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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 已知两个非零向量a和b，作O A=a， O B=b，则 AO B= （0 180）叫做向量a与b的夹角。O B A当 0 时 ， a与 b同 向 ； O A B当 180 时 ， a与 b反 向 ； OA BB当 90 时 ， 称 a与 b垂 直 ， 记 为 a b. O Aab 我 们 学 过 功 的 概 念 ， 即 一 个 物 体 在 力 F的 作 用 下 产 生 位 移 s（ 如 图 ）FS力 F所 做 的 功 W可 用 下 式 计 算 W=|F| |S|cos 其 中 是 F与 S的 夹 角 从 力 所 做 的 功 出 发 ， 我 们 引 入 向 量“ 数 量 积 ” 的 概 念 。 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a| |b| cos规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注 意 ： 向 量的 数 量 积 是一 个 数 量 。 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当 =90时ab为零。 设 ba 、 是 非 零 向 量 ， be 是 与 方 向 相 同 的单 位 向 量 ， ea 与是 的 夹 角 ， 则 cos|)1( aeaae 0)2( baba |;|)3( bababa 同 向 时 ，与当 |;| bababa 反 向 时 ，与当特 别 地 2|aaa aaa |或 2a|cos)4( ba ba |)5( baba O AB ab B1 | | | cosa b a b 例 1 已 知 |a|=5， |b|=4， a与 b的 夹 角 =120 ， 求 a b。 O AB|b|cos ab B1 ba 等 于 a 的 长 度 |a 方 向 上 的 投 影在 ab 与cos|b 的 乘 积 。 练 习 ：1 若 a =0， 则 对 任 一 向 量 b ， 有 a b=02 若 a 0， 则 对 任 一 非 零 向 量 b ,有 a b03 若 a 0， a b =0， 则 b=04 若 a b=0， 则 a b中 至 少 有 一 个 为 05 若 a 0， a b= b c， 则 a=c6 对 任 意 向 量 a 有 22 |aa 二 、平面向量的数量积的运算律：数 量 积 的 运 算 律 ： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( )1( 其 中 ， cba 、 是 任 意 三 个 向 量 ， R 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . O NMa+bba c 向 量 a、 b、 a + b在 c上 的 射 影 的 数 量分 别 是 OM、 MN、 ON,证明运算律(3)注 ： ？)()( cbacba 例 3： 求 证 ：（ 1） (a b)2 a2 2ab b2；（ 2） (a b)(a b) a2 b2.证 明 ： （ 1） (a b)2 (a b)(a b) (a b)a (a b)b aa ba ab bb a2 2ab b2. 例 3： 求 证 ：（ 1） (a b)2 a2 2ab b2；（ 2） (a b)(a b) a2 b2.证 明 ： （ 2） (a b)(a b) (a b)a (a b)b aa ba abbb a2 b2. 5. | | 3,| | 4,a b ka kb a kb 例 已 知 当 且 仅 当 为 何 值 时 ，向 量 与 互 相 垂 直 ？例 4 2 ) ( 3 )a b a b 求 （ 。| | 6,| | 4,a b a b 已 知 与60 ,o 的夹角为 2.4.2 平 面 向 量数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角 一 、 复 习 引 入 .cos;0)2( cos)1( 2 ba bababa aaaaaa baba ；或 我 们 学 过 两 向 量 的 和 与 差 可 以 转化 为 它 们 相 应 的 坐 标 来 运 算 ,那 么 怎样 用 呢 ？的 坐 标 表 示和 baba 二 、 新 课 学 习1、 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示如 图 ， 是 x轴 上 的 单 位 向 量 ， 是 y轴 上 的 单 位 向 量 ，由 于 所 以 i jcosbaba x ijy o B(x2,y2) ab A(x1,y1) ii jj ijji . . . 1 1 0 下 面 研 究 怎 样 用 .baba 的 坐 标 表 示和设 两 个 非 零 向 量 =(x1,y1), =(x2,y2),则a b 1 1 2 21 1 2 22 21 2 1 2 2 1 1 21 2 1 2 ,( ) ( )a xi y j b x i y ja b xi y j x i y jxx i x y i j x yi j y y jxx y y 故 两 个 向 量 的 数 量 积 等 于 它 们 对 应坐 标 的 乘 积 的 和 。 即 ij x o B(x2,y2) A(x1,y1) ab y .2121 yyxxba 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ， 向量 的 数 量 积 的 运 算 可 转 化 为 向 量 的 坐 标 运算 。 ；或 aaaaaa 2)1( 221221 2211 2222 2 ),(),2 ,),()1( yyxxAB yxByxA yxayxayxa （则 、（设 ） 两 点 间 的 距 离 公 式（ ；或则设 向 量 的 模 2、 向 量 的 模 和 两 点 间 的 距 离 公 式 0 baba（ 1） 垂 直 0 ),(), 2121 2211 yyxxba yxbyxa 则（设3、 两 向 量 垂 直 和 平 行 的 坐 标 表 示 0/ ),(), 1221 2211 yxyxba yxbyxa 则（设（ 2） 平 行 4、 两 向 量 夹 角 公 式 的 坐 标 运 算ba baba cos 1800则 ） ，（的 夹 角 为与设 0.0 .cos)180(0 ),(), 22222121 22222121 21212211 yxyx yxyx yyxxbayxbyxa ，其 中 则 ，夹 角 为与且（设 三 、 基 本 技 能 的 形 成 与 巩 固. ),1,1(),32,1( (1) 1 的 夹 角与，求 已 知例 bababa ba . ),4,2(),3,2( (2) ）（）则 （ 已 知 baba ba 例 2 已 知 A(1， 2)， B(2， 3)， C(-2， 5)，试 判 断 ABC的 形 状 ， 并 给 出 证 明 . A(1,2)B(2,3)C(-2,5) x0y 练 习 2： 以 原 点 和 A（ 5， 2） 为 两个 顶 点 作 等 腰 直 角 三 角 形 O AB，B=90， 求 点 B的 坐 标 . y B AO x），或 （ ），的 坐 标 为 （答 案 ： 2327 2723B 四 、 逆 向 及 综 合 运 用 例 3 （ 1） 已 知 =（ 4， 3） ， 向 量 是垂 直 于 的 单 位 向 量 ， 求 .a ba b ./)2,1(,102 的 坐 标， 求， 且） 已 知（ ababa . 43)5,(),0,3(3 的 值求 ，的 夹 角 为与， 且） 已 知（ k bakba .532222222 ).54,53()54,53(1 kbb ） ； （，） 或 （，） （ 或）答 案 ： （ 提 高 练 习 的 坐 标 为， 则 点 ， 且，、 已 知 CABBC OBACOBOA /)5,0()1,3(1 )329,3(C 2、 已 知 A(1， 2)、 B(4、 0)、 C(8， 6)、D(5， 8)， 则 四 边 形 ABCD的 形 状 是 .矩 形 3、 已 知 = (1， 2)， = (-3， 2)，若 k +2 与 2 - 4 平 行 ， 则 k = . a baa b b - 1 作 业课 本 9 组 5（ 1） ， 9， 10， 11.小 结 、 理 解 各 公 式 的 正 向 及 逆 向 运 用 ； 、 数 量 积 的 运 算 转 化 为 向 量 的 坐标 运 算 ； 、 掌 握 平 行 、 垂 直 、 夹 角 及 距 离公 式 ， 形 成 转 化 技 能 。
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