资源描述
2021-4-24 1 微 积 分 （ 一 ） 小 结一 .函 数1.定 义 . ),( !, ,上的函数为定义在则称映，记作与其对确定的法则如果按照某种为非空集设Xfxfy YyXxfRYX 2021-4-24 2（ 1） 有 界 性 2.函 数 的 初 等 性 质（ 3） 奇 偶 性（ 4） 周 期 性 ., fD 对 映 法 则定 义 域函 数 的 两 个 要 素 ：（ 2） 单 调 性 2021-4-24 34.会 分 析 复 合 函 数 中 变 量 的 关 系 ， 会 求 给 定 函 数 的 反 函 数 。3.利 用 函 数 符 号 描 述 有 关 函 数 的 性 质 ； 要 求1.要 熟 练 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 定 义 域 、 值 域 及 图 形 ；2.利 用 给 定 条 件 或 问 题 ， 找 出 函 数 关 系 及 定 义 域 ； 2021-4-24 4,)x(f ,xxAA )x(f xx. x)x(f的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数000 A)x(flimxx 0记作 1.极限的定义)xx(A)x(f 0或 二 、 函 数 的 极 限 2021-4-24 5 2.极 限 的 性 质（ 1） 唯 一 性 :存在，则极限唯一。若)(lim0 xfxx（ 2） 有 界 性 :的某邻域中有界。在，则若0 )()(lim 0 x xfAxfxx （ 3） 保 号 性 : .0)(lim ,)(lim,0)( )(0)(lim 0 0 00 xf xfxfx xfAxfxx xxxx则存在且若的某邻域中必恒为正，在，则若 2021-4-24 6 3.极 限 的 运 算 法 则（ 1） 四 则 运 算 法 则（ 2） 复 合 函 数 的 极 限 法 则4.无 穷 小 量 的 比 较 .)( )(1)( )(lim1 0 是 等 价 无 穷 小 量与 ， 则 称） 若（ x xxxxx , )()( 0无 穷 小 量 时 的 两 个是及设 xxxx （ 3） 夹 逼 定 理 2021-4-24 7 .)( )(0)( )(lim2 0的 高 阶 无 穷 小 量是 ， 则 称） 若（ x xxxxx 注意 并 非 所 有 无 穷 小 量 都 可 以 进 行 比 较例 如 ,01sinlim0 xxx而 xx xx xx 1sinlim1sinlim 00 不 存 在 2021-4-24 8 搞 清 以 下 关 系 .0)(lim),()( )(lim1 00 xxAxf Axf xxxx ）（ .)(1lim0)(lim)2( 00 xx xxxx （ 4） 无 穷 大 量 与 无 界 函 数 的 关 系 .).()( )()()()()3( xx xxxx 或 2021-4-24 9 6.求 未 定 型 极 限 的 方 法(1)利 用 基 本 公 式 : ,)11(lim1 ex xx ）,)1(lim2 10 ex xx ），） 1sinlim3 0 x xx ，） 1tanlim4 0 x xx，） 1arcsinlim5 0 x xx ，） 1arctanlim6 0 x xx，） 1)1ln(lim7 0 x xx ，） 11lim8 0 xe xx 2021-4-24 10 ，） 121cos1lim9 20 x xx ;121 11lim10 0 xxx）(2)利 用 等 价 无 穷 小 替 换 ；(3)利 用 罗 必 达 法 则 ；(4)利 用 夹 逼 定 理 ；(5)利 用 泰 勒 公 式 2021-4-24 11 要 求(2)熟 练 掌 握 极 限 的 性 质 ， 能 够 运用 它 们 分 析 证 明 简 单 的 问 题 .(3)能 够 熟 练 的 运 用 极 限 的 各 种运 算 法 则 、 重 要 极 限 及 定 理 求 函数 的 极 限 。(1)正 确 理 解 函 数 极 限 的 概 念 。 2021-4-24 12 三 .连 续 函 数1.定 义 点 连 续 。在则 称的 邻 域 中 有 定 义 ， 且在若 000 )(),()(lim )( 0 xxfxfxf xxfxx 要 求(1)能 叙 述 两 种 函 数 在 连 续 的 等 价 定 义 .0 x(2)会 确 定 间 断 点 及 其 类 型 . 2021-4-24 13 2.连 续 函 数 的 性 质(1)两 个 连 续 函 数 经 有 限 次 四 则 运 算 和 复 合 得 到 的 新 函 数 仍 是 连 续 函 数 。(2)若 函 数 ， 则 有 以 下 重 要 定 理 ：1） 有 界 定 理2） 根 值 定 理 （ 零 点 定 理 ）,)( baCxf 3） 介 值 定 理 2021-4-24 14 4） 最 值 定 理3.初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 上 是 连 续 的要 求(2)掌 握 连 续 函 数 的 性 质 ， 并 能 够 运用 它 们 分 析 证 明 简 单 的 问 题 。(1)会 利 用 初 等 函 数 的 连 续 性 求 函 数的 极 限 。 2021-4-24 15 四 .导 数 与 微 分1.基 本 概 念(1)导 数 定 义设 函 数 在 点 及 其 附 近 有 定 义 ，如 果 极 限 存 在 ， 则 称 函 数 在 可 导 ， 在 的 导 数 记 作 。)(xf )(xf )(xf 0 x 0 x 0 x)( 0 xf x xfxxfx )()(lim 000 2021-4-24 16 (2)微 分 定 义 。记作的微分在点为并称可微在点则称函数可以表示为函数的改变量为自变量的改变量，若的邻域中有定义，在设xady xxfyxa xxfy xxaxfxfy yxxx xxfy ,)( ,)( )()()( )( 0 000 0 2021-4-24 17 (3)高 阶 导 数 的 定 义 .)()( ,)( )()( .)( )()(, )()( )1()( )1()1( 22 nnnn nn dx ydxfxf nxf xfxf dx ydxf xfxf xfxfy 即阶 导 数的称 为 的 导 数一 般 地 ， 或阶 导 数 ， 记 作 的 二为则 称 它 导 数导 仍 然 可的 导 数若 2021-4-24 18 .)( )()( 0 00 dxxfdy xxfxxf 可微，且在点可导在点(4)可 微 与 可 导 的 关 系2.基 本 导 数 公 式 xx ee Rxxx CC )()3( ),0()()2( (0)()1( 1 为常数）连续在点可微在点00 )()( xxfxxf (5)可 微 与 连 续 的 关 系 2021-4-24 19xxx xxx xx xx xx xx axxa cotcsc)(csc)12( tansec)(sec)11( csc)(cot)10( sec)(tan)9( sin)(cos)8( cos)(sin)7( ln1)(log)6( 22 xx 1)(ln)5( )1,0(ln)()4( aaaaa xx 2021-4-24 20shxchx chxshx xxarc xx xx xx )()18( )()17( 1 1)cot()16( 1 1)(arctan)15( 1 1)(arccos)14( 1 1)(arcsin)13( 22 22 2021-4-24 21 3.导 数 的 运 算 法 则(1)导 数 的 四 则 运 算 法 则(2)复 合 函 数 求 导 的 链 式 法 则(3)隐 函 数 求 导 法(4)反 函 数 求 导 法(5)参 数 方 程 求 导 法(6)对 数 微 分 法(7)高 阶 导 数 的 莱 布 尼 兹 公 式 2021-4-24 22 4.导 函 数 的 性 质(1)导 数 的 零 点 定 理 .0)(),( ,0)()(,)( fba bfafbaxfy使得则可导在若(2)导 数 的 介 值 定 理 .)( ),(,)( )(,)( f babf afbaxfy使得之间的值和则对介于可导在若(3)导 函 数 在 定 义 区 间 内 无 第 一 类 间 断 点 。 2021-4-24 23 要 求(1)掌 握 导 数 概 念 、 物 理 意 义 及 几 何 意 义 ，会 用 定 义 求 分 段 函 数 在 分 点 处 的 导 数 。(2)掌 握 微 分 概 念 和 几 何 意 义 以 及 微 分 和 导数 的 关 系 。(3)熟 记 基 本 导 数 （ 微 分 ） 公 式 。(4)熟 练 运 用 各 种 求 导 (微 分 )法 则 求 初 等 函数 的 导 数 、 微 分 。 2021-4-24 24 五 .导 数 应 用1.微 分 学 基 本 定 理(1)罗 尔 定 理(2)拉 格 朗 日 定 理(3)柯 西 定 理2.函 数 的 增 减 性 。上 单 调 增 （ 或 单 调 减 ） 在则）（ 或若 内 可 导 ，上 连 续 ， 在在设 , )(,0)(0)()1( ),(,)( ba xfxfxf babaxf 2021-4-24 25 。或内则在上单调增（或单调减）在若)0(0)(),( ,)()2( xfba baxf3.函 数 的 极 值(1)极 值 的 概 念 :。或极小值点值点的极大为，或极小值极大值取得在，则称或，都有及其附近有定义，若在设)( )()( )()()( )()()( )( 0 00 00 0 xfx xxfxfxf xfxfxUx xxf 2021-4-24 26 (2)极 值 的 必 要 条 件 （ 费 马 定 理 ）。则存 在 取 得 极 值 ， 且在 点若 0)(, )()( 0 00 xf xfxxf(3)极 值 的 充 分 条 件取得极值。在则两侧异号在心邻域内可导，若的去的某邻域内连续，在在点设 0 0 00)( ,)()()1 xxf xxf xxxf的极值点。是存在且不为零，则若的某邻域内可导，且在点设)()( ,0)()()2 00 00 xfxxf xfxxf 2021-4-24 27 4.函 数 的 凸 性凸函数。上上是下在则称或都有和的非负实数以及任意满足上有定义，若在定义：)(,)( )()()()( , 1, ,)()1( 22112211 21 2121 baxf xfxfxxf baxx baxf (2)凸 性 的 判 别 法 。非增内单调非减在凸函数上上为下在内可导，上连续，在在设)(),( )()(,)( ),(,)()1 ba xfbaxf babaxf 2021-4-24 28 (3)拐 点 的 定 义 与 判 别1)定 义。凸函数上上为下在内二阶可导，在设)0(0)()(, )(),()()2 xfba xfbaxf 。则 的 拐 点是 曲 线且 处 有 连 续 的 二 阶 导 数 ，在设 0)( ,)()(,( )()2 00 0 xf xfxfx xxf曲 线 的 上 凸 弧 与 下 凸 弧 的 分 界 点 2021-4-24 29 的 拐 点 。是 曲 线则 异 号的 两 侧存 在 ， 若 在 的 某 邻 域 内 二 阶 导 数在设 )()(,( ,)()()3 00 00 xfxfx xfxxxf 的 一 条 水 平 渐 近 线 。是 则若水 平 渐 近 线 （ 或)( ,)(lim:)1( )xfAy Axfxx 5.曲 线 的 渐 近 线 2021-4-24 30 的 一 条 垂 直 渐 近 线 。是 则若垂 直 渐 近 线 （ 或)( ,)(lim:)2( 0 )00 xfxx xfxxxx 及若斜 渐 近 线 （ 或 axxfxx )(lim:)3( ) 则 或 ,)(lim )( baxxfxx 的 一 条 斜 渐 近 线 。是 )(xfbaxy 2021-4-24 31 且满足条件：内有定义的某空心邻域在点和设函数,),( )()(0 aU axgxf则有或),()( )(lim)3( Axg xfax )()( )(lim)( )(lim 或Axg xfxg xf axax ;0)(,)()(,),()2( 0 xgxgxfaU且存在和内在 ;0)(lim,0)(lim)1( xgxf axax 6.罗必达法则 2021-4-24 32 7.泰 勒 公 式（ 1） 皮 亚 诺 型 余 项 的 泰 勒 公 式有时则当阶导数，到存在在点假设函数, 1)( 0 0 xx nxxf )()(!1 )(!21)()()( 000)( 200000 nnn xxoxxxfn xxxfxxxfxfxf 2021-4-24 33 2.拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式 之间的某个点。与是介于其中有数，则 阶导到有在点假设函数 xx xxfn xxxfn xxxfxxxfxfxf bax nbaxxf nn nn0 10)1( 00)( 200000 0 )()!1( 1 )(!1 )(!21)()()( ),( 11),()( 2021-4-24 34 3.常用的麦克劳林公式)(!1!211)1 2 nnx xoxnxxe )()!12()1(!5!3sin)2 212153 kkk xokxxxxx )()!2()1(!4!21cos)3 2242 kkk xokxxxx )0( 0，皮亚诺型余项x 2021-4-24 35 )(! )1()1()1( !2 )1(1)1()5 2 nn xoxn nxxx )()1(32)1ln()4 132 nnn xonxxxxx )(11 1)6 2 nn xoxxxx 2021-4-24 36 要 求方 法 。 、 结 论 及 证 明定 理 和 柯 西 定 理 的 条 件 理 、 拉 格 朗 日掌 握 费 马 定 理 、 罗 尔 定)1( 用 。 必 达 法 则 的 应掌 握 求 未 定 型 极 限 的 罗)2( 件 。值 的 必 要 条 件 和 充 分 条 方 法 和 函 数 极掌 握 函 数 增 减 性 的 判 别)3( 2021-4-24 37式 。性 证 明 某 些 简 单 的 不 等 数 增 减 性 、 凸会 用 拉 格 朗 日 定 理 、 函)7( 点 的 判 定 方 法 。 函 数 凸 性 、 拐掌 握 函 数 的 凸 性 概 念 及)4( 。会 求 函 数 的 渐 近 线 方 程)5( 函 数 作 图 。)6(9)利 用 泰 勒 公 式 求 极 限 、 证 明 不 等 式(8)会 用 直 接 展 开 或 间 接 展 开 的 方 法 求 函 数 的 泰 勒 公 式 2021-4-24 38 例1的取值范围指明有使得证明存在常数且，满足设AAxxfx AffRx exfxxfxxf x,)(,0 ,0)0()0(, 1)(3)()( 2 2 证 2)(31)(0 xfxexfx x 时，.1,11 fxe x ,)()( 2AxxfxF 设0)0( F 2021-4-24 39 AAxfxF FAxfxF 212)()( 0)0(,2)( ,21,0)(时即当 AxF 0)(,0)0(, xFFF 从而0)(,)( xFxF所以0,)(,21 2 xAxxfA时当 2021-4-24 40 例2内为增函数。在证明内可导且导数不为零在设)()(,0)( ,)()( 00 0 xUxfxf xUxf 证 ,0)(,0)(, ),(,0)( 2121 021 xfxfxx xUxxxf 设则矛盾。与0)(,0)(),( 21 xffxx 内单调增。在保号。又因而)()(,0)( ,0)()( 0 0 xUxfxf xfxf 2021-4-24 41 例3。该曲线除切点外无交点处的切线与上一点线内曲证明在有对一切上二阶可导在设)(,()( ),0(,0)(),0( ,),0)( 00 xfxxfy xfx xf 证反证法。设另有交点, 1x则对函数)()()()( 000 xxxfxfxfxF ,0)(,0)( 0110 xxxFxF 有,)(0,)(连续，可导在xF由罗尔定理 2021-4-24 42 0)()()(, 010 xffFxx ，使之间存在在，之间存在，再由罗尔定理，在10 x矛盾。与使0)(,0)()( 11 xffF 。与切线除切点外无交点所以)(xf
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