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2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 1 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则链式法则全微分形式不变性 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 2证 ),()( tttu 则 );()( tttv 一 、 链 式 法 则 ，获 得 增 量设 tt 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 3 由 于 函 数 ),( vufz 在 点 ),( vu 有 连 续 偏 导 数,21 vuvvzuuzz 当 0u ， 0v 时 ， 01 ， 02 tvtutvvztuuztz 21 当 0t 时 ， 0u ， 0v,dtdutu ,dtdvtv 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 4 .lim0 dtdvvzdtduuztzdtdz t 上 定 理 的 结 论 可 推 广 到 中 间 变 量 多 于 两 个 的 情 况 .如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvw tz以 上 公 式 中 的 导 数 称 为dtdz 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 5 上 定 理 还 可 推 广 到 中 间 变 量 不 是 一 元 函 数而 是 多 元 函 数 的 情 况 ： ).,(),( yxyxfz 如 果 ),( yxu 及 ),( yxv 都 在 点 ),( yx具 有 对 x和 y 的 偏 导 数 ， 且 函 数 ),( vufz 在 对 应 点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数),(),( yxyxfz 在 对 应 点 ),( yx 的 两 个 偏 导 数 存 在 ， 且 可 用 下 列 公 式 计 算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 6 uv xz y链 式 法 则 如 图 示xz uz xu vz ,xvyz uz yu vz .yv 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 7 类 似 地 再 推 广 ， 设 ),( yxu 、 ),( yxv 、),( yxww 都 在 点 ),( yx 具 有 对 x和 y的 偏 导 数 ， 复 合 函 数 ),(),(),( yxwyxyxfz 在 对 应 点 ),( yx 两 个 偏 导 数 存 在 ， 且 可 用 下 列 公 式 计 算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . z wvu yx 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 8 特 殊 地 ),( yxufz ),( yxu 即 ,),( yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令 ,xv ,yw 其 中,1xv ,0 xw ,0yv .1yw 把 复 合 函 数 ,),( yxyxfz 中 的 y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 把 ),( yxufz 中 的 u及 y看 作 不变 而 对 x的 偏 导 数两 者 的 区 别 区别类似 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 9 例 1 设 vez u sin ， 而 xyu ， yxv ， 求 xz 和 yz .解 xz uz xu vz xv1cossin veyve uu ),cossin( vvyeu yz uz yu vz yv1cossin vexve uu ).cossin( vvxeu 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 10 例 2 设 tuvz sin ， 而 teu ， tv cos ， 求 全 导 数 dtdz.解 tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvet cossin ttete tt cossincos .cos)sin(cos tttet 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 11 例 3 设 ),( xyzzyxfw ， f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 xw 和 zxw2 .解 令 ,zyxu ;xyzv 记 ,),(1 u vuff ,),(212 vu vuff 同 理 有 ,2f ,11f .22f xw xvvfxuuf ;21 fyzf 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 12 zxw2 )( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf 于 是 zxw2 1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz .)( 22221211 fyfzxyfzxyf 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 13 设 函 数 ),( vufz 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 有 全 微 分dvvzduuzdz ;当 ),( yxu 、 ),( yxv 时 ， 有 dyyzdxxzdz .全 微 分 形 式 不 变 形 的 实 质 ： 无 论 是 自 变 量 的 函 数 或 中 间 变 量 的 函 数 ， 它 的 全 微 分 形 式 是 一 样 的 .z vu、 vu、 二 、 全 微 分 形 式 不 变 性 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 14 dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 15 例 4 已 知 02 zxy eze ， 求 xz 和 yz .解 ,0)2( zxy ezed ,02)( dzedzxyde zxy )()2( ydxxdyedze xyz dyexedxeyedz z xyz xy )2()2( xz ,2 z xyeye yz .2 z xyexe 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 16 1、 链 式 法 则 （ 分 三 种 情 况 ）2、 全 微 分 形 式 不 变 性（ 特 别 要 注 意 课 中 所 讲 的 特 殊 情 况 ）（ 理 解 其 实 质 ）三 、 小 结 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 17 设 ),( xvufz ， 而 )(xu ， )(xv ， 则 xfdxdvvfdxduufdxdz ， 试 问 dxdz 与 xf 是 否 相 同 ？ 为 什 么 ？ 思 考 题 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 18 思 考 题 解 答 不 相 同 .等 式 左 端 的 z是 作 为 一 个 自 变 量 x的 函 数 ， 而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 xvu , 的 三 元 函 数 ， 写 出 来 为 xxvux dxduufdxdz ),( .),(),( xvuxxvu xfdxdvvf 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 19 一 、 填 空 题 : 1、 设 xy yxz coscos ,则 xz _； yz _. 2、 设 22 )23ln( y yxxz ,则 xz _； yz _. 3、 设 32sin ttez ,则 dtdz _. 二 、 设 uvuez ,而 xyvyxu ,22 ， 求 yzxz , . 练 习 题 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 20 三 、 设 )arctan(xyz ,而 xey ,求 dxdz . 四 、 设 ),( 22 xyeyxfz (其 具中 f 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ),求 yzxz , .五 、 设 )( xyzxyxfu ,(其 具中 f 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ),求 ., zuyuxu 六 、 设 ),( yxxfz ,(其 具中 f 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ),求 22222 , yzyx zxz . 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 21 七 、 设 ,)( 22 yxf yz 其 中 为 可 导 函 数 , 验 证 : 211 yzyzyxzx .八 、 设 ,),( 其 中yyxxz 具 有 二 阶 导 数 ,求 ., 2222 yzxz 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 22 一 、 1、 xy yyyxxxy xxxy 222 cos )cossin(cos,cos )sin(coscos ； 2、 ,)23( 3)23ln(2 222 yyx xyxyx 2232 )23( 2)23ln(2 yyx xyxyx ； 3、 .)43(1 )41(3 232tt t 二 、 ,)( 22 22222 2 yx xyeyyx yxyxxz )(22 2 22)( 22 yx xyeyx xyxyyz . 练 习 题 答 案 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 23 三 、 xx ex xedxdz 221 )1( . 四 、 .2,2 2121 fxefyyzfyefxxz xyxy 五 、 .),(),1( fxyzuxzxfyuyzyfxu 六 、 ,12 222121122 fyfyfxz ,1)1( 22221222 fyfyfyxyx z .2 22422322 fyxfyxyz 2007年 8月 南 京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 数 学 系 24 八 、 ,)1( 121122 xz 222111221122 )( yz .
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