回归分析的基本思想及其初步应用二用

3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）高二数学 选修2-3 第 三 章 统 计 案 例 比数学3中“回归”增加的内容数 学 统 计1. 画 散 点 图2. 了 解 最 小 二 乘 法的 思 想3. 求 回 归 直 线 方 程y bx a4. 用 回 归 直 线 方 程解 决 应 用 问 题 选 修 2-3统 计 案 例5. 引 入 线 性 回 归 模 型y bx a e6. 了 解 模 型 中 随 机 误 差 项 e产生 的 原 因7. 了 解 相 关 指 数 R2 和 模 型 拟合 的 效 果 之 间 的 关 系8. 了 解 残 差 图 的 作 用9. 利 用 线 性 回 归 模 型 解 决 一 类非 线 性 回 归 问 题10. 正 确 理 解 分 析 方 法 与 结 果 探究？身 高 为 172 的 女 大 学 生 的 体 重 一 定是 60.316kg吗 ？ 如 果 不 是 ,其 原 因 是 什么 ? （ 1） 由 图 形 观 察 可 以 看 出 ， 样 本 点 呈 条 状 分 布 ，身 高 和 体 重 有 比 较 好 的 线 性 相 关 关 系 ， 因 此 可 以用 线 性 回 归 方 程 刻 画 它 们 之 间 的 关 系 。（ 2） 从 散 点 图 还 可 以 看 到 ， 样 本 点 散 布 在 某 一 条直 线 的 附 近 ， 而 不 是 一 条 直 线 上 ， 所 以 不 能 用 一次 函 数 来 描 述 它 们 之 间 的 关 系 。 这时 我 们 用 下 面 的 线 性 回 归 模 型 来 描 述 身 高 和 体 重的 关 系 ： + 其 中 和 为 模 型 的 未知 参 数 ， e是 y与 之 间 的 误 差 ,通 常 称 为 随 机 误 差 。y 2它 的 均 值 E(e)=0,方 差 D(e)= 0y 线 性 回 归 模 型 + 2E(e)=0, D(e)=y + 其 中 和 为 模 型 的 未 知 参 数 ，e是 y与 之 间 的 误 差 ,通 常 称 为 随 机 误 差 。思考？产 生 随 机 误 差 的 原 因 是 什 么 ？ 探究？为 了 衡 量 预 报 的 精 度 ,需 要 估 计 的 2值 ?( 1,2,. ) i i i i i iy bx a i ny y y bx a i ii i i随 机 误 差 e其 估 计 值 为 : ee 称 为 相 应 点 (x ,y )的 残 差2 211 1 ( , )( 2)2 2( , ) n ii e Q a b nn nQ a b 类 比 样 本 方 差 估 计 总 体 方 差 的 思 想称 为 残 差 平 方 和 21( , ) ( )n i iiQ y x （ 1） 根 据 散 点 图 来 粗 略 判 断 它 们 是 否 线 性 相 关 。（ 2） 是 否 可 以 用 线 性 回 归 模 型 来 拟 合 数 据（ 3） 通 过 残 差 来 判 断 模 型 拟 合 的 效 果 这 种 分 析 工 作 称 为 残 差 分 析1, 2, 3, , . ne e e e 两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。2 211 1 ( , )( 2)2 2ni e Q a b nn n 22（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其 计算公式是： 2 22 1 12 21 1( ) ( )1 ( ) ( )n ni i ii in ni ii iy y y yR y y y y 在 研 究 两 个 变 量 间 的 关 系 时 ， 首 先 要 根 据 散 点 图来 粗 略 判 断 它 们 是 否 线 性 相 关 ， 是 否 可 以 用 回 归 模型 来 拟 合 数 据 。残差分析与残差图的定义： 然 后 ， 我 们 可 以 通 过 残 差 来 判断 模 型 拟 合 的 效 果 ， 判 断 原 始 数 据 中 是 否 存 在 可疑 数 据 ， 这 方 面 的 分 析 工 作 称 为 残 差 分 析 。1 2, , , ne e e 我 们 可 以 利 用 图 形 来 分 析 残 差 特 性 ， 作 图 时 纵 坐 标为 残 差 ， 横 坐 标 可 以 选 为 样 本 编 号 ， 或 身 高 数 据 ， 或体 重 估 计 值 等 ， 这 样 作 出 的 图 形 称 为 残 差 图 。 案例2 一 只 红 铃 虫 的 产 卵 数 y和 温 度 x有 关 。 现收 集 了 7组 观 测 数 据 列 于 表 中 ：（ 1） 试 建 立 产 卵 数 y与 温 度 x之 间 的 回 归 方 程 ； 并预 测 温 度 为 28oC时 产 卵 数 目 。（ 2） 你 所 建 立 的 模 型 中 温 度 在 多 大 程 度 上 解 释 了产 卵 数 的 变 化 ？ 温 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325非线性回归问题 假 设 线 性 回 归 方 程 为 ： =bx+a选 模 型 由 计 算 器 得 ： 线 性 回 归 方 程 为 y=19.87x-463.73 相 关 指 数 R2=r2 0.8642=0.7464估 计 参 数 解 ： 选 取 气 温 为 解 释 变 量 x， 产 卵 数 为 预 报 变 量 y。选 变 量 所 以 ， 一 次 函 数 模 型 中 温 度 解 释 了 74.64%的 产 卵 数 变 化 。探 索 新 知画 散 点 图 050100150200250300350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方 案 1分 析 和 预 测 当 x=28时 ， y =19.87 28-463.73 93一元线性模型 奇怪？ 9366 ?模 型 不 好 ？ y=bx2+a 变 换 y=bt+a非 线 性 关 系 线 性 关 系 方 案 2问 题 选 用 y=bx2+a ， 还 是 y=bx2+cx+a ？问 题 3 -200 -100 0 100 200 300 400 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 产 卵 数 气温问 题 2 如 何 求 a、 b ？合 作 探 究 t=x2二次函数模型 方 案 2解 答平 方 变 换 ： 令 t=x2， 产 卵 数 y和 温 度 x之 间 二 次 函 数 模 型 y=bx2+a就 转 化 为 产 卵 数 y和 温 度 的 平 方 t之 间 线 性 回 归 模 型 y=bt+a温 度 21 23 25 27 29 32 35温 度 的 平 方 t 441 529 625 729 841 1024 1225产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325作 散 点 图 ， 并 由 计 算 器 得 ： y和 t之 间 的 线 性 回 归 方 程 为y=0.367t-202.543， 相 关 指 数 R2=0.802将 t=x 2代 入 线 性 回 归 方 程 得 ： y=0.367x2 -202.543当 x=28时 ， y=0.367 282-202.54 85， 且 R2=0.802，所 以 ， 二 次 函 数 模 型 中 温 度 解释 了 80.2%的 产 卵 数 变 化 。 产 卵 数 y/个 0 50 100 150 200 250 300 350 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 t 问 题 变 换 y=bx+a非 线 性 关 系 线 性 关 系21 c xy ce问 题 如 何 选 取 指 数 函 数 的 底 ?-50050100150200250300350400450-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40产 卵 数 气温 指数函数模型方 案 3合 作 探 究 对 数 方 案 3解 答温 度 x oC 21 23 25 27 29 32 35z=lny 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 xz当 x=28oC 时 ， y 44 ， 指 数 回 归模 型 中 温 度 解 释 了 98.5%的 产 卵 数 的变 化由 计 算 器 得 ： z关 于 x的 线 性 回 归 方 程为 0.272x-3.849 .y e 2 21 1 1 2 2 1ln ln( ) ln ln ln ln lnc x c xy ce c e c c x e c x c 对 数 变 换 ： 在 中 两 边 取 常 用 对 数 得21 c xy c e令 ， 则 就 转 换 为 z=bx+a. 1 2ln , ln ,z y a c b c 21 c xy c ez=0.272x-3.849 ,相 关 指 数 R 2=0.98 最 好 的 模 型 是 哪 个 ? -200 -100 0 100 200 300 400 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 产 卵 数 气温 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 产 卵 数 气温线 性 模 型 二 次 函 数 模 型 指 数 函 数 模 型 比一比 函 数 模 型 相 关 指 数 R2线 性 回 归 模 型 0.7464二 次 函 数 模 型 0.80指 数 函 数 模 型 0.98最 好 的 模 型 是 哪 个 ? 回归分析（二）(1) 0.272 3.849 (2) 2 y ,y 0.367 202.543.xe x 则 回 归 方 程 的 残 差 计 算 公 式 分 别 为 ：由 计 算 可 得 ：(1) (1) 0.272 3.849(2) (2) 2 , 1,2,.,7; 0.367 202.543, 1,2,.,7.xi i i i i i i ie y y y e ie y y y x i x 21 23 25 27 29 32 35y 7 11 21 24 66 115 3250.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.67547.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968(1)e(2)e (1) (2) 1550.538, 15448.431.Q Q 因 此 模 型 （ 1） 的 拟 合 效 果 远 远 优 于 模 型 （ 2） 。 总 结1 1 2 2( , ),( , ),.,( , ),n nx y x y x y 对 于 给 定 的 样 本 点两 个 含 有 未 知 参 数 的 模 型 ： (1) (2)( , ) ( , ),y f x a y g x b 和其 中 a和 b都 是 未 知 参 数 。 拟 合 效 果 比 较 的 步 骤 为 ：（ 1） 分 别 建 立 对 应 于 两 个 模 型 的 回 归 方 程与 其 中 和 分 别 是 参 数 a和 b的 估 计 值 ；（ 2） 分 别 计 算 两 个 回 归 方 程 的 残 差 平 方 和与（ 3） 若 则 的 效 果 比 的 好 ； 反 之 ， 的 效果 不 如 的 好 。 (1) ( , )y f x a (2) ( , ),y g x b a b (1) (1) 21 ( )n i iiQ y y (2) (2) 21 ( ) ;n i iiQ y y (1) (2) ,Q Q (1) ( , )y f x a(2) ( , )y g x b (2) ( , )y g x b (1) ( , )y f x a 练习：为 了 研 究 某 种 细 菌 随 时 间 x变 化 ， 繁 殖 的 个 数 ，收 集 数 据 如 下 ：天 数 x/天 1 2 3 4 5 6繁 殖 个 数y/个 6 12 25 49 95 190 （ 1） 用 天 数 作 解 释 变 量 ， 繁 殖 个 数 作 预 报 变 量 ， 作 出 这 些 数 据 的 散 点 图 ； （ 2） 描 述 解 释 变 量 与 预 报 变 量 之 间 的 关 系 ； （ 3） 计 算 残 差 、 相 关 指 数 R2. 天 数繁 殖 个 数解 ： （ 1） 散 点 图 如 右 所 示 （ 2） 由 散 点 图 看 出 样 本 点 分 布 在 一 条 指 数 函 数 y= 的周 围 ， 于 是 令 Z=lny,则 2C x1eCx 1 2 3 4 5 6Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25由 计 数 器 算 得 则 有Z=0.69X 1.112 0.69x 1.112y=e y 6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9y 6 12 25 49 95 190 n 2 2ii=1 1 e ( ) 3.1643,n i ii y y n2 2 2i1 i=1( ) y ny 25553.3.n ii y y （ 3）即 解 释 变 量 天 数 对 预 报 变 量 繁 殖 细 菌 得 个 数 解 释 了 99.99%.2 3.16431 0.9999.25553.3R 练习 假 设 关 于 某 设 备 的 使 用 年 限 x和 所 支 出 的 维 修 费 用 y（ 万元 ） ， 有 如 下 的 统 计 资 料 。使 用 年 限 x 2 3 4 5 6维 修 费 用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若 由 资 料 知 ,y对 x呈 线 性 相 关 关 系 。 试 求 ：（ 1） 线 性 回 归 方 程 的 回 归 系 数 ；（ 2） 求 残 差 平 方 和 ；（ 3） 求 相 关 系 数 ；（ 4） 估 计 使 用 年 限 为 10年 时 ， 维 修 费 用 是 多 少 ？ y bx a a b、 2R 解 ： （ 1） 由 已 知 数 据 制 成 表 格 。1 2 3 4 5 合 计2 3 4 5 6 202.2 3.8 5.5 6.5 7.0 254.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.34 9 16 25 36 90ixiyi ix y2 ix 4; 5;x y 5 521 190; 112.3.i i ii ix x y i 1.23, 0.08.b a 1.23 0.08.y x 所 以 有