控制系统的时域分析方法

第 3章 控 制 系 统 的 时 域 分 析 法3-1 典 型 的 输 入 信 号3-2 控 制 系 统 的 时 域 性 能 指 标3-3 一 阶 系 统 响 应3-4 二 阶 系 统 响 应3-5 线 性 定 常 系 统 的 稳 定 性 和 劳 斯 判 据3-6 控 制 系 统 的 稳 态 误 差 对 于 线 性 系 统 ， 常 用 的 分 析 方 法 有 三 种 ： 时 域 分 析 方 法 ； 根 轨 迹 法 ； 频 率 特 性 法 。引 言 时 域 分 析 方 法 ， 是 一 种 直 接 分 析 方法 ， 具 有 直 观 准 确 的 优 点 ， 尤 其 适 用 于低 阶 系 统 。 时 域 分 析 ： 是 根 据 微 分 方 程 ， 利 用 拉 氏 变 换 直接 求 出 系 统 的 时 间 响 应 ， 然 后 按 照 响 应 曲 线 来分 析 系 统 的 性 能 。 Input(Typical) Control System (Differential Equation) Laplace Transform O utput Response Stability TheoremAccuracy EssTransient Response Specification 3-1 典 型 的 输 入 信 号 系 统 的 数 学 模 型 由 本 身 的 结 构 和 参 数 决 定 ； 系 统 的 输 出 由 系 统 的 数 学 模 型 、 系 统 的 初 始状 态 和 系 统 的 输 入 信 号 形 式 决 定 ； 典 型 的 输 入 信 号 有 ： 阶 跃 信 号 ； 斜 坡 信 号 ；等 加 速 度 信 号 ； 脉 冲 信 号 ； 正 弦 信 号 ； 典 型 输 入 信 号 的 特 点 ： 数 学 表 达 简 单 ， 便 于分 析 和 处 理 ， 易 于 实 验 室 获 得 。 一 、 阶 跃 信 号A为 常 量 ， A=1的 阶 跃 函 数 称 为 单 位 阶 跃 函 数 。表 达 式 ： 0( ) 0 0A tr t t 拉 氏 变 换 ： 1( ) 1( )R s L t s 二 、 斜 坡 函 数 21)( ssR 拉 氏 变 换 ：A为 常 量 ， A=1的 阶 跃 函 数 称 为 单 位 斜 坡 函 数 。 表 达 式 ： 0( ) 0 0At tr t t A为 常 量 ， A=1的 阶 跃 函 数 称 为 单 位 等 加 速度 函 数 。三 、 等 加 速 度 信 号表 达 式 ： 21 0( ) 20 0At tr t t 拉 氏 变 换 ： 2 31 1( ) 2R s L t s )(t 为 常 量 ， =0的 阶 跃函 数 称 为 单 位 脉 冲 函 数 ， 记为 。四 、 脉 冲 信 号 00 0( ) D ttr t 及 t 表 达 式 ：理 想 脉 冲 ： 0( ) 0 0( ) 1tt tt 拉 氏 变 换 ： ( ) ( ) 1L t R s 五 、 正 弦 信 号 tAtr sin)( 表 达 式 ： 分 析 一 个 实 际 系 统 时 采 用 哪 种 信 号 ，要 根 据 系 统 的 实 际 输 入 信 号 而 定 。正 弦 信 号 主 要 用 来 求 取 频 率 响 应 。 3-2 控 制 系 统 的 时 域 性 能 指 标11 11 1 0 1 11( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n n n nn nm m m mm md d dy t a y t a y t a y tdt dt dtd d db r t b r t b r t b r tdt dt dt L L )(tr( )y t对 于 线 性 定 常 系 统 ， 输 入 为 ： 输 出 为 ：用 微 分 方 程 描 述 如 下 ： 1 1( ) ( ) ( ) n li ki ki kA BY s G s R s s s s s 为 的 极 点 。 为 的 极 点 。is )(sGks )(sR系 统 的 输 出 ： 时 间 响 应 ：动 态 过 程 从 初 始 态 到 接 近 稳 态 的 响 应 。稳 态 过 程 t趋 于 无 穷 大 时 的 输 出 状 态 。由 微 分 方 程 可 以 得 到 传 递 函 数 ( )G s 如 果 和 是 互 异 的 ， 那 么 系 统 的 零状 态 响 应 为 ：is ks 1 1( ) i kn ls t s ti ki ky t Ae B e 其 中 第 一 项 为 系 统 零 状 态 响 应 的 暂 态 分量 ， 第 二 项 为 系 统 零 状 态 响 应 的 稳 态 分量 。 系 统 的 时 域 性 能 指 标 可 以 从 零 状 态响 应 中 求 取 。 超 调误 差 带 稳 态 误 差 EssTTrTp Ts0 tH(t)10.90.50.1 上 升 时 间峰 值 时 间调 整 时 间阶 跃 响 应 输 出单 位 阶 跃 响 应 性 能 指 标 ： 1 延 迟 时 间 T： 指 h(t)上 升 到 稳 态 的 50%所 需 的 时 间 。2 上 升 时 间 Tr： 指 h(t)第 一 次 上 升 到 稳 态 值 的 所 需 的 时 间 。3 峰 值 时 间 Tp： h(t)第 一 次 达 到 峰 值 所 需 的 时 间 。 上 述 三 个 指 标 表 征 系 统 初 始 阶 段 的 快 慢 。4 超 调 量 ： h(t)的 最 大 值 与 稳 态 值 之 差 与 稳 态 值 之 比 ： %100)( )()(% h hth p 5 调 节 时 间 Ts： 指 h(t)和 h()之 间 的 偏 差 达 到 允 许 范 围 （ 2%-5%） 时 的 暂 态 过 程 时 间 。 它 反 映 了 系 统 的 快 速 性 。6 振 荡 次 数 N： 调 节 时 间 内 ， 输 出 偏 离 稳 态 的 次 数 。7 稳 态 误 差 ess： 单 位 反 馈 时 ， 实 际 值 （ 稳 态 ） 与 期 望 值 （ 1（ t） ） 之 差 。 它 反 映 系 统 的 精 度 。 3.3 一 阶 系 统 的 时 域 响 应11)( TssG一 阶 系 统 传 递 函 数 ： 典 型 系 统 ：电 炉 、 液 位- r(t) c(t)一 阶 系 统 框 图 ： 1Ts 一 、 单 位 阶 跃 响 应 ：1( ) 1 1( ) ( 1) 1( ) 1 e tTR s s TY s s Ts s Tsy t 在 单 位 阶 跃 作 用 下 ， 一 阶 系 统 的 输 出 量随 时 间 变 化 曲 线 为 一 条 指 数 曲 线 。 响 应 曲 线 具 有 非 振 荡 特 征 ： t=T, y(t)=0.632; t=2T, y(t)=0.865; t=3T, y(t)=0.95; t=4T, y(t)=0.982;t y t10.632 T 2T 3T 4T0 e tTy t 0.865 0.950 0.982斜 率 1T 1 0( ) 1 1tT tdy t edt T T 一 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 如 果 以 初始 速 度 等 速 上 升 至 稳 态 值 1所 需 的 时 间 应恰 好 为 T。 一 阶 系 统 的 阶 跃 响 应 没 有 超 调 量 ， 故其 时 域 性 能 指 标 主 要 以 Ts来 衡 量 ， Ts的 长短 反 映 了 系 统 过 程 的 快 慢 。由 以 上 可 知 ： t=3T （ 对 5%的 误 差 ） t=4T （ 对 2%的 误 差 ）因 此 ， T越 小 ， 系 统 过 渡 时 间 就 越 短 。 二 、 一 阶 系 统 的 单 位 斜 坡 响 应21)( ssR ttr )( ( ) tTy t t T Te 22 21 1 1( ) 1 1T TY s Ts s s s Ts )0( t稳 态 误 差 ( ) ( ) ( ) (1 )tTe t r t y t T e 输 出 响 应 Ttee tss )(lim 稳 态 误 差 趋 于 T， T越 小 ， 动 态 性 能 越快 ， 稳 态 误 差 越 小 ， 但 不 能 消 除 。0 0( ) 1 0tTt tdy t edt 初 始 速 度 ： 0 T T T2 T2 T3 T3 T4 T4 t T y t r t t y t 单 位 斜 坡 响 应 一 阶 系 统 单 位 斜 坡 响 应 的 稳 态 分 量 ， 是一 个 与 输 入 斜 坡 函 数 斜 率 相 同 但 在 时 间上 迟 后 时 间 常 数 T的 斜 坡 函 数 。 该 曲 线 的 特 点 是 ： 在 t=0处 曲 线 的 斜 率 等于 零 ； 稳 态 输 出 与 单 位 斜 坡 输 入 之 间 在 位 置 上存 在 偏 差 T。 三 、 一 阶 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 0 T T2T21 T3 t y t -t T1eTy t T 1 输 入 ： )()( ttr 1)( sR1( ) 1Y s Ts 1( ) tTy t eT 输 出 ： 由 上 面 分 析 可 知 ， 一 阶 系 统 仅 有 一 个特 征 参 量 T时 间 常 数 ， 调 整 时 间 为（ 3-4T） 当 t=0时 单 位 阶 跃 响 应 的 变 化 率 和 单 位脉 冲 响 应 的 初 始 值 均 为 1/T， 单 位 斜 坡响 应 的 稳 态 误 差 为 T。 T越 小 ， 系 统 的 动 、 静 态 性 能 越 好 。 一 个 输 入 信 号 导 数 的 时 域 响 应 等 于 该 信号 时 域 响 应 的 导 数 ； 一 个 输 入 信 号 积 分 的 时 域 响 应 等 于 该 信号 时 域 响 应 的 积 分 ； 2 2d1( ) d ( )( ) d dt t tt t t Q 21 2d d( ) ( ) ( )dt dt ty t y t y t 线性定常系统 3.4 二 阶 系 统 的 时 域 响 应 用 二 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 称 为 二 阶 系统 ； 二 阶 系 统 不 仅 在 工 程 中 比 较 常 见 ， 而 且许 多 高 阶 系 统 也 可 以 转 化 为 二 阶 系 统 来研 究 ， 因 此 研 究 二 阶 系 统 具 有 很 重 要 的意 义 ； R s Y s 22n ns s典 型 二 阶 系 统 的 结 构 图 22 22)( nnn wsssG 二 阶 系 统 的 传 递 函 数 ： 02 22 nn wss 特 征 方 程 ： 系 统 框 图 ： 二 阶 系 统 的 特 征 根 ： 22 221 22 2( )( ) ( ) 2111 nn nn n dn n dd nY sG s R s s ss j js j j 其 中 ： 1当 时 21,2 1n ns 系 统 的 极 点 为 ： 1 21( ) ( 1)( 1)B s Ts T sG 系 统 的 闭 环 传 函 为 ： 1 21 12 1 1 21 1( ) 1 1 1t tT Ty t e eT T T T 时 域 响 应 ： t y t1 0 单 位 阶 跃 响 应 （ 1） 临 界 阻 尼 ： =1 单 位 阶 跃 响 应 t y t1 0 1 1 闭 环 系 统 的 极 点 为 闭 环 传 递 函 数 为 临 界 阻 尼 时 的 单 位 阶 跃 响 应 为 1,2 ns 2 2( )( ) ( )nB nY sG R s s ( ) 1 (1 ) nt ny t e t 当 时 ， 输 出 响 应 拉 氏 变 换 ：10 22 2 2 2( ) ( ) ( ) 1( )( )1 ( ) ( )nn d n dn nn d n dY s G s R ss j s j sss s s 时 域 响 应 ：1 222 22 12( ) ( )1 (cos sin )11 ( 1 cos sin )1 11 sin( 1 )1 n n nt d dt d dt ny t L Y se t te t te t tg 单 位 阶 跃 响 应 （ 01 ） y(t) 系 统 响 应 的 暂 态 分 量 为 振 幅 随 时 间 按指 数 函 数 规 律 衰 减 的 周 期 函 数 ， 其 振荡 频 率 （ 也 称 为 阻 尼 振 荡 频 率 ） 为 ： 21 d n 1、 二 阶 系 统 响 应 特 点1、 =0时 ， 等 幅 振 荡 ；3、 =1时 ， 处 于 衰 减 振 荡 与 单 调 变 化 的 临 界 状 态 ；5、 -1 0时 ， 振 荡 发 散 ， 系 统 不 稳 定 ；6、 1 时 ， 越 大 ， 曲 线 单 调 上 升 过 程 越 缓 慢 ； 2、 0 1时 ， 越 小 ， 振 荡 越 严 重 ， 超 调 越 大 （ 最 大 超 调 量 100%） ， 衰 减 越 慢 ； 由 曲 线 进 一 步 知 道 ：1、 阻 尼 比 越 大 ， 超 调 量 越 小 ， 响 应 越 平 稳 。 反 之 ， 越 小 ， 超 调 量 越 大 ， 振 荡 越 强 。2、 当 取 =0.707左 右 时 ， Ts和 %都 相 对 较 小 ， 故 一 般 称 =0.707为 最 佳 阻 尼 比 。3、 二 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 不 存 在 稳 态 误 差 。 在 一 定 下 欠 阻 尼 系 统 比 临 界 阻 尼 系 统 更快 达 到 稳 态 值 ； 过 阻 尼 系 统 反 应 迟 钝 ， 动 作 缓慢 ， 故 一 般 二 阶 系 统 都 设 计 成 欠 阻 尼 系 统 。 闭 环 极 点 坐 标 与 阻 尼 比 的 关 系 dnn 等 阻 尼 线1 cos2 n横 坐 标3 d纵 坐 标4 n距 原 点5 二 阶 系 统 响 应 特 点 Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0 2 4 6 8 10 12-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 From: U(1) To: Y(1) Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.500.05 0.10.15 0.20.25 0.30.35 0.40.45 From: U(1) To: Y(1) Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.500.05 0.10.15 0.20.25 0.30.35 0.40.45 From: U(1) To: Y(1) 10 1 0 1 Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0 5 10 15 20 25-2-1.5 -1-0.5 00.5 11.5 2 From: U(1) To: Y(1) 01 Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200-150 -100-50 050 100150 200 From: U(1) To: Y(1) 1 Time (sec.) Amplitude Impulse Response 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350 12 34 56 7 From: U(1) To: Y(1) 阻尼比与极点分布和系统性能的关系( 脉冲响应曲线变化情况) 2、 二 阶 系 统 响 应 性 能 指 标(1) 上 升 时 间 Tr 221 2( ) 1cos sin 0111d dnt Tr TrtgTr Q令 y有又 dn n Time (sec.) Amplit ude Step Response 0 1 2 3 4 5 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 From: U(1) To: Y( 1) tr (2) 峰 值 时 间 Tp 2( ) sin 01 n pp tnd pt tp ddy t t edtt Time (sec.) Ampli tude Step Response 0 1 2 3 4 5 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 From: U(1) To: Y (1) tp (3) 超 调 量 %2 22 1max 2 211 ( ),( ) 1 sin( )1sin( ) sin 1( ) 1( ) ( )% 100%( )100%p pp pt y tey ty t ey t yye 代 入 有 ：而 %的 大 小 完 全 决 定 于 ， 越 小 ， %越 大 。Time (sec.)Amplitude Step Response 0 1 2 3 4 5 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 From: U(1) To: Y( 1) tp (4) 调 节 时 间 Ts 22 12( ) ( ) 11 sin 11 nt ny r t y te t tg （ ）当 y=0.05(或 0.02)时 ， 对 应 的 调 整 时 间 为 Ts 22 12 11 sin( 1 )10.05( nt ne t tg 或 0.02) 0.05( 0.02) nte 21 或1-由 于 正 弦 函 数 的 存 在 ， 和 的 关 系 为 不 连续 的 ， 为 简 单 起 见 ， 可 以 近 似 计 算 如 下 ：Ts nsns ns ns tttt 4%)2(3%)5( 9.00 )102.0ln(%)2( )105.0ln(%)5( 22 时当由 此 可 见 ： 越 大 ， 就 越 小 ， 当 为 一 定 时 ， 则 与 成 反 比 ， 这 与 的 关 系 正 好 相 反 。 n st nst pt rt 3、 二 阶 系 统 的 单 位 斜 坡 响 应 当 输 入 信 号 为 单 位 斜 坡 信 号 时 22 2 2 22 2 222 2 22 2 2 2 2 222 2 121 2221 11 2 1 11n n nn nn n nn nn n nn nn nY s s s s ss s s sss s ss 4、 欠 阻 尼 二 阶 系 统 的 单 位 斜 坡 响 应 22 1 sin 2 01 nt dn ny t t e t t 稳 态 分 量 ： 2ss ny t t 瞬 态 分 量 ： sin 2 nttr ddey t t 22 1 sin 21 nt dn ne t t y t e t 误 差 响 应 ：对 误 差 响 应 求 导 ， 并 令 其 为 0， 得 到 误 差 峰 值 时 间 ： dpt 误 差 峰 值 ： pntdp ete 2112稳 态 误 差 ： ntss tee 2lim 误 差 最 大 偏 离 量 可 以 表 示 为 ： pntnsspm eetee 1误 差 的 调 节 时 间 误 差 进 入 稳 态 值 5%误 差 带所 需 时 间 ： nset 3 5、 采 用 比 例 微 分 控 制 改 善 二 阶系 统 响 应 特 性 2n d 2 2 2n d n n12 T sY sG s R s s T s R s Y s1 E s s s 2n n2dT s 2n d2 2 2n d n n12 T sY sG s R s s T s s dnndn2ndn 2)21(22 TT特 征 方 程 中 ， 一 次 项 系 数 为 ndd 21 T引 入 了 比 例 -微 分 控 制 ， 增 大 了 系 统 的 等 效 阻 尼 比 ，自 然 振 荡 角 频 率 不 变 ， 系 统 的 超 调 减 小 。 同 时 增 加 了一 个 零 点 R s Y s1 E s s s 2n n2dT s 2n2ndn2 d2n2 1 sTs sTsR sCsG引 入 比 例 -微 分 控 制 ， 后 系 统 的 特 征 根 将 发 生 变 化 0 j n d1 s 2s nd 1s 2s 2nn2 2nn1 11 js js 2dnnd2 2dnnd1 11 js js 例 ： 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为求 （ 1） 单 位 阶 跃 输 入 响 应 。 （ 2） 性 能 指 标 。 K 0.4 1( ) ( 0.6)sG s s s %,p t解 ： 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为 B K KB ( ) 0.4 1( ) 2( ) 1 11( ) ( ) ( ), ( )GY s sG s R s G s sY s G s R s R s s 1 3 21 10 20.4 1 1 0.4 1 1 322 2 1 3 1 32 2 2 21 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ss sY s s ss s s s s s s 0.5 0.53 1 3 3( ) 1 e (cos sin ) 1 1.013e sin( 83 )2 2 25 3t ty t t t t 系 统 的 输 出 为 0.5 0.53 1 3 3( ) 1 e (cos sin ) 1 1.013e sin( 83 )2 2 25 3t ty t t t t 系 统 的 输 出 时 域 响 应 为 对 输 出 响 应 求 导 ， 并 令 导 数 为 0， 得 sec16.3p t %18%100)( )()(% p y yty根 据 峰 值 时 间 很 容 易 得 到 6、 采 用 输 出 微 分 反 馈 改 善 二阶 系 统 响 应 特 性 R s Y s sE 2n n2s s tK s系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为 其 等 效 阻 尼 为 ntt 21 K 22 2 2( )( ) (2 )nB n t n nY sG R s s K s 系 统 的 等 效 阻 尼 比 增 大 ， 抑 制 了 输 出 量 的 超 调 和 振 荡 ，改 善 了 系 统 的 平 稳 性 。系 统 的 误 差 传 递 函 数 2nn2nt2 2ntn2E )2( )2()( )()( sKs sKssR sEsG单 位 斜 坡 输 入 作 用 下 2 2n t n E 2 2 2 2t n n n(2 ) 1( 2 )s K sE s G s R s s K s s 由 终 值 定 理 t n0 tn n2 2( ) ( ) |s K e t sE s K 稳 态 误 差 增 大 ， 原 因 是 ？ R s Y s sE 2n n2s s tK s 对 于 图 示 系 统 ，（ 1） 求 当 a=0， 阻 尼 比 、 自 然 振 荡 角 频 率 和 单 位 斜 坡 输入 的 稳 态 误 差 。（ 2） 当 时 ， 确 定 系 统 的 a和 单 位 斜 坡 输 入 的稳 态 误 差 。 707.0 0a 2 82 8Y sR s s s 354.01,825.28 nn 25.08708.02 nsst e若 若 0a 2 8(2 8 ) 8Y sR s s a s 825.28n a822 nt 25.08 12 nt a707.0t 5.022 nn nsst aae 7、 比 例 微 分 控 制 与 输 出 微分 反 馈 的 比 较1、 增 加 阻 尼 的 来 源 不 同 ： 两 者 都 增 大 了 系 统 阻 尼 ， 但 来 源 不 同 ；2、 对 于 噪 声 和 元 件 的 敏 感 程 度 不 同 ；3、 对 开 环 增 益 和 自 然 振 荡 角 频 率 的 影 响 不 同 ；4、 对 动 态 响 应 的 影 响 不 同 。 （ 1） 增 加 阻 尼 的 来 源 比 例 微 分 的 阻 尼 来 自 误 差 信 号 的 速 度 ； 输 出 微 分 反 馈 的 阻 尼 来 自 输 出 响 应 的 速 度 ； 因 此 对 于 给 定 的 开 环 增 益 和 指 令 速 度 ， 输 出微 分 的 稳 态 误 差 更 大 ； sR sY n2n2ss1 sT de （ 2） 对 于 噪 声 和 元 件 的 敏 感 程 度 比 例 微 分 控 制 对 于 噪 声 具 有 明 显 的 放 大作 用 ， 输 入 噪 声 大 ， 不 宜 使 用 ； 输 出 微 分 反 馈 对 输 入 的 噪 声 具 有 滤 波 作用 第 5章 ， 对 噪 声 不 敏 感 ； 比 例 微 分 控 制 加 在 误 差 后 ， 能 量 一 般 较小 ， 需 要 放 大 器 放 大 倍 数 较 大 ， 抗 噪 声能 力 强 ； 输 出 微 分 反 馈 输 入 能 量 一 般 很 高 ， 对 元件 没 有 特 殊 要 求 ， 适 用 范 围 更 广 ； （ 3） 开 环 增 益 和 自 然 振 荡 角 频 率 的 影 响 比 例 微 分 控 制 对 于 开 环 增 益 和 自 然 振 荡角 频 率 都 没 有 影 响 ； 输 出 微 分 反 馈 影 响 自 然 振 荡 角 频 率 ， 但开 环 增 益 会 明 显 减 小 本 章 最 后 一 节 ； 使 用 输 出 微 分 反 馈 要 求 开 环 增 益 较 大 ，导 致 自 然 振 荡 角 频 率 随 之 增 大 ， 容 易 和高 频 噪 声 产 生 共 振 ； （ 4） 对 动 态 性 能 的 影 响 比 例 微 分 控 制 在 闭 环 系 统 中 引 入 了 零 点 ，加 快 了 系 统 的 响 应 速 度 第 4章 ； 相 同 阻 尼 比 的 情 况 下 ， 比 例 微 分 控 制 引 起的 超 调 大 于 输 出 微 分 反 馈 系 统 的 超 调 。 3-5 高 阶 系 统 的 响 应 前 面 研 究 了 两 种 低 阶 系 统 ； 用 高 阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统 为 高 阶 系 统 ； 工 程 实 际 中 的 系 统 决 大 多 数 为 高 阶 系 统 ； 高 阶 系 统 的 解 析 解 比 较 复 杂 ， 有 时 高 阶系 统 可 以 用 低 阶 系 统 的 响 应 来 近 似 主 导 极 点 第 4章 。 1、 高 阶 系 统 的 一 般 形 式 闭 环 传 函 11 1 011 1 01 m mm mn nn nY s G s b s b s b s bG s R s G s H s a s a s a s a LL sR sY sG sH 2、 高 阶 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 11 1 0 11 2 21 1 0 K1 11 12mm m im m in n q rn n j k kj kK s zb s b s b s bY s G s R s s sa s a s a s a s s s s LL rk kk kkqj jj ss CsBss AsAsY 1 2K210 2 为 实 数 极 点 的 个 数 ， 为 共 轭 复 数 极 点 的 个数 ， 。 设 上 述 极 点 互 异 并 都 位 于 平 面 的 左半 平 面 ， 则 经 过 整 理 后q rmrq 2 k k0 1 2 2k k1 ee cos 1 e sin 1jk kq s tjjr t tk k k kky t A AB t C t 经 拉 氏 反 变 换 这 表 明 ： 高 阶 系 统 的 时 间 响 应 是 由 若 干 一 阶系 统 和 二 阶 系 统 的 时 间 响 应 函 数 项 组 成 的 。 3、 高 阶 系 统 举 例例 ： 设 三 阶 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为 试 确 定 其 单 位 阶 跃 响 应 。 8106 655 23 2 sss sssG ssss sssRsGsY 1224 325 2 8cose210e1541 4 tty tt解 ： 输 出 信 号 的 拉 氏 变 换经 拉 氏 反 变 换 4、 高 阶 系 统 的 近 似 分 析 高 阶 系 统 可 以 近 似 成 低 阶 系 统 来 分 析 ； 学 习 了 系 统 的 根 轨 迹 后 将 详 细 说 明 为 什么 高 阶 系 统 可 以 近 似 来 分 析 。 3-6 稳 定 性 和 劳 斯 判 据 稳 定 性 的 基 本 概 念 劳 斯 判 据 两 种 特 殊 情 况 稳 定 裕 度 的 检 验 参 数 对 系 统 稳 定 性 的 影 响 一 、 稳 定 性 的 基 本 概 念(a) (b)A B A图 (a)表 示 小 球 在 一 个 凹 面 上 ， 原 来 的 平 衡 位 置 为 A，当 小 球 受 到 外 力 作 用 后 偏 离 A,例 如 到 B,当 外 力 去 除后 ， 小 球 经 过 几 次 振 荡 后 ， 最 后 可 以 回 到 平 衡 位 置 ，所 以 ， 这 种 小 球 位 置 是 稳 定 的 ； 反 之 ， 如 图 (b)就 是 不 稳 定 的 。 稳 定 性 的 定 义 任 何 系 统 在 扰 动 的 作 用 下 都 会 偏 离 原 平 衡 状态 产 生 初 始 偏 差 。 所 谓 稳 定 性 就 是 指 当 扰 动 消 除后 ， 由 初 始 状 态 回 复 原 平 衡 状 态 的 性 能 ； 若 系 统可 恢 复 平 衡 状 态 ， 则 称 系 统 是 稳 定 的 ， 否 则 是 不稳 定 的 。 稳 定 性 是 系 统 的 固 有 特 性 ， 对 线 性 系 统 来 说 ，它 只 取 决 于 系 统 的 结 构 、 参 数 ， 而 与 初 始 条 件 及外 作 用 无 关 。 稳 定 性 分 析 有 以 下 几 种 方 法 ： 特 征 方 程 法 特 征 值 判 据 法 代 数 判 据 法 根 轨 迹 法 频 率 稳 定 判 据 法 稳 定 性 的 数 学 描 述设 线 性 定 常 系 统 微 分 方 程 为 ：( )0 1( ) ( ) ( )n n na y t a y t a t &L )()()( 1)(0 trbtrbtrb mmm &L稳 定 性 是 研 究 扰 动 去 除 后 系 统 的 运 动 情 况 ， 它 与系 统 的 输 入 信 号 无 关 ， 因 而 可 以 用 系 统 的 脉 冲 响应 函 数 来 描 述 ， 如 果 脉 冲 响 应 函 数 是 收 敛 的 ， 则系 统 稳 定 ， 反 之 ， 系 统 不 稳 定 。 则 脉 冲 响 应 为 ：1 1( ) ( cos sin )i iK rt ti i i i ii iy t C e e A t B t 式 中 ： iA iB iC 为 待 定 常 数 。 ( 1 )i i K 设 系 统 传 递 函 数 有 个 实 根Kr ( )( 1 )i ij i K 对 共 轭 复 根如 果 则 系 统 稳 定 ， 反 之 ， 系 统 不 稳 定 ；lim ( ) 0 t y t 下 面 分 析 上 式 ：（ 1） 若 系 统 最 终 能 够 恢 复 平 衡 状 态 ， 由 于 有 复 数 根 存 在 ， 系 统 输 出 呈 振 荡 曲 线 衰 减 。（ 2） 若 系 统 输 出 按 指 数 曲 线 衰 减 。（ 3） 若 有 任 一 个 大 于 零 ， 时 系 统 输 出 系 统 不 稳 定 。（ 4） 只 要 中 有 一 个 为 零 ， 系 统 不 能 恢 复 原 来 平 衡 状 态 或 为 等 幅 振 荡 。 这 时 仍 认 为 系 统 是 不 稳 定 的 。0,0 ii 0,0,0 iii ii 或 t( )y t ii 或 t 二 、 劳 斯 判 据由 上 面 分 析 可 以 看 出 ， 上 面 的 方 法 必 须 求 出 闭环 传 函 的 所 有 极 点 。这 对 二 阶 以 下 的 系 统 是 有 用 的 ， 但 是 对 于 三 阶以 上 系 统 ， 求 解 极 点 一 般 来 说 是 比 较 困 难 的 。因 此 人 们 希 望 不 求 解 高 阶 方 程 而 进 行 稳 定 性 的间 接 判 断 。1877年 ， 英 国 学 者 劳 斯 （ ROUTH） 提 出 了 利 用特 征 方 程 的 系 数 进 行 代 数 运 算 ， 得 到 全 部 极 点具 有 负 实 部 的 条 件 ， 以 此 判 断 系 统 是 否 稳 定 。 线 性 系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 ： 系 统 特 征 方 程 式 的 全 部 根 都 是 负 实 数 或具 有 负 实 部 。 由 于 特 征 方 程 的 根 是 s平 面 上 一 点 ， 所 以系 统 稳 定 的 充 要 条 件 是 系 统 的 所 有 极 点均 在 s的 左 半 平 面 系 统 特 征 方 程 为 ： 00111 asasasa nnnn L 2221211 )()()()( rrKn ssssa LL因 为 所 有 根 都 在 S的 左 半 平 面 ， 即 0,0 ii 0,0 ii 0 iar上 式 中 所 有 系 数 均 为 实 数 ， 并 设 0na( 1 )i i K ( )( 1 )i ij i K 设 系 统 传 递 函 数 有 个 实 根K 对 共 轭 复 根系 统 稳 定 的 必 要 条 件 是 特 征 方 程 的 所 有 系 数 都 大于 零 。 劳 斯 判 据1、 列 出 系 统 特 征 方 程 ： 0)( 0111 asasasasF nnnn L上 式 中 所 有 系 数 均 为 实 数 ， 并 设 0na2、 按 系 统 特 征 方 程 列 写 劳 斯 行 列 表 ：10 3335222311114321 42gs dcbadcbadcbassss aaas nnnnnnn nnnn LL 2 1 31 11 3 1 21 14 1 52 21 5 1 31 16 1 7 3 31 7 1 41 1 1 11 11 1n n n nn nn n n n nn nn n n n nn nn a a a ab ca a b ba ba a a ab ca a b ba ba a a ab ca a b ba b 1 31 21 2 1 31 21 11 1 b bb bd d c cc cc c L 3、 考 察 行 列 表 若 第 一 列 各 数 均 为 正 数 ， 则 系 统 的 所 有 特征 根 均 在 根 平 面 的 左 半 平 面 ， 此 系 统 稳 定 。 若 第 一 列 中 有 负 数 则 说 明 系 统 不 稳 定 ， 第一 列 中 符 号 变 化 的 次 数 表 示 右 半 平 面 根 的个 数 。在 进 行 行 列 表 计 算 时 ， 为 了 运 算 方 便 ， 可将 一 行 中 各 数 都 乘 以 一 个 正 数 ， 不 影 响 稳定 性 判 断 三 、 两 种 特 殊 情 况1、 劳 斯 行 列 表 中 某 一 行 的 左 边 第 一 个 元 素 为 0， 其 余不 为 0或 没 有 。 这 时 可 以 用 一 个 很 小 的 正 数 来 代 替 这个 0， 使 运 算 继 续 下 去 。2、 劳 斯 行 列 表 中 第 K行 全 部 为 0。 说 明 有 对 称 于 原 点的 根 。 这 时 可 以 建 立 一 个 辅 助 方 程 继 续 进 行 分 析 ， 方法 是 ：（ a） 用 K-1行 构 成 辅 助 多 项 式 ， 它 的 次 数 为 偶 数 。（ b） 对 辅 助 多 项 式 求 导 ， 系 数 代 替 K行 。 继 续 计 算 。（ c） 对 于 对 称 于 原 点 的 根 ， 可 由 辅 助 多 项 式 等 于 0求得 。 四 、 稳 定 裕 度 的 检 验 应 用 劳 斯 判 据 不 仅 可 以 判 断 系 统 稳 定 与 否 ，即 相 对 稳 定 性 。 也 可 以 判 断 系 统 的 是 否 具 有 一 定的 稳 定 裕 度 ， 即 相 对 稳 定 性 。 这 时 可 以 移 动 S平面 的 坐 标 系 ， 然 后 再 应 用 劳 斯 判 据 。 如 图 ： 将 上 式 代 入 原 方 程 ， 得 到以 Z为 变 量 的 新 的 特 征 方 程 ，再 检 验 其 稳 定 性 。 此 时 系 统如 果 仍 然 稳 定 ， 则 说 系 统 具有 稳 定 裕 度 。 o os zs令 0413102 23 sss例 ： 系 统 特 征 方 程 为判 断 系 统 是 否 有 根 在 右 半 平 面 ， 并 验 有 几 个 根 在 s=-1的 右 边 。RO UTHS TABLE：4 2.12 410 1320123ssss故 S右 半 平 面 无 根 。 将 s=z-1代 入 原 方 程 得 ： 0142 23 zzz 1 5.0 14 120123 ssssNEW ROUTHS TABLE：故 有 一 个 根 在 s=-1的 右 边 。 五 、 分 析 参 数 对 稳 定 性 的 影 响Ksss KsG )5)(1()(例 ： 0)5)(1( Ksss 056 23 Ksss或特 征 方 程 为 ：RO UTHS TABLE：Ks Ks Kss0123 30616 51 要 使 系 统 稳 定 ， 则 劳 斯 表 第 一 列应 为 正 数 。 即 有 ： 0300 KK 300 K故 系 统 的 稳 定 临 界 值 为 K=30。 0100102 234 sTsss例 ： 系 统 特 征 方 程 为求 系 统 稳 定 T的 临 界 值 。RO UTHS TABLE： 100 525010 1002210 10 1002101234s TTs Ts Tss 要 使 系 统 稳 定 必 须 有 ： 250525010 505 TTT TTT必 须 大 于 25， 系 统 才 稳 定 。 3.6 控 制 系 统 的 稳 态 误 差 稳 态 误 差 的 概 念 和 定 义 给 定 作 用 下 的 稳 态 误 差 扰 动 作 用 下 的 稳 态 误 差 提 高 系 统 稳 态 精 度 的 方 法 控 制 系 统 的 性 能 ： 动 态 性 能 和 稳 态 性 能稳 态 性 能 用 稳 态 误 差 来 描 述讨 论 稳 态 误 差 的 前 提 是 系 统 是 稳 定 的sse sR sY sH sG2 sG1 sN sE sB控 制 系 统 结 构 图 一 、 稳 态 误 差 的 概 念 ( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s Y s )()(1 )(lim)(lim 00 sHsG ssRssEe ssss )(/)()( sHsEsE tee tss lim二 、 稳 态 误 差 的 定 义 误 差 定 义 为 输 入 量 与 反 馈 量 的 差 值 稳 态 误 差 为 误 差 的 稳 态 值 如 果 需 要 可 以 将 误 差 转 换 成 输 出 量 的 量 纲 稳 态 误 差 不 仅 与 其 传 递 函 数 有 关 ， 而 且 与 输 入信 号 的 形 式 和 大 小 有 关 。 其 终 值 为 ： 设 系 统 开 环 传 递 函 数 为 ：其 中 为 开 环 增 益 ， 为 系 统 中 含 有 的 积分 环 节 数对 应 于 的 系 统 分 别 称 为 0型 ， 型和 型 系 统 。 )(,)1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 mnsTsTsTs sssKsHsG nv m LL K v2,1,0v三 、 给 定 作 用 下 的 稳 态 误 差 )(1)( tAtr sAsR )(定 义 为 静 态 位 置 误 差 系 数 ， 有1、 阶 跃 输 入对 于 0型 系 统 ：0sse对 于 型 和 型 系 统 由 于 0型 系 统 无 积 分 环 节 ， 其 阶 跃 输 入时 的 稳 态 误 差 为 与 K有 关 的 一 定 值 ， 因此 常 称 为 有 差 系 统 。 为 减 小 稳 态 误 差 ， 可 在 稳 定 条 件 允 许的 前 提 下 ， 增 大 K值 。 若 要 求 系 统 对 阶 跃 输 入 的 稳 态 误 差 为零 ， 则 应 使 系 统 的 类 型 高 于 I型 。 2)( sAsR 0vK sseKKv KAess vK 0sse定 义 为 静 态 速 度 误 差 系 数 ， 有2、 斜 坡 输 入对 于 0型 系 统 ：对 于 型 系 统 ：对 于 型 系 统 ： 可 见 ， 0型 系 统 不 能 跟 踪 斜 坡 输 入 信号 。 随 时 间 的 推 移 ,误 差 越 来 越 大 ； I型 系 统 可 以 跟 踪 斜 坡 输 入 信 号 。 但具 有 与 K有 关 的 稳 态 误 差 ， 可 用 增 加K的 方 法 提 高 稳 态 精 度 ； II型 及 以 上 系 统 可 完 全 跟 踪 斜 坡 输入 信 号 ， 即 稳 态 误 差 为 零 。 3)( sAsR 0aK sse0aK sseKKa KAess 定 义 为 静 态 速 度 误 差 系 数 ，有 )(,)1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 mnsTsTsTs sssKsHsG nv m LL 3、 抛 物 线 输 入对 于 0型 系 统 ：对 于 型 系 统 ：对 于 型 系 统 ： 对 于 型 系 统 及 以 上 系 统 ： 可 见 ， I型 及 以 下 系 统 不 能 跟 踪 抛 物 线 输入 ， 误 差 越 来 越 大 ； II型 系 统 可 以 跟 踪 抛 物 线 输 入 信 号 。 但具 有 与 K有 关 的 稳 态 误 差 ， 可 用 增 加 K的方 法 提 高 稳 态 精 度 ； III型 及 以 上 系 统 可 完 全 跟 踪 斜 坡 输 入 信号 ， 即 稳 态 误 差 为 零 。 aK 0sse 设 由 扰 动 引 起 的 误 差 为 ：0)( sR )()()(1 )()( 21 2 sFsGsG sGsEF 四 、 扰 动 作 用 下 的 稳 态 误 差 vs sWsWKKsGsGsG )()()()()( 212121 同 样 对 应 于 的 系 统 分 别 称 为 0型 ， 型 和 型 系 统 。 2,1,0v 21 )()(,)()( 222111 vv s sWKsGs sWKsG 设系 统 的 开 环 传 递 函 数 改 写 为 ： 1)0()0(, 2121 WWvvv其 中 21021 KKFKesf sFsF 0)( 一 般 情 况 下 ，121 KK 10 KFesf 20)( sFsF sfe 0v sFsGsG sGsssEe sFssf 021 200 )()(1 )(lim)(lim 阶 跃 信 号 ：1、 对 于 0型 系 统 ：在 阶 跃 扰 动 的 作 用 下 ， 稳 态 误 差 正 比 于 扰 动 信 号幅 值 ， 与 作 用 点 前 前 向 系 数 近 似 成 反 比斜 坡 信 号 ：斜 坡 扰 动 稳 态 误 差 为 无 穷 。 0sfesFsF 0)( 10Kvesf 20)( svsF 1021 201 KFKKKFesf sfe 1v sFsGsG sGsssEe sFssf 021 200 )()(1 )(lim)(lim 2、 对 于 型 系 统 ：0,1 21 vv（ 1）对 于 阶 跃 扰 动 信 号 ：对 于 斜 坡 扰 动 信 号 ：1,0 21 vv（ 2）对 于 阶 跃 扰 动 信 号 ：对 于 斜 坡 扰 动 信 号 ： 扰 动 稳 态 误 差 只 与 作 用 点 前 的 前 向 通 道传 递 函 数 有 关 ， 中 对 应 的系 统 中 阶 跃 响 应 稳 态 误 差 为 0， 斜 坡 扰 动稳 态 误 差 与 的 增 益 成 反 比 。 扰 动 稳 态 误 差 与 作 用 点 后 的 的 增 益和 是 否 含 有 积 分 环 节 无 关 。)(1 sG 1K 11 v)(1 sG )(1 sG )(2 sG （ 1） 对 于 阶 跃 和 斜 坡 扰 动 引 起 的 稳 态 误 差 为 0； 0,2 21 vv（ 2） 对 于 阶 跃 扰 动 稳 态 误 差 为 0， 对 于 斜 坡 扰 动 为 ；10 Kv1,1 21 vv（ 3） 对 于 阶 跃 扰 动 信 号 ： 对 于 斜 坡 扰 动 信 号 ：2,0 21 vv 21021 KKFKsse3、 对 于 型 系 统 ： 注 意 ： 对 于 上 述 给 定 和 扰 动 稳 态 误 差 利 用 终 值定 理 进 行 求 取 必 须 满 足 两 个 条 件 ： （ 1） 系 统 是 稳 定 的 ； （ 2） 所 求 信 号 的 终 值 要 存 在 。 从 前 述 可 知 ：（ 1） 在 系 统 中 增 加 前 向 通 道 积 分 环 节 的 个 数 或增 大 开 环 增 益 ,可 减 小 系 统 的 给 定 稳 态 误 差 ；（ 2） 增 加 误 差 信 号 到 扰 动 作 用 点 之 间 的 积 分 环节 个 数 或 放 大 系 数 ， 可 减 小 系 统 的 扰 动 稳 态 误差 。 但 一 般 系 统 的 积 分 环 节 不 能 超 过 两 个 ， 放大 倍 数 也 不 能 随 意 增 大 ， 否 则 将 使 系 统 暂 态 性能 变 坏 ， 甚 至 造 成 系 统 不 稳 定 。五 、 提 高 系 统 稳 态 精 度 的 方 法 ： 因 此 稳 态 精 度 与 暂 态 性 能 、 稳 定 性 始 终 存在 矛 盾 。 在 保 证 系 统 稳 定 的 前 提 下 ， 为 实 现 提高 稳 态 精 度 的 目 的 ， 可 采 用 以 下 措 施 ：（ 1） 在 增 大 开 环 增 益 和 扰 动 作 用 点 前 系 统 前 向 通 道 增 益 K1的 同 时 ， 附 加 校 正 装 置 ， 以 确 保 稳 定 性 。（ 2） 增 加 系 统 前 向 通 道 积 分 环 节 个 数 的 同 时 ， 也 要 对 系 统 进 行 校 正 ， 以 防 止 系 统 失 去 稳 定 ， 并 保 证 具 有 一 定 的 瞬 态 响 应 速 度 。 （ 3） 采 用 复 合 控 制 。 在 输 出 反 馈 控 制 的 基 础 上 ， 再 增 加 按 给 定 作 用 或 主 要 扰 动 而 进 行 的 补 偿 控 制 ， 构 成 复 合 控 制 系 统 。 复 合 控 制 的 两 种 方 法 ： 将 在 第 6章 讲 解（ 1） 扰 动 前 馈 补 偿 (参 见 课 本 图 3-43)（ 2） 给 定 前 馈 补 偿 (参 见 课 本 图 3-44) 参 见 课 本 ： pp.101-pp.102 反 馈 及 其 作 用反 馈 对 总 增 益 的 影 响反 馈 对 稳 定 性 的 影 响用 反 馈 减 小 参 数 变 化 对 系 统 的 影 响用 反 馈 改 善 系 统 的 动 态 性 能通 过 反 馈 减 小 干 扰 的 影 响 时 域 分 析 的 概 念 典 型 输 入 信 号 时 域 响 应 性 能 指 标 一 阶 系 统 的 响 应 二 阶 系 统 系 统 的 稳 定 性 稳 态 误 差 稳 态 精 度 与 系 统 动 态 指 标 和 稳 定 性 的 矛 盾 反 馈 及 其 作 用