均匀传输线的分布参数计算

均匀传输线的分布参数计算0 引言传输线作为一种输送能量和传递信号的装置，由于其应用十分广泛而成为 了很有意义的研究对象。在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测量线 路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。1均匀传输线模型是电路、电磁场理论中重要而又简单的简化模型。典型的 均匀传输线是由在均匀媒质中放置的两根平行直导线构成的。常见的有平行双 板、同轴线、和平行双线等。当然，实际中并不存在真实的均匀线，架空线的 支架、导线自身的重力都会使传输线不均匀。为了简化问题，需要忽略这些次 要因素。以平行双线为例。假设传输线是均匀的，即两导体间的距离、截面形状以 及介质的电磁特性沿着整个长线保持不变，单位长度的线路电阻和电感分别为 R和L0,单位长度的线间电容和电导分别为C和G，如图1所示。传输线最左 0 0 0 0端为起点，即x二0，选取距平行双线起点为x的一小段Ax进行研究。虽然传输 线本质上是一个分布参数系统，但可以采用一个长度为Ax的集中参数模型来描 述。显然，Ax越小就越接近传输线的实际情况 当AxT0时，该模型就逼近真 实的分布参数系统。 2；:心十5)G症?丄 u(x+Arj) 丁 _ 0图 1 有损均匀传输线及其等效模型根据基尔霍夫定律，可以得到电报方程，它是均匀传输线上关于电压、电流的偏微分方程组。dudx二 Ri + L00didtdi、dx二 Gu + C0 0du石方程表明，电流在传输线上连续分布的电阻中引起电压降，并在导线周围 产生磁场，即沿线有电感的存在，变化的电流沿线产生电感电压降，所以，导 线间的电压连续变化；又由于导线间存在电容，导线间存在电容电流，导线间 的非理想电介质存在漏电导，所以还有电导电流，所以沿线的电流也连续变 化。均匀传输线方程是一组常系数线性偏微分方程，在给定的初始条件和边界 条件下，可以唯一地确定u (x, t)和i (x, t)。从方程可以知道，给定初始条件和边界条件时，影响电学量的因素就是分 布参数 R 、 L 、G 、C 。0000 利用电磁场理论，我们可以根据传输线的位置、尺寸、形状、材料等参数 求出这几个分布参数。下面以圆柱平行双线为例，说明计算分布参数的方法。 其他常见的几种传输线，比如平行双板、同轴线的计算类似。1 模型说明仅考虑低频时参数的计算。(1) 导体媒质的电导率很高。传输线常用的材料是铝合金，铝的电导率是rr3.82 X 107 (S/m),远大于磁导率和介电常数。跟据欧姆定律J =y E(Y是电导 率)，电流在百安及千安级别时，导线中的电场强度极小，可以忽略。(2) 两导线间距远小于电磁波波长，即d =九。工频供电时，电磁波波长为6000km ，一般的输电线路都满足这个要求。在这种情形下，可以忽略推迟效 应。(3) 导线的材料、导线周围介质均为线性、均匀、各向同性的物质。，平行双线的结构如图2所示。由于导线中只有轴向电流，可知磁矢位A只 r r有轴向分量，由B = Vx A，可得B = 0 ；由于忽略了导线内部电场，根据电场z强度在切线方向连续，可知E =0。所以，传输线周围的电磁波只有横向分z量，导线所导引的电磁波近似为 TEM 波(横电磁波)。导线及周围介质中的场 分布可以视为平行平面场。同时，由于可以忽略导线内部的电场，可以将导线 视为等电位体，导线表面是等位面。接下来，首先计算电容、电导和电感，这三者的计算有一定共性，因为它们三个参数主要依赖于导体外介质的电磁性质，可以借由静态场的分析来处理。而分布电阻由于涉及到场和导体媒质的相互作用，计算相对复杂一些。2 分布电容的计算根据前文的叙述，可以知道，传输线间电容的计算可以按照静电场的方式 进行。在静电场中，由于两平行长直导线之间存在静电感应，导致导体表面的电 荷分布不均匀，所以不能直接计算导线之间的电位差，必须利用镜像法。图 3 镜像法计算导线电位差示意图如图3,导体外介质的介电常数为&对导体外部的电场，可以设想将两圆 柱导体撤去，其表面电荷效应代之以两根长的带电细线，图中相距 2b 的两根电 荷线密度分别为+p和-p。文献3中给出了镜像带电细线位置的计算过程。两镜像带电细线的位置满 足b 2 + a 2 =(d / 2 匕，所以两导线之间的电位差为b + (d / 2 a)b (d / 2 a)则两导线间单位长度的电容为0U0lnK8arccos h()2a2.1)2 1)沁 ln(-)aC0 =兀8ln(-)a2.2)其中，arccos h(x)二 ln(x + Jx2 1)这是两平行圆柱导线间单位长度电容的准确解。在实际中，导线的半径往往远小于导线间距，即a= d，于是d /a ? 1，arccos h()二 ln(竺 +2a2a式(2.2)是常用的计算公式，但当不能忽略导线间的相互作用时，应当利 用(2.1)式计算。3 分布电导和电感的计算rrE - dSsr rE - dlrrY j E - dS=sr 4j E - dll和Y都是指导体外介质的电磁特在恒定场中，根据电导和电容的定义式：rrq j D - dS s jC = =_r =-U j E - dl jl r rI j J - dSG = =_rU j E - dll可得公式G = Y，需要注意的是这里的Cs性，故只能用来计算漏电导，不能计算电阻。在计算电容时，考虑到传输线线所导引的电磁波近似为TEM波，导线及周围介质中的场分布为平行平面场，所以利用静电场的方式计算电容。同理，电 导的计算也可以按照恒定电场的方式进行。于是，由G = 1，可知C sY兀丫G C 0 s 0darccos h() 2a类似的，在a = d时，由于d/2a ? 1，有兀Yln(-)a面讨论电感的计算。在多数文献里，计算二线传输线的分布电感（自感）时，都采用定义式rr屮 N j B - dSL 莊 1I j J - dSS其中屮是磁链，I是和磁链交链的电流，在考虑导线半径时，需要区分内 自感和外自感。例如文献3中，当图 2 所示的平行双线通有恒定电流时，得到的电感值为L -匕（丄 + In 二）ln d（ a = d ）。0 兀4a 兀 a事实上，这种方法没有考虑两导线的相互作用，所以在计算时按照电流均 匀分布进行的，当然，在a= d时，所得到的结果是足够准确地。如果考虑两导线间的相互作用，那么还需要利用对电流的镜像法，这比较 复杂，通过对传输线电磁场分布的分析，可以得到下面一个简单的方法，在一 些文献，例如4、5中有介绍。根据麦克斯韦方程组，可以推导出无源区导电媒质内的平面波。根据前文 对传输线的描述，电磁波的传播方向为+z。在谐变场的条件下，可得到场量满足的波动方程d 2 HH o- k 2 H& -1dz 2yd 2 Ex - k 2 E 二 0、dz 2x3.1)其中，k =：皿（1+丄）=a + j卩k称为传播常数。注意到正弦激励下传输线方程（电报方程）的形式（dU - k 2（& 二 0dx 2呼-k 21 二 0、dx 2其中，k = p（R + jL ）（G + jC ）二a + j卩，称为传播常数。0 0 0 0可以发现传输线方程和平面电磁波方程形式相同，而相同的方程对应的解 的形式也必然相同，显然，两个传播系数所代表的物理意义也是统一的。按照前文的叙述，由于导线电导率很大，同时忽略了导体内部电场，所以 这里的分布电阻 R 和传播常数相比可以忽略。0于是，传输线的传播系数可化为3.2)k =爲讥（G + jC ） = j :L C （1+ 比）v 0 00 q 0 0jC对比（3.1）、（3.2）两式，由于G = 1，可知C &0L C 二陆。00 根据前文电容的计算值，可以得到分布电感的值为丁卩(d )L = arccos h()曰是，0 兀2a在a = d时，由于d /2a ? 1，有L =上 ln（-），0 兀 a这和直接利用电感定义式所计算的近似结果是一致的，可以互相印证。 可以注意到电容、电导和电感在形式上有一致性，这是三者都依赖于导线 外空间的电磁性质，以及无源区电场和磁场的对称性所决定的。在低频情况 下，可认为这三者和电学量没有关系。文献5中，利用静态时电场和磁场的相互关系，推导了平行平面场情形下电容和电感满足关系LC。这两种分析方法有所不同，利用电磁波的传播00 系数对比的方法，更能显示传输线作为导波系统，对电磁波的引导作用，但 是，所必须的是忽略分布电阻对空间电磁场的影响。而利用静态场引出等式 LC二茁，但是其物理意义不如前者明显。当然，这两种方法都做了不同的近 00 似。4 分布电阻的计算电阻的存在使得电源必须向其提供电压，以使得电流能够维持持续的流动。而电阻本身会产生热损耗，以焦耳定律表示。于是电阻有两种计算方式，一是根据r r r rU J E - dlJ E - dlR 一 一r 一 卜甘 r，I J J - dS y J E - dSSS其中Y是导线电导率；二是根据焦耳定律，R = *来计算。先考虑直流稳态时的情形。对于直流电路，有熟知的公式R = p ，其中pS是电阻率。对直流稳态而言，如果忽略两导线间的相互影响，则均匀传输线只 是延长了线路，而不影响电学量的分布，故在直流稳态时分布电阻仍应按照此 公式进行 ，即R = p-。o兀a 2对于交流电路， 律不同于理想介质，电阻的计算十分复杂。首先，导体媒质内电磁波的传播规电磁波的波速和波长较介质会减小许多，甚至可能出现波长与导线半径同一数量级的情况。而且，磁场和电场会产生相位差，对应于电 路理论就是复数电阻，电阻部分会产生损耗，而电抗部分对应无功分量。同 时，由于存在趋肤效应，场量是矢径r的函数。为了简化问题，下面仅考虑一种情况。对于正弦稳态电路，场量按正弦规 律变化。假设电流仅在导线表面一薄层内均匀流动，薄层的厚度取趋肤效应的 透入深度dd=2怦丫c c这个值是通过解良导体（丫 ？ 08 ）中的波动方程，并认为数值减少至最c大值的e-1得到的。直接利用波动方程的解析解求交流电阻的方法，文献有所 介绍。根据上面的假设，交流电路使得电流所分布的截面面积减少而增大电阻，所以，有R = 2 x - oy 2兀 adc乘 2 是由于考虑到平行双线，下标 c 是为了说明是导体的电导率和磁导 率。5 结论根据前文的计算，可将平行双线的四个分布参数列于下表 1。这些是一般 文献中可以查到的公式。表 1 分布参数的表达式常数公式近似公式R01 反f卩 冗J ”cL0卩I( d )一 arccos h() 兀2a出n d兀aG0兀Yarccos h()2a兀Y,dIn aC0arccos h()2a,dIn a参考文献1 孙韬.传输线方程解析解的研究,2005.2 王小艳一般有损均匀传输线中电流电压的瞬态过程分析J.2OO8.3 冯慈璋，马西奎工程电磁场导论北京:高等教育出版社M.2000.4 David K.Cheng.电磁场与电磁波.北京:清华大学出版社M.2OO7.冯慈璋电磁场.北京:高等教育出版社M.1983.张小林，徐精华信号传输线趋肤效应的分析J.大学物理,2009(7):10-12.