 自 相 关 随 机 误 差 项 问题 。 为 了 保 证 DF检 验 中 随 机 误 差 项 的 白 噪 声特 性 ， Dicky和 Fuller对 DF检 验 进 行 了 扩 充 ，形 成 了 ADF（ Augment Dickey-Fuller ） 检 验 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-50 n ADF检 验 是 通 过 下 面 三 个 模 型 完 成 的 ：第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验模 型 1 tmi ititt XXX e 11 （ *） 模 型 2 tmi ititt XXX e 11 （ *） 模 型 3 tmi ititt XXtX e 11 （ *） 1-51 n模 型 3 中 的 t是 时 间 变 量 ， 代 表 了 时 间 序 列 随时 间 变 化 的 某 种 趋 势 （ 如 果 有 的 话 ） 。 模 型 1与 另 两 模 型 的 差 别 在 于 是 否 包 含 有 常 数 项 和 趋势 项 。n 检 验 的 假 设 都 是 ： 针 对 H1: 临 界 值 ， 不 能 拒 绝 存 在 单位 根 的 零 假 设 。n 时 间 T的 t统 计 量 小 于 ADF分 布 表 中 的 临 界值 ， 因 此 不 能 拒 绝 不 存 在 趋 势 项 的 零 假 设 。需 进 一 步 检 验 模 型 2 。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-58 2） 经 试 验 ， 模 型 2中 滞 后 项 取 2阶 ： 211 15.165.1057.045.357 tttt GDPGDPGDPGDP （ -0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（ 1） =0.57 LM（ 2） =2.85 LM检 验 表 明 模 型 残 差 不 存 在 自 相 关 性 ，因 此 该 模 型 的 设 定 是 正 确 的 。 第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-59 n从 GDPt-1的 参 数 值 看 ， 其 t 统 计 量 为 正 值 ， 大于 临 界 值 ， 不 能 拒 绝 存 在 单 位 根 的 零 假 设 。n常 数 项 的 t 统 计 量 小 于 AFD分 布 表 中 的 临 界值 ， 不 能 拒 绝 不 存 常 数 项 的 零 假 设 。 需 进 一步 检 验 模 型 1。第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-60 3) 经 试 验 ， 模 型 1中 滞 后 项 取 2阶 ： 211 194.1701.1063.0 tttt GDPGDPGDPGDP （ 4.15） (11.46) (-6.05) LM（ 1） =0.17 LM（ 2） =2.67 n LM检 验 表 明 模 型 残 差 项 不 存 在 自 相 关 性 ， 因 此 模型 的 设 定 是 正 确 的 。n 从 GDPt-1的 参 数 值 看 ， 其 t统 计 量 为 正 值 ， 大 于 临界 值 ， 不 能 拒 绝 存 在 单 位 根 的 零 假 设 。n 可 断 定 中 国 支 出 法 GDP时 间 序 列 是 非 平 稳 的 。 第 四 节 平 稳 性 的 单 位 根 检 验 1-61n 随 机 游 走 序 列 Xt=Xt-1+ut经 差 分 后 等 价 地 变 形 为 Xt=ut， 由 于 ut是 一 个 白 噪 声 ， 因 此 差 分 后 的 序 列Xt是 平 稳 的 。n 如 果 一 个 时 间 序 列 经 过 一 次 差 分 变 成 平 稳 的 ， 就称 原 序 列 是 一 阶 单 整 （ integrated of 1） 序 列 ， 记 为I(1)。 单 整第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-62 n一 般 地 ， 如 果 一 个 时 间 序 列 经 过 d次 差 分 后 变成 平 稳 序 列 ， 则 称 原 序 列 是 d 阶 单 整（ integrated of d） 序 列 ， 记 为 I(d)。nI(0)代 表 一 平 稳 时 间 序 列 。n现 实 经 济 中 :1)只 有 少 数 经 济 指 标 的 时 间 序 列 表 现 为 平 稳 的 ，如 利 率 等 ;第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-63 2)大 多 数 指 标 的 时 间 序 列 是 非 平 稳 的 ， 如 一 些 价 格指 数 常 常 是 2阶 单 整 的 ， 以 不 变 价 格 表 示 的 消 费 额 、收 入 等 常 表 现 为 1阶 单 整 。n 大 多 数 非 平 稳 的 时 间 序 列 一 般 可 通 过 一 次 或 多 次差 分 的 形 式 变 为 平 稳 的 。n 但 也 有 一 些 时 间 序 列 ， 无 论 经 过 多 少 次 差 分 ， 都不 能 变 为 平 稳 的 。 这 种 序 列 被 称 为 非 单 整 的 （ non-integrated） 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-64 例 8 中 国 支 出 法 GDP的 单 整 性 。经 过 试 算 ， 发 现 中 国 支 出 法 GDP是 1阶 单 整 的 ，适 当 的 检 验 模 型 为 ： 1212 966.0495.025.26108.1174 ttt GDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （ -5.18） (6.42) 2R =0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-65 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 前 文 已 指 出 ， 一 些 非 平 稳 的 经 济 时 间 序 列往 往 表 现 出 共 同 的 变 化 趋 势 ， 而 这 些 序 列 间 本身 不 一 定 有 直 接 的 关 联 关 系 ， 这 时 对 这 些 数 据进 行 回 归 ， 尽 管 有 较 高 的 R2， 但 其 结 果 是 没 有任 何 实 际 意 义 的 。 这 种 现 象 我 们 称 之 为 虚 假 回归 或 伪 回 归 （ spurious regression） 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-66 n 如 ： 用 中 国 的 劳 动 力 时 间 序 列 数 据 与 美 国GDP时 间 序 列 作 回 归 ， 会 得 到 较 高 的 R2 ， 但不 能 认 为 两 者 有 直 接 的 关 联 关 系 ， 而 只 不 过它 们 有 共 同 的 趋 势 罢 了 ， 这 种 回 归 结 果 我 们认 为 是 虚 假 的 。n 为 了 避 免 这 种 虚 假 回 归 的 产 生 ， 通 常 的 做 法 是引 入 作 为 趋 势 变 量 的 时 间 ， 这 样 包 含 有 时 间 趋 势变 量 的 回 归 ， 可 以 消 除 这 种 趋 势 性 的 影 响 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-67 n 然 而 这 种 做 法 ， 只 有 当 趋 势 性 变 量 是 确 定 性的 （ deterministic ） 而 非 随 机 性 的（ stochastic） ， 才 会 是 有 效 的 。n 换 言 之 ， 如 果 一 个 包 含 有 某 种 确 定 性 趋 势 的非 平 稳 时 间 序 列 ， 可 以 通 过 引 入 表 示 这 一 确 定性 趋 势 的 趋 势 变 量 ， 而 将 确 定 性 趋 势 分 离 出 来 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-68 1)如 果 =1， =0， 则 （ *） 式 成 为 一 个 带 位 移的 随 机 游 走 过 程 ： Xt=+Xt-1+ut （ *） 根 据 的 正 负 ， Xt表 现 出 明 显 的 上 升 或 下 降趋 势 。 这 种 趋 势 称 为 随 机 性 趋 势 （ stochastic trend） 。 考 虑 如 下 的 含 有 一 阶 自 回 归 的 随 机 过 程 ： Xt=+t + Xt-1+ ut （ *） 其 中 ： ut是 一 白 噪 声 ， t为 一 时 间 趋 势 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-69 2)如 果 =0， 0， 则 （ *） 式 成 为 一 个 带 时 间趋 势 的 随 机 变 化 过 程 ： Xt=+t+t （ *） 根 据 的 正 负 ， Xt表 现 出 明 显 的 上 升 或 下 降趋 势 。 这 种 趋 势 称 为 确 定 性 趋 势（ deterministic trend） 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-70 3) 如 果 =1， 0， 则 Xt包 含 有 确 定 性 与 随 机性 两 种 趋 势 。 判 断 一 个 非 平 稳 的 时 间 序 列 ， 它 的 趋 势 是随 机 性 的 还 是 确 定 性 的 ， 可 通 过 ADF检 验 中 所用 的 第 3个 模 型 进 行 。 该 模 型 中 已 引 入 了 表 示 确 定 性 趋 势 的 时 间变 量 t， 即 分 离 出 了 确 定 性 趋 势 的 影 响 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-71 因 此 ： (1)如 果 检 验 结 果 表 明 所 给 时 间 序 列 有 单 位根 ， 且 时 间 变 量 前 的 参 数 显 著 为 零 ， 则 该 序列 显 示 出 随 机 性 趋 势 ; (2)如 果 没 有 单 位 根 ， 且 时 间 变 量 前 的 参 数显 著 地 不 为 零 ， 则 该 序 列 显 示 出 确 定 性 趋 势 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-72 n 随 机 性 趋 势 可 通 过 差 分 的 方 法 消 除例 如 ： 对 式 ： Xt=+Xt-1+ut 可 通 过 差 分 变 换 为 ： Xt= +ut 该 时 间 序 列 称 为 差 分 平 稳 过 程 （ difference stationary process） ；第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-73 n 确 定 性 趋 势 无 法 通 过 差 分 的 方 法 消 除 ， 而 只能 通 过 除 去 趋 势 项 消 除例 如 ： 对 式 ： Xt=+t+ut可 通 过 除 去 t变 换 为 ： Xt - t =+ut该 时 间 序 列 是 平 稳 的 ， 因 此 称 为 趋 势 平 稳 过 程（ trend stationary process） 。第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-74 需 要 说 明 的 是 ， 趋 势 平 稳 过 程 代 表 了 一 个 时 间 序列 长 期 稳 定 的 变 化 过 程 ， 因 而 用 于 进 行 长 期 预 测则 是 更 为 可 靠 的 。 第 五 节 单 整 、 趋 势 平 稳 与 差 分 平 稳 随 机 过 程 1-75 n 检 验 工 业 增 加 值 月 度 数 据 的 平 稳 性 特 征单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 51015 202530 35 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004RY_SA 1-76 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-77 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-78 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-79 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-80 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-81 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-82 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-83 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-84 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-85 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-86 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现 1-87 单 位 根 检 验 的 Eviews实 现n 文 章 中 对 于 结 果 的 表 述 方 式