资源描述
四年级奥数题第35讲 容斥原理第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a或性质b的事物的个数=N aN bN ab。Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人,订阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有13人,订小学生优秀作文的有45人,每人至少订一种读物,订数学大世界的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生,订阅小学生数学报的有32人,订阅中国少年报的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？练习四1、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？练习五1、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？2、六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？三、课后作业1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？3、三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人？4、五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个。这个班共有多少个学生？5、实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类（如图）,那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na NbNab。Nab NbNa例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有3742=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有：7948=31人。练习一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？2,四年级一班有54人,订阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有13人,订小学生优秀作文的有45人,每人至少订一种读物,订数学大世界的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？【答案】1.65+87-122=30（人）2.54-45+13=22（人）3.24-8+17=33（人）例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有2515=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：1023=33人。所以,两题都答得不对的有3633=3人。练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅小学生数学报的有32人,订阅中国少年报的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？【答案】1.40-（23+25-19）=11（人）2.55-（32+29-25）=19（人）3.（50-27）+3-14=12（人）例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：5625=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：282731=24人。练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人？【答案】1.24+18-（36-4）=10（人）2.69+52-（103-12）=30（人）3.40+20-14+10=56（人）例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中,5的倍数有1005=20个,6的倍数有16个（1006=164）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（10030=310）。因此,是6或5的倍数的个数是16203=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：10033=67个。练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个。这个班共有多少个学生？【答案】1.140个 2.87个3.（5+8-1）4=48（人）例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。2422=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。（242210）2=18幅。练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？【答案】1.89件 2.18幅3.（28+24-20）2-42=6（幅）
展开阅读全文